江西省分宜中学、玉山一中、临川一中等九校2020届高三数学联考试题 理

江西省分宜中学、玉山一中、临川一中等九校2020届高三数学联考试
题 理
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间为120分钟.
2．本试卷分试题卷和答题卷，第Ⅰ卷（选择题）的答案应填在答题卷卷首相应的空格内，做在第Ⅰ卷 的无效.
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、 选择题：本大题共12小题,每小题５分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的. 1．已知集合21A x
x ⎧⎫
=>⎨⎬⎩⎭
，{}(2)(1)0B x x x =+->，则A B I 等于（ ）
A ．(0,2)
B ．(1,2)
C ．(2,2)-
D ．(,2)(0,)-∞-+∞U 2．设(12)i x x yi +=+，其中y x ,是实数， 则
y
i x
=+（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．5
3．下面框图的S 的输出值为 （ ） A ．5 B ．6 C ．8 D ．13
4．已知随机变量X 服从正态分布2
(2,)N σ且(4)0.88P x ≤=，则(04)P x <<=（ ） A ．0.88
B ．0.76
C ．0.24
D ．0.12
5．在各项不为零的等差数列{}n a 中，2
201720182019220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且
20182018b a =，则220172019log ()b b 的值为（ ）
A ．1
B ．2 C. 4 D ．8
6．下列命题正确的个数是（ ）
（1）函数2
2
cos sin y ax ax =-的最小正周期为π”的充分不必要条件是“1a =”. （2）设1
{1,1,,3}2
a ∈-，则使函数a
y x =的定义域为R 且为奇函数的所有a 的值为1,1,3-. （3）已知函数()2ln f x x a x =+在定义域上为增函数，则0a ≥.
A ．1
B ．2
C ．3
D ．0
7．已知向量2
(,2),(3,1),(1,3)a x x b c =+=--=r r r ，若//a b r r ，则a r 与c r 夹角为（ ）
A ．
6π B ．3
π C ．
23
π
D ．
56
π 8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线所画出的是某几何体的三视图，则该几何体的
各条棱中最长的棱长为（ ）
A.52
B.24
C.6
D.34
9．若关于x 的不等式a x a a sin )6(2
<-+无解，则=a （ ） A.3- B.2- C.2 D.3
10．若()()()11221,2,,,,A B x y C x y 是抛物线2
4y x =上不同的点，且AB BC ⊥，则2y 的取值范
围是（ ）
A ．
∞⋃∞（-,-6）[10,+) B ．∞⋃∞（-,-6](8,+)
C ．∞⋃∞（-,-5][8,+)
D ．
∞⋃∞（-,-5][10,+) 11．已知动点),(y x P 满足：2402323x y y x x y x --+≤⎧⎪
≥⎨⎪+≥+⎩
，则22+4x y y +的最小值为（ ）
A 2
B 24
C ． 1-
D ．2-
12．已知函数()f x ＝20540.
x e e x x
x x ⎧⎪
≥⎨⎪+<⎩，，+，（e 为自然对数的底数），则函数(())()
y f f x f x =-的零点的个数为( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
第II 卷（非选择题共90分）
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分. 13．3)12)(1
(x
x x x -+的展开式中的常数项为 .
14．已知F 1、F 2为双曲线的焦点，过F 2作垂直于实轴的直线交双曲线于A 、B 两点，BF 1交y 轴于点C ，
若AC ⊥BF 1，则双曲线的离心率为 .
15．已知矩形ABCD 的两边长分别为3=AB ，4=BC ，O 是对角线BD 的中点，
E 是AD 边上一点，沿BE 将ABE ∆折起，使得A 点在平面BDC 上的投影恰
为O （如右图所示），则此时三棱锥BCD A -的外接球的表面积是 . 16．在ABC ∆中，内角A,B,C 所对的边分别是,,a b c ，sin 1cos ,2sin cos A b A
b a C B
-=
=
， 则有如下结论：（1）1c =;（2）ABC S ∆的最大值为14
; （3）当ABC S ∆取最大值时，53
b =
. 则上述说法正确的结论的序号为 .
三、解答题：共70分。

解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

第17～21题为
必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（本小题满分12分）若数列{}n a 是正项数列，且n n a a a a n +=++++2321Λ，
（1）求{n a }的通项公式； （2）设21
4
n n n b a a =，求数列{}n b 的前n 项和n S .
18.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PB ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为梯形，AD BC P ，AD AB ⊥，且3,1PB AB AD BC ====. （1）求二面角B PD A --的大小；
（2）在线段PD 上是否存在一点M ，使得CM PA ⊥?
若存在，求出PM 的长；若不存在，说明理由.
19．（本小题满分12分）汽车的普及给人们的出行带来了诸多方便，但汽车超速行驶也造成了诸多隐患.为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，现随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速，所得数据均在区间[40，80]中，其频率分布直方图如图所示.
)1(求被抽测的200辆汽车的平均时速.
(2)该路段路况良好，但属于事故高发路段，交警部门对此路段
过往车辆限速h km 60.对于超速行驶，交警部门对超速车辆 有相应处罚：记分（扣除驾驶员驾照的分数）和罚款.罚款情 况如下：
②该路段车流量比较大，按以前统计该路段每天来往车辆约2000辆.试预估每天的罚款总数.
20．（本小题满分12分）已知椭圆22
22:1x y C a b
+=过点()()2,0,0,1A B 两点．
（1）求椭圆C 的方程及离心率；
（2）设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，
求证：四边形ABNM 的面积为定值．
21．（本小题满分12分）已知函数22ln )(2
-+=x x x x f .
(1)若函数)(x g y =的图像与)(x f 的图像关于直线e x =对称，试求)(x g y =在零点处的切线方程..
(2)函数x x x f x h --
=2
8
17)()(在定义域内的两极值点为21,x x ，且21x x <，试比较2
21x x ⋅与3e 大
小，并说明理由.
（二）选考题：共10分。

请考生在22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22.（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
已知曲线C 的极坐标方程为θρ2
2sin 314
+=
，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+=
33t y t x （t 为参数），32(P ,1),直线l 与曲线C 相交与A ，B 两点.
(1)求曲线C 和直线l 的平面直角坐标方程；
(2)求PB PA -的值.
23.（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】
设 ()11f x x x =-++ . （1）求 ()2f x x ≤+ 的解集; （2）若不等式121
()a a f x a
+--≥
，对任意实数0a ≠恒成立，求实数x 的取值范围.
参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1—5：BDABC 6—10：BACAA 11—12：DD 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.we,c
13. 6- 14. 3 15.
11
324π
16.（1）（3） . 三、解答题：共70分。

解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

第17～21题为
必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（1）数列{a n }满足n n a a a a n +=++++2
321Λ．
n≥2时，1)1(21-321-+-=++++n n a a a a n Λ． ……………2分 ∴n
a n 2=
2
4n a n =
……………5分
1n =也满足上式.
24n a n n N *=∈， ……………6分
（2）由题意得2n n b n n N *=
=⋅∈，……………7分 231222322n n S n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯
23121222122n n n S n n +=
⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯（）
2
3
1
1112222222
222212
n n
n n n n n S n n n ++++-=+++⋅⋅⋅+-⋅=-⋅=-+-⋅-（1-）
1212n n S n +∴=+-⋅（） ……………12分
18．解：
（Ⅰ）因为梯形ABCD 中，AD BC P ，AD AB ⊥, 所以BC AB ⊥. 因为PB ⊥平面ABCD ，所以PB AB PB BC ⊥⊥，, 如图，以B 为原点，
,,BC BA BP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系, …………….1分
所以(1,0,0),(3,3,0),(0,3,0),(0,0,3)C D A P .
设平面BPD 的一个法向量为(,,)n x y z =r ，平面APD 的一个法向量为(,,)m a b c =u r
,
因为(3,3,3),(0,0,3),PD BP =-=u u u r u u u r
所以00
PD n BP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r u u u r r ，即333030x y z z +-=⎧⎨=⎩，
取1x =得到(1,1,0)n =-r
,
同理可得(0,1,1)m =u r
, ……………….4分
所以1
cos ,2||||
n m n m n m ⋅<>==-r u r
r u r r u
r , N 因为二面角B PD A --为锐角， 所以二面角B PD A --为π
3
. ………………….6分
（Ⅱ）假设存在点M ，设(3,3,3)PM PD λλλλ==-u u u u r u u u r
，
所以(13,3,33)CM CP PM λλλλ=+=-+-u u u u r u u u r u u u u r
, ……10分 所以93(33)0PA CM λλ⋅=-+-=u u u r u u u u r ，解得1
2
λ=,
所以存在点M
，且122
PM PD ==
. ……….12分 19.（本小题满分12分）
解析：)1(平均时速h km 571.0752.0655.0552.045=⨯+⨯+⨯+⨯……………3分
).2(①超速在10%～20%的速度在h km 66～h km 72之间
速度在h km 60～h km 70之间的车辆数为402.0200=⨯辆
所以速度在h km 66～h km 70之间的车辆数为165
2
40=⨯
辆 又 速度在h km 70～h km 80之间的车辆数为201.0200=⨯辆 所以速度在h km 70～h km 72之间的车辆数为45
1
20=⨯
辆 故超速10%～20%的车辆约20416=+辆 …………………8分
②设任意一辆车的罚款数为X ，被抽测的200辆汽车中均没有超速50%以上，X 的分布列如下：
故2225
15010100)(=⨯+⨯
=X E 元 ………………10分
所以预计罚款总数约为44000222000=⨯元…………………12分
20.解：（1）由题意得，2,1a b ==，所以椭圆C 的方程为2
214
x y +=，
又c =
所以离心率c e a =
=．．．．．．．．．．．5分 （2）设()()0000,0,0P x y x y <<，则22
0044x y +=，
又()()2,0,0,1A B ，所以直线PA 的方程为()0
022
y y x x =
--， 令0x =，得0022M y y x =-
-，从而0
02112m y BM y x =-=+-， 直线PB 的方程为0011y y x x -=
+．令0y =，得001
N x
x y =--，从而0
0221
N x AN x y =-=+
-， 所以四边形ABNM 的面积：
()
22
0000000000000024448411212212222x y x y x y x y S AN BM y x x y x y ⎛
⎫⎛⎫++--+==++= ⎪⎪
----+⎝⎭⎝⎭g 000000002244
222
x y x y x y x y --+=
=--+ 从而四边形ABNM 的面积为定值．．．．．．．．．．．． 12分
21.（本小题满分12分）
解析：).1(令0)(=x f 得：022ln 2=-+x x x
显然1=x 是)(x f y =的一个零点，又x x
x x x 22
22ln 2-=-=
， 在),0(+∞上x y ln =为增函数，x x
y 22
-=为减函数，由图像可知)(x f y =有且只有一个零点1=x .
又x x x f 4ln 1)(/
++= ∴5)1(/
=f 故)(x f y =在零点处的切线方程为55-=x y
函数)(x g y =的图像与)(x f 的图像关于直线e x =对称，所以)(x g y =的零点为
12-=e x ，在此处的切线斜率为5-
所以，所求方程为)21(5e x y -+-= …………………5分
).2(x x x f x h --
=2817)()(x x x x x ---+=2281722ln x x x x --=281
ln =--
+=141ln 1)(/x x x h x x 4
1
ln - 所以⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
=-=-0
41ln 041ln 2211x x x x ，要比较2
21x x ⋅与3e 的大小，只需比较21ln 2ln x x +与3的大
小。

…………………6分
由⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=-=-041ln 041ln 221
1x x x x 得
41ln ln 2121=--x x x x 21ln 2ln x x +∴=)2(41
21x x +1ln )2(
)ln )(ln 2(2
121
2
12
12121-+=--+=x x x x
x x x x x x x x ……7分 设3
1
ln )2()(--+=
x x
x x u （其中()1,0,2
1
∈=
x x x x ） )2
3
3(ln 1231ln )2()(+---+=--+=
x x x x x x x x x u
因为
012<-+x x ，而由(]1,0233ln ∈+--=x x x x y 得(]1,00)
2()
4)(1()2(9122/
∈≥+--=+-=
x x x x x x x y
故(]1,02
3
3ln ∈+--
=x x x x y 为增函数，最大值为0。

所以在)1,0(上
02
3
3ln <+--
=x x x y 所以0)2
3
3(ln 1231ln )2()(>+---+=--+=x x x x x x x x x u
即
3
1ln )2(>-+x x
x
………………11分 综上所述>⋅2
21x x 3e …………………12分
（二）选考题：共10分。

请考生在22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22.（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
解：(1)曲线C 的极坐标方程为θ
ρ22sin 314+=，即04sin 3222=-+θρρ ∴曲线C 的平面直角坐标方程为14
22
=+y x 直线l 的平面直角坐标方程为y x 33+=，即033=--y x ……5分
(2)易知点P 在直线l 上，∴AB
PB PA =- 又直线l 过F 3(,0)，直线l 的参数方程可改为⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧'='+= 2233t y t x （t '为参数），代入1422=+y x 得013472=-'+'t t ，71221-='+'t t ，7
421-=''t t ∴7
164)(2122121=''-'+'='-'t t t t t t ∴AB PB PA =-71621
='-'=t t ……………………10分 23.（解：(1)由()2f x x ≤+有
2020201
111112112112x x x x x x x x x x x x x x x +≥+≥+≥⎧⎧⎧⎪⎪⎪≤--<<≥⎨⎨⎨⎪⎪⎪---≤+-++≤+-++≤+⎩⎩⎩
或或 ………3分
解得02x ≤≤， []0,2∴所求解集为 ……5分
（2）3121112111
21=-++≤--+=--+a a a a a
a a ………7分 当且仅当11120a a ⎛
⎫⎛⎫+-≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
时取等号. 由不等式121()a a f x a
+--≥ 对任意实数0a ≠恒成立，可得113x x -++≥ 解得3
3
22x x ≤-≥或 ………10分。