状态空间建模方法

为此，令LO=ψ(最高级要素集合为L1，没有零级要 素)，则有：
L1={Si|Si∈P-L0，C0(Si)= R0(Si)，i=1，2，…，n} L2={Si|Si∈P-L0-L1，C1(Si)= R1(Si)，i<n} Lk={Si|Si∈P-L0-L1-…-Lk-1，Ck-1(Si)= Rk-1(Si)，i<n}
P1-L0
√
L1 ={S5}
P1-L0-L1 P1-L0-L1-L2
3，4 6 3
√ √ √
L1 ={S4， S6} L1 ={S3}
对该区域进行级位划分的结果为： ∏(P1)=L1，L2 ，L3={S5}，{S4，S6}，{S3} 同理可得对P2={S1，S2， S7}进行级位划分的结果为： ∏(P)=L1，L2 ，L3 = {S1} ，{S2} ，{S7} 这时的可达矩阵为：
综合分析
ISM分析流程图
初步分析
初步分析可分三个步骤： 1. 设定问题、形成意识模型 2. 要素之间关系分析 3. 建立可达矩阵
1. 设定问题、形成意识模型
略
2. 要素之间关系分析
S 首先要充分了解系统的组成要素i （i=1，2，…，n） 。接下来，规
定任意两个要素Si 和 S j 之间的关系，即规定两项的关系S i RS j 。其中，
一、系统要素分析
我们可以把上述教学过程分解为：教师 活动、学生活动、学习任务、学习资源、 学生作品、评价指标、意义建构等 7个活 动要素。这些要素之间的存在着直接的 因果关系。如教师提出学习任务、提供 学习资源、建立作品评价指标等。我们 把每一个因素（S i ）分别与其他因素进 行比较，如果存在直接因果关系的，用 符号○表示在要素关系表中，如表 1所示。
为对给出的与上图所对应的可达矩阵进行区域划分， 可列出任一要素Si(简记作i，i=1，2，„，7)的可达集 R(Si) 、先行集A(Si) 、共同集C (Si)，并据此写出系统要 素集合的起始集B(S)，如表1所示：
表1 可达集、先行集、共同集和起始集例表
Si 1 2 3 4 5 6 7
R(Si) 1 1，2 3，4，5，6 4，5，6 5 4，5，6 1，2，7
5
L1 L2 L3 L1 L2 L3 5 4 3 1
4
0 1 1
3
0 0 1
1
2
7
0 0 1
M’(L)=
2
7
1 1 1
0
1 0 1 1 1 1
0
浓缩矩阵
7. 绘制多级递阶有向图
根据骨架矩阵A’，绘制出多级递阶有向图 D(A’)，即建立系统要素的递阶结构模型。 绘图一般分为如下三步：
A(Si) 1，2，7 2，7 3 3，4，6 3，4，5，6 3，4，6 7
C (Si) 1 2 3 4，6 5 4，6 7
B(S)
3
7
因为B (S ) = {S3，S7} ,且有R(S3)∩ R(S7) = {S3， S4， S5， S6} ∩{S1， S2， S7} =ψ，所以S3及S4， S5， S6， S7与 S1， S2分属两个相对独立的区 域，即有： ∏(S)=P1，P2 = {S3， S4， S5， S6} ∩{S1， S2， S7} 。 这时的可达矩阵M变为如下的块对角矩阵：
有向图示例
2 5
1
3
4
如某系统由七个要素(S1，S2，„，S7)组成。 经过两两判断认为：S2影响S1、S3影响S4、S4 影响S5、S7影响S2、S4和S6相互影响。这样， 该系统的基本结构可用要素集合S和二元关系 集合Rb来表达，其中： S = {S1，S2，S3，S4，S5，S6，S7}
7 5 6
3
3 4
4
5
6
1
2
7
P1 M(P)=
5
6 1
P2
2 7
1 0 0 0
1 1 0 1
O
1 1 1 1
1 1 0 1 1 1 1 0 1 1
O
0 0 1
5. 级位划分
区域内的级位划分，即确定某区域内各要素所处层次地位 的过程。这是建立多级递阶结构模型的关键工作。 设P是由区域划分得到的某区域要素集合，若用L1，L2，„， Ll表示从高到低的各级要素集合(其中l为最大级位数)，则 级位划分的结果可写出： ∏(P)=L1，L2 ，„，Ll 。 某系统要素集合的最高级要素即该系统的终止集要素。级 位划分的基本做法是：找出整个系统要素集合的最高级要 素(终止集要素)后，可将它们去掉，再求剩余要素集合(形 成部分图)的最高级要素，依次类推，直到确定出最低一级 要素集合(即Ll)。
系统结构表达及分析方法
理解系统结构的概念(构成系统诸要素间的关 联方式或关系)及其有向图(节点与有向弧)和矩阵 (可达矩阵等)这两种常用的表达方式。
系统结构模型化方法
比较有代表性的系统结构分析方法有：关 联树(如问题树、目标树、决策树)法、解释结 构模型化(ISM)方法、系统动力学(SD)结构模 型化方法等。 本部分要求大家主要学习和掌握ISM方法。
①
系统要素Si的可达集R(Si) 、先行集A(Si) 、共同 集C (Si)之间的关系如图所示：
R(Si) A(Si) C (Si)
Si
可达集、先行集、共同集关系示意图
底层元素
④
起始集B(S)和终止集E(S)。系统要素集合S的起始集是在 S中只影响(到达)其他要素而不受其他要素影响(不被其他 要素到达)的要素所构成的集合，记为B(S)。 B(S)中的要 素在有向图中只有箭线流出，而无箭线流入，是系统的 输入要素。其定义式为： B(S)= { Si | Si ∈S， C(Si)= A(Si) ， i= 1，2，„， n } E(S)= { Si | Si ∈S， C(Si)= R(Si) ， i= 1，2，„， n } 这样，要区分系统要素集合S是否可分割，只要研究 系统起始集B(S)中的要素及其可达集(或系统终止集E(Si) 中的要素及其先行集要素 )能否分割(是否相对独立)就行 了。
利用起始集B(S)判断区域能否划分的规则如下： 在B(S)中任取两个要素bu、bv： ① 如果R(bu)∩ R(bv)≠ψ(ψ为空集)，则bu、bv及R(bu)、 R(bv)中的要素属同一区域。若对所有u和v均有此结 果(均不为空集)，则区域不可分。 ② 如果R(bu)∩ R(bv)=ψ，则bu、bv及R(bu)、 R(bv)中的 要素不属同一区域，系统要素集合S至少可被划分为 两个相对独立的区域。
第四章 解释结构建模(ISM)
中国矿业大学管理学院
主要内容
系统结构模型化
一般流程
结构→结构模型→结构模型化→结构分析
系统结构模型的概念
结构模型是图形模型中的一种，主要用来刻画 大规模复杂系统结构特征。它基本上还属于定 性模型范畴。 结构模型是描述系统各单元间的相互关系，即 系统元素结构的模型。从性质上看，结构模型 是一个客观模型，是静态定性结构。从作用上 看，它以层次结构的形式表明要素间关系，包 括直接关系、间接关系、隶属关系、相对地位 等。结构模型是进一步定量分析的基础。
4
3
1
2
3. 建立可达矩阵
首先要根据关系图写出关系矩阵； 其次要根据关系矩阵计算出可达矩阵。
（1）写出关系矩阵
关系图：系统元素(要素)的二元关系
1
3
1 A 0 1 0
0 1 0 0
1 1 0 1
1 0 1 0
4
2
1，有i j的枝 aij 0，无i j的枝
规范分析
规范分析可分四个步骤：
4. 5. 6. 7.
区域划分 级位划分 骨架矩阵提取 多级递阶有向图
4. 区域划分
区域划分即将系统的构成要素集合S， 分割成关于给定二元关系R的相互独立的区 域的过程。 首先以可达矩阵M为基础，划分与要素 Si(i = 1，2，„，n)相关联的系统要素的类 型，并找出在整个系统(所有要素集合S)中 有明显特征的要素。 有关要素集合的定义如下：
S i RS j
代表“要素Si 对
Sj
存在关系 R” 。关系 R 可以是“给予影响” “先
决条件” “重要”等。
有向图
能够表达要素之间关系的图。 由点(又称节点或顶点)与连续点的枝组 成的图形叫有向图。枝有方向性，用带 箭头的线段或弧段表示。节点表示系统 元素，枝表示元素间的因果关系或层次 关系。
5
L1 L2
5 4 6 3 1 2 7
4
0 1 1 1
6
0 1 1 1
3
0 0 0 1
1
2
7
0 0 1
M(L)=
L3 L1 L2 L3
1 1 1 1
0
1 0 1 1
0
1 1
6. 提取骨架矩阵
提取骨架矩阵，是通过对可达矩阵M(L)的缩约和检出，建立起M(L)的最小实 现矩阵，即骨架矩阵A’。这里的骨架矩阵，也即为M的最小实现多级递阶结构 矩阵。对经过区域和级位划分后的可达矩阵M(L)的缩检共分三步，即：检查 各层次中的强连接要素，建立可达矩阵M(L)的缩减矩阵M’(L) 如对原例M(L)中的强连接要素集合{S4，S6}作缩减处理(把S4作为代表要素，去 掉S6)后的新的矩阵为：
可达集R(Si)。系统要素Si的可达集是在可达矩阵或有向 图中由Si可到达的诸要素所构成的集合，记为R(Si)。其 定义式为： R(Si)= { Sj | Sj∈S，mij = 1，j = 1，2，„，n } i = 1， 2，„，n ② 先行集A(Si)。系统要素Si的先行集是在可达矩阵或有向 图中可到达Si的诸要素所构成的集合，记为A(Si)。其定 义式为： A(Si)= { Sj | Sj∈S，mji = 1，j = 1，2，„，n } i = 1， 2，„，n ③ 共同集C (Si)。系统要素Si 的共同集是Si在可达集和先行 集的共同部分，即交集，记为C (Si) 。其定义式为： C(Si)= { Sj | Sj∈S，mij = 1， mji = 1， j = 1，2，„，n } i = 1，2，„，n
布尔运算
（2）Baidu Nhomakorabea算出可达矩阵
M ( A I ) n1 ( A I ) n ... ( A I ) 2 A I
幂运算是基于布尔代数运算(0，1的逻辑和、逻辑积)进 行的。即1＋1＝1，1＋0＝0+1=1，1×1＝1，1×0＝ 0×1＝0。 矩阵M称为可达矩阵。
可达矩阵说明
剔出 强连接 区域 级位 超级 要素 划分 划分 关系 缩减 (块三角) (区域 (区域 块三角) 下三角) 去掉 自身 关系
绘图
结束
解释结构模型法应用举例
下面以任务驱动式教学过程模式为例， 说明如何利用 ISM 方法对系统进行系统 结构分析。
一、系统要素分析
任务驱动式教学过程是指教师根据教学 目标和学生实际向学生提出学习任务， 同时提供完成任务所需要的学习资源和 相关材料，要求学生利用资源完成一个 作品，教师还提供对作品的评价指标体 系并对学生作品作出评价，要求学生在 完成作品和理解教师对作品的评价意见 之后，形成有意义的知识，即完成意义 的建构。
式中的Ck-1(Si)和Rk-1(Si)是由集合P-L0-L1„-Lk-1中的要素形成的子矩阵(部分图)求得的共 同集和可达集。 经过级位划分后的可达矩阵变为区域块三角 矩阵，记为M(L)。
如对例中P1={S3，S4，S5，S6}进行级位划分的过 程示于
级位划分过程表 要素集合 Si 3 4 5 6 R(S) 3，4，5，6 4，5，6 5 4，5，6 3，4，6 4，6 4，6 3 A(S) 3 3，4，6 3，4，5，6 3，4，6 3 3，4，6 3，4，6 3 C(S) 3 4，6 5 4，6 3 4，6 4，6 3 C(S) = R(S) ∏(P1)
结构模型示例
失业指数层次结构图
ISM分析过程
设定 问题 、形 成意 识模 型 找出 影响 要素 要素 关系 分析( 关系 图) 建立可 达矩阵 (M)和缩 减矩阵 (M/) 矩阵 层次 化处 理 (ML/) 绘制 多级 递阶 有向 图 建立 解释 结构 模型 分析 报告
比较/ F 学习
初步分析
规范分析
1. 分区域从上到下逐级排列系统构成要素。 2. 同级加入被删除的与某要素(如原例中的S4)有
强连接关系的要素(如S6)，及表征它们相互关 系的有向弧。 3. 按A’所示的邻接二元关系，用级间有向弧连接 成有向图D(A’)。
原例的递阶结构模型：
S1 S5
第1级
S2
S4
S6
第2级
第3级
S7
S3
以可达矩阵M为基础，以矩阵变换为主 线的递阶结构模型的建立过程： M → M(P )→ M(L)→ M’(L) → M’’(L) → A’→ D(A’) 即：