6.非齐次泊松过程与更新过程

上式两边同减P0 (t )，再同除h得到 P0 (t h) P0 (t ) o( h) P0 (t ) P0 (t )，当h 0时得 h h P0(t )＝ P0 (t ) (). 当n 1时： Pn (t h) PN (t h) n
命题2.3.4 : 强度为的Poisson过程 N (t ), t 0的到达 时间间隔 X1 , X 2 , 是相互独立的随机变量列，并 1
X n，n 1称 为 到 达 时 间 间 隔 序 .列
具有相同的均值为 的指数分布.

x0 0, n 分布密度函数：f ( x) n 1 x x e ,x 0 n x0 0, n 1时为负指数分布：f ( x) x e , x 0 函数：( s ) e x x s 1dx ( s 0)
Pn (t ) z z Pn 1 (t ) z n 1
n n 0 n 0


Pn (t ) z n z Pn (t ) z n ( P1 (t ) 0)
n 0 n 0


( z 1) Pn (t ) z n

N( t )
i 1
Yi
称{ X n ,n 0 }为复合Poisson过程. 其矩母函数为 t exp{t( Y1 ( u ) 1 )}; 均值函数 : EX ( t ) t' ( 0 ) tEY1 ; 方差函数 : VarX ( t ) t" ( 0 ) ( t' ( 0 ))2 tEY12 .
条件Poisson过程 随机变量Y的分布函数为G( y ),若在Y 的条件 下,{ N ( t ),t 0 }是强度为的Poisson过程 ,称此 过程为条件Poisson过程.有 :
n ( t ) P{ N ( t s ) N ( t ) n } e t dG( ). 0 n! 显然条件Poisson 过程不再是Poisson 过程.
m(t s ) m( s ) exp [[m(t s ) m( s )]
n! n 1,2,
n
复合Poisson过程 设Y1 ,Y2 ,为一列独立同分布的随机变量, { N ( t ),t 0 }为强度为的Poisson过程 ,且与 { Yn ,n 0 }独立 ,令 : X(t )
k ( t ) e t k! 此即为定义2.3.1中的(iii)式．
故由定义2.3.2可以推出定义2.3.1.
到达时间间隔与等待时间的分布
N ( t )表 示0，t 时 间 间 隔 内 到 达 的 顾 数 客. X 1表 示 第 一 个 顾 客 到 达 时 的 间. X n表 示 第 n 1个 顾 客 与 第 n个 顾 客 到 达 时 间 间 隔 .
t
k! t hn , k 1
hn e hn .
t
k
k! t t h1 h2 hn , k 0
e t h1 h2 hn
非齐次Poisson过程
定义2.3.10 : 计数过程N (t ), t 0称为具有强度 函数 (t ), t 0.非平稳或平稳齐次非齐 次Poisson 过程，如果 (i ) N (0) 0; (ii)具有独立增量； (iii) P( N (t h) N (t ) 2) o(h); (iv) P( N (t h) N (t ) 1) (t )h o(h). (1)P( N (t s ) N (t ) k ) P( N ( s ) k ) (2)齐次的少见，非齐次多 见，但非齐次的不易计 算.
k! t h1 , k 1
k
h1e h1 , h2 e h2 ,
在t 2 , t 2 h2 来1人：e 在t n , t n hn 来1人：e
t
t
k! t h2 , k 1
t
t
k
其余时间共t h1 h2 hn ，一个人未来： e
1 2 n k

i ,, i
i1 ,,ink 1


1， 2， , n 进行.
Y1 ,
, Yn独立同分布，密度函数均为f ( y ).因为独立，
, yn ) n ! f ( yi ), y1 i 1 n yn .
所以联合密度为边缘密度之积，因此， f ( y1 ,
0
( s 1) s( s), ( n 1) n !, ( n) ( n 1)!
命题2.3.5 : 等待时间Sn服从参数为n, 的分布.
3、等待时间分布 Sn X1 X 2 X n , n 1 t t n 1 ,t 0 e f (t ) n 1! 0, t0 八、顺序统计量分布 设Y1 , , Yn是n个随机变量，若 Y1 , , Yn 的值依 大小顺序排列为 y y y .定义Y (k ) y , k 1, , n. 这样得到的Y1 , , Yn 称为Y1 , , Yn的顺序统计量 .显然， Yn max min Yi1 , , Yink 1 , 其中取最大是对一切
命题2.3.11: 非齐次Poisson过程类似齐次 P ( N (t s ) N ( s ) n) e 令m(t ) ( s )ds,
0 t t
t
k!
k
,
当 ( s ) 时，m(t ) t , 于是有： P ( N (t s ) N ( h) 0 PN (t ) n 1, N (h) 1 ＋ PN (t ) n k , N (h) k PN (t ) n PN (h) 0 PN (t ) n 1 PN (h) 1 ＋ PN (t ) n k PN (h) k Pn (t ) 1 h o(h) Pn 1 (t ) h o(h) o( h) Pn (t ) h Pn (t ) h Pn 1 (t ) o(h)
证明定义2.3.2 定义2.3.1. 证明：即要用定义2.3.2中的(i ), (ii ), (iii )和(iv) 推出定义2.3.1中的(iii )． 记Pn (t ) P{N (t ) n}, 设h 0且充分小． 当n 0时： P0 (t h) P{N (t h) 0} P{N (t ) 0, N (t h) N (t ) 0} P{N (t ) 0} P{N (t h) N (t ) 0} (独立增量性） P{N (t ) 0} P{N (h) N (0) 0} P{N (t ) 0} P{N (h) 0} P0 (t ) [1 λh o(h)] P0 (t ) h P0 (t ) o(h) P0 (t ) (平稳增量性) ( N (0) 0) (由(iii )和(iv))
t

再由Pg ( z , t ) Pn (t ) z n，比较z n 前的系数得
n 0

Pn (t ) PN (t ) n e t
( t ) n , (n 0,1,2, ). n!
所以，对s, t 0, PN (t s ) N ( s ) k PN (t ) N (0) k PN (t ) k
n 0
再记
Pg ( z, t ) t
Pg ( z , t ) Pn (t ) z n
n 0


将( )中的每个式子两边分别 同乘z n (n 0,1,2, ), 然后相加得
n n n P ( t ) z P ( t ) z P ( t ) z n n n1 n 0 n 0 n 0


对Y为离散型, 应有 : P{ N ( t s ) N ( t ) n }

t e i i 0
( i t )n p( i ). n!
P( AB) 利用条件概率公式： P( A | B) 得: P( B) N (t ) n的条件下: P{Y x | N (t ) n}(连续) (t ) t ( t ) e dG( ) / e dG( ). 0 0 n! n! P{Y x | N (t ) n}(离散)
t
(ii)具有独立增量;
t
k!
k
, k 0,1,
定义2.3.2 : 计数过程 N (t ), t 0 称为Poisson过程，如果满足： (i) N ( ０ ) 0; (ii)具有平稳增量与独立增量； (iii) P N ( h) 1 h o( h), 0; (充分小时间间隔中事件出现一次的概率 与时间间隔长度成正比) (iv) P N ( h) 2 o( h). (短时间内不会出现两次及两次以上)
k 2 n k 2

Pn (t h) Pn (t ) o( h) Pn (t ) Pn 1 (t ) h h h 0时，得Pn (t ) Pn (t ) Pn 1 (t )， (n 1,2,)
若令P1 (t ) 0，则可将上式与 ()式合并写为 Pn (t ) Pn (t ) Pn 1 (t )， (n 0,1,2,). ( ) 下面用母函数法求解 Pn (t )，设过程N (t )的母函数为Pg ( z , t ) Pn (t ) z n .
n 0

即有Pg ( z , t ) ( z 1) Pg ( z , t ) 解此常微分方程（变量 可分离型）得 Pg ( z , t ) e ( z 1) t e t e tz 1 2 2 2 1 n n n e 1 tz t z t z 2! n! n ( t ) e t zn n! n 0
九、命题2.3.6 : 在N (t ) n的条件下，n个顾客到达的 时间S1 , , Sn 的联合密度等于n个独立的 0, t 均匀分布 随机变量的顺序统计 量的分布密度.
0
t1
t1+ h1
t2
t2+ h2
t tn+1
k t 在t1 , t1 h1 来1人：e t
应用随机过程
Applied stochastic processes
第二章 随机过程的基本概念
Poisson过程
定义2.3.1: 计数过程 N (t ), t 0 称为Poisson过程， 如果满足： (i) N (0) 0; (iii)对s, t 0, P( N (t s) N ( s) k ) e