正比例函数的定义
19.2 正比例函数(原卷版)
【变式5-3】（2022秋•句容市期末）在正比例函数y＝（m﹣2）x中，y的值随着x值的增大而减小，则m的取值范围是．
【变式5-4】（2022春•曲阜市期末）已知正比例函数y＝（3m﹣1）x|m|（m为常数），若y随x的增大而减小，则m＝．
【变式2-7】已知正比例函数y x，下列结论：①y随x的增大而增大；②y随x的减小而减小；③当x＞0时，y＞0；④当x＞1时，y＞1．其中，正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式2-8】（2022秋•渠县校级期中）三个正比例函数的表达式分别为①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx，其在平面直角坐标系中的图象如图所示，则a，b，c的大小关系为（ ）
C．y随x的增大而减小
D．它的图象经过第二、四象限
【变式2-2】（2022秋•太原期中）下列正比例函数中，y随x的增大而增大的是（ ）
A．y＝2xB．y＝﹣2xC．y xD．y＝﹣8x
【变式2-3】（2021•湘西州模拟）下列图象中，表示正比例函数图象的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-4】在下列各图象中，表示函数y＝﹣kx（k＜0）的图象的是（ ）
A．第一、二象限B．第一、三象限
C．第一、四象限D．第二、四象限
解题技巧提炼
本题考查的是正比例函数的图象与系数的关系，根据正比例函数的性质判断k的范围是解题的关键．
【变式2-1】（2022春•古冶区期末）下列关于正比例函数y＝3x的说法中，正确的是（ ）
A．当x＝3时，y＝1
B．它的图象是一条过原点的直线
是（ ）
物理中的正比例反比例函数关系
物理中的正比例反比例函数关系正比例函数和反比例函数是物理学中非常重要的概念，被广泛应用于各种物理学问题中。
正比例函数指的是两个变量之间存在着线性关系，而反比例函数则指的是两个变量之间存在着倒数的关系。
在物理学中，这些函数关系经常出现在各种实验测试和数据记录中，因此了解和理解这些函数关系是非常重要的。
一、正比例函数的定义正比例函数是指，存在两个变量之间的线性关系，即当一个变量的值增加时，另一个变量也随之增加，且两个变量在图表上形成一条直线。
具体地说，一个变量的值随着另一个变量的值增加而增加，且增加的幅度与另一个变量的值成比例。
当我们测量一个运动物体的速度时，如果我们将时间和速度作为两个变量绘制成图表，我们会发现，当时间增加时，速度也随之增加，并形成一条经过原点的直线。
这种关系就是正比例函数关系，表达式为：v = k*t，其中v表示速度，t表示时间，k是速度和时间的比例系数。
三、正比例函数和反比例函数的应用正比例函数和反比例函数在物理学中有广泛的应用，下面分别介绍一些常见的应用：（1）正比例函数的应用在机械学中，正比例函数关系最广泛地应用于速度和加速度之间的关系。
当一个物体的速度越快，它的加速度也会越大，它受到的阻力也会越大。
而这种关系可以用正比例函数来表示，表达式为：a = k*v，其中a表示加速度，v表示速度，k是加速度和速度的比例系数。
在空气中飞行的飞机所受到的空气阻力就是一个正比例函数关系。
电阻与电流的关系也可以用正比例函数来表示。
当电路中的电流增加时，电阻也会随之增加，这是因为电流的增加会导致电路中的热量增加，而热量又会引起电阻的增加。
这种关系可以用欧姆定律来表示，即R = V/I，其中R表示电阻，V表示电压，I表示电流。
压力和体积之间的关系也可以用反比例函数来表示。
根据波义尔定理，当温度不变时，气体的体积和压力呈反比例关系，即P1V1 = P2V2，其中P1和V1表示气体压力和体积的初始值，P2和V2表示气体压力和体积的末值。
§11.2.1 正比例函数(2)
3、将长为30cm,宽为10cm的长方形白纸,按 下图的方法黏合起来,黏合部分宽为3cm, (1)求5张白纸黏合后的长度. (2)设x张白纸黏合后的总长度为ycm,写出y 与x之间的函数关系.
11、 如图(1)，直线a、b、c的解析式分别为y1=k1x， y2=k2x，y3=k3x，则k1、k2、k3的大小关系是（ A ） (A)k1＜k2＜k3 (B)k1＞k2＞k3 (C)k2＞k1＞k3 (D)k3＞k1＞k2 c y B y b k3 c b a
k2 k1 1
a
x
0 k1 k2 k3
4050
Y（元）
居室 客厅
2750
O
20 25
X（m2）
（3）已知在小亮的预算中，铺设1平米的瓷砖比铺设 1平米的木地板的工钱多5元，购买1平米的瓷砖是购 买1平米的木地板费用的3/4，则铺设每平米木质地板、 瓷砖的工钱各是多少元？购买每平方米木质地板、瓷 砖的工钱各是多少元？（预算中铺设居室的费用 为 135元/平方米，铺设客厅的费用为110元/平方米）
y=-4x y=kx
若经过原点与(1,k) 的直线是哪个函数的图象?
8、已知 y-1与x+1成正比例，当x= -2时， y= -1；则当x=-1时，y= ?
解: 设 y-1= k(x+1),
把 x= -2,y = -1代入得: -1-1= k(-2+1) 解得 k=2 ∴ 当 x= -1 时, y =2(-1) +3 =1
1、正比例函数y = kx 的图象经过第 二、四象限，则( B ) A. y随x的增大而增大。 B. y随x的增大而减小。 C. 当x<0时，y随x的增大而增大； 当x>0时，y随x的增大而减小。 D. 不论x如何变化，y不变。
正比例函数基本概念
正比例函数是一种基本的一次函数，其定义和基本概念如下：
1. 定义：
正比例函数是形如y = kx 的数学函数，其中k 是一个非零常数（即k ≠ 0），x 是自变量，y 是因变量。
当自变量x 变化时，因变量y 会按照与x 成固定比例的方式变化。
2. 特性：
- 函数图像：正比例函数的图像是经过原点（0,0）的一条直线，斜率为k。
- 方向与斜率：当k > 0 时，图像从左下方向右上方倾斜，表示随着x 增大，y 也相应增大；当k < 0 时，图像从左上方向右下方倾斜，表示随着x 增大，y 反而减小。
- 比例系数：k 称为比例系数或斜率，它反映了y 随着x 改变的增长速度或者减少速度。
3. 一次函数与正比例函数的关系：
所有一次函数都可以写成y = mx + b 的形式，其中m 是斜率，b 是截距。
如果b = 0，那么该一次函
数就简化为正比例函数的形式，即只含有斜率项没有截距项。
4. 性质：
- 在同一坐标系中，不同的正比例函数，它们的形状都是直线，但斜率不同，因此图像的位置和倾斜程度各不相同。
- 正比例函数具有线性增长或减少的特点，不涉及任何转折点或拐点。
- 当x 的值发生变化时，y 的变化与其成正比，具体比例关系由k 确定。
综上所述，正比例函数是最简单的一类函数之一，它直观地表达了两个变量之间按一定比例相互关联的关系。
19.2 正比例函数(原卷版)
C． D．
【变式2-5】在直角坐标系中，y随x的增大而减小的正比例函数y＝kx的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-6】（2022秋•丰顺县校级期末）在y＝k1x中，y随x的增大而减小，k1k2＜0，则在同一平面直角坐标系中，y＝k1x和y＝k2x的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
八年级下册数学《第十九章一次函数》
19.2正比例函数
◆正比例函数的概念：一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．
◆正比例函数反应的是两个变量之间的关系，是正比例关系.
【注意】判断一个函数是正比例函数：（1）所给等式是形如y＝kx的等式，自变量的指数只能是1.
A．a＞b＞cB．c＞b＞aC．b＞a＞cD．b＞c＞a
【变式2-9】已知正比例函数y＝（m﹣1） 的图象在第二、四象限，求m的值．
【例题3】画出正比例函数y＝2x的图象．
解题技巧提炼
正比例函数的图象是一条经过原点的直线，因此可以用“两点法”画正比例函数的图象，所以经过原点与点（1，k）的直线是y＝kx（k是常数，k≠0）的图象．
A．y＝xB．y＝x+1C．y＝x2D．y
【变式1-2】（2022春•长安区校级期中）已知函数：①y＝2x﹣1；②y ；③y ；④y＝2x2，其中属于正比例函数的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式1-3】（2022秋•无为市月考）若y关于x的函数y＝（a﹣4）x+b是正比例函数，则a，b应满足的条件是（ ）
A．第一、二象限B．第一、三象限
C．第一、四象限D．第二、四象限
解题技巧提炼
本题考查的是正比例函数的图象与系数的关系，根据正比例函数的性质判断k的范围是解题的关键．
正比例函数
太奇教育深圳分校沙井校区
• 例6、已知y＋5与3x＋4成正比例，当x=1时， y=2，求y与x之间的函数关系式．
太奇教育深圳分校沙井校区
• 例7、点燃蜡烛，蜡烛燃烧的长度与燃烧时 间成正比，长为21cm的蜡烛，已知点燃6 分钟后，蜡烛变短了3.6cm．设蜡烛点燃x 分钟后变短了ycm．求： （1）y与x的函数关系式； （2）此蜡烛几分钟燃烧完；．
正比例函数
太奇教育深圳分校沙井校区
• 一、正比例函数定义
•
• 一般的，我们把形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数． 注意：正比例函数y=kx形式特征：①k≠0；②x的次数是1．
• 二、正比例函数图象和性质
图像是过原点的一条直线. ①当k>0时，图像经过第一、三象限，从左向右上升，即随着x的增大，y也 增大． ②当k<0时，图像经过第二、四象限，从左向右下降，即随着x的增大，y反 而减小．
太奇教育深圳分校沙井校区
• 三、用待定系数法求正比例函数解析式
• 1、设出含有待定系数的函数解析式y=kx(k≠0)． • 2、利用条件得到关于待定系数的方程．
• 3、解方程，求出待定系数．
• 4、将求得的待定系数的值代回解析式．
太奇教育深圳分校沙井校区
• 例1、若正比例函数y=（2m－1）x（m为常 数），y随x的增大而减小，则m的取值范围 为？
太奇教育深圳分校沙井校区
• 例4、已知正比例函数y=kx（k是常数， k≠0），且当－3≤x≤1时，对应的y值的取值 范围为，求k的值．
太奇教育深圳分校沙ห้องสมุดไป่ตู้校区
• 例5、函数y=－4x中自变量的取值范围是－ 3≤x≤3，则y=－4x的图象是一条 __________，此函数值的最大值是 __________，最小值是_________．
正比例函数的定义
02
正比例函数的应用
物理应用
自由落体运动
在自由落体运动中，物体的速度 与时间成正比，即速度v=gt，其
中g是重力加速度。
弹簧伸长
在弹性限度内，弹簧的伸长量与作 用在其上的力成正比，即x=F/k， 其中F是力，k是弹簧的劲度系数。
电流与电压
在纯电阻电路中，电流与电压成正 比，即I=U/R，其中U是电压，R是 电阻。
数学应用
线性回归分析
函数单调性
在回归分析中，当自变量和因变量之 间存在线性关系时，可以使用正比例 函数进行拟合。
正比例函数在其定义域内是单调递增 或递减的，取决于其系数k的正负。
斜率计算
在平面坐标系中，直线的斜率等于其 上两点间纵坐标差与横坐标差之商， 即m=(y2-y1)/(x2-x1)，当x2=x1时， 斜率不存在。
04
正比例函数与其他函数的区别与 联系
与一次函数的区别与联系
一次函数的一般形式为 $y = ax + b$，其中 $a neq 0$，而正比例函数 是特殊的一次函数，形式为 $y = kx$，其中 $k neq 0$。正比例函数可 以看作是一次函数中 $b = 0$ 的特殊情况。
正比例函数和一次函数的图像都是直线，但正比例函数的图像过原点， 而一次函数的图像不过原点。
类比学习
通过与其他函数进行类比，找出正比例函数的特殊性质和一般规律。
解题技巧
掌握解题技巧，如代数运算、函数代换等，提高解题效率。
学习建议
1 2
注重基础
在学习正比例函数时，应注重基础知识的学习， 不要急于求成。
多做练习
通过大量的练习，加深对正比例函数的理解和掌 握。
3
及时复习
正比例函数的总结
正比例函数的总结正比例函数是数学中的一个重要概念，也是高中数学必学的内容之一。
在学习正比例函数时，我们需要掌握其定义、性质以及在实际生活中的应用。
本文将对正比例函数进行总结，希望能帮助读者更好地理解和应用正比例函数。
1. 正比例函数的定义正比例函数是指函数的函数图像是一条通过原点的直线。
具体地，设变量x和y之间存在着一种关系，若y与x成正比，即存在一个常数k（k≠0），使得y=kx，则称y是x的正比例函数。
正比例函数的数学表达式可以写为：y = kx，其中k为常数。
2. 正比例函数的性质正比例函数具有以下几个性质：•函数图像通过原点：正比例函数的特点是通过原点，即函数的纵截距为0。
•函数图像是直线：由于正比例函数通过原点，所以其函数图像是一条直线。
•斜率相等：对于不同的x值，函数的斜率保持不变。
•函数值的比例相等：对于正比例函数中的任意两个不等于0的x值，其对应的y值之间的比例保持不变。
3. 正比例函数的应用正比例函数在实际生活中有广泛的应用，以下是几个常见的例子：•速度与时间：当物体匀速运动时，速度与时间之间的关系满足正比例函数。
例如，在一辆以恒定速度行驶的汽车中，车速与行驶所花费的时间成正比。
•周长与半径：在一个圆中，周长与半径之间的关系是正比例函数。
根据圆的定义，周长等于半径乘以2π，因此当半径增加时，周长也会相应增加。
•距离与时间：当以恒定速度行驶的车辆中，行驶的距离与行驶所花费的时间成正比。
这可以用来计算两个地点之间的距离，以及行驶一段路程所需要的时间。
除了上述例子外，正比例函数还可以应用于许多其他领域，例如物理学、经济学等。
4. 总结正比例函数作为数学中的一个重要概念，在高中数学中被广泛学习和应用。
通过学习正比例函数，我们可以了解到正比例函数的定义与性质，并结合实际生活中的应用进行讨论。
正比例函数的定义非常简单，即y=kx，其中k为常数。
其函数图像是一条通过原点的直线，具有线性的特点。
正比例函数变量之间的关系
正比例函数变量之间的关系我们来了解一下正比例函数的定义。
正比例函数可以写成y=kx的形式，其中k是常数，称为比例系数。
这个函数表示y随着x的增加或减少而成比例地增加或减少。
当x增加1个单位时，y也增加k个单位。
如果k为正数，则y随着x的增加而增加；如果k为负数，则y随着x的增加而减少。
正比例函数的特点是直线图像经过原点，并且斜率为常数k。
当k 大于0时，直线向右上方倾斜；当k小于0时，直线向右下方倾斜。
斜率的绝对值越大，直线的倾斜程度越大，代表了变量之间的增长速度。
正比例函数在现实生活中有着广泛的应用。
举个例子，我们来看看购买水果的情况。
假设每个苹果的价格是1元，那么购买n个苹果的总价格y就是y=n*1。
这个函数描述了购买苹果数量和总价格之间的关系，可以看出随着购买数量的增加，总价格也相应增加。
类似地，正比例函数也可以用来描述其他商品的价格和数量之间的关系。
比如购买书籍、电子设备等，当我们购买的数量增加时，总价格也会相应增加。
这种关系在商业中很常见，可以帮助商家和消费者更好地理解市场需求和价格变化。
除了商业领域，正比例函数在科学研究中也有着重要的应用。
例如在物理学中，正比例函数可以描述力和位移之间的关系。
根据胡克定律，弹簧的伸长量与施加的力成正比。
这个关系可以用正比例函数表示为y=kx，其中y是伸长量，x是施加的力，k是弹簧的弹性系数。
通过实验测量伸长量和施加的力，我们可以确定弹簧的弹性系数，进而研究弹簧的性质和应用。
除了物理学，正比例函数还在经济学、生物学、工程学等领域中广泛应用。
在经济学中，正比例函数可以描述供求关系、价格和产量之间的关系等。
在生物学中，正比例函数可以描述生物体的生长和发育过程。
在工程学中，正比例函数可以描述电阻和电流之间的关系，帮助工程师设计电路和设备。
总结一下，正比例函数是一种常见的数学函数形式，用来描述两个变量之间的关系。
它的特点是直线图像经过原点，并且斜率为常数。
正比例函数在商业、科学和生活中都有广泛的应用，帮助我们理解和解释现象，做出决策和预测。
正比例函数(第一课时)课件
直线运动问题
路程、速度和时间的关系
当物体做匀速直线运动时，路程与时间成正比例关系，即s=vt，其中s表示路 程，v表示速度，t表示时间。
相遇和追及问题
当两个物体在同一直线上运动时，它们之间的相对速度等于两物体速度之和或 之差。因此，相遇问题和追及问题可以通过正比例函数来求解。
题目：一辆汽车以60千米/小时的速度匀速行驶，行驶 路程s（千米）与行驶时间t（小时）之间的关系式为s = 60t，求当t = 2时，汽车行驶的路程s。 解答过程
2. 将v = 60和t = 2代入上式，得到s = 60 × 2 = 120 。
分析：本题主要考察正比例函数在实际问题中的应用。 根据题意，速度v = 60千米/小时，时间t = 2小时，我 们需要求出路程s。 1. 根据正比例函数的定义，我们有s = vt。
比例系数 k 决定了直线的斜率，即 k = tanα (α 为直线与 x 轴正方向的夹角)。
函数图像是一条经过原点的直线。
性质：正比例函数具有以下性质
当 x > 0 时，y 与 x 同号；当 x < 0 时 ，y 与 x 异号。
图像特征
图像形状
01
正比例函数的图像是一条直线。
图像位置
02
该直线经过坐标原点 (0,0)。
结合实际问题进行求解
01
仔细阅读题目，理解题 意，将实际问题抽象成 数学模型。
02
根据题意列出方程或方 程组，注意方程两边的 量要对应。
03
解方程或方程组，求出 未知数的值，并对结果 进行验证和取舍。
04
将求得的未知数的值代 回原方程进行检验，确 保答案的正确性。
06
典型例题分析与解答过程展示
正比例函数的概念
正比例函数的概念
正比例函数是一种特殊的函数，它的定义形式为 y = kx，其中 k 是常数，称为比例系数。
在这种函数中，当 x 增加时，y 也会按照同样的
比例增加。
因此，这种函数被称为正比例函数。
正比例函数在数学中有着广泛的应用。
例如，在物理学中，速度和时
间之间的关系就可以用正比例函数来表示。
如果我们假设一个物体沿
着直线运动，并且它的速度是恒定不变的，则它所运动的距离与时间
之间就存在着一个正比例关系。
另外，在经济学中，收入和消费之间也可以用正比例函数来表示。
假
设一个人每月的收入是固定不变的，则他所能够消费的金额也会随着
收入而按照同样的比例增加。
需要注意的是，在正比例函数中，当 x = 0 时，y 的值也必须等于 0 。
这是因为如果 x = 0 而 y 不等于 0 ，则这个函数就不能被称为正比例
函数了。
此外，在实际应用中，我们还需要注意到一些特殊情况。
例如，在某
些情况下，当 x 增加到一定程度时，y 的增长可能会出现饱和现象。
这时，我们就需要重新考虑这个函数是否还能够被称为正比例函数。
总之，正比例函数是一种非常基础的数学函数，它在各个领域都有着广泛的应用。
通过对正比例函数的研究，我们可以更好地理解和应用它在实际问题中的作用。
正比例函数及性质
解决实际问题
正比例函数在解决实际问题中也 有广泛应用，例如速度、加速度 等物理量可以用正比例函数表示。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
与反比例函数的区别
反比例函数的一般形式为 $y = frac{k}{x}$，其中 $k$ 是常数且 $k neq 0$。正比例函数和反比例函数在 图像上都是直线，但它们的斜率不同。正比例函数的斜率为 $k$，而反比例函数的斜率为 $-k$。此外， 正比例函数的图像过原点，而反比例函数的图像不过原点。
一次函数的一般形式为 $y = ax + b$，其中 $a$ 和 $b$ 是常数，$a neq 0$。正比例函数是特殊的一次函数，其形式为 $y = kx$，其中 $k$ 是常数且 $k neq 0$。正比例函数和一次函数在图像上都是直线，但正比例函数的图像过原点，而一次函数的图 像不过原点。
正比例函数和一次函数的斜率不同。正比例函数的斜率为 $k$，而一次函数的斜率为 $a$。斜率决定了函数的增减性，因此正比 例函数和一次函数的增减性也可能不同。
截距
截距定义
正比例函数的图像是一条通过原点的直线，因此没有固定 的截距。但当我们在坐标轴上标出与直线交点的数值时， 这个数值即为该正比例函数的截距。
截距的计算
对于正比例函数$y=kx$，当$x=0$时，$y=0$，因此其 截距为0。
截距的影响
正比例函数的截距不影响函数的增减性，但会影响函数与 坐标轴的交点位置。
正比例函数和二次函数的开口方向也不同。正比例函数的图 像总是向上或向下开口，而二次函数的开口方向取决于 $a$ 的值。当 $a > 0$ 时，抛物线向上开口；当 $a < 0$ 时，抛 物线向下开口。
正比例函数的定义
正比例函数的定义
正比例函数的定义
正比例函数的定义：形如 y=kx(k≠0)的函数，叫做正 比例函数，其中k叫比例系数。
1、形式上是一个一次单项式，单项式 系数就是比例系数k
2、正比例函数的特征：（1）k≠0；（2） 自变量的指数为“1”
3、一般情况下正比例函数自变量取值范 围为一切实数，但在特殊情况下自变量 取值范围会有所不同
一、设所求的正比例函数解析式。 二、把已知的自变量的值和对应的函数值代入 所设的解析式，得到以比例系数k为未知数的 方程，解这个方程求出比例系数k。 三、把k的值代入所设的解析式。
不是正比例函数
是正比例函数，正比例系数为2
判定一个函数是否是正比例函数，要从化简后来判断！
待 4、已知y与x成正比例，当x=4时，y=8，试求
定 系 数
y与x的函数解析式
解：∵y与x成正比例 又∵当x=4时，y=8
∴y=kx ∴8=4k
法 ∴k=2
∴y与x的函数解析式为：y=2x
待定系数法求正比例函数解析式的一般步骤
正比例函数的定义
3.下列式子，哪些表示y是x的正比例函的）值y ．2x
是正比例函数， 正比例系数为-0.1
是正比例函数， 正比例系数为0.5
（3）y=2x2
（4）y2=4x
不是正比例函数
不是正比例函数
（5）y=-4x+3
（6） y=2(x－x2 )+2x2
正比例函数的定义
正比例函数的定义：形如 y=kx(k≠0)的函数，叫做正 比例函数，其中k叫比例系数。
4、y与x成正比例函数 y=kx(常数k≠0)
5、从函数关系看，关键是比例系数k，比例 系数k一确定，正比例函数就确定了；只需知
什么是正比例函数
什么是正比例函数正比例函数是数学中的一种特殊类型的函数，也是初中数学中的重要内容之一。
本文将以通俗易懂的语言介绍正比例函数的定义、性质、图像和应用等方面的知识。
一、正比例函数的定义正比例函数是指当自变量的值改变时，函数值也按相同比例发生变化的函数。
它的定义可以表示为：如果一个函数y=kx，其中x和y分别是自变量和函数值，而k是一个常数，那么这个函数就是正比例函数。
其中，k称为比例系数或比例常数。
二、正比例函数的性质1. 零点性质：当自变量为0时，正比例函数的函数值为0。
2. 单调性质：当自变量的值增大时，函数值也随之增大；反之，自变量的值减小时，函数值也随之减小。
3. 比例关系：自变量和函数值之间存在着一种恒定的比例关系，当自变量的值成倍增加或成倍减少时，函数值也相应地成倍增加或成倍减少。
三、正比例函数的图像正比例函数的图像通常是通过原点的直线，其斜率就是比例常数k。
当k>0时，函数图像为上斜直线；当k<0时，函数图像为下斜直线；当k=0时，函数图像为水平直线y=0。
四、正比例函数的应用正比例函数在现实生活中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 比例尺：地图上的比例尺就是一个正比例函数，它关系到实际距离和地图上的比例。
2. 聚会费用分摊：当朋友们一起聚会时，费用可以根据每个人的消费金额成比例分摊。
3. 速度和时间关系：在汽车行驶过程中，速度和时间之间存在着一种正比例关系，即速度等于行驶距离除以行驶时间。
综上所述，正比例函数是指当自变量的值改变时，函数值也按相同比例发生变化的函数。
它具有零点性质、单调性质和比例关系等性质。
其图像为直线，斜率为比例系数k。
正比例函数在现实生活中有着广泛的应用，比如比例尺、费用分摊和速度与时间关系等。
通过学习正比例函数，可以帮助我们更好地理解数学知识，并将其应用于实际问题中。
正比例函数概念 -回复
正比例函数概念- 回复一、定义正比例函数是指形如y = kx（k 为常数，且k≠0）的函数。
其中，x 是自变量，y 是因变量，k 是比例系数。
二、表达式正比例函数的表达式为y = kx，其中k 是比例系数，x 是自变量，y 是因变量。
当k>0 时，函数图像在第一、三象限；当k<0 时，函数图像在第二、四象限。
三、图像特征正比例函数的图像是一条直线，通过原点（0，0）。
当k>0 时，图像在第一、三象限，y 随x 的增大而增大；当k<0 时，图像在第二、四象限，y 随x 的增大而减小。
四、性质正比例函数具有以下性质：1. 当k>0 时，函数值y 随自变量x 的增大而增大；2. 当k<0 时，函数值y 随自变量x 的增大而减小；3. 当x=0 时，函数值y 等于0；4. 在同一象限内，函数图像是一条直线。
五、应用场景正比例函数在现实生活中有着广泛的应用，如购物时的价格与数量的关系、速度与时间的关系、面积与长度的关系等。
六、与其他函数的区别正比例函数与其他函数的主要区别在于其图像特征和性质。
例如，一次函数虽然也是直线函数，但它们的系数不同，因此性质也有所不同。
另外，二次函数等其他函数也具有自己的图像特征和性质。
七、实际应用案例下面是一个实际应用案例：某公司生产一种产品，每件产品的成本为20 元。
如果每天生产n 件产品，则每月的总成本为20n 元。
在这个案例中，我们可以使用正比例函数来描述每天生产的产品数量n 和每月的总成本C 之间的关系。
即C = 20n。
当n 增加时，C 也随之增加；当n 减少时，C 也随之减少。
这个案例体现了正比例函数在现实生活中的应用。
八、学习建议与注意事项在学习正比例函数时，需要注意以下几点：1. 理解定义和表达式：要深入理解正比例函数的定义和表达式，掌握y 与x 之间的关系以及k 的作用。
2. 掌握图像特征：正比例函数的图像是一条直线，要掌握图像的特点和性质。
人教版同步教参数学八年级下册-一次函数(一)：正比例函数
一次函数第 1 节正比例函数【知识梳理】1、正比例函数的定义一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。
备注：（1）正比例函数y=kx必须满足两个条件：①比例系数k≠0，②自变量x的次数是1（2）在判断一个函数是否是正比例函数时，只要看其是否满足y=kx（k≠0）的形式即可；若求函数的解析式，只要求出比例系数k的值，解析式就可以确定了。
（3）求正比例函数的解析式采用待定系数法，即设所求解析式为y=kx,将图象上的点的坐标代入解析式，求出k即可。
2、正比例函数的图象与性质=（k是常数，k≠0）的图象是一条经过原点与点（1，k）的直线，我们称正比例函数y kx=。
其图象和性质如下表：它为直线y kx3、确定正比例函数的关系式=（k是常数，k≠0），就是确定比例系数k（k≠0）的值，一确定正比例函数的关系式y kx般步骤如下：（1）先根据条件设出函数解析式y kx =；（2）确定一对自变量和函数的对应值（或图象上一个点的坐标）； （3）把对应值代入函数解析式，列出方程，解方程求出k 的值； （4）确定函数解析式。
【诊断自测】1、下列函数中是正比例函数的有（ ） ①y kx =；②13y x =-；③1y x=；④2y x =-；⑤1y x =-+ A.①③ B.② C.①③⑤ D.①②④2、如果正比例函数y kx =的图象经过点（1，-2），那么k 的值等于________。
3、画正比例函数2y x =的图象。
4、如图所示的函数图象中，正比例函数的图象是（ ）。
A ． B. C. D.5、111(,)P x y ，222(,)P x y 是正比例函数y x =-图象上的两点，则下列判断正确的是（ ）。
A. 12y y > B. 12y y < C.当12x x <时，12y y > D.当12x x <时，12y y < 6、正比例函数y kx =的图象经过点A （1,3）， （1）求这个函数的解析式；（2）请判断点B （2,6）是否在这个正比例函数的图象上，并说明理由。
正比例函数知识点总结
正比例函数知识点总结正比例函数知识点总结正比例函数属于一次函数，是一次函数的一种特殊形式。
即一次函数形如：y=kx+b（k为常数，且k≠0）中，当b=0时，则叫做正比例函数。
下面是小编收集整理的正比例函数知识点总结，希望对您有所帮助！—正比例函数公式正比例函数要领：一般地，两个变量x，y之间的关系式可以表示成形如y=kx(k为常数，且k≠0)的函数，那么y就叫做x的正比例函数。
正比例函数的性质定义域：R(实数集)值域：R(实数集)奇偶性：奇函数单调性：当>0时，图像位于第一、三象限，从左往右，y随x 的增大而增大(单调递增)，为增函数;当k<0时，图像位于第二、四象限，从左往右，y随x 的增大而减小(单调递减)，为减函数。
周期性：不是周期函数。
对称性：无轴对称性，但关于原点中心对称。
图像：正比例函数的图像是经过坐标原点(0，0)和定点(1，k)两点的一条直线，它的斜率是k，横、纵截距都为0。
正比例函数的图像是一条过原点的直线。
正比例函数y=kx(k≠0)，当k的绝对值越大，直线越“陡”;当k的绝对值越小，直线越“平”。
正比例函数求法设该正比例函数的解析式为y=kx(k≠0)，将已知点的坐标代入上式得到k，即可求出正比例函数的解析式。
另外，若求正比例函数与其它函数的交点坐标，则将两个已知的'函数解析式联立成方程组，求出其x，y 值即可。
正比例函数图像的作法1、在x允许的范围内取一个值，根据解析式求出y的值;2、根据第一步求的x、y的值描出点;3、作出第二步描出的点和原点的直线(因为两点确定一直线)。
温馨提示：正比例函数属于一次函数，但一次函数却不一定是正比例函数。
正比例函数详细知识点总结
正比例函数详细知识点总结一、正比例函数的定义1、正比例函数的定义给定两个变量x和y，如果存在一个常数k，使得当x增大k倍时，y也增大k倍，那么称y是x的正比例函数。
我们可以用数学式表示为：y = kx其中，k为常数，称为比例系数。
2、比例系数的含义比例系数k表示两个变量之间的比例关系。
当k>1时，表示y随着x的增大而增大，当0<k<1时，表示y随着x的增大而减小，当k=1时，表示y和x成正比例关系。
3、正比例函数的定义域和值域对于正比例函数y=kx，定义域为实数集R，即x可以是任意实数；值域也为实数集R。
二、正比例函数的性质1、图像特点正比例函数的图像是一条经过原点的直线。
当k>1时，图像是从原点开始向上倾斜的直线；当0<k<1时，图像是从原点开始向下倾斜的直线；当k=1时，图像是经过原点的斜率为1的直线。
2、性质（1）通过原点正比例函数的图像必经过原点，因为当x=0时，y=0。
（2）斜率性质正比例函数的图像斜率为k，斜率表示函数随着自变量的变化而变化的速率。
（3）单调性当k>0时，正比例函数为增函数；当k<0时，正比例函数为减函数。
三、正比例函数的解题方法1、确定比例系数在解题时，首先需要确定比例系数k，可以通过已知条件或者数据关系来确定。
2、构建函数关系根据已知条件构建出正比例函数的函数式。
3、解题步骤（1）根据已知条件确定比例系数k；（2）构建出正比例函数的函数式；（3）应用正比例函数的性质和图像特点进行问题分析和解答。
四、正比例函数的应用正比例函数在实际问题中有着广泛的应用，尤其在数学建模和物理问题中常常出现。
下面举例说明正比例函数的应用：1、代买水果小明要在市场上代买水果，水果摊上的价格是正比例关系，每斤水果的价格是3元，小明要买的数量和购买的金额之间也是正比例关系。
如果他要买5斤水果，需要支付多少钱？解题步骤：（1）根据已知条件确定比例系数k为3；（2）构建出正比例函数的函数式y=3x；（3）代入x=5即可求得所需支付的金额为15元。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
19．2 一次函数
§19．2．1 正比例函数
教学目标
1．认识正比例函数的意义．
2．掌握正比例函数解析式特点．
3．能利用所学知识解决相关实际问题．
教学重点
1．理解正比例函数意义及解析式特点．
2．能根据要求完成转化，解决问题．
教学难点
正比例函数解析式特点的理解掌握．
教学过程
一．提出问题，创设情境
2011年开始运营的京沪高速铁路全长1318km。
设列车的平均速度为300km/h.考虑以下问题：
（1）乘京沪高铁列车，从始发站北京南站到终点站上海虹桥站，约需多少小时（结果保留小数点后一位）？
（2）京沪高铁列车的行程y（单位：km）与运行时间t（单位：h）之间有何数量关系？
（3）京沪高铁列车从北京南站出发2.5h后，是否已经过了距离始发站1100km的南京南站？
分析：（1）京沪高铁列车全程运行时间约需
（2）京沪高铁列车的行程y是运行时间t的函数，函数解析式为
（3）京沪高铁列车从北京南站出发2.5h的行程。
是当t=2.5时函数y=300t的值，即
以上我们对函数y=300t（0≤t≤4.4）对京沪高铁列车的行程问题进行了讨论，尽管实际情况可能会与此有一些小的不同，但这个函数基本上反映了列车的行程与运行时间之间的对应规律。
二．导入新课
首先我们来思考这样一些问题，看看变量之间的对应规律可用怎样的函数来表示？这些函数有什么共同特点？
１．圆的周长L随半径r的大小变化而变化．
２．铁的密度为7．8g/cm3．铁块的质量m（g）随它的体积V（cm3）的大小变化而变化．３．每个练习本的厚度为0．5cm．一些练习本摞在一些的总厚度h（cm）随这些练习本的本数n的变化而变化．
４．冷冻一个0℃的物体，使它每分钟下降2℃．物体的温度Ｔ（℃）随冷冻时间t（分）的变化而变化．
答:１．根据圆的周长公式可得：L=2 r
２．依据密度p=m
V
可得：m=7．8V．
３．据题意可知： h=0．5n．
４．据题意可知：T=-2t．
我们观察这些函数关系式，不难发现这些函数都是常数与自变量乘积的形式，和y=200x 的形式一样．
一般地，•形如y=•kx•（k•是常数，•k•≠0•）的函数，•叫做正比例函数（proportional func-tion），其中k叫做比例系数．
三练习巩固
1 下列式子中，哪些表示y是x的正比例函数？
（1）y＝－0.1x; (2) y＝; (3)y=2x2; (4)y2=4x
2.列式表示下列问题中的y与x的函数关系，并指出哪些是正比例函数。
四．活动探究
蜡烛点燃后缩短长度y(cm)与燃烧时间x(分钟)之间的函数关系式为y=kx(k≠0),已知时长为21cm的蜡烛燃烧6分钟后，蜡烛变短3.6cm，求：
（1）Y与x之间的函数解析式；
（2）自变量x的取值范围；
（3）此蜡烛几分钟燃烧完？
五．课后作业
1、习题19．2第3题．
2.≪全能学案≫
板书设计。