二阶常微分方程边值问题
二阶阶微分方程的解法及应用课件
参数法是一种求解二阶微分方程的方法，通 过引入参数，将微分方程转化为关于参数的 常微分方程。这种方法适用于具有特定形式 的一阶和二阶微分方程，特别是当微分方程 的解与某个参数有关时。通过求解关于参数 的常微分方程，我们可以找到微分方程的解
二阶阶微分方程的解法及应用课件
目 录
• 二阶阶微分方程的基本概念 • 二阶阶微分方程的解法 • 二阶阶微分方程的应用 • 二阶阶微分方程的数值解法 • 二阶阶微分方程的边界值问题
01 二阶阶微分方程的基本概 念
二阶阶微分方程的定义
二阶阶微分方程是包含两个未知函数 和它们的二阶导数的方程。
二阶阶微分方程的一般形式为 F(x, y, y', y''...) = 0，其中 F 是一个给定的函 数，x 和 y 是未知函数及其导数。
供需模型
01
二阶微分方程可以用来描述商品价格随时间和供需关系的变化
。
投资回报
02
在金融领域，二阶微分方程可以用来预测股票价格的变化和投
资回报。
经济增长
03
在研究经济增长时，二阶微分方程可以用来描述人均收入随时
间的变化。
在工程中的应用
控制系统
在自动化和控制工程中，二阶微分方程被用来描述系 统的动态响应和稳定性。
一维边界值问题
一维边界值问题是指求解一个关于一个自变量的二阶微分方程，同时给出该自变 量在两个特定点的取值条件。
一维边界值问题通常用于描述一个物理系统在一维空间中的行为，例如弦的振动 、波的传播等。解决这类问题通常需要使用打靶法、有限差分法等数值方法。
多维边界值问题
多维边界值问题是指求解一个关于多个自变量的二阶微分方 程组，同时给出这些自变量在多维空间中的边界条件。
Banach空间二阶非线性常微分方程周期边值问题的解
Ｂ ｎ ｃ 间． 令 ｃ ， ］ ｛ ： ａ ａｈ空 Ｕ Ｅ 一 Ｕ Ｊ— Ｅ Ｉ 续 ｝ Ｕ连 ， 则 ｃ ｊ， ］ ［ Ｅ 在范 数 Ｉ Ｉ 一ｍａ Ｉ （）ｌ ｘｌ ￡ ｌ ｕ 下也是 Ｂ ｎ ｃ ａａｈ 空 间．令 ｃ ［ ， 一 ｛ ： 。 － Ｅ］ “ Ｊ— 厂
第 ４ ６卷 ２ １ ０ ０年 第 ５期
Ｖ ０１ ４ ２ ０ Ｎｏ．５ ．６ ０１
西
北 师 范 大 学
学
报 自然 科 学 版 ） （
１ ３
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｒｈ ｓ ｏ ｒ ａ ｆＮｏ ｔ ｗｅｔＮｏｒ ａ ｎｉｅ ｓｔ （ ｔ ｒ ｌ ｃｅ ｃ ） ｍ ｌＵ ｖ ｒ ｉｙ Ｎａ ｕ ａ ｉｎ ｅ Ｓ
ｄｉｆ ｒ ｎｔａ ｑ ａ ｉ ｎ ｗｉｈ ｄｉｃ ｎｔｎｏ ｅ ｍ ｓ ｉ ｎ ｃ ｐａ ｅ ｒ ｂｔ ｉ ｄ ｆ ｅ ｅ ｉｌｅ ｕ ｔｏ ｔ ｓ ｏ ｉ ｕｓ ｔ ｒ ｎ Ｂａ ａ ｈ ｓ ｃ ｓ ａ ｅ ｏ ａｎｅ ．
ｒｓ ｌ ｉ ； ｎｏ ｏ ｔ ｒ ｔｖ ｅ ｈｎ ｑ Ｋｅ ｒ ｓ： ｉ ｃ ｅ ｓｎ ｅ ａ ｏ ｙ ｗｏ ｄ ｎ ｒ ａ ｉ ｇ ｏｐ ｒ ｔ ｒ； ｆｘ ｄ ｐ ｎｔ ｕ —ｏｗ ｅ ｏ ｕｔｏｎｓ ｍ ｏ ｔ ｎｅ ｉｅ ａ ｉ ｅ ｔ ｃ ｉ ｕｅ ｉ ｅ ｏｉ ； ｐ ｌ
近 年来 ，非 线 性常 微分 方程 周期 边 值 问题解 的
一
存 在性 、唯一性 和 多解 性一 直 是微 分方 程领 域非 常 引人关 注 的 问题 Ｌ ］ １ ，但 现 有 文 献 大 都 要 求 非 线 性
项 ｆ ｔ 连续 ．本 文 在 Ｂ ｎ ｃ （， ） ａ ａ ｈ空 间 中 ，就非 线 性 项 ｆ（ ， 在 较 弱 的连 续 性 条 件 下 ，利 用 上 下 解 方 ｔ ） 法 与增 算 子不 动点 定理 ，讨 论 二 阶非线 性 常微分 方 程周期 边 值 问题 ｆ 一 （）一 ｆ ｔ ，ｔ Ｊ一 ［ ，丁 ， … ￡ （， ） ∈ Ｏ ２ｃ ］
常微分方程的边值问题
常微分方程的边值问题常微分方程是数学中一个重要的分支，研究的是函数的导数与自变量之间的关系。
在实际问题中，常微分方程的解可以描述物理、工程、经济等领域的变化规律。
而边值问题是常微分方程中的一类特殊问题，它要求在给定的边界条件下求解方程的解。
一、边值问题的定义与分类边值问题是指在一定边界条件下求解常微分方程的解。
边界条件是一组给定的条件，它们通常是关于未知函数及其导数在一些特定点上的值或关系。
边值问题可分为以下两类：1. Dirichlet 边值问题：给定函数在边界上的值。
假设我们要求解的常微分方程为 y''(x) + p(x)y'(x) + q(x)y(x) = r(x)，边值问题可以表示为：y(a) = A，y(b) = B其中，a, b 是给定的自变量取值，A, B 是给定的常数。
2. Neumann 边值问题：给定函数在边界上的导数值。
假设我们要求解的常微分方程还是 y''(x) + p(x)y'(x) + q(x)y(x) = r(x)，边值问题可以表示为：y'(a) = A，y'(b) = B二、求解边值问题的方法求解边值问题有多种方法，其中比较常用的包括：1. 分离变量法这是一种基本的求解边值问题的方法。
通过将方程中的未知函数分离变量，得到一个关于自变量的方程和一个关于未知函数的方程，再分别求解这两个方程。
2. 特征值法对于某些特殊的边值问题，可以使用特征值法进行求解。
特征值法的关键在于将边值问题转化为一个特征值问题，通过求解特征值和特征函数来得到方程的解。
3. 迭代法对于某些复杂的边值问题，可以使用迭代法逐步逼近方程的解。
迭代法是通过不断逼近函数解来改善近似解的精度，从而得到较为准确的解。
三、常见的边值问题应用常微分方程的边值问题在实际应用中具有广泛的应用，下面列举几个常见的例子：1. 自由振动问题自由振动是常微分方程的一个典型应用，比如弹簧振子的运动可以用一阶线性常微分方程来描述。
二阶微分方程数值求解
二阶微分方程数值求解
要数值求解二阶微分方程，首先需要将其转化为一个一阶微分方程组。
假设待求解的二阶微分方程为：
y''(x) = f(x, y(x), y'(x))
将其转化为一阶微分方程组：
z(x) = y'(x)
z'(x) = f(x, y(x), z(x))
然后，可以选择数值求解方法，如欧拉方法、改进的欧拉方法、四阶龙格-库塔方法等等，对这个一阶微分方程组进行数值求解。
以欧拉方法为例，假设已知初始条件 y(x0) = y0，z(x0) = z0，
选择步长 h。
则可以按照以下步骤进行数值求解：
1. 初始化步数 n = 0，设置初始条件 y(x0) = y0，z(x0) = z0。
2. 计算下一步的值：y(x + h) = y(x) + h * z(x)，z(x + h) = z(x) +
h * f(x, y(x), z(x))。
3. 将 x 增加 h，即 x = x + h。
4. 将步数 n 增加 1，即 n = n + 1。
5. 重复步骤 2-4，直到达到目标位置的 x 值（如终点 x 结束条
件 x >= x_end）。
需要注意的是，数值求解方法的精度和稳定性都会受到步长的影响，过大的步长可能导致数值不稳定，过小的步长可能导致
计算量过大。
因此，选择合适的步长是很重要的。
值得一提的是，当二阶微分方程为边值问题时，可以采用有限差分法、有限元法等数值方法进行数值求解。
这些方法会更为复杂，并涉及到边界条件的处理。
课件：级第四章 2 边值问题
y(a)
(a x b)
y(b)
例 3：传热问题 建立微分方程：
d 2T 1 dT f (r) dr2 r dr
对流传热
建立边界条件：
a1T(b) b1T(b) T1
r=b
T1
●第三类边界条件
－给定边界处函数和导数共同满足的条件
●第三类边值问题
y f (x, y, y) (a x b)
●● ● ●●
y(x)
x =a
x =b
打靶法的几何说明
对于初值问题
y f x, y, y a x b
y(a)
y(a) m
m
m0
m1
mn
y(b) y(b)m0 y(b)m1 y(b)mn
y(b)m F(m)
合适的 m 值应满足：
y(b)m
即： F(m)
化标准形式：f (m) F(m) 0
1T
2
解： 第一步：明确需要确定哪些函数值 u0,u1,u2,,uN,uN1
将
Ti
ui1
2ui h2
ui1
代入离散化方程
h2 ui1 2ui ui1 k g(Zi )
u0 2u1 u2
u1 2u2 u3 uN 1 2uN
h2
k
h2 k
u N 1
g (Z1 )
g(Z2 ) h2
●第一类边值问题
y f (x, y, y) (a x b)
y(a) y(b)
例 2：传热问题
绝热 r=b
建立微分方程：
d 2T 1 dT f (r) dr2 r dr
建立边界条件：
T (b) 0
●第二类边界条件 －给定边界处导函数满足的条件
带非齐次边界条件的二阶常微分方程边值问题正解的存在性
Ｖ０． １２５ Ｎｏ． ４
０ｅ ．２ １ ｔ ０２
文章 编号 ：０ ４ ８２ （０ ２ ０ － ２ １０ １０ － ８ ０ ２ １ ）４ ０ ５ － ５ －
带 非 齐 次 边 界 条 件 的 二 阶 常 微 分 方 程 边值 问题 正解 的存 在 性
谢 春 杰
（ 西北师范大学数 学与统计 学院 ， 甘肃 兰州 ７ ０７ ） ３ ００
（ ¨ ｄ ＝１ ｙ ｓ ｃ ） ｃ Ａ Ｉ ㈩州 ＋
由 （ ）知 ｐ ＋６ Ｈ１ ：＝ ｃ＋伽 ＞０ 则 ，
ｄｙ ） Ｍ ＋・ Ｊ（ Ｄｓ ＋ ］
解 的 Ａ。 Ｂ值 如下 ：
算 子． 引理 １１ 设 Ｐ为 Ｂ ｎｃ 间 Ｘ中 的体 锥 ， ［ ａａｈ空 ０
摘要 ： 运用 一凸算子理论研究了带非齐次边界条件的二阶常微分方程边值 问题 ｆＰ ｔ （） ＋ｈ ｔＩ ）＝０ ｔ∈ （ ， ） （ （） ｔ ） （）（ 厂 ， ０１， Ｌｕ Ｏ ａ （ ）一６ （ ） （ ） ＝ ［ ｐ Ｏ ０ ］十Ａ， Ｃ（ ）－ （ ） （ ） ＝卢 Ｍ Ｕ １ Ｉ １ １ － ［ ］＋
（ （）， ｔ ） Ｐ ｔ １（ ） ＋Ｙ ｔ ２ （ ）＝０ ｔ∈ （ ， ） （ ） ， ０ １ ， ５
１ 预 备 知 识
本文 总假定 ：
（ ） ∈ Ｃ ［ ，］ （ Ｈ１ Ｐ （ ０ １ ，０，＋∞ ） ， ∈ Ｃ（０， ） ｈ ［
１ ，０ ＋∞） ， ］［ ， ） 并且 （） ０ １ ￡ 在［ ，］的任意子区间
的文献 研 究 了非 齐 次 边 值 问 题
，特 别 地 ，文
［ ， ］分别 考 虑 了方 程 （ ）在 非齐 次边 界条件 ８ ９ １
Ｍ０ （）＝０Ｍ１ ∑ｂｔ 和 ｕ（）＝０ ，（）＝ ｉｔ ｌ ）＋ （ ０ ，
二阶常微分方程边值问题
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实验结果与分析：
差分法结果如下：
从图上我们可以看到,可以得到函数图像确实十分接近理论上的解答,差分二阶导数比起差分一阶导数来说,更加接近原函数.差分二阶导数在后面几乎能跟原函数重合,是非常好的求边值问题的方法.
成绩：
批阅教师签名：
定解问题往往不具有解析解,或者其解析解不易计算.所以要采用可行的数值解法.有限差分方法就是一种数值解法,它的基本思想是先把问题的定义域进行网格剖分,然后在网格点上,按适当的数值微分公式把定解问题中的微商换成差商,从而把原问题离散化为差分格式,进而求出数值解.此外,还要研究差分格式的解的存在性和唯一性、解的求法、解法的数值稳定性、差分格式的解与原定解问题的真解的误差估计、差分格式的解当网格大小趋于零时是否趋于真解即收敛性,等等.
许多物理现象随着时间而发生变化、如热传导过程、气体扩散过程和波的传播过程都与时间有关.描述这些过程的偏微分方程具有这样的性质；若初始时刻t=t0的解已给定,则t>t0时刻的解完全取决于初始条件和某些边界条件.利用差分法解这类问题,就是从初始值出发,通过差分格式沿时间增加的方向,逐步求出微分方程的近似解.
二阶微分方程的三点边值问题
江 枫
二阶常微分方程边值问题数值方法
其中 p( x),q( x)为,r已( x知) 函数，则由常微分方程的理论知，通过
变量替换总可以消去方程中的 项，不妨y设 变换后的方程为
y( x) q( x) y( x) r( x)
y(a) ,
y(b)
则近似差分方程成离散差分方程为
yi 1
2 yi h2
yi 1
qi
yi
ri
其中 qi q( xi ), ri r( xi ), i 1,2, , n. y0 ,
第一边界问题：
y0 , yn1
(8.9)
第二边界问题：
y1 y0 h , yn1 yn h
(8.10)
第三边界问题：
y1 (1 0h) y0 1h,
(1 0h) yn1 yn 1h
(8.11)
若 f ( x, y,是y) 的y线, y性 函数时，f 可写成
f (x, y, y) p(x) y( x) q( x) y(x) r( x)
以
y
为待定参数。
0
对第三类边界问题，仍可转化为考虑初值问题(8.5)，取
y0 ,
y0 1 0 y0 ，以 y为0 待定参数。
8.2 有限差分法
将区间[a,b]进行等分：
h
ba, n1
xi
a ih, i 0,1,
,n 1,
设在
x xi , i 0,1, , n 1处的数值解为 。 yi 用中心差分近似微分，即
而且还有误差估
计：
Ri
y( xi )
yi
M 24
h2
(
xi
a)(b xi )
其中 M max y(4。) ( x)
x[a ,b]
常微分方程两点边值问题的差分方法
常微分方程两点边值问题的差分方法说实话常微分方程两点边值问题的差分方法，我一开始也是瞎摸索。
我就知道这是个挺难搞的事儿，但我就想把它弄明白。
我最早尝试直接用我之前学过的常微分方程的一些解法，可发现对于两点边值问题完全行不通，这才意识到这个问题很特殊，需要专门的方法来对付。
那我就开始了解差分方法呗。
这个差分啊，简单来说就有点像我们数东西的时候不是一个一个数，而是隔几个数一个那样，在数学里就是把连续的函数离散化。
比如说我们有个常微分方程，在一个区间上的两点边值问题，我要做的第一步，不妨就把这个区间分成好多小份，这个小份的大小我开始还不确定选多少好呢，我就试了好几个不同的值。
我试着先在网格点上近似导数。
我最开始想当然地用了一种很简单的近似方法，就像我们估算速度的时候，直接用两个点的函数值之差除以距离嘛，但是发现这样得到的结果那叫一个惨不忍睹啊，误差大得很。
后来仔细研究才知道，要根据这个常微分方程的具体形式来更好地构造近似导数，才能减小误差。
还有在处理边界条件的时候，这个可千万不能马虎。
我一开始就没太重视边界条件，结果算出的结果也完全不对。
其实就像是盖房子必须要打好地基一样，这个边界条件对于两点边值问题就是根基，如果根基歪了，那整个房子肯定也立不住。
我后来发现了一个比较靠谱的步骤。
就是在差分的时候，对于方程中的每一项，根据泰勒公式来构建合理的差分格式。
这个就像搭积木，每个部分都要搭得准确才能让整体稳固。
我把方程中的项都按照精心设计的差分格式替换掉之后，就得到了一个代数方程组，解这个方程组就能够求出在离散点上的近似解了。
不过这里面还有个小窍门，在求解方程组的时候，我刚开始没注意方程组矩阵的性质，有时候得到的解是不准确的。
我后来发现有的矩阵如果是稀疏友好型的，那就要选择专门针对稀疏矩阵的算法来求解，这样速度又快结果又准确。
我不确定我现在的方法是不是最完美的，但就目前我做的一些练习题还有自己研究的小例子来说，这个方法已经相当好用了。
二阶常微分方程的三点边值问题的正解
对所 有 ∈ｃ［ ，］边 ｏ１ ，
作者简 介 ： 李刚钊 （９ ５一）男 ， １８ ， 湖南衡 阳人 ， 南华大学数理学院硕士研究生． 主要研 究方向 ： 分数 阶微分方程
８ ２
南华 大学学报（自然科学版 ）
２１ 年 ｌ ０１ ２月
值 问
ｌ
ｆ ＋ｖ ￡ 一。 。 ￡ １ ｆ、
）Ｉ≤ ｌ（ ，）Ｉ， 义集合 Ｉ Ｉ ｕ Ｉ定
＝
｛ Ｍ ） （ ）ＥＰ，Ｉ “ ）Ｉ≤ ｝ （ ， Ｉ ， Ｉ（ ， Ｉ ｌ ，
则 当（ ，）∈ａ ｎＰ， 。 有 『 （ ，）ｌ≤ ｌ ｕｔ Ｉｄｇ１ Ａ， ，）＝１ Ｊ ｕ ｌ ｌ ，）『 ｅ（ 一 力Ｉ ａ （ ） ， ０ ．
等 价的积 分 方程 ， 用锥 不动 点定理 ， 利 获得 了方程 解 的存 在 性 的充分 条件． 关键 词 ： 正解 ； 三点 边值 问题 ； 不动点 定理 锥
中图分类 号 ： ２ １８ ０ ４． １ 文献标 识码 ： Ａ
Ｔｈ ｓｔｖ ｏ ｕ ｉｎｓｆ ｒ Ｔｈ ｅ － ｉ ｕｎ ｒ ｌ ｅ Ｐｒ ｂ ｅ ｓ ｅ Ｐｏ ｉｉ ｅ Ｓ ｌ ｔｏ ｏ ｒ ｅ ｐｏｎｔＢｏ ｄａ ｙ Ｖａ ｕ ｏ ｌｍ
何子 区间上不 一致趋 于零 ．
（ ）ｏ＝ ｌ ｍ ｆ ｉ ｍ
＋
Ａｘ 了 ）＞
＝ｌｒ ｉ ａ
枷
＋
＞ ０，
变量 ， 而是 整体 去考 虑的 ．
讨论 如 下三 点边 值 问题 的 正解 问题 ：
＝
掣 ＞ ＝ ）Ｑ 一 （＞ ｌ — ｉｘ — ｍ ∞ ｇ
，
ｆ ｔ ＋Ａ （）（ ￡ ） ０， ｕ（） ０ ￡厂 （） ＝ ０＜￡ ， ＜１ 【 ｔ （）＋Ａ （）（ （） ００＜ ＜１ ｂ ｔ－ Ｍ ｔ ）＝ ， ｔ ， 厂
常微分方程边值问题解法
常微分方程边值问题解法
常微分方程边值问题解法：
常微分方程边值问题是指在一定区间内，给定一个微分方程的初始条件和边界条件，求解微分方程的解在这个区间内满足这些条件的问题。
常见的边值问题有两种类型：Dirichlet边界条件和Neumann边界条件。
解决常微分方程边值问题的方法有很多种，下面介绍其中两种常用的方法：
1. 有限差分法：
有限差分法是利用差分近似替代微分，将微分方程转化为一组代数方程。
首先将区间离散化，将连续的函数转化为离散的数值，然后利用中心差分、前向差分或后向差分的方法，将微分方程变为代数方程组，最后利用线性代数的方法求解这个方程组。
2. 有限元法：
有限元法是将区间划分为若干个小的子区间，将微分方程转化为一组局部的代数方程组，然后将这些方程组组合成整个问题的全局方程组。
有限元法可以适用于更加复杂的边值问题，但是需要更多的计算量和更高的数学水平。
总之，常微分方程边值问题的解法有很多种，需要根据具体情况选择不同的方法。
二阶常微分方程的三点边值问题的正解
如果 y≥0 并且 0 ＜ β ＜ u（ t） ＜
t∈ ［η， 1 ］
}
（ 1 － β） t + βη 1 － αη － β（ 1 － η）
∫ （ 1 － s） y（ s） ds，
0
1
0， 1］ × C［ 0， 1］为 Banach 空间并 令 X = C［ 赋予范数为 v） ‖ = max｛ | u | ， | v| ｝ ， v） ∈ X ‖（ u ， （ u ， 其中 w = max w （ t） t∈ ［0 ， 1 ］ v） 是 ． v ） 是式 （ 1 ） ， 当（ u ， 式 （ 2 ） 的解当且仅当 （ u，
同理 | A2 v | =
∫
1 0
G（ t， s） b（ s） f（ u（ s） ） ds s） b（ s） ） ds ∫ G（ t，
0 1
≤L
v） ‖ = max ｛ | A1 v | ， | A2 u | ｝ 有界， 因此‖A（ u， A 有界． （ c） 从（ a ） 知道 A 对 （ u， v ） 连续， v） 对 t 而 （ u， ［ 0 ， 1 ］ ， A 在闭区间 上连续 所以 是等度连续映射． Ascoli 定理［ 5］得知 A 是全连续 根据 Arzela映射．
二阶常微分方程的三点边值问题的正解
李刚钊， 欧阳自根
（ 南华大学 数理学院， 湖南 衡阳 421微分方程的三点边值问题的正解 ， 通过将微分方程转化为 ， ， 等价的积分方程 利用锥不动点定理 获得了方程解的存在性的充分条件 ．
关键词： 正解； 三点边值问题； 锥不动点定理 中图分类号： O241. 81 文献标识码： A
0
1
0
+ ε） H1
1 － αη － β（ 1 － η） · 1 － β + βη
微分方程的边值问题
微分方程的边值问题微分方程在自然科学和工程领域中，无处不在。
微分方程的解析解研究虽然很有趣，但是大多数情况下，并不容易或者根本无法得到解析解。
因此，数值解成为了解决微分方程问题的主要手段之一。
在数值计算中，微分方程的边值问题是一个非常重要的领域。
本文将讨论什么是微分方程的边值问题，其意义及解决方法。
边值问题是指在区间内给定一个微分方程及其边界条件，求解该微分方程在区间内的解。
常见的边界条件包括一阶导数、二阶导数、初始值和终止值等。
边值问题与初值问题非常不同，初值问题是指在某个点上给定函数值及其导数，然后求解一个微分方程在该点附近的近似解。
在某些情况下，初值问题和边值问题的解地址相同。
边值问题在物理学中有广泛的应用，例如薄板问题、电势问题、热传导问题等。
一般情况下，这些问题都是由某个偏微分方程描述的，而边值条件是该方程的边界条件。
在传热学中，经典的“边界值问题”即为图中所示的两热源问题。
图1 热传导问题在图1中，我们可以看到一个矩形板材，板材的左右两边为热源，中间为隔板，以此来阻止热能在板材中流动。
在这个问题中，我们需要解决这个板材的温度分布函数，并给出边界条件。
假设矩形板的长度和宽度分别为L和W，左右两热源的温度分别为T1和T2。
还需要给出该板的不同点的温度满足偏微分方程：$$\frac{\partial ^2 T}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 T}{\partialy^2} = 0$$然后，在边界上加上边界条件（BC）：$$T|_{y=0,L} =T1$$ $$T|_{y=W} = T2$$ $$-\frac{\partial T}{\partial x} |_{x=0} =Q_1$$ $$\frac{\partial T}{\partial x} |_{x=L} = Q_2$$其中，Q1和Q2是在x轴上的正向热通量。
上述问题实际上是一个二维热传导问题，它的解是矩形整个区域内的温度分布函数T(x,y)。
§5.7 边值问题的数值解法
© 2009, Henan Polytechnic University §7 边值问题的数值解法
1010
第五章 常微分方程数值解法
即为如下的线性方程组：
1 1 2 h2q 1 1 1 2 h 2 q2 y0 y h2 f 1 1 y2 h2 f 2 ... 1 yn1 h2 f n1 1 yn
© 2009, Henan Polytechnic University §7 边值问题的数值解法
i 1, ... , N 1
6 6
第五章 常微分方程数值解法
考虑如下的线性方程
y( x ) p( x ) y( x ) q( x ) y( x ) r ( x ), a x b y(a ) , y(b)
先猜测一个初始斜率 y (a) = s，通过解初值问题 y f ( x , y , y) y(a ) a y(b) = (s) y( a ) s 找出s*使得(s*) = ，即把问 题转化为求方程 (s) = 0 的根。
© 2009, Henan Polytechnic University §7 边值问题的数值解法
© 2009, Henan Polytechnic University §7 边值问题的数值解法
1414
考虑如下的二阶常微分方程的边值问题
y( x ) q( x ) y( x ) f ( x ), a x b y(a ) , y(b) 其中q(x)(0)，f(x)在[a，b]上连续，，为常数。
对应的差分问题是：
微分方程中的特殊解和边值问题
微分方程中的特殊解和边值问题微分方程是数学中的重要分支之一，它描述了自然界和各种科学领域中许多现象的变化规律。
在求解微分方程的过程中，我们常常遇到特殊解和边值问题。
本文将重点介绍微分方程中的特殊解和边值问题，并探讨它们的求解方法和应用。
一、特殊解在求解微分方程时，我们通常会遇到特殊解。
特殊解是指满足给定边界条件或特定形式的解。
特殊解的求解方法有多种，下面我们将介绍其中两种常见的方法。
1. 常数特解对于一些特定的微分方程，我们可以通过设定特定的解形式来求得特殊解。
例如，对于一阶线性常微分方程dy/dx + P(x)y = Q(x)，如果右侧Q(x)为常数C，我们可以猜测特殊解为y = A（其中A为常数）。
将这个猜测代入微分方程中，我们可以求解得到A的值，从而得到特殊解。
2. 变量变换法变量变换法是一种常用的求解微分方程的方法，通过引入新的变量来简化微分方程的形式。
例如，对于一阶非齐次线性微分方程dy/dx + P(x)y = Q(x)，我们可以通过引入新的变量u = e^(∫P(x)dx)来将其转化为齐次线性微分方程dy/du + Q(x)u = 0。
然后，我们可以使用常数变易法或其他方法求解齐次线性微分方程，最后再通过逆变换得到原微分方程的特殊解。
二、边值问题边值问题是指在微分方程的求解过程中，给定一些边界条件，要求求解满足这些边界条件的特殊解。
边值问题在物理学、工程学等领域中具有广泛的应用。
下面我们将介绍两类常见的边值问题及其求解方法。
1. 自由边值问题自由边值问题是指在求解微分方程时，给定方程的边界条件是自由的，即不受特定数值限制。
例如，对于二阶线性微分方程d^2y/dx^2 + P(x)dy/dx + Q(x)y = 0，给定自由边界条件y(a) = b，y(b) = c（其中a、b、c为常数），我们需要求解满足这些边界条件的特殊解。
对于这类问题，我们可以使用常数变易法或其他方法求解微分方程，然后根据边界条件确定特殊解的形式。
一类奇异二阶常微分方程三点边值问题的多个正解
ｙ ， 一 ｛ 其
却７ ，． ｝
） １ ｚ （ ≤ （ｘ） ｆ ， （ ， ｆ ｃ ≤ ２ ｚ ） ０＜ ｆ １ ≤ ；
（ ）ｆ （ ）＞ ０， （ ）＞ ０ Ｈ５ ｌ １ １ ．
定 义 ｌ 若 （） ［ ， ］Ｎ Ｃ （ ， ） （） ｆ Ｅ ｃ ｏ １ ０ １ ， ｆ 满
。卜㈤ 而 ＜ ｄ ＜
Ｉ ｌ＜ １ ｌ Ｉ ｌ ＜ ｌ
，
则 （） １ 至少有两个 ｃ ｏ １ ［ ，］正解 ，。 足 ０＜ ｒ 满 ＜ ＜ Ｒ， 中 ｒＲ为给定 的常数． 其 ， 证 明 对 于 任 意 取 定 的 （）∈ ｃ ｏ １ ， ｆ ｆ ［ ，］ （）
边 值 问题
Ｇｔ ）：』 — ，≤ｓ、 、 （ ｓ： Ｊ — ｏ 、 ≤ ， （ ） ， （） ６ ，）一 ｓ ≤ ６
ｌ（ ｆ １一 ｓ ， ） ０≤ ｔ≤ ｓ≤ １ ・
Ｃ（Ｏ Ｃ ） ［ ，× ） ［ ，３ ，Ｏ Ｃ ） ； × ３
（ Ｈ ）存 在常数 － （ ， Ｏ＜ －≤ － １ ，２ ≤ ） ，
Ｊ ｎ ２ ０ ｕ． ０７
文 章 编 号 ：１ ０ － １ ０ ２ ０ ） ２ ０ ７ － ３ ０ ０ １ ９ （ ０ ７ ０ － １ ６０
一
类奇异二阶常微分方程三点边值 问题的多个正解
沈 文 国
（ 州工业高等专科学校 基础学科部 ， 州 ７０５） 兰 兰 ３ ０ ０
ห้องสมุดไป่ตู้
摘
要 ：讨论 一 类 奇异 非 线性 二阶 常 微分 方 程 三点 边 值 问题 正解 的存 在 性 问题 ， 先 得 出 与 所 研 究 首
奇 异 边 值 问题 等 价 的积 分算 子 方 程 ， 次是 在 ｏ ｏ １空 间上 构造 锥 并 且 证 明算 子 在所 构 造 的锥 上 是 其 Ｅ ，］
几类二阶常微分方程组边值问题解的存在性研究的开题报告
几类二阶常微分方程组边值问题解的存在性研究的开题报告题目：几类二阶常微分方程组边值问题解的存在性研究一、研究背景与意义常微分方程是数学中非常重要的一个分支，其应用涵盖了物理、工程、生物等领域的许多问题。
二阶常微分方程组作为常微分方程中较为复杂的一类，其解的存在性和唯一性一直是研究的重点和难点。
为了更好地探究二阶常微分方程组边值问题的解的存在性和唯一性，进一步提高数学领域对实际问题的解决能力，本文将对几类二阶常微分方程组边值问题的解的存在性进行研究。
二、研究内容和方法本文将主要研究以下几类二阶常微分方程组边值问题的解的存在性：1. 带变系数的常微分方程组边值问题；2. 具有非线性项的常微分方程组边值问题；3. 带分数阶导数的常微分方程组边值问题。
对上述不同类型的边值问题，将采用不同的数学方法和技巧进行求解。
主要方法将包括变分法、上下解法、格里昂函数法等。
三、研究计划1. 对二阶常微分方程组边值问题的基本概念和解的存在性定理进行深入掌握。
2. 系统整理和总结二阶常微分方程组边值问题解的求解方法，包括变分法、上下解法、格里昂函数法等。
3. 根据不同类型的二阶常微分方程组边值问题，采用相应的方法和技巧求解。
4. 进行数值模拟，验证所得解的存在性和唯一性。
5. 对研究结果进行总结、归纳，并提出相应的应用建议。
四、研究成果和意义本文主要研究几类二阶常微分方程组边值问题的解的存在性和唯一性，进一步丰富了常微分方程相关的理论体系。
同时，本文提供了不同类型边值问题的求解方法和技巧，为实际问题的解决提供了参考。
此外，通过对研究结果进行数值模拟，对解的存在性进行验证，从而更加可靠地推广研究成果。
总之，本文的研究结果对于提高数学领域对实际问题的解决能力，推动科学技术、工程技术、生命科学等领域的发展都具有重要的意义。
数理方程第二章 关于二阶常微分方程本征值问题的一些结论-6
( m n )
对应于不同特征值的特征函数在a,b上带权函数(x)互相正交。
（4 ） 本征函数系 yn ( x) , n 1,2,, n, , 在
a , b 上构成完备系。 Nhomakorabea即：对于一个任意函数f(x) ，在区间 [a,b]上，只要满足具有一 阶连续导数、二阶分段连续导数；同时满足斯特姆-刘维尔型 方程的边界条件，那么一定可以将f(x)按本征函数系展成绝对 b 且一致收敛的级数。 ( x) f ( x) y ( x) d x
则无论方程是齐次还是非齐次，必须首先作函数的代换，使其转化为
齐次边界条件问题，方可进行求解。
三、非齐次方程、非齐次边界条件的定解问题（无论初始条件如何），一定
要将其转化为：非齐次方程+齐次边界条件来处理。
深圳大学电子科学与技术学院
分离变量法的军事策略 ：
— —分兵合围，各个击破
分离变量法的哲学思想 ：
2
到此为止，所求解的各种问题只牵涉具有边界的空间。但 这并不意味分分离变量法就不可以应用于无界空间。事实上， 稍加推广还是可以应用的。所说的推广，指的是间断的本征值 为连续本征值所取代，线性叠加为积分所取代。
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实施分离变量法应该注意的几个问题：
一、根据边界条件的形状，选取适当的坐标系。选取的原则是：使对应 的坐标系，边界条件的表达式最为简单。如 圆、圆环、扇形区域→极坐标系； 圆柱形区域→柱坐标系； 球形区域→球坐标系。 二、若边界条件是非齐次的，又没有其它可利用的条件来确定特征函数，
关于二阶常微分方程本征值问题的一些结论参考了孙秀泉教授的课件深圳大学电子科学与技术学院26关于二阶常微分方程本征值问题的一些结论常微分方程在齐次边界条件下的本征值以及本征函数1有界弦的自由振动3圆形域内laplace方程的定解问题sincos分离变量法的实质将时间变量视为参变量
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%定义y
syms y;
y=(((x+2).*(x+2)).^(-1));
hold on
grid on
yx=zeros(1,n);
yxx=zeros(1,n);
for i=2:n-1
yx(i-1)=(y(i+1)-y(i-1))/(2*h);
yxx(i-1)=(y(i+1)+y(i-1)-2*y(i))/h^2;
由(2.21)和(2.22)可知，差商(2.23)和(2.24)逼近微商 的精度为一阶，即为 ，为了得到更精确的差分表达式，将(2.19)减(2.20)可得
(2.25)
从而可以的到
(2.26a)
或者
(2.26b)
其中， .
可得一阶导数 的差分近似表达式为
(2.27)
由此可知，(2.16)差商逼近微商 的精度为二阶，即为 。
课程名称：数值代数课程设计
指导教师：刘兰冬
班级：
姓名：
学号：
实验项目名称：
二阶常微分方程边值问题
实验目的及要求：
二阶常微分方程边值问题
，
（该问题真解为： ）步长h自己选定，利用差分法求出近似解，利用MATLAB函数画出比较图形。
实验原理：
一、微分方程：
微分方程是现代数学中一个很重要的分支，从早期的微积分时代起，这个学科就成为了理论研究和实践应用的一个重要领域。在微分方程理论中，定解条件通常有两种提法：一种是给出了积分曲线在初始时刻的性态，相应的定解条件称为初值问题；另一种是给出了积分曲线首末两端的性态，这类条件则称为边界条件，相应的定解问题称为边值问题。
许多物理现象随着时间而发生变化、如热传导过程、气体扩散过程和波的传播过程都与时间有关。描述这些过程的偏微分方程具有这样的性质；若初始时刻t=t0的解已给定，则t>t0时刻的解完全取决于初始条件和某些边界条件。利用差分法解这类问题，就是从初始值出发，通过差分格式沿时间增加的方向，逐步求出微分方程的近似解。
end
plot(x,y,'r','linewidth',2)
plot(x(2:n-1),yx(1:n-2),'g','linewidth',2);
plot(x(2:n-1),yxx(1:n-2),'b','linewidth',2);
legend('原函数','差分一阶导数','差分二阶导数')
xlabel('$$x$$','Interpreter','latex','color','r','fontsize',28);
有限差分逼近的相关概念
设函数 光滑，且 ，利用Taylor展开，可得
(2.19)
(2.20)
由(2.19)可以得到一阶导数的表达式
(2.21a)
或者
(2.21b)
同理由(2.20)式可得
(2.22a)
或者
(2.22b)
其中 表示截断误差项.因此，可得一阶导数的 的差分近似表达式为
(2.23)
(2.24)
微分方程的定解问题就是在满足某些定解条件下求微分方程的解。在空间区域的边界上要满足的定解条件称为边值条件。如果问题与时间有关，在初始时刻所要满足的定解条件，称为初值条件。不含时间而只带边值条件的定解问题，称为边值问题。与时间有关而只带初值条件的定解问题，称为初值问题。同时带有两种定解条件的问题，称为初值边值混合问题。
定解问题往往不具有解析解，或者其解析解不易计算。所以要采用可行的数值解法。有限差分方法就是一种数值解法，它的基本思想是先把问题的定义域进行网格剖分，然后在网格点上，按适当的数值微分公式把定解问题中的微商换成差商，从而把原问题离散化为差分格式，进而求出数值解。此外，还要研究差分格式的解的存在性和唯一性、解的求法、解法的数值稳定性、差分格式的解与原定解问题的真解的误差估计、差分格式的解当网格大小趋于零时是否趋于真解（即收敛性），等等。
有限差分方法具有简单、灵活以及通用性强等特点，容易在计算机上实现。
二、二阶常微分方程
二阶常微分方程一般可表示成如下的形式：
， (2.1)
边值条件有如下三类[9]：
第Hale Waihona Puke 类边值条件， (2.2)第二类边值条件
， (2.3)
第三类边值条件[19]
， (2.4)
其中 ， ， ， 。
在对边值问题用数值方法求解之前，应该从理论上分析该边值问题的解是否存在，若问题的解不存在，用数值方法计算出来的数据没有任何意义。下面的定理给出了边值问题存在唯一解的充分条件。
ylabel('$$y$$','Interpreter','latex','color','r','fontsize',28);
实验结果与分析：
差分法结果如下：
从图上我们可以看到，可以得到函数图像确实十分接近理论上的解答，差分二阶导数比起差分一阶导数来说，更加接近原函数。差分二阶导数在后面几乎能跟原函数重合，是非常好的求边值问题的方法。
成绩：
批阅教师签名：
常微分方程边值问题在应用科学与工程技术中有着非常重要的应用，例如工程学、力学、天文学、经济学以及生物学等领域中的许多实际问题通常会归结为常微分方程边值问题的求解。虽然求解常微分方程边值问题有很多解析方法可以求解，但这些方法只能用来求解一些特殊类型的方程，对从实际问题中提炼出来的微分方程往往不再适用，因而对常微分方程边值问题的数值方法的研究显得尤为重要。经典的数值方法主要有：试射法（打靶法）和有限差分法。
我们在整个实验中，感觉最困难的就是对于差分法的理解以及程序的编写上面。我们查询了各种有关于常微分方程边值问题、有限差分法、二阶常微分方程的资料以及论文，差分法实际上就是用离散的、只含有有限个未知量的差分方程去近似代替连续变量的微分方程和定解条件。有一点要注意，我们这个算法只适合用于等间隔差分。
做了这道题之后，感觉我们对于常微分边值问题有了更进一步的理解，尤其是各种思维之间的转换尤其重要，在今后的数学学习中，希望我们能够灵活的运用。
类似地，我们还可以给出二阶微商 和高阶微商的差分近似表达式。例如将(2.19)和(2.20)两式相加可得
进而有
(2.28)
其中 .
因此，二阶导数 的差分近似表达式[8]为
(2.29)
实验内容（方法和步骤）：
差分法代码如下
clc;
clear all
h=0.05;
%x属于【a,b】
a=-1;b=1;
x=a:h:b;
定理：设方程(2.1)中的函数 及 ， 在区域
内连续，并且
(ⅰ) ；
(ⅱ) 在 内有界，即存在常数 ，使得
， ，
则边值问题(2.1)-(2.4)的解存在且唯一。
我们假设函数 可以简单地表示成
，
即边值问题(2.1)-(2.2)为具有如下形式的二阶线性边值问题
(2.5)
三、有限差分法：
有限差分方法是用于微分方程定解问题求解的最广泛的数值方法，其基本思想是用离散的、只含有有限个未知量的差分方程去近似代替连续变量的微分方程和定解条件，并把相应的差分方程的解作为微分方程定解问题的近似解。