人教版数学高二A版选修4-52.3反证法与放缩法

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基础·巩固

1.设a 3+b 3=2，求证a+b≤

2.

思路分析：待证不等式中有小于等于号，不妨试用反证法，在假设a>2-b 的情况下，结合a 3+b 3=2，构造完全平方式，出现矛盾不等式，问题得证. 证明：假设a+b>2，则有a>2-b ，从而a 3>8-12b+6b 2-b 3,

a 3+

b 3>6b 2-12b+8=6(b-1)2+2.

因为6(b-1)2+2≥2，所以a 3+b 3>2，这与题设条件a 3+b 3=2矛盾，所以，原不等式a+b≤2成立. 2.求证：

n n

n 121312*********-<++++<+- (n ∈N *且n≥2). 思路分析：待证不等式的两端是整式，中间是n 个式子的和，利用式子

k

k k k k 11111112--<<+-对每一个式子作适当的变形，最后各式相加，达到适当放大或缩小的目的，宜用放缩法. 证明：∵

k

k k k k k k k k 1

11)1(11)1(11112--=-<<+=+-, ∴

k k k k k 11111112--<<+-,分别令k=2,3,4…,n 得： n

n n n n 1111111,,3121314131,211213121222--<<+--<<--<<- . 将这些不等式相加得：n n

n 1

1131211121222-<+++<+- ,

∴n n

n 121312*********-<++++<+- . 3.求证：1+n

⨯⨯⨯⨯+

+⨯⨯+⨯+ 3211

321121111<3. 思路分析：左边较为复杂，右边为一常数，考虑对一般项进行放缩

12

1

222113211-=••••<⨯⨯⨯⨯k k ,再利用等比数列的求和公式，达到证明目的.

证明：由121

222113211-=••••<⨯⨯⨯⨯k k （k 是大于2的自然数），

得n

⨯⨯⨯⨯+

+⨯⨯+⨯++ 32113211211111 1

1322132

1121112121212111---=--+=++++++

n <3. 4.设a,b 为不相等的两个正数，且a 3-b 3=a 2-b 2,求证：1

4

.

思路分析：分析题意可得，a 2+ab+b 2=a+b ，可用基本不等式进一步放缩得到a+b>1，化简整

理可得,(a+b)2=a 2+2ab+b 2=a+b+ab

)

(2

b a +，通过放缩达到证明目的.

证明：（1）依题意：a 2+ab+b 2=a+b ，于是(a+b)2>a 2+ab+b 2=a+b, 故a+b>1，又(a+b)2>4ab ，而 (a+b)2=a 2+2ab+b 2=a+b+ab

4

)(2

b a +, 即

43(a+b)2

4. 5.设a 、b 、c 是三角形的边长，求证：c b a +(b-c)2+a c b +(c-a)2+b a c +(a-b)2≥

3

1

［(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2］.

思路分析：本题中三角形的三边地位一样，根据对称性，先设出大小关系，不妨设a≥b≥c ，进而观察目标式子的符号进行作差放缩，达到证明目的. 证明：由不等式的对称性，不妨设a≥b≥c ，则3a-b-c>0, 3b-c-a≥b+c+c -c-a=b+c-a>0.

左式-右式=

c b c b a +--3(b-c)2+c a a c b +--3(c-a)2+b

a b

a c +--3(a-b)2

≥b a a c b +--3(c-a)2+b a b a a +--3(a-b)2

≥b a a c b +--3(a-b)2+b a b a c +--3(a-b)2=b

a a c

b +-+)(2(a-b)2≥0.

6.设a 、b 、c ∈R +,且abc=1,求证：a

c c b b a +++

+++++11

1111≤1. 思路分析：考虑a 、b 、c ∈R +,且abc=1,直接通分不容易证明， 构造a=x 3,b=y 3,c=z 3,且x 、y 、z ∈R +，得：xyz=1，

1+a+b=xyz+x 3+y 3≥xyz+xy(x+y)=xy(x+y+z)，进而达到证明目的. 证明：设a=x 3,b=y 3,c=z 3,且x 、y 、z ∈R +.由题意得：xyz=1. ∴1+a+b=xyz+x 3+y 3.

∴x 3+y 3-(x 2y+xy 2)=x 2(x-y)+y 2(y-x)=(x-y)2(x+y)≥0. ∴x 3+y 3≥x 2y+xy 2.

∴1+a+b=xyz+x 3+y 3≥xyz+xy(x+y)=xy(x+y+z). ∴

z

y x z

z y x xy b a ++=++≤++)(111.

同理：由对称性可得,z

y x y

a c z y x x c

b ++≤++++≤++11,11,∴命题得证.

综合·应用

7.设a 、b 、c≥0，且a+b+c=3，求证：a 2+b 2+c 2+23abc≥2

9. 思路分析：先运用对称性确定符号，设a≤b≤c ，则a≤1<3

4

，再使用基本不等式可以避开讨

论，作差比较作适当放缩. 证明：不妨设a≤b≤c ，则a≤1<

34.∴a-3

4<0.