第13讲等腰三角形与等边三角形-尖子班
(新版)新人教版八年级数学上册等腰三角形 13.3.2 第1课时 等边三角形的性质与判定导学课件
2. 如图，△ ABC 是等边三角形，AD⊥BC，点 E 在 AC 上，且 AE＝AD，则∠EDC＝( B )
A．10° C．20°
B．15° D．25°
3. (2017·黄冈)已知：如图，在正方形 ABCD 的外侧， 作等边三角形 ADE，则∠BED＝ 45 度．
知识点 等边三角形的判定
4. 下列三角形：①有两个角等于 60°；②有一个角等
7. 如 图 所 示 ， △ ABC 为 等 边 三 角 形 ， ∠ABD ＝ ∠ACE，BD＝CE，求证：△ ADE 是等边三角形．
证明：在证明△ ABD≌△ACE 后应得出 AD＝AE 和 ∠BAD＝∠CAE＝60°，
∴△ADE 是等边三角形．
1. 如图，△ ABC 为等边三角形，FD⊥AB 于点 D，
第十三章 等腰三角形 13.3 等腰三角形 13.3.2 等边三角形
第1课时 等边三角形的性质与判定
1. 三条边都相等 的三角形叫等边三角形，等边三角
形是特殊的等腰三角形． 2. 性质：等边三角形的三个角都 相等
，且每个
角都是 60° ；
判定： (1)三个角都 相等 的三角形是等边三角形；
(2)一个角为 60° 的等腰三角形是等边三角形．
DE⊥BC 于点 E，EF⊥AC 于点 F，则△ DEF 是( C )
A．不等边三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形
D．以上都有可能
2. 如图，在等边△ ABC 中，AC＝9，点 O 在 AC 上， 且 AO＝3，点 P 是 AB 上的一动点，连接 OP，将线段 OP 绕点 O 逆时针旋转 60°得到线段 OD，要使点 D 恰好 落在 BC 上，则 AP 的长是( C )
4. 如图，已知等边△ ABC，现将点 A 沿 DE 折叠， 使点 A 落在 BC 边上的点 F 处，且已知折痕 DE∥BC， 若△ ABC 的面积为 12 平方单位，则△ DEF 的面积为 3 平 方单位．
等腰三角形和等边三角形课件
02
等腰三角形的顶角记作$angle
A$，底角记作$angle
B$和
$angle C$。
性质
等腰三角形是轴对称 图形，有一条对称轴 ，即高线所在的直线 。
等腰三角形的三线合 一，即中线、垂线和 角平分线三线重合。
等腰三角形的两底角 相等，记作$angle B = angle C$。
等腰三角形的判定
巧。
中学数学竞赛
在中学数学竞赛中，等腰三角形和 等边三角形也是常见的考察内容， 旨在提高学生的数学素养和思维能 力。
大学生数学竞赛
在大学生数学竞赛中，等腰三角形 和等边三角形也经常出现，涉及的 知识点包括几何学、三角学和解析 几何等。
05
练习题与答案解析
基础练习题
题目1
一个等腰三角形的顶角是 70度，求它的底角？
等腰三角形和等 边三角形课件
汇报人： 202X-12-26
目录
• 等腰三角形的定义与性质 • 等边三角形的定义与性质 • 等腰三角形与等边三角形的异同
点 • 等腰三角形和等边三角形的实际
应用 • 练习题与答案解析
01
等腰三角形定义与性质
定义
01
等腰三角形是两边相等的三角形 ，记作$bigtriangleup ABC$， 其中$AB = AC$。
题目2
一个等腰三角形的底角是 45度，求它的顶角？
题目3
一个等腰三角形的两条腰 长为5厘米，求它的周长？
进阶练习题
题目4
一个等边三角形的边长为6厘米，求它的面积？
题目5
一个等边三角形的面积为15平方厘米，求它的边长？
题目6
一个等腰三角形的一个底角是60度，求它的顶角？
等腰三角形和等边三角形的判定PPT课件
∴ ∠ADE=∠B，∠AED=∠C. （两直线平行，同位角相等）
∴ ∠ADE=∠AED（. 等量代换）
∴ △ADE为等腰三角形. （有两个角相等的三角形是等腰三角形）
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动脑筋
有一个角是60°的等腰三角 形是等边三角形吗？为什么？
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如图，在等腰三角形ABC中，
性质
判定
等
A 有两边 1.两腰相等
1.两边相等
腰
相等的
三
三角形 2.两底角相等 2.两角相等
角
是等腰
形 B
C 三角形 3. “三线合一”
4.是轴对称图形
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等边三角形
名称 图 形 定 义
性质
判定
等
A 三边相 1.三边相等
1.三边相等
边
等的三
三
角形是 2.三角相等
2.三角相等
角 形B
等边三
由此得到等腰三角形的判定定理：
结论
有两个角相等的三角形是等腰三角形 (简称“等角对等边”).
注意：“等边对等角”的前提条件是在同一个三角形中。
A
几何语言表示如下：
在∆ABC中，
∵∠B=∠C
∴AB=AC
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B
C
巩固练习：下列两个图形是否是等腰三角形？
300
400
400
750
第6页/共22页
结论
由此并且结合三角形内角和定理， 还可以得到等边三角形的判定定理： 三个角都是60°的三角形是等边三角 形。
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例2 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D， E分别是AB，AC上的点，且DE∥BC.
四年级数学最新课件-等腰三角形和等边三角形 精品
顶角
腰
腰
底角 底角 底
底角 底
腰
顶角 底角 腰
腰 底角
顶角 底 腰
底角
Hale Waihona Puke 等腰三角形的两条边相等， 两个底角也相等。
一个等腰三角形的顶角是70度， 它的一个底角是多少度？
700 55° 55°
180°70°=110°
110°÷ 2 =55°
等腰三角形的一个底角是35 度，求顶角的度数。
110
350 °
35°× 2 =70° 180°- 70°=110°
等边三角形的三条边相等， 三个内角也相等，都是60度。
算一算：
用一根18厘米长的线，可以围 成边长是几厘米的等边三角形？
18÷3＝6(厘米) 要围一个边长是8厘米的等边 三角形需要多少长的铁丝？
8×3＝24（厘米）
等腰直角三角形
等腰锐角三角形
等腰钝角三角形
每天都有收获， 每天都有进步！
等腰三角形与等边三角形
等腰三角形与等边三角形等腰三角形与等边三角形是几何学中重要的概念，它们在形状和性质上有一定的相似之处，同时也有一些显著的不同之处。
本文将深入探讨等腰三角形与等边三角形的特点，并对它们的应用进行简要介绍。
一、等腰三角形的定义与性质等腰三角形指的是具有两条边相等的三角形。
具体而言，当一个三角形的两条边长度相等时，这个三角形就是等腰三角形。
等腰三角形的顶角称为顶角，而两条相等的边称为腰。
等腰三角形的性质如下：1. 两条腰的边长相等；2. 两条腰的夹角等于顶角；3. 等腰三角形的底角（非顶角）相等；4. 等腰三角形的高线（从顶角到底边的垂直线段）是边长相等的腰的中线、角平分线和高线。
二、等边三角形的定义与性质等边三角形是指三条边的边长都相等的三角形。
换言之，当一个三角形的所有边长相等时，这个三角形就是等边三角形。
等边三角形的性质如下：1. 三条边的边长相等；2. 所有角均为60度；3. 等边三角形的高线、中线、角平分线重合。
三、等腰三角形与等边三角形的区别与联系等腰三角形与等边三角形在性质上存在一定的相似性，但也有一些明显的区别。
首先，等腰三角形和等边三角形的定义不同。
等腰三角形是指具有两条边相等的三角形，而等边三角形是指三条边的边长都相等的三角形。
其次，等腰三角形和等边三角形的性质也有所不同。
如前所述，等腰三角形的特点是两条腰边相等，而等边三角形的特点是所有边的边长相等。
然而，等腰三角形和等边三角形也存在联系。
事实上，等边三角形是一种特殊的等腰三角形，因为等边三角形的两条腰边和底边都相等。
此外，等边三角形的顶角也等于底角，即等边三角形的所有角均为60度，与等腰三角形的底角性质吻合。
四、等腰三角形与等边三角形的应用等腰三角形和等边三角形在几何学中有各自的应用。
等腰三角形常用于解题中的条件定理证明，其性质可用于证明一些关于三角形的问题，如角平分线定理、垂直平分线定理等。
等边三角形常用于构造几何图形，如正六边形、正十二边形等。
七年级数学下册专题第13讲等腰三角形重点、考点知识总结及练习
专题 第13讲等腰三角形知识点1 等腰三角形的相关概念---分类讨论求边角的值1.等腰三角形的两个腰相等，两个底角也相等.2.直角三角形30°的角所对的直角边等于斜边的一半.【典例】1.若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，求此三角形的底角.【解析】解：①如下图，当高在三角形内部时，12BD AB =，∴∠A=30°，∴∠ABC=∠ACB=75°，②如下图，当高在三角形外部时，12BD AB =，则∠BAD=30°，∴∠BAC=150°，∴∠ABC=∠ACB=15°，所以此三角形的底角等于75°或15°．【方法总结】本题考查了等腰三角形的性质，以及含特殊角的直角三角形，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系（三角形内部，三角形的外部，三角形的边上），解题时注意需要分类讨论．2.如果一等腰三角形的周长为27，且两边的差为12，求这个等腰三角形的腰长.【解析】解：设等腰三角形的腰长为x，则底边长为x﹣12或x+12，当底边长为x﹣12时，根据题意，得2x+x﹣12=27，解得x=13，∴腰长为13，此时底边长为13-12=1，满足三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，当底边长为x+12时，根据题意，得2x+x+12=27，解得x=5，此时底边长为5+12=17，因为5+5＜17，所以构不成三角形，故这个等腰三角形的腰的长为13.【方法总结】已知等腰三角形的周长和两边之差来求等腰三角形的底或腰时，我们需要分类讨论，分为两种情况：一种是“腰-底=某个值”，第二种是“底-腰=某个值”，可将底或腰设为未知数，再根据等腰三角形的周长列出方程，求出三边以后根据三角形的三边关系进行验证，选择合理的数值.【随堂练习】1．（2017秋•洛阳期末）若等腰三角形的一个内角比另一个内角大30°，则这个等腰三角形的顶角的度数为_____．【解答】解：在△ABC中，设∠A=x，∠B=x+30°，分情况讨论：当∠A=∠C为底角时，2x+（x+30°）=180°，解得x=50°，顶角∠B=80°；当∠B=∠C为底角时，2（x+30）+x=180°，解得x=40°，顶角∠A=40°．故这个等腰三角形的顶角的度数为80°或40°．故答案为：80°或40°．2．（2017秋•襄州区期末）在等腰△ABC中，AB=AC，一边上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则该等腰三角形的底边长为______．【解答】解：根据题意，①当15是腰长与腰长一半时，AC+AC=15，解得AC=10，所以底边长=12﹣×10=7；②当12是腰长与腰长一半时，AC+AC=12，解得AC=8，所以底边长=15﹣×8=11．所以底边长等于7或11．故答案为：7或11．3．（2017秋•枣阳市期末）一个等腰三角形的周长为20，一条边的长为6，则其两腰之和为______．【解答】解：①底边长为6，则腰长为：（20﹣6）÷2=7，所以另两边的长为7，7，能构成三角形，7+7=14；②腰长为6，则底边长为：20﹣6×2=8，能构成三角形，6+6=12．故答案为：12或144．（2017秋•诸暨市期末）已知等腰三角形的周长为8，其中一边长为2，则该等腰三角形的腰长为_____．【解答】解：①2是腰长时，底边为：8﹣2×2=4，三角形的三边长分别为2、2、4，∵2+2=4，∴不能组成三角形，②2是底边长时，腰长为：×（8﹣2）=3，三角形的三边长分别3、3、2，能组成三角形，综上所述，该等腰三角形的腰长是3．故答案为：3．5．（2018春•李沧区期中）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°，则其顶角度数为_______°．【解答】解：①如图1，当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部．根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是90°+48°=138°；②如图1，当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，故顶角是90°﹣48°=42°．故答案为：42或138．6．（2018春•邗江区期中）已知等腰三角形的一条边等于4，另一条边等于9，那么这个三角形的第三边是_____．【解答】解：当4为底时，其它两边都为9，4、9、9可以构成三角形；当4为腰时，其它两边为4和9，因为4+4=8＜9，所以不能构成三角形．故答案为：9．知识点2 等腰三角形的性质---边角关系等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”），即在△ABC，AB=AC，可得∠B=∠C.【典例】1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD=AC，BE=BC，求∠DCE的大小.【解析】解：设∠ACE=x，∠ECD=y，∠DCB=z，∵BC=BE，+，∴∠CED=∠ECB=y z∵AC=AD，+，∴∠ADC=∠ACD=x y+-，在△CDB中，∠B=x y z+-，在△ACE中，∠A=y z x在△ABC中，∠ACB=90°，+-++-=90°，∴∠A+∠B=90°，即x y z y z x∴2y=90°，解得y=45°．于是∠DCE=45°．【方法总结】本题考查了等腰三角形的性质，解答此题的关键是建立起各角之间的关系，结合图形列出方程进行解答．2.如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交边AB于D点，交边AC于E点，若△ABC 与△EBC的周长分别是40，24，求AB的长.【解析】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∵△ABC的周长=AB+AC+BC，△EBC的周长=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC，∴△ABC的周长﹣△EBC的周长=（AB+AC+BC）-（AC+BC）=AB，∴AB=40﹣24=16．【方法总结】本题考查了等腰三角形的性质和垂直平分线上的性质，根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，得出相等的线段，把三角形的周长表示出来，再利用相等的线段进行转化求解. 【随堂练习】1．（2017春•成华区期末）如图△ABC中，AB=AC，点E、D、F分别是边AB、BC、AC边上的点，且BE=CD，CF=BD．若∠EDF=50°，则∠A的度数为_____．【解答】解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△BDE与△CEF中，∴△BDE≌△CFE．∴∠BDE=∠CFD，∵∠EDF=50°，∴∠BDE+∠CDF=∠CDF+∠CFD=130°，∴∠C=50°∵AB=AC，∴∠C=∠B=50°，∴∠A=180°﹣50°﹣50°=80°，故答案为：80°．2．（2017秋•浦东新区校级期末）如图所示，已知△ABC中，AB=AC，∠BAD=30°，AD=AE，求∠EDC的度数．【解答】解：设∠EDC=x，∠B=∠C=y，∠AED=∠EDC+∠C=x+y，又因为AD=AE，所以∠ADE=∠AED=x+y，则∠ADC=∠ADE+∠EDC=2x+y，又因为∠ADC=∠B+∠BAD，所以2x+y=y+30，解得x=15．所以∠EDC的度数是15°．知识点3等腰三角形的性质---三线合一等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合.例：已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，①AD⊥BC ②BD=CD ③AD平分∠BAC,上述三个条件，任意满足一个，可得到另外两个.即①⇒②，③；②⇒①，③；③⇒①，②.【典例】1.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，E是AC 边上的一点，且∠CBE=∠CAD．求证：BE⊥AC．【解析】证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴∠CAD+∠C=90°，又∵∠CBE=∠CAD，∴∠CBE+∠C=90°，∴∠BEC=90°，即BE⊥AC．【方法总结】本题主要是利用等腰三角形的三线合一，根据三线合一的性质可知，等腰三角形底边上的中线也是底边的高线.注：等腰三角形常作的辅助线是，过顶角的顶点向底边作垂线，再利用三线合一得到一些相等的关系式，当题目中给出等腰三角形底边上的中点时，常常将等腰三角形的顶角顶点和它直接相连.【随堂练习】1．（2017秋•莘县期末）如图，在等腰三角形△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，在BC的延长线上取一点E，使CE=CD，连接DE，求证：BD=DE．【解答】证明：∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB，∵BD平分∠ABC，∵CD=CE，∴∠E=∠CDE，∵∠ACB=∠E+∠CDE，∴∠E=∠ACB，∴∠E=∠DBE，∴BD=DE．2．（2017秋•东城区期末）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥于点D，AM是△ABC的外角∠CAE的平分线．（1）求证：AM∥BC；（2）若DN平分∠ADC交AM于点N，判断△ADN的形状并说明理由．【解答】证明：（1）∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD=．∵AM平分∠EAC，∴∠EAM=∠MAC=．∴∠MAD=∠MAC+∠DAC==．∵AD⊥BC∴∠ADC=90°∴AM∥BC．（2）△ADN是等腰直角三角形，理由是：∵AM∥AD，∴∠AND=∠NDC，∵DN平分∠ADC，∴∠ADN=∠NDC=∠AND．∴AD=AN，∴△ADN是等腰直角三角形．知识点4等腰三角形的判定与性质1.等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）.2.等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）.3. 等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合.【典例】1.如图，A、B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且△ABC是等腰三角形，则符合条件是点C共有_______ 个．【答案】9【解析】解：①以AB作为等腰三角形的底边，则符合条件的C一定在线段AB的垂直平分线上，且处于格点上，图中红线上的点，共5个；②以AB作为等腰三角形的一个腰，当点A是等腰三角形的顶角顶点时，符合条件的点在紫色线上，共有2个，当点B是等腰三角形的顶角顶点时，符合条件的点在蓝色线上，共有2个，综合①②可知，符合条件的点C共有9个.故答案是：9.【方法总结】本题考查的等腰三角形的判定，利用的是数形结合思想，当已知两个格点找寻第三个格点时，需要分类讨论，将这条边作为底和作为腰时可以构建的等腰三角形的个数之和，即为所求的点的个数.2.如图，∠BOC=60°，点A是BO延长线上的一点，OA=10cm，动点P从点A出发沿AB 以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OC以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t=_____________s时，△POQ是等腰三角形．【答案】10或103【解析】解：当PO=QO时，△POQ是等腰三角形；如图1所示：当P点在O的左侧时，∵PO=AO﹣AP=10﹣2t，OQ=1t∴当PO=QO时，10﹣2t=t；解得t=103时，△POQ是等腰三角形；即当t=103如图2所示：当P点在O的右侧，△POQ是等腰三角形，∵∠BOC=60°，∴△POQ是等边三角形，∴PO=QO=PQ∵PO=AP﹣AO=2t﹣10，OQ=1t；∴2t﹣10=t；解得t=10；故答案为：10或10．3【方法总结】本题主要考查了等腰三角形的性质，由等腰三角形的两个腰相等得出方程是解决问题的关键，注意本题分类讨论时，由于∠POQ=60°，可得出△POQ是等边三角形，再根据PO=QO进行求解．3.如图，在△ABC中，AB=AC，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，交AC于点E．（1）求证：DE=CE．（2）若∠CDE=35°，求∠A的度数．【解析】证明：（1）∵CD是∠ACB的平分线，∴∠BCD=∠ECD．∵DE∥BC，∴∠EDC=∠BCD，∴∠EDC=∠ECD，∴DE=CE．（2）解：∵∠ECD=∠EDC=35°，∴∠ACB=2∠ECD=70°．∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=70°，∴∠A=180°﹣70°﹣70°=40°．【方法总结】本题主要考查的是“平行+角分线” 模型，在之后学习菱形证明题时也会用到，需记牢.模型如下：如图所示，①∠1=∠2；②AC∥BD;③AB=AC（△ABC是等腰三角形）上述条件任意两个成立则第三个也成立.即①②⇒③；①③⇒②；②③⇒①.【随堂练习】1．（2018•安徽模拟）如图，在△ABC中，BC=4，BD平分∠ABC，过点A作AD⊥BD于点D，过点D作DE∥CB，分別交AB、AC于点E、F，若EF=2DF，则AB的长为（）A．4 B．6 C．8 D．10【解答】解：如图，延长AD，BC交于点G，∵BD平分∠ABC，AD⊥BD于点D，∴∠BAD=∠G，∴AB=BG，∴D是AG的中点，又∵DE∥BG，∴E是AB的中点，F是AC的中点，∴DE是△ABG的中位线，EF是△ABC的中位线，∴EF=BC=2，又∵EF=2DF，∴DF=1，∴DE=3，∴BG=2DE=6，∴AB=6，故选：B．2．（2018•河东区二模）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，∠BAC，∠ACB的平分线相交于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，则EF的长为_____．【解答】解：过E作EG∥AB，交AC于G，则∠BAE=∠AEG，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE，∴∠CAE=∠AEG，∴AG=EG，同理可得，EF=CF，∵AB∥GE，BC∥EF，∴∠BAC=∠EGF，∠BCA=∠EFG，∴△ABC∽△GEF，∵∠ABC=90°，AB=6，BC=8，∴AC=10，∴EG：EF：GF=AB：BC：AC=3：4：5，设EG=3k=AG，则EF=4k=CF，FG=5k，∵AC=10，∴3k+5k+4k=10，∴k=，∴EF=4k=．故答案为：．3．（2017春•平南县期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AB上的点，BD=CD=5，则AD=______．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∵BD=DC，∴∠B=∠DCB，∵∠B+∠A=90°，∠DCB+∠DCA=90°，∴∠A=∠DCA，∴AD=DC=5，故答案为5．综合运用1. 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1．已知A、B是两格点，若△ABC为等腰三角形，且S△ABC=1.5，则满足条件的格点C有________个.【答案】2【解析】解：如上图：分情况讨论．①AB为等腰△ABC底边时，符合△ABC为等腰三角形的C点有4个；②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合△ABC为等腰三角形的C点有4个．因为S△ABC=1.5，所以满足条件的格点C只有两个，如图中蓝色的点．故答案为：2．2.如图，C是△ABE的BE边上一点，F在AE上，D是BC的中点，且AB=AC=CE，下列结论：①AD⊥BC；②CF⊥AE；③∠1=∠2；④AB+BD=DE其中正确的结论有_________．【答案】①④【解析】解：①∵D是BC的中点，AB=AC，∴AD⊥BC，故①正确；②∵虽然AC=CE，F在AE上，但F点不一定是AE的中点，∴无法证明CF⊥AE，故②错误；③由②可知，CF不一定垂直于AE，则无法证明∠1=∠2，故③错误；21④∵D 是BC 的中点，∴BD=DC ，∵AB=CE ，∴AB+BD=CE+DC=DE ，故④正确．故其中正确的结论有①④．故答案为：①④．3.如图，△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 的中点，E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且AE=AF ，求证：DE=DF ．【解析】证明：连接AD ，∵AB=AC ，D 是BC 的中点，∴∠EAD=∠FAD ，在△AED 和△AFD 中，AE AF EAD FAD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠，∴△AED ≌△AFD （SAS ），∴DE=DF ．4.如图，AD∥BC，∠BAC=70°，DE⊥AC于点E，∠D=20°．（1）求∠B的度数，并判断△ABC的形状；（2）若延长线段DE恰好过点B，试说明DB是∠ABC的平分线．【解析】解：（1）∵DE⊥AC于点E，∴∠AED=90°，∵∠D=20°，∴∠CAD=90°-∠D =90°-20°=70°，∵AD∥BC，∴∠C=∠CAD=70°，∵∠BAC=70°，∴∠BAC=∠C，∠B=180°-∠BAC- ∠C =40°，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形.（2）∵延长线段DE恰好过点B，DE⊥AC，∴BD⊥AC，23∵△ABC 是等腰三角形，∴DB 是∠ABC 的平分线．5.已知等腰三角形△ABC ，AB=AC ，一腰上的中线把这个三角形的周长分成12和15两部分，求这个三角形的三边长．【解析】解：如图，在△ABC 中，AB=AC ，且AD=BD ．设AB=AC=x ，BC=y ，（1）当AC+AD=15，BD+BC=12时， 根据题意得，152x x +=，122x y +=， 解得x=10，y=7．（2）当AC+AD=12，BC+BD=15时， 根据题意得，122x x +=，152x y +=， 解得x=8，y=11，故得这个三角形的三边长分别为10，10，7或8，8，11．6.如图，O 是△ABC 的∠ABC ，∠ACB 的角平分线的交点，OD ∥AB 交BC 于D ，OE ∥AC 交BC 于E ，若BC=16，求△ODE 的周长.【解析】解：∵BO平分∠ABC，∴∠ABO=∠DBO，又OD∥AB，∴∠ABO=∠DOB，∴∠DBO=∠DOB，∴OD=BD，同理OE=CE，∵BC=16，则△ODE的周长为：OD+DE+OE=BD+DE+EC=BC=16．。
(完整版)第13讲_等腰三角形的判定
第十二讲等腰三角形的判定由于等腰三角形有丰富的性质，这些性质为我们解几何题提供了新的理论依据，所以寻找发现等腰三角形是解一些几何题的关键，判定一个三角形为等腰三角形的基本方法是：从定义入手，证明一个三角形的两条边相等；从角入手，证明一个三角形的两个角相等，实际解题中的一个常用技巧是，构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质为解题服务，常用的构造方法有：1．“角平分线+平行线”构造等腰三角形；2．“角平分线+垂线”构造等腰三角形；3．用“垂直平分线”构造等腰三角形；4．用“三角形中角的2倍关系”构造等腰三角形．1. 如图，一个六边形的6个内角都是120°，其连续四边的长依次是1、9、9、5，那么这个六边形的周长是cm．(“祖冲之杯”邀请赛试题)2.如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的P点有( ) (江苏省竞赛题)A．2个B．4个C．6个D．8个3.如图，△ABC中，AD⊥BC于D，∠B=2∠C，求证：AB十BD＝CD．(天津市竞赛题)4.如图甲，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN是等边三角形，直线AN、MC交于点E，直线BM、CN交于点F．(1)求证：AN=BM；(2)求证：△CEF是等边三角形；(3)将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，在图乙中补出符合要求的图形，并判断第(1)、(2)两小属结论是否仍然成立(不要求证明)．(荆门市中考题)5. 如图，在五边形ABCDE中，∠B＝∠E，∠C=∠D，BC=DE，M为CD中点，求证：AM⊥CD．(武汉市选拔赛试题)6．如图，四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于E 点，若AC 平分∠DAB ，且AB=AE ，AC=AD ，有如下四个结论： ①AC ⊥BD ；②BC=DE ；③∠DBC=21∠DAB ；④△ABE 是等边三角形．请写出正确结论的序号 ．(把你认为正确结论的序号都填上) (天津市中考题)7．如图，在△ABC 中，∠BAC=106°，EF 、MN 分别是AB 、AC 的中垂线，E 、M 在BC 上，则∠EAM 等于( )A ．58°B ．32°C ．36°D ．34°8．如图，在△ABC 中，∠B ＝2∠C ，则AC 与2AB 之间的关系是( ) (山东省竞赛题) A ．AC>2AB B ．AC ＝2AB C ．AC ≤2AB D ．AC<2AB9．等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于( ) (“希望杯”邀请赛试题)A ．30°B ．30°或150°C ． 120°或150°D ．30°或120°或150°12．如图，在△ABC 内，∠BAC=60°，∠ACB=40°，P 、Q 分别在BC 、CA 上，并且AP 、BQ 分别为∠BAC 、∠ABC 的角平分线．求证：BQ+AQ=AB+BP ．(全国初中数学竞赛) 13，如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠ABC>60°，∠ABD=60°，且∠ADB=90°一21∠BDC ，求证：AC=BD+DC ． (天津市竞赛题) 14．如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB ＝AC ，D 是△ABC 内一点，且∠DAC=∠DCA=15°，求证：BD ＝BA ．。
《等腰三角形和等边三角形》课件
《等腰三角形和等边三角形》课件一、引入在我们的几何世界中，三角形是最基本的图形之一。
而等腰三角形和等边三角形作为特殊的三角形，它们有着独特的性质和特点。
今天，就让我们一起来深入了解一下等腰三角形和等边三角形。
二、等腰三角形的定义与性质（一）定义等腰三角形是指至少有两边相等的三角形。
相等的两条边称为这个三角形的腰，另一边称为底边。
两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
（二）性质1、等腰三角形的两腰相等。
2、等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。
3、等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）。
我们通过一个简单的例子来理解“三线合一”的性质。
假设在等腰三角形 ABC 中，AB ＝ AC，AD 是顶角∠BAC 的平分线。
因为 AB ＝AC，∠BAD ＝∠CAD，AD 是公共边，所以根据三角形全等的判定定理（SAS），可以证明△ABD ≌△ACD。
从而得出 BD ＝ CD，∠ADB ＝∠ADC ＝ 90°，即 AD 是底边 BC 上的中线和高。
三、等边三角形的定义与性质（一）定义等边三角形，又称正三角形，是三边都相等的三角形。
（二）性质1、等边三角形的三条边相等。
2、等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于 60°。
为什么等边三角形的每个角都是 60°呢？因为三角形的内角和是180°，而等边三角形的三条边相等，所以三个角也相等。
180°÷ 3 ＝60°，即每个角都是 60°。
四、等腰三角形和等边三角形的关系等边三角形是特殊的等腰三角形。
因为等边三角形不仅满足至少两条边相等（实际上是三条边都相等），所以它属于等腰三角形的一种特殊情况。
但等腰三角形不一定是等边三角形，只有当等腰三角形的三条边都相等时，才是等边三角形。
五、等腰三角形和等边三角形的判定（一）等腰三角形的判定1、有两条边相等的三角形是等腰三角形。
等腰三角形和等边三角形(整理)PPT课件
说一说 填一填
3. （ 两条边相等 ）的三角形是等腰三角形，
两个底角（相等）。
（
）的三角形是等边三角形，每个
角都是（ ）度，它又是一个
（
）。
说一说 填一填
3. （ 两条边相等 ）的三角形是等腰三角形， 两个底角（相等）。
（三条边都相等）的三角形是等边三角形， 每个角都是（ 60 ）度，它又是一个（ 锐 角三角形 ）。
说一说 填一填
• 1. （ 由三条线段围成 ）的图形叫做三 角形，三角形具有（ 稳定 ）性。三角 形有（ 3 ）个顶点，（ 3 ）条边， （ 3 ）个角，（ ）条高。
说一说 填一填
• 1. （ 由三条线段围成 ）的图形叫做三 角形，三角形具有（ 稳定 ）性。三角 形有（ 3 ）个顶点，（ 3 ）条边， （ 3 ）个角，（ 3 ）条高。
条路最近？途中那两条路一样长？为什么?
40米
20米
写在最后
成功的基础在于好的学习习惯
The foundation of success lies in good habits
43
谢谢聆听
·学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去 战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折
Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal
说一说 填一填
• 4.（1）一个三角形的内角和是（180）度。 • （2）用两块完全一样的三角形拼成一
个三角形，这个三角形的内角和是（180） 度。 • （3）把一个大三角形剪成两个小三角 形，每个小三角形的内角和是（180）度。
秋人教版八年级数学上册课件：13.3 等腰三角形(第3课时 等边三角形)
A
∴ ∠A =∠B，∠A =∠C ．
∴ ∠A =∠B =∠C ．
∵ ∠A +∠B +∠C =180°，
∴ ∠A =60°．
B
C
∴ ∠A =∠B =∠C =60°．
细心观察，探索性质
等边三角形的性质： 等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等 于60°.
A
符号语言： ∵ △ABC 是等边三角形， ∴ ∠A =∠B =∠C =60°．
一般三角形
等边三角形
等腰三角形
细心观察，概括归纳
判定等边三角形的方法： 从边的角度：等边三角形的定义； 从角的角度：等边三角形的两条判定定理．
等边三角形的判定定理1： 三个角都相等的三角形是等边三角形． 等边三角形的判定定理2： 有一个角为60°的等腰三角形．
探究点一 等边三角形的性质与判定
例1 如图，△ABC是等边三角形， DE∥BC
求∠BCD和BC、BD、AD的长.
C
A
D
B
图2
5. 如图，在△ABC中，BA=BC，∠B=120°，AB的垂直平分线
MN交AC于D，DC=6cm，求AC的长.
课后作业
• 上交作业：
教科书 习题13.3第12，14题 ．
• 课后作业：“学生用书”的课后作业．
(2)有两个角等于60°的三角形是等边三角形
(3)有一个是60°的等腰三角形是等边三角形
(4)等腰三角形是等边三角形。
（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个
3.如图，△ABC是等边三角形，BD、CE是中线，求∠CBD，
∠BOE，∠BOC， ∠EOD的度数。
A
EOD
B
C
4.如图.在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,CD⊥AB于D,AB=4cm,
人教版九年级数学中考总复习《等腰三角形与等边三角形》课件26张 (共26张PPT)
分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=44°，
则∠P的度数为
（ D）
A. 44°
B. 66° C. 88°
D. 92°
2. （2015南宁）如图1-4-4-4，在△ABC中，AB=AD=DC，∠B=
70°，则∠C的度数为
（ A）
A. 35°
B. 40° C. 45°
D. 50°
（3）其他性质 ①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°. ②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但 顶角可为钝角（或直角）.
③等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则
________.
④等腰三角形的三角关系：设顶角为∠A，底角为∠B，∠C，
则∠A=_1_8_0__°__-_2_∠__B__，∠B=∠C=________________.
∴△DEቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ是等腰三角形.
（2）解：∵△DBE≌△ECF，∴∠BDE=∠CEF,∠DEB=∠EFC. ∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠B= ×（180°-40°）=70°.
∴∠BDE+∠DEB=110°.∴∠FEC+∠DEB=110°. ∴∠DEF=180°-110°=70°.
考点点拨： 本考点的题型不固定，难度中等. 解答本考点的有关题目，关键在于掌握等腰三角形、等边三角 形的性质和判定定理（相关要点详见“知识梳理”部分）.注 意以下要点： 等腰三角形和等边三角形属于特殊的三角形，在广东中考中单 独出题考查的情况虽然不多，但这两种图形常与其他几何图形， 如（特殊的）平行四边形、圆等结合进行综合考查，题目非常 灵活，熟练掌握等腰三角形、等边三角形的有关概念和定理并 加以灵活运用对解题非常关键，备考时需多加留意.
等边三角形与等腰三角形
等边三角形与等腰三角形等边三角形和等腰三角形是几何学中常见的两种特殊三角形。
它们具有独特的性质和特点，对于几何学的研究和应用都具有重要意义。
本文将从定义、性质、示例等方面探讨等边三角形与等腰三角形的关系和区别。
一、等边三角形的定义与性质等边三角形是指三个边都相等的三角形。
根据等边三角形的定义，我们可以得出以下性质：1. 三条边相等：在等边三角形中，三条边的长度相等，即AB = BC = CA。
2. 三个内角相等：由于等边三角形的三边相等，按照三角形内角和定理可知，等边三角形的三个内角相等，均为60度。
3. 三个外角相等：等边三角形的三个外角相等，均为120度。
4. 对称性：等边三角形具有对称性，即以任意边为对称轴，可以得到完全相同的图形。
二、等腰三角形的定义与性质等腰三角形是指两边边长相等的三角形。
我们可以从以下角度了解等腰三角形的定义和性质：1. 两边相等：在等腰三角形中，两个边的长度相等，即AB = AC。
2. 两个底角相等：等腰三角形的两个底角（即底边所对的角）相等，可表示为∠B = ∠C。
3. 对称轴：等腰三角形中线对称轴是指通过顶点和底边的中点构成的直线。
等腰三角形具有一条中线对称轴。
4. 高度：等腰三角形的高边是底边的中线，高度刚好将等腰三角形分成两个全等的直角三角形。
三、等边三角形和等腰三角形的关系与区别1. 关系：等边三角形是等腰三角形中的一种特殊情况，即所有等边三角形也是等腰三角形，但不是所有等腰三角形都是等边三角形。
2. 区别：等边三角形的三边边长均相等，而等腰三角形只有两边边长相等；等边三角形的三个内角均相等为60度，而等腰三角形两个底角相等；等边三角形具有三个外角均相等为120度，而等腰三角形没有特定的外角性质。
四、示例1. 等边三角形示例：图1展示了一个等边三角形ABC，其中AB = BC = CA。
[图片]2. 等腰三角形示例：图2展示了一个等腰三角形DEF，其中DE = DF，且∠D = ∠E。
等腰三角形和等边三角形PPT教学课件
下面的三角形3条边的长 度相等,是什么三角形？
7cm 7cm
7cm
三条边相等的三角形 是等边三角形。
照课本30页的办法剪一个 等边三角形。想一想：为 什么是一个等边三角形？
剪下的三角形折一 折，你发现了三个角 有什么关系？
三个角相等,都是60°.
讨论：等腰三角形和等 边三角形有什么区别与 联系？
两个底角有什么关系？
顶角
腰腰
底角 底角
底角相等.
请指出下面等腰三角形 的腰、顶角和底角。
一个等腰三角形的顶角 是80°，它的一个底角 是多少度？
80°
(180°- 80°)÷2= 50°
一个等腰三角形的底角 是80°，它的一个顶角 是多少度？
80° 80°
180°- 80°- 80°= 20°
• A.外国节比中国节更时尚、更有意义
• B.弘扬民族文化必须杜绝一切外来文化
• C.不应以外来文化取代中华民族优秀传 统文化
• D.民族文化已经失去了生命力
• 今年暑假，小华的爸爸提出要带小华一 家去上海—嘉兴开展一次“开天辟地， 党的创立”为主题的红色旅游活动。你 对这次活动的看法A是B（D ）
等边三角形也是等腰 三角形。
想想做做1、2、3、4 题。
第二单元 了解祖国 爱我中华
第五课 中华文化和民族精神 (复习课）
第二单元知识结构
认
和了
中
清
发解
华
基
展基
文
本
战本
化
国
略国
与
情
策
民
族
精
神
中华文化，博大精深
中 华
灿烂的中华文化
文 化
等腰三角形和等边三角形
等腰三角形和等边三角形一、等腰三角形的定义和性质1.1 等腰三角形的定义：等腰三角形是指有两边相等的三角形。
1.2 等腰三角形的性质：(1)等腰三角形的两腰相等。
(2)等腰三角形的底角相等。
(3)等腰三角形的底边垂直平分线也是高线、中线和角平分线。
(4)等腰三角形的底角小于或等于顶角。
二、等边三角形的定义和性质2.1 等边三角形的定义：等边三角形是指三边都相等的三角形。
2.2 等边三角形的性质：(1)等边三角形的三边相等。
(2)等边三角形的三角相等，都是60度。
(3)等边三角形的各边垂直平分线也是高线、中线和角平分线。
(4)等边三角形的面积计算公式为：(S = a^2)，其中a为边长。
3.1 等腰三角形的判定：(1)如果一个三角形有两边相等，那么这个三角形是等腰三角形。
(2)如果一个三角形的两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。
3.2 等边三角形的判定：(1)如果一个三角形三边都相等，那么这个三角形是等边三角形。
(2)如果一个三角形的三角都相等，都是60度，那么这个三角形是等边三角形。
四、等腰三角形和等边三角形在实际生活中的应用4.1 等腰三角形的应用：(1)建筑物的设计中，等腰三角形的结构稳定性较好，常用于设计桥梁、塔架等。
(2)几何画板或者绘图工具中，等腰三角形可以用来制作对称图案。
4.2 等边三角形的应用：(1)装饰品设计中，等边三角形的对称性美观，常用于设计各种图案。
(2)几何学中，等边三角形是研究三角形性质的基本模型。
五、等腰三角形和等边三角形的相关定理5.1 等腰三角形的定理：(1)角平分线定理：等腰三角形的角平分线、中线和底边垂直平分线是同一条线。
(2)面积定理：等腰三角形的面积等于底边乘以高线除以2。
5.2 等边三角形的定理：(1)面积定理：等边三角形的面积计算公式为：(S = a^2)。
(2)内切圆定理：等边三角形的内切圆半径等于边长乘以根号3除以6。
六、等腰三角形和等边三角形的相关问题6.1 等腰三角形的问题：(1)已知等腰三角形的一边长和一角大小，求其它两边的长度和角度大小。
《等腰三角形和等边三角形》课件ppt文档(5篇)
顶角
腰
腰
底角 底角 底
等腰三角形的两条边相等，
两个底角也相等。
Hale Waihona Puke 腰 底角底角腰
底
顶角
底
顶角 底角 腰
腰 底角
一个等腰三角形的顶角是70度， 它的一个底角是多少度？
√ 合。（ ）
• 有一个角是45°的直角三角形一定是等腰三角形。
（ ）√
• 有一个角是45°的三角形一定是等边三角形。 （）
× × • 等腰三角形一定是锐角三角形。（ ） √ • 等边三角形一定是锐角三角形。（ ） √ • 等边三角形有三条对称轴。（ ）
下列几组小棒中，哪几组小棒能拼成 等腰三角形？
等腰三角形和 等边三角形2
顶角
腰
腰
底角 底角 底
等腰三角形的两条边相等，
两个底角也相等。
腰 底角
底角
腰
底
顶角
底
顶角 底角 腰
腰 底角
等腰直角三角形
你会画出一个等腰三角形吗？画等边三角形 呢？
·
·
·
· ）60°
等腰锐角三角形
等腰钝角三角形
判断：
× • 等边三角形是等腰三角形，等腰三角形也是等边 三角形。（ ） • 沿着等边三角形的一条高对折，左右两边完全重
等腰三角形和等边三角形
本节课我们主要来学习等腰三角形 和等边三角形，同学们要理解并掌 握两种三角形的联系和区别，能够 判断哪些三角形是等边三角形，哪 些是等腰三角形。能够根据它们各 自的特点解决相关的实际问题。
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为
．
A
E
B
D
C
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让进步看得见
【变式】如图，在△ ABC 中，AB AC ，MN NB ，ABM NBC ，MBC
．
A
M
N
B
C
☞求周长
【例 3】等腰三角形的一边长为 3cm,另一边长为 4cm,则它的周长是
；
【巩固】（1）已知等腰三角形的周长为 24cm ，一腰长是底边长的 2 倍，则腰长是(
的平分线交 BD 于 E ，则图中等腰三角形共有（ ）个．
A．3
B．4
C．5
D．6
A
D E
B
C
【巩固】已知， P2 ，2 ，在坐标轴上取一点 A ，使得△ POA 是等腰三角形，则符合条件
的 A 点有几个，试写出他们的坐标．
分类讨论的解 题技巧是什 么？
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让进步看得见
☞等腰三角形与面积法 【例 5】如图，P 为等腰三角形 ABC 的底边 AB 上的任意一点，PE AC 于点 E ，PF BC 于点 F ， AD BC 点 D ，求证： PE PF AD ．
线上，连接 BD ，取 BD 的中点 M ，连接 ME 、MC ，是判断△ EMC 的形状，并说明理由．
B M D
E
A
C
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【例 7】如图，已知 AC 平分 DAB ，CE AB 于 E ，AB AD 2BE ，则下列结论：
① AE 1 AB AD ； ②
B
C
如图， △ABC 是等边三角形，则
AB AC BC，A B C 60°
A
B
C
若 AB AC BC ，则 △ABC 是等边三角形
若 A B C ，则 △ABC 是等边三角形
若 AB AC ，A 60°（或 B 60 ，或 C 60 ），
则 △ABC 是等边三角形
（1）含 30°的直角三角形：在直角三角形中， 30 所对 的直角边等于斜边的一半．
C
EB
C
你能分别写出 每个基本图形 的全等三角形 吗？
一、等边三角形性质 【例 1】如下图，等边三角形 ABC 中，D、E 分别在 AB、AC 边上，且 AD=CE，BE、CD
A 30°
CD 1 AD 2
D
C
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（2）等边三角形内任意一点到三边距离和是一个定值， 等于一边上的高．
PE PF PH AD
A
E
F
P
B HD
C
常见图形：
A
A
A
E
F
O
O
EF 60°
B
CB
C
BD
C
A
D
F
D
B
E
C
B
Hale Waihona Puke A FA DFEC
B
E
C
A
A
D
E
D
A
E D
B
C
B
构造等腰三角形常用的方法： (1)“角平分线+平行线”构造等腰三角形； （2）“角平分线+垂线”构造等腰三角形； （3）“垂直平分线”构造等腰三角形； （4）“三角形中 2 倍关系”构造等腰三角形．
等边对等角模型
等角对等边模型
等腰三角形三线合一模型
角平分线+平行
角平分线+垂直
垂直平分线
三角形中角的2倍关系
2
S△ ACE S△ BCE S△ ADC ．
其中正确的的是
．
DAB DCB 180 ； ③
CD CB ； ④
D
C
A
E
B
【例 8】如图，在等腰三角形 ABC 中，ACB 90 ，D 为 BC 的中点， DE AB 垂足为 E ， 过点 B 作 BF ∥ AC 交 DE 的延长线于点 F ，连接 CF 交 AD 于 G ． （1）求证： AD CF ； （2）连接 AF ，试判断△ ACF 的形状，并说明理由．
C
D F
E
AP
B
【巩固】如图，点 P 为等腰三角形 ABC 的底边 BA 的延长线上的一点， PE CA 的延长线于 点 E ， PF BC 于点 F ， AD BC 于点 D ． PE 、 PF 、 AD 之间存在着怎样的数 量关系?
C
F D
P
EA
B
二、等腰三角形判定 【例 6】两个全等的含 30、60 角的三角板 ADE 、ABC ，如图所示 E 、A 、C 三点在一条直
A
F E
B
D
C
（2）如图， △ ABC 中， ACB 90 ，A 20 ，将△ ABC 绕点 C 按逆时针方向旋转 a 角
到△ A' B 'C ' 的位置， B 在 A'B' 上， CA' 交 AB 于 D ，则 BDC
．
B B'
D
C
A'
注意旋转前后，对 应边相等，进而形 成等腰三角形．
A
【 巩 固 】 如 图 ， 在 △ ABC 中 ， AB AC ，AD AE ，BAD 60 ， 则 EDC 的 度 数
)
A． 4.8cm
B． 9.6cm
C． 2.4cm
D．1.2cm
（2）若已知 A 36 ， C 72 ， BD 平分 ABC 交 AC 于 D ，若已知 AD 4 cm ，
则 BC ＝
cm ．
A
D
B
C
☞等腰三角形的存在性与分类讨论
【例 4】如图，等腰△ ABC 中，底边 BC a ，A 36 ，ABC 的平分线交 AC 于 D ，BCD
八年级数学
成长手册
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等腰三角形与等边三角形
模块一 等腰三角形
等腰三角形的性质： （1）等边对等角，等角对等边 （2）等腰三角形是轴对称图形，底边上的高线、中线、顶角的角平分线互相重合——简称 三线合一
等腰三角形的顶点一定在底边的__________上． 等腰三角形的判定： （1）从边入手，证明两边相等 （2）从角入手，证明一个三角形的两个角相等
C
G
D
A
B
E
F
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模块二 等边三角形
定义
等边三角形的定义：三条边都相等的 三角形叫做等边三角形．
示例剖析
A
B
C
如图△ ABC 中， AB AC BC，则△ ABC 是等边三
角形.
等边三角形的性质：
A
三边都相等，三个内角都相等，并且
每一个角都等于 60 ．
等边三角形的判定： ⑴ 三条边都相等的三角形是等边三 角形． ⑵ 三个角都相等的三角形是等边三 角形． ⑶ 有一个角是 60 的等腰三角形是 等边三角形．
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一、等腰三角形性质 ☞求角度 【例 1】等腰三角形一个底角为 75°,它的另外两个角为_______；
【巩固】若等腰三角形中有一个角等于 50 ，则这个等腰三角形的顶角的度数为( )
A ． 50 B ． 80
C ． 65 或 50
D ． 50 或 80
【例 2】（1）在△ ABC 中， AB AC ，A 50 ， D 为 BC 上一点 BF CD ，CE BD ，那 么 EDF