数学思想方法应用

数学思想方法的应用

摘要：数学思想方法是学生建立自身思维体系的基石，是学习的精髓。要更加注重学生的数学思想方法的的学习，培养学生自学能力和良好的学习习惯，使掌握数学思想方法。

关键词：函数与方程转化与化归分类讨论数形结合

数学思想方法在教学和学习过程中占有重要地位。数学思想方法与数学基础知识比较它有较高的地位，数学思想方法是一种数学意识属于思维范畴。

1.主要的数学思想方法

1.1函数与方程

方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型的方法。然后通过解方程（组）或不等式（组）来解题。函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。

1.2等价转化

等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。转化有等价转化与非等价转化。等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果。非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行数学思想领悟必要的修正（如无理

方程化有理方程要求验根），它能给人带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。

1.3分类讨论

在解答某些数学问题时，有时会遇到矛盾，对矛盾分析，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。

1.4数形结合

中学数学的基本知识分三类：一类是纯粹数的知识，如实数、代数式、方程（组）、不等式（组）、函数等；一类是关于纯粹形的知识，如平面几何、立体几何等；一类是关于数形结合的知识，主要体现是解析几何。数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的。

2.数学思想方法在学习中的应用

2.1数学思想方法的意义

数学思想方法是从各分支中提炼和总结出来的，实质就是学习和研究数学的思想方法、进行数学活动的方法。揭示了数学的本质和发展规律，是数学学习的精髓。数学思想方法的学校往往比书本知识的学习更重要，更能适应未来社会的变化和发展。加强思想方

法的学习，可使人变的更有意识的、自觉的应用。

2.2数学思想方法的应用

2.2.1函数与方程思想

应用函数思想解题：确立变量之间的函数关系是关键步骤，大体可分为下面两个步骤：（1）根据题意建立变量之间的函数关系式。把问题转化为相应的函数问题；（2）根据需要构造函数，利用函数的相关知识解决问题；（3）方程思想：在某变化过程中，往往需要根据一些要求。确定某些变量的值.这时常常列出这些变量的方程或（方程组），通过解方程（或方程组）求出它们。

例2.1：方程的解是。

解：方程的解满足，解得

2.2.2等价转化

就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，因此要尽可能的从简单、显性、明了、具体等着手，把复杂问题从一个侧面转化到简单的问题上来，一般总是将复杂的问题通过变化转化为简单的问题，或者是把复杂问题转化成几个简单问题来解决，将未解决的问题转化为已解决的问题降低问题的难度，提升解题的速度和准确率。

例2.2：已知，求证：。

证明：当时，有，所以，以上表明，若，则的逆否命题为真命题，所以，原命题成立。

本题的精髓就是，在数学问题中，设都是条件，如果

，那么在含有a的问题中，用b代替a或者代表a的后续步骤，能使问题易于解决，这就是条件的等价转换。

2.2.3分类讨论

在数学中，分类思想是根据数学本质属性的相同点和不同点，分类讨论思想在代数中应用的体现较多。

例2.3.若x的相反数是2，y的绝对值是5，则x+y的值为（）

a、-7

b、2

c、-7或2

d、7或-3

分析：依题意可知y=5或y=5，由于y有两解，所以在求x+y的值时应该分两种情况加以讨论，得出两个正确结果。

2.2.4数形结合

数形结合的思想可以使某些抽象思维变为形象思维，更有助与把问题简单明了化，数形结合方法的运用，很多问题变的迎刃而解。在解决数学问题时将抽象的数学语言同图形结合起来，把抽象问题具体化，使数与形的信息相互联系起来，开拓我们的解题思路，使许多问题简单化了。

3.数学思想方法的教学模式

数学表层知识与深层知识具有相辅相成的关系，这就决定了他们在教学中的辩证统一性.基于上述认识，我们给出数学思想方法教学的一个教学模式：

操作——掌握——领悟

对此模式作如下说明：1）数学思想、方法教学要求教师较好地掌握有关的深层知识，以保证在教学过程中有明确的教学目的；2）

“操作”是指表层知识教学，即基本知识与技能的教学。“操作”是数学思想、方法教学的基础； 3）“掌握”是指在表层知识教学过程中，学生对表层知识的掌握.学生掌握了一定量的数学表层知识，是学生能够接受相关深层知识的前提； 4）“领悟”是指在教师引导下，学生对掌握的有关表层知识的认识深化，即对蕴于其中的数学思想、方法有所悟，有所体会。通过学习掌握思想方法来促进学生成绩的提高，在学习和教学中凸显数学思想方法的作用。

参考文献：

[1]钱佩玲. 数学思想方法与中学数学[m]. 北京：北京师范大学出版社，2008