2020-2021学年湖北省武汉二中广雅中学八年级(上)训练数学试卷(一) 解析版

2020-2021学年湖北省武汉二中广雅中学八年级（上）训练数学
试卷（一）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）有4cm和6cm的两根小棒，请你再找一根小棒，并以这三根小棒为边围成一个三角形，下列长度的小棒可选的是（）
A．1cm B．2cm C．7cm D．10cm
2．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠C＝70°，则外角∠ABD的度数是（）
A．110°B．120°C．130°D．140°
3．（3分）如图，AD⊥BC，GC⊥BC，CF⊥AB，垂足分别是D、C、F，下列说法中，错误的是（）
A．△ABC中，AD是边BC上的高
B．△ABC中，GC是边BC上的高
C．△GBC中，GC是边BC上的高
D．△GBC中，CF是边BG上的高
4．（3分）如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是（）
A．三角形的稳定性B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线D．垂线段最短
5．（3分）已知等腰三角形的两边长分别为4cm、8cm，则该等腰三角形的周长是（）A．12cm B．16cm C．16cm或20cm D．20cm
6．（3分）如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（）A．6B．7C．8D．9
7．（3分）如图，BE、CF是△ABC的角平分线，∠ABC＝80°，∠ACB＝60°，EB、CF 相交于D，则∠CDE的度数是（）
A．130°B．70°C．80°D．75°
8．（3分）下列说法中，正确的个数有（）
①若三条线段中有两条线段之和大于第三条线段，则以这三条线段为边可作一个三角形；
②一个三角形中，至少有一个角不小于60°；
③三角形的外角大于与它不相邻的任意一个内角；
④一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的内角和就增加180°．
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．（3分）如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第10个图形需要黑色棋子的个数是（）
A．140B．120C．99D．86
10．（3分）如图，BD、BE分别是△ABC的高线和角平分线，点F在CA的延长线上，FH ⊥BE交BD于点G，交BC于点H．下列结论：①∠F＝（∠BAC﹣∠C）；②∠BEF ＝（∠BAF+∠C）；③∠FGD＝2∠ABE+∠C；④∠DBE＝∠F．其中正确的个数是
（）
A．①②④B．①②③C．②③④D．①②③④
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）五边形的内角和是，外角和是，对角线有条．
12．（3分）三角形的两边长分别为3和5，那么第三边a的取值范围是．
13．（3分）如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为．
14．（3分）已知，AD是△ABC的高，∠BAD＝80°，∠CAD＝20°，则∠BAC＝．15．（3分）如图，△ABC中，D是AB的中点，且AE：CE＝3：1，S△CEP＝1，则S△BPC＝．
16．（3分）一个锐角三角形，所有内角的度数均为正整数，且最小角是最大角的，则这个锐角三角形三个内角的度数为．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）解方程组（不等式组）：
（1）解方程组；
（2）解不等式组，并在数轴上表示解集．
18．（8分）如图，在△ABC中，∠B的平分线BD交AC边于点D，点E在CA的延长线上，∠BAE＝128°，∠C＝48°，试求∠BDE的度数．
19．（8分）某校组织七年级同学到教育基地学习，在安排男生宿舍时如果每间宿舍住4人，则还剩20人未住下，如果每间宿舍住8人，则没有空房，且有一间宿舍未住满，求该校七年级有多少名男生参加学习？
20．（8分）如图，每个小正方形的边长为1，三角形ABC的三个顶点都在格点（小正方形的顶点）上．
（1）平移三角形ABC，使顶点A平移到点D的位置，得到三角形DEF，画出三角形DEF （点B的对应点为点E）；
（2）若∠A＝50°，在（1）中所作的图中，求出直线AC与直线DE相交所得的锐角的度数，并说明理由；
（3）线段AB扫过的面积为．
21．（8分）如图，△ABC中，∠B＝2∠C，AE平分∠BAC．
（1）若AD⊥BC于D，∠C＝35°，求∠DAE的大小；
（2）若EF⊥AE交AC于F，求证：∠C＝2∠FEC．
22．（10分）某公司为员工配备办公用品，计划购买A、B两种计算器共100个，要求A种计算器数量不低于B种的，且不高于B种的．已知A、B两种计算器的单价分别是150元/个、100元/个，设购买A种计算器x个．
（1）用含x的代数式表示购买这两种计算器所需费用y＝（元）；
（2）请求出A种计算器可购买的最大数量；
（3）由于市场行情波动，实际购买时，A种计算器单价下调了3m（m＞0）元/个，同时B种计算器单价上调了2m元/个，公司预计用12000元至12500元购买这100个计算器，在（2）的结论下，当A种计算器购买最多时，求整数m的最大值．
23．（10分）（1）如图1，四边形ABCD中，∠ABC和∠BCD的平分线交于点P，已知∠A+∠D＝140°，求∠P的度数；
（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC和∠ADC外角的三等分线交于点P，已知∠ABC ＝3∠ABP，∠ADE＝3∠ADP，请写出∠A、∠C与∠P的数量关系，并证明；
（3）如图3，E在CD边的延长线上，F在AD边的延长线上，∠BAD和∠DEF的平分线交于点P，请直接写出∠B、∠C、∠F、∠P的数量关系：．
24．（12分）如图1，平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b），C（﹣1，﹣3），AC交y 轴于D点，BC交x轴于E点，已知+（b﹣2）2＝0．
（1）求△ABC的面积和D点坐标；
（2）如图2，M点在x轴上，直线DM交线段AB于N点，若S△BCN＝，求M点坐标；
（3）如图3，G点在线段OA上，H点在线段AB上，∠BGH＝α，∠OBG和∠AHG的平分线交于P点，当∠P变化的过程中，始终有为定值，求α的值．
2020-2021学年湖北省武汉二中广雅中学八年级（上）训练数学
试卷（一）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）有4cm和6cm的两根小棒，请你再找一根小棒，并以这三根小棒为边围成一个三角形，下列长度的小棒可选的是（）
A．1cm B．2cm C．7cm D．10cm
【分析】根据三角形的三边关系可得6﹣4＜第三根小棒的长度＜6+4，再解不等式可得答案．
【解答】解：设第三根小棒的长度为xcm，
由题意得：6﹣4＜x＜6+4，
解得：2＜x＜10，
故选：C．
2．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠C＝70°，则外角∠ABD的度数是（）
A．110°B．120°C．130°D．140°
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【解答】解：由三角形的外角性质的，∠ABD＝∠A+∠C＝50°+70°＝120°．
故选：B．
3．（3分）如图，AD⊥BC，GC⊥BC，CF⊥AB，垂足分别是D、C、F，下列说法中，错误的是（）
A．△ABC中，AD是边BC上的高
B．△ABC中，GC是边BC上的高
C．△GBC中，GC是边BC上的高
D．△GBC中，CF是边BG上的高
【分析】根据三角形的高线的定义对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、∵AD⊥BC，
∴△ABC中，AD是边BC上的高正确，故本选项错误；
B、AD是△ABC的边BC上的高，GC不是，故本选项正确；
C、∵GC⊥BC，
∴△GBC中，GC是边BC上的高正确，故本选项错误；
D、∵CF⊥AB，
∴△GBC中，CF是边BG上的高正确，故本选项错误．
故选：B．
4．（3分）如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是（）
A．三角形的稳定性B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线D．垂线段最短
【分析】根据三角形的稳定性即可解决问题．
【解答】解：根据三角形的稳定性可固定窗户．
故选：A．
5．（3分）已知等腰三角形的两边长分别为4cm、8cm，则该等腰三角形的周长是（）A．12cm B．16cm C．16cm或20cm D．20cm
【分析】题中没有指明哪个是底哪个是腰，所以应该分两种情况进行分析．
【解答】解：当腰长为4cm时，4+4＝8cm，不符合三角形三边关系，故舍去；
当腰长为8cm时，符合三边关系，其周长为8+8+4＝20cm．
故该三角形的周长为20cm．
故选：D．
6．（3分）如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（）A．6B．7C．8D．9
【分析】根据多边形的内角和公式及外角的特征计算．
【解答】解：多边形的外角和是360°，根据题意得：
180°•（n﹣2）＝3×360°
解得n＝8．
故选：C．
7．（3分）如图，BE、CF是△ABC的角平分线，∠ABC＝80°，∠ACB＝60°，EB、CF 相交于D，则∠CDE的度数是（）
A．130°B．70°C．80°D．75°
【分析】由BE、CF是△ABC的角平分线，∠ABC＝80°，∠ACB＝60°，根据角平分线的定义，可求得∠EBC与∠FCB的度数，然后又三角形外角的性质，求得∠CDE的度数．
【解答】解：∵BE、CF是△ABC的角平分线，∠ABC＝80°，∠ACB＝60°，
∴∠CBE＝∠ABC＝40°，∠FCB＝∠ACB＝30°，
∴∠CDE＝∠CBE+∠FCB＝70°．
故选：B．
8．（3分）下列说法中，正确的个数有（）
①若三条线段中有两条线段之和大于第三条线段，则以这三条线段为边可作一个三角形；
②一个三角形中，至少有一个角不小于60°；
③三角形的外角大于与它不相邻的任意一个内角；
④一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的内角和就增加180°．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】分别根据三角形的三边关系，三角形的内角和定理，三角形的外角性质以及多
边形的内角和公式逐一判断即可．
【解答】解：①若三条线段中有两条线段之和大于第三条线段，则以这三条线段为边可作一个三角形，说法错误；改正为：若任意两条线段之和大于第三条线段，则以这三条线段为边可作一个三角形；
②一个三角形中，至少有一个角不小于60°，说法正确；
③三角形的外角大于与它不相邻的任意一个内角，说法正确；
④一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的内角和就增加180°，说法正确．
所以正确的个数有3个．
故选：C．
9．（3分）如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第10个图形需要黑色棋子的个数是（）
A．140B．120C．99D．86
【分析】结合图形，发现：第1个图形中黑色棋子的个数是2×3﹣3；第2个图形中黑色棋子的个数是3×4﹣4；依此类推即可求解．
【解答】解：第10个图形需要黑色棋子的个数是11×12﹣12＝120（个）．
故选：B．
10．（3分）如图，BD、BE分别是△ABC的高线和角平分线，点F在CA的延长线上，FH ⊥BE交BD于点G，交BC于点H．下列结论：①∠F＝（∠BAC﹣∠C）；②∠BEF ＝（∠BAF+∠C）；③∠FGD＝2∠ABE+∠C；④∠DBE＝∠F．其中正确的个数是（）
A．①②④B．①②③C．②③④D．①②③④【分析】①根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确；
②根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确；
③证明∠DBE＝∠BAC﹣∠C，根据①的结论，证明结论正确；
④根据BD⊥FD，FH⊥BE和∠FGD＝∠BGH，证明结论正确；
【解答】解：∵BD⊥FD，
∴∠FGD+∠F＝90°，
∵FH⊥BE，
∴∠BGH+∠DBE＝90°，
∵∠FGD＝∠BGH，
∴∠DBE＝∠F，故④正确；
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∠BEF＝∠CBE+∠C，
∴2∠BEF＝∠ABC+2∠C，
∠BAF＝∠ABC+∠C，
∴2∠BEF＝∠BAF+∠C，即∠BEF＝（∠BAF+∠C），故②正确；
∵∠AEB＝∠EBC+∠C，
∵∠ABE＝∠CBE，
∴∠AEB＝∠ABE+∠C，
∵BD⊥FC，FH⊥BE，
∴∠FGD＝∠FEB，
∴∠FGD＝∠CBE+∠C＝∠ABE+∠C，故③错误，
∵∠ABD＝90°﹣∠BAC，∠DBE＝∠ABE﹣∠ABD＝∠ABE﹣90°+∠BAC＝∠CBD﹣∠DBE﹣90°+∠BAC，∠CBD＝90°﹣∠C，
∴∠DBE＝∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，
∵∠DBE＝∠F，
∴∠F＝∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，
∴∠F＝（∠BAC﹣∠C）；故④正确；
故选：A．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）五边形的内角和是540°，外角和是360°，对角线有5条．【分析】利用多边形内角和公式和对角线总条数计算公式进行计算即可．
【解答】解：五边形的内角和是180°×（5﹣2）＝540°，
外角和是360°，
对角线条数：＝5．
故答案为：540°；360°；5．
12．（3分）三角形的两边长分别为3和5，那么第三边a的取值范围是2＜a＜8．【分析】根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可得答案．
【解答】解：根据三角形的三边关系：5﹣3＜a＜3+5，
解得：2＜a＜8．
故答案为：2＜a＜8．
13．（3分）如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为360°．
【分析】连接AD，利用三角形内角和定理可得∠B+∠C＝∠1+∠2，然后利用四边形内角和为360°可得答案．
【解答】解：连接AD，
在△AOD和△BOC中，
∵∠AOD＝∠BOC，
∴∠B+∠C＝∠1+∠2，
∴∠B+∠C+∠BAF+∠EDF＝∠1+∠2+∠BAF+∠EDF＝∠EDA+∠F AD，
∵∠EDA+∠F AD+∠E+∠F＝360°，
∴∠BAF+∠EDF+∠B+∠C+∠E+∠F＝360°，
故答案为：360°．
14．（3分）已知，AD是△ABC的高，∠BAD＝80°，∠CAD＝20°，则∠BAC＝100°或60°．
【分析】分高AD在△ABC内部和外部两种情况讨论求解即可．
【解答】解：①如图1，当高AD在△ABC的内部时，
∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝80°+20°＝100°；
②如图2，当高AD在△ABC的外部时，
∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝80°﹣20°＝60°，
综上所述，∠BAC的度数为100°或60°．
故答案为：100°或60°．
15．（3分）如图，△ABC中，D是AB的中点，且AE：CE＝3：1，S△CEP＝1，则S△BPC＝4．
【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，得到S△ADC＝S△BCD，S△P AD ＝S△PBD，进一步得到S△BPC＝S△APC，结合同高不等底的三角形面积关系求出S△AEP＝3，即可求得S△APC＝4，得到△BPC的面积为4．
【解答】解：连接P A，
∵D是AB的中点，
∴S△ADC＝S△BCD，S△P AD＝S△PBD，
∴S△BPC＝S△APC，
∵AE：CE＝3：1，S△CEP＝1，
∴S△AEP＝3S△CEP＝3，
∴S△APC＝4，
∴S△BPC＝4，
故答案为4．
16．（3分）一个锐角三角形，所有内角的度数均为正整数，且最小角是最大角的，则这个锐角三角形三个内角的度数为17°，78°，85°．
【分析】设最小角是x，则可以表示出另外两个角，根据角之间的大小关系可列不等式，解不等式即可得到这个三角形的最大角的度数．
【解答】解：设最小角是x，则最大角是5x，中间一个是180﹣x﹣5x＝180﹣6x，
∵该三角形是锐角三角形，
∴x≤180°﹣6x≤5x＜90°，
∴16≤x＜18，
∴x＝17°，
∴5x＝85°．
∴这个锐角三角形三个内角的度数为17°，78°，85°．
故答案为：17°，78°，85°．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）解方程组（不等式组）：
（1）解方程组；
（2）解不等式组，并在数轴上表示解集．
【分析】（1）①×5+②能求出x，把x的值代入①求出y即可；
（2）先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．【解答】解：（1），
①×5+②得：17x＝34，
解得：x＝2，
把x＝2代入①得：6﹣y＝7，
解得：y＝﹣1，
所以原方程组的解为；
（2），
解不等式①得：x＜3，
解不等式②得：x≥﹣2，
∴不等式组的解集为﹣2≤x＜3，
在数轴上表示不等式组的解集为：
．
18．（8分）如图，在△ABC中，∠B的平分线BD交AC边于点D，点E在CA的延长线上，∠BAE＝128°，∠C＝48°，试求∠BDE的度数．
【分析】结合图形根据三角形的外角的性质，先求∠ABC的度数，运用角平分线的定义求∠CBD，再根据三角形的外角的性质求解．
【解答】解：∵∠ABC＝∠BAE﹣∠C＝128°﹣48°＝80°，
∠CBD＝∠ABC＝40°，
∴∠BDE＝∠C+∠CBD＝48°+40°＝88°．
19．（8分）某校组织七年级同学到教育基地学习，在安排男生宿舍时如果每间宿舍住4人，则还剩20人未住下，如果每间宿舍住8人，则没有空房，且有一间宿舍未住满，求该校七年级有多少名男生参加学习？
【分析】设共有x间男生宿舍，则该校七年级有（4x+20）名男生参加学习，根据“如果每间宿舍住8人，则没有空房，且有一间宿舍未住满”，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再结合x为正整数即可得出结论．
【解答】解：设共有x间男生宿舍，则该校七年级有（4x+20）名男生参加学习，
依题意，得：，
解得：5＜x＜7．
又∵x为正整数，
∴x＝6，
∴4x+20＝44．
答：该校七年级有44名男生参加学习．
20．（8分）如图，每个小正方形的边长为1，三角形ABC的三个顶点都在格点（小正方形的顶点）上．
（1）平移三角形ABC，使顶点A平移到点D的位置，得到三角形DEF，画出三角形DEF
（点B的对应点为点E）；
（2）若∠A＝50°，在（1）中所作的图中，求出直线AC与直线DE相交所得的锐角的度数，并说明理由；
（3）线段AB扫过的面积为10．
【分析】（1）分别作出B，C的对应点E，F即可．
（2）利用平行线的性质解决问题即可．
（3）根据平行四边形的性质解决问题即可．
【解答】解：（1）如图，三角形DEF即为所求．
（2）∵DE∥AB，
∴∠1＝∠A＝50°，
∴直线AC与直线DE相交所得的锐角的度数为50°．
（3）S平行四边形ABED＝2×5＝10，
故答案为10．
21．（8分）如图，△ABC中，∠B＝2∠C，AE平分∠BAC．
（1）若AD⊥BC于D，∠C＝35°，求∠DAE的大小；
（2）若EF⊥AE交AC于F，求证：∠C＝2∠FEC．
【分析】（1）首先计算出∠B，∠BAC的度数，然后可得∠EAC＝37.5°，再根据直角三角形两锐角互余可得∠DAC的度数，进而可得答案；
（2）首先证明∠DAE＝∠FEC，然后再根据三角形内角和定理可得∠EAC＝90°﹣∠C，再利用角之间的和差关系可得∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC，利用等量代换可得∠DAE＝，进而可得结论．
【解答】（1）解：∵∠C＝35°，∠B＝2∠C，
∴∠B＝70°，
∴∠BAC＝75°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC＝37.5°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DAC＝55°，
∴∠DAE＝55°﹣37.5°＝17.5°；
（2）证明：∵EF⊥AE，
∴∠AEF＝90°，
∴∠AED+∠FEC＝90°，
∵∠DAE+∠AED＝90°，
∴∠DAE＝∠FEC，
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC＝∠BAC＝（180°﹣∠B﹣∠C）＝（180°﹣3∠C）＝90°﹣∠C，∵∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC，
∴∠DAE＝∠DAC﹣（90°﹣∠C）＝90°﹣∠C﹣90°+∠C＝∠C，
∴∠FEC＝C，
∴∠C＝2∠FEC．
22．（10分）某公司为员工配备办公用品，计划购买A、B两种计算器共100个，要求A种计算器数量不低于B种的，且不高于B种的．已知A、B两种计算器的单价分别是150元/个、100元/个，设购买A种计算器x个．
（1）用含x的代数式表示购买这两种计算器所需费用y＝50x+10000（元）；
（2）请求出A种计算器可购买的最大数量；
（3）由于市场行情波动，实际购买时，A种计算器单价下调了3m（m＞0）元/个，同时B种计算器单价上调了2m元/个，公司预计用12000元至12500元购买这100个计算器，在（2）的结论下，当A种计算器购买最多时，求整数m的最大值．
【分析】（1）设购买A种计算器x个，则购买B种计算器（100﹣x）个，根据总价＝单价×数量，即可得出y与x之间的函数关系式；
（2）根据“购买A种计算器数量不低于B种的，且不高于B种的”，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之取其最大值即可得出结论；
（3）根据总价＝单价×数量结合公司预计用12000元至12500元购买这100个计算器，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再取其中的最大整数值即可得出结论．
【解答】解：（1）设购买A种计算器x个，则购买B种计算器（100﹣x）个，
∴购买这两种计算器所需费用y＝150x+100（100﹣x）＝50x+10000．
故答案为：50x+10000．
（2）依题意，得：，
解得：20≤x≤25．
答：A种计算器可购买的最大数量为25个．
（3）依题意，得：，
解得：10≤m≤16．
又∵m为正整数，
∴m可以取的最大值为16．
答：整数m的最大值为16．
23．（10分）（1）如图1，四边形ABCD中，∠ABC和∠BCD的平分线交于点P，已知∠A+∠D＝140°，求∠P的度数；
（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC和∠ADC外角的三等分线交于点P，已知∠ABC ＝3∠ABP，∠ADE＝3∠ADP，请写出∠A、∠C与∠P的数量关系，并证明；
（3）如图3，E在CD边的延长线上，F在AD边的延长线上，∠BAD和∠DEF的平分线交于点P，请直接写出∠B、∠C、∠F、∠P的数量关系：∠F+∠B+C﹣2∠P＝180°．
【分析】（1）先由四边形内角和定理求出∠ABC+∠DCB＝220°，再由角平分线定义得出∠PBC+∠PCB＝110°，最后根据三角形内角和定理求出∠P＝70°即可；
（2）设∠ABP＝x，∠ADP＝y，可得∠ABC＝3x，∠ADE＝3y，由“8”字形可得x﹣y ＝∠P﹣∠A，根据四边形内角和定理可得出3∠P﹣2∠A+∠C＝180°；
（3）设∠BAP＝∠F AP＝x，∠CEP＝∠FEP＝y，由“8”字形可得x﹣y＝∠F﹣∠P，根据四边形内角和定理可得出∠F+∠B+∠C﹣2∠P＝180°．
【解答】解：（1）∵∠A+∠ABC+∠BCD+∠D＝360°，且∠A+∠D＝140°，
∴∠ABC+∠BCD＝360°﹣（∠A+∠D）＝360°﹣140°＝220°，
∵PB，PC分别是∠ABC和∠BCD的平分线，
∴∠PBC+∠PCB＝110°，
∴∠P＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣110°＝70°；
（2）设∠ABP＝x，∠ADP＝y，则∠ABC＝3x，∠ADE＝3y，
由“8”字形可得∠A+x＝∠P+y，
∴x﹣y＝∠F﹣∠P，
∵∠A+3x+∠C+180°﹣3y＝360°，
∴∠A+3（∠P﹣∠A）+∠C＝180°，
∴3∠P﹣2∠A+∠C＝180°；
（3）设∠BAP＝∠F AP＝x，∠CEP＝∠FEP＝y，
由“8”字形可得∠P+x＝∠F+y，
∴x﹣y＝∠F﹣∠P，
∵∠ADC＝360°﹣∠B﹣∠C﹣2x＝∠EDF＝180°﹣∠F﹣2y，
∴180°﹣∠B﹣∠C﹣2x+2y+∠F＝0，即180°﹣∠B﹣∠C﹣2（∠F﹣∠P）+∠F＝0∴∠F+∠B+C﹣2∠P＝180°．
24．（12分）如图1，平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b），C（﹣1，﹣3），AC交y 轴于D点，BC交x轴于E点，已知+（b﹣2）2＝0．
（1）求△ABC的面积和D点坐标；
（2）如图2，M点在x轴上，直线DM交线段AB于N点，若S△BCN＝，求M点坐标；
（3）如图3，G点在线段OA上，H点在线段AB上，∠BGH＝α，∠OBG和∠AHG的平分线交于P点，当∠P变化的过程中，始终有为定值，求α的值．
【分析】（1）利用非负数的性质求出a，b的值，再利用分割法求出三角形的面积即可．
（2）首先证明BN＝AB，推出点N的坐标，利用面积法求出AM的长即可解决问题．（3）如图3中，由题意可以假设∠OBG＝∠PBG＝x，∠AHP＝∠GHP＝y．由∠P＝α﹣（x+y），∠OAB＝α+90°﹣（2x+y），因为当∠P变化的过程中，始终有为定值，推出α+90°＝2α可得结论．
【解答】解：（1）∵+（b﹣2）2＝0，
又∵≥0，（b﹣2）2≥0，
∴a＝3，b＝2，
∴A（3，0），B（0，2），
∵C（﹣1，﹣3），
∴S△ABC＝4×5﹣×1×5﹣×2×3﹣×3×4＝，
∵S△ABC＝•BD•（x A﹣x C），
∴BD＝，
∴OD＝BD﹣OB＝，
∴D（0，）．
（2）如图2中，作NJ⊥OA于J．
∵S△BCN＝＝S△ABC，
∴BN＝AB，
∴N（，），
∴S△ADN＝S△ABD＝×××3＝，
∴•AM•（+）＝，
∴AM＝，
∴OM＝OA﹣AM＝3﹣＝．
∴M（，0）．
（3）如图3中，由题意可以假设∠OBG＝∠PBG＝x，∠AHP＝∠GHP＝y．
∵∠BGH＝∠PBG+∠PHG+∠P，
∴α＝x+y+∠P，
∴∠P＝α﹣（x+y），
∵∠OGH＝∠GHA+∠OAB，
∴90﹣2x+α＝2y+∠OAB，
∴∠OAB＝α+90°﹣（2x+y），
∵当∠P变化的过程中，始终有为定值，
∴α+90°＝2α，
∴α＝90°．。