第13讲等腰三角形与等边三角形-尖子班
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C
D F
E
AP
B
【巩固】如图，点 P 为等腰三角形 ABC 的底边 BA 的延长线上的一点， PE CA 的延长线于 点 E ， PF BC 于点 F ， AD BC 于点 D ． PE 、 PF 、 AD 之间存在着怎样的数 量关系?
C
F D
P
EA
B
二、等腰三角形判定 【例 6】两个全等的含 30、60 角的三角板 ADE 、ABC ，如图所示 E 、A 、C 三点在一条直
的平分线交 BD 于 E ，则图中等腰三角形共有（ ）个．
A．3
B．4
C．5
D．6
A
D E
B
C
【巩固】已知， P2 ，2 ，在坐标轴上取一点 A ，使得△ POA 是等腰三角形，则符合条件
的 A 点有几个，试写出他们的坐标．
分类讨论的解 题技巧是什 么？
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让进步看得见
☞等腰三角形与面积法 【例 5】如图，P 为等腰三角形 ABC 的底边 AB 上的任意一点，PE AC 于点 E ，PF BC 于点 F ， AD BC 点 D ，求证： PE PF AD ．
C
EB
C
你能分别写出 每个基本图形 的全等三角形 吗？
一、等边三角形性质 【例 1】如下图，等边三角形 ABC 中，D、E 分别在 AB、AC 边上，且 AD=CE，BE、CD
为
．
A
E
B
D
C
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让进步看得见
【变式】如图，在△ ABC 中，AB AC ，MN NB ，ABM NBC ，MBC
．
A
M
N
B
C
☞求周长
【例 3】等腰三角形的一边长为 3cm,另一边长为 4cm,则它的周长是
；
【巩固】（1）已知等腰三角形的周长为 24cm ，一腰长是底边长的 2 倍，则腰长是(
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让进步看得见
一、等腰三角形性质 ☞求角度 【例 1】等腰三角形一个底角为 75°,它的另外两个角为_______；
【巩固】若等腰三角形中有一个角等于 50 ，则这个等腰三角形的顶角的度数为( )
Baidu Nhomakorabea
A ． 50 B ． 80
C ． 65 或 50
D ． 50 或 80
【例 2】（1）在△ ABC 中， AB AC ，A 50 ， D 为 BC 上一点 BF CD ，CE BD ，那 么 EDF
C
G
D
A
B
E
F
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让进步看得见
模块二 等边三角形
定义
等边三角形的定义：三条边都相等的 三角形叫做等边三角形．
示例剖析
A
B
C
如图△ ABC 中， AB AC BC，则△ ABC 是等边三
角形.
等边三角形的性质：
A
三边都相等，三个内角都相等，并且
每一个角都等于 60 ．
等边三角形的判定： ⑴ 三条边都相等的三角形是等边三 角形． ⑵ 三个角都相等的三角形是等边三 角形． ⑶ 有一个角是 60 的等腰三角形是 等边三角形．
A
F E
B
D
C
（2）如图， △ ABC 中， ACB 90 ，A 20 ，将△ ABC 绕点 C 按逆时针方向旋转 a 角
到△ A' B 'C ' 的位置， B 在 A'B' 上， CA' 交 AB 于 D ，则 BDC
．
B B'
D
C
A'
注意旋转前后，对 应边相等，进而形 成等腰三角形．
A
【 巩 固 】 如 图 ， 在 △ ABC 中 ， AB AC ，AD AE ，BAD 60 ， 则 EDC 的 度 数
A 30°
CD 1 AD 2
D
C
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让进步看得见
（2）等边三角形内任意一点到三边距离和是一个定值， 等于一边上的高．
PE PF PH AD
A
E
F
P
B HD
C
常见图形：
A
A
A
E
F
O
O
EF 60°
B
CB
C
BD
C
A
D
F
D
B
E
C
B
A F
A D
F
EC
B
E
C
A
A
D
E
D
A
E D
B
C
B
B
C
如图， △ABC 是等边三角形，则
AB AC BC，A B C 60°
A
B
C
若 AB AC BC ，则 △ABC 是等边三角形
若 A B C ，则 △ABC 是等边三角形
若 AB AC ，A 60°（或 B 60 ，或 C 60 ），
则 △ABC 是等边三角形
（1）含 30°的直角三角形：在直角三角形中， 30 所对 的直角边等于斜边的一半．
八年级数学
成长手册
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让进步看得见
等腰三角形与等边三角形
模块一 等腰三角形
等腰三角形的性质： （1）等边对等角，等角对等边 （2）等腰三角形是轴对称图形，底边上的高线、中线、顶角的角平分线互相重合——简称 三线合一
等腰三角形的顶点一定在底边的__________上． 等腰三角形的判定： （1）从边入手，证明两边相等 （2）从角入手，证明一个三角形的两个角相等
线上，连接 BD ，取 BD 的中点 M ，连接 ME 、MC ，是判断△ EMC 的形状，并说明理由．
B M D
E
A
C
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让进步看得见
【例 7】如图，已知 AC 平分 DAB ，CE AB 于 E ，AB AD 2BE ，则下列结论：
① AE 1 AB AD ； ②
)
A． 4.8cm
B． 9.6cm
C． 2.4cm
D．1.2cm
（2）若已知 A 36 ， C 72 ， BD 平分 ABC 交 AC 于 D ，若已知 AD 4 cm ，
则 BC ＝
cm ．
A
D
B
C
☞等腰三角形的存在性与分类讨论
【例 4】如图，等腰△ ABC 中，底边 BC a ，A 36 ，ABC 的平分线交 AC 于 D ，BCD
构造等腰三角形常用的方法： (1)“角平分线+平行线”构造等腰三角形； （2）“角平分线+垂线”构造等腰三角形； （3）“垂直平分线”构造等腰三角形； （4）“三角形中 2 倍关系”构造等腰三角形．
等边对等角模型
等角对等边模型
等腰三角形三线合一模型
角平分线+平行
角平分线+垂直
垂直平分线
三角形中角的2倍关系
2
S△ ACE S△ BCE S△ ADC ．
其中正确的的是
．
DAB DCB 180 ； ③
CD CB ； ④
D
C
A
E
B
【例 8】如图，在等腰三角形 ABC 中，ACB 90 ，D 为 BC 的中点， DE AB 垂足为 E ， 过点 B 作 BF ∥ AC 交 DE 的延长线于点 F ，连接 CF 交 AD 于 G ． （1）求证： AD CF ； （2）连接 AF ，试判断△ ACF 的形状，并说明理由．
D F
E
AP
B
【巩固】如图，点 P 为等腰三角形 ABC 的底边 BA 的延长线上的一点， PE CA 的延长线于 点 E ， PF BC 于点 F ， AD BC 于点 D ． PE 、 PF 、 AD 之间存在着怎样的数 量关系?
C
F D
P
EA
B
二、等腰三角形判定 【例 6】两个全等的含 30、60 角的三角板 ADE 、ABC ，如图所示 E 、A 、C 三点在一条直
的平分线交 BD 于 E ，则图中等腰三角形共有（ ）个．
A．3
B．4
C．5
D．6
A
D E
B
C
【巩固】已知， P2 ，2 ，在坐标轴上取一点 A ，使得△ POA 是等腰三角形，则符合条件
的 A 点有几个，试写出他们的坐标．
分类讨论的解 题技巧是什 么？
第 4 页 共 19 页
让进步看得见
☞等腰三角形与面积法 【例 5】如图，P 为等腰三角形 ABC 的底边 AB 上的任意一点，PE AC 于点 E ，PF BC 于点 F ， AD BC 点 D ，求证： PE PF AD ．
C
EB
C
你能分别写出 每个基本图形 的全等三角形 吗？
一、等边三角形性质 【例 1】如下图，等边三角形 ABC 中，D、E 分别在 AB、AC 边上，且 AD=CE，BE、CD
为
．
A
E
B
D
C
第 3 页 共 19 页
让进步看得见
【变式】如图，在△ ABC 中，AB AC ，MN NB ，ABM NBC ，MBC
．
A
M
N
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C
☞求周长
【例 3】等腰三角形的一边长为 3cm,另一边长为 4cm,则它的周长是
；
【巩固】（1）已知等腰三角形的周长为 24cm ，一腰长是底边长的 2 倍，则腰长是(
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让进步看得见
一、等腰三角形性质 ☞求角度 【例 1】等腰三角形一个底角为 75°,它的另外两个角为_______；
【巩固】若等腰三角形中有一个角等于 50 ，则这个等腰三角形的顶角的度数为( )
Baidu Nhomakorabea
A ． 50 B ． 80
C ． 65 或 50
D ． 50 或 80
【例 2】（1）在△ ABC 中， AB AC ，A 50 ， D 为 BC 上一点 BF CD ，CE BD ，那 么 EDF
C
G
D
A
B
E
F
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让进步看得见
模块二 等边三角形
定义
等边三角形的定义：三条边都相等的 三角形叫做等边三角形．
示例剖析
A
B
C
如图△ ABC 中， AB AC BC，则△ ABC 是等边三
角形.
等边三角形的性质：
A
三边都相等，三个内角都相等，并且
每一个角都等于 60 ．
等边三角形的判定： ⑴ 三条边都相等的三角形是等边三 角形． ⑵ 三个角都相等的三角形是等边三 角形． ⑶ 有一个角是 60 的等腰三角形是 等边三角形．
A
F E
B
D
C
（2）如图， △ ABC 中， ACB 90 ，A 20 ，将△ ABC 绕点 C 按逆时针方向旋转 a 角
到△ A' B 'C ' 的位置， B 在 A'B' 上， CA' 交 AB 于 D ，则 BDC
．
B B'
D
C
A'
注意旋转前后，对 应边相等，进而形 成等腰三角形．
A
【 巩 固 】 如 图 ， 在 △ ABC 中 ， AB AC ，AD AE ，BAD 60 ， 则 EDC 的 度 数
A 30°
CD 1 AD 2
D
C
第 7 页 共 19 页
让进步看得见
（2）等边三角形内任意一点到三边距离和是一个定值， 等于一边上的高．
PE PF PH AD
A
E
F
P
B HD
C
常见图形：
A
A
A
E
F
O
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EF 60°
B
CB
C
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C
A
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A F
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EC
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A
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C
如图， △ABC 是等边三角形，则
AB AC BC，A B C 60°
A
B
C
若 AB AC BC ，则 △ABC 是等边三角形
若 A B C ，则 △ABC 是等边三角形
若 AB AC ，A 60°（或 B 60 ，或 C 60 ），
则 △ABC 是等边三角形
（1）含 30°的直角三角形：在直角三角形中， 30 所对 的直角边等于斜边的一半．
八年级数学
成长手册
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让进步看得见
等腰三角形与等边三角形
模块一 等腰三角形
等腰三角形的性质： （1）等边对等角，等角对等边 （2）等腰三角形是轴对称图形，底边上的高线、中线、顶角的角平分线互相重合——简称 三线合一
等腰三角形的顶点一定在底边的__________上． 等腰三角形的判定： （1）从边入手，证明两边相等 （2）从角入手，证明一个三角形的两个角相等
线上，连接 BD ，取 BD 的中点 M ，连接 ME 、MC ，是判断△ EMC 的形状，并说明理由．
B M D
E
A
C
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让进步看得见
【例 7】如图，已知 AC 平分 DAB ，CE AB 于 E ，AB AD 2BE ，则下列结论：
① AE 1 AB AD ； ②
)
A． 4.8cm
B． 9.6cm
C． 2.4cm
D．1.2cm
（2）若已知 A 36 ， C 72 ， BD 平分 ABC 交 AC 于 D ，若已知 AD 4 cm ，
则 BC ＝
cm ．
A
D
B
C
☞等腰三角形的存在性与分类讨论
【例 4】如图，等腰△ ABC 中，底边 BC a ，A 36 ，ABC 的平分线交 AC 于 D ，BCD
构造等腰三角形常用的方法： (1)“角平分线+平行线”构造等腰三角形； （2）“角平分线+垂线”构造等腰三角形； （3）“垂直平分线”构造等腰三角形； （4）“三角形中 2 倍关系”构造等腰三角形．
等边对等角模型
等角对等边模型
等腰三角形三线合一模型
角平分线+平行
角平分线+垂直
垂直平分线
三角形中角的2倍关系
2
S△ ACE S△ BCE S△ ADC ．
其中正确的的是
．
DAB DCB 180 ； ③
CD CB ； ④
D
C
A
E
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【例 8】如图，在等腰三角形 ABC 中，ACB 90 ，D 为 BC 的中点， DE AB 垂足为 E ， 过点 B 作 BF ∥ AC 交 DE 的延长线于点 F ，连接 CF 交 AD 于 G ． （1）求证： AD CF ； （2）连接 AF ，试判断△ ACF 的形状，并说明理由．