第03章静电场的边值问题详解

关键：确定镜像电荷的大小及其位置。
局限性：仅仅对于某些特殊的边界以及特殊分布的电荷才有 可能确定其镜像电荷。
（1）点电荷与无限大的导体平面
P q h h q P
r q
r
介质
导体
r
介质 介质
以一个处于镜像位置的点电荷代替边界的影响，使整个空间 变成均匀的介电常数为 的空间，则空间任一点 P 的电位由 q 及 q' 共同产生，即
或
的值，则泊松方程或拉普拉斯方程在场 n
因此，对于导体边界的静电场问题，当边界上的电位，或电位的法 向导数给定时，或导体表面电荷给定时，空间的静电场即被惟一地确定。
惟一性定理的重要意义
给出了静态场边值问题具有惟一解的条件 为静态场边值问题的各种求解方法提供了理论依据 为求解结果的正确性提供了判据
静电场的场量与时间无关，因此电位所满足的泊松方程及拉普 拉斯方程的解仅决定于边界条件。根据给定的边界条件求解空间任
一点的电位就是静电场的边值问题。
通常给定的边界条件有三种类型： 第一类边界条件给定的是边界上的物理量，这种边值问题又称 为狄利克雷问题。 第二类边界条件是给定边界上物理量的法向导数值，这种边值 问题又称为诺依曼问题。
（第一类边值问题）
例：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y
b
0 x
U0
0 x
o
a
x
（第三类边值问题）
惟一性定理的证明
反证法：假设解不惟一，则有两个位函数 1
和 2 在场域V内满足同样的方程，即
V
21 f ,
22 f
S
且在边界面S 上满足同样的边界条件。 令 0 1 2 ，则在场域V内
因此，上式就是电位微分方程在自由空间的解。 应用格林函数 G(r , r ' )，即可求出泊松方程的通解为
( r ') (r ) G0 (r , r ) dV V [G0 (r , r ' ) (r ' ) ( r ' )G0 ( r , r ' )] dS
V ( )dV S n dS
2
V
可得到
0 V (0 ) dV S 0 n dS 0
2
(0 )2 0
0 0
S
0 C
C 0
S
对于第一类边界条件：0
0
1 2 1 2
对于第二类边界条件：若 1 和 2 取同一点Q为参考点 ，则
' S
式中格林函数 G(r , r ' ) 为
G0 (r , r ' ) 1 4π | r r ' |
对于无限大的自由空间，表面 S 趋向无限远处，由于格林函数
G0 (r , r ' ) 及电位 均与距离成反比，而 dS 与距离平方成正比，所以，
对无限远处的 S 表面，上式中的面积分为零。
y
例：
b
U0
o
a
x
2 2 x 2 y 2 0 (0, y ) 0, (a, y ) 0 ( x, 0) 0, ( x, b) U 0
2 2 x 2 y 2 0 x 0 0, x a 0 x x ( x, 0) 0, ( x, b) U 0
静电场是客观存在的，因此电位微分方程解的存在确信无疑。
由于实际中定解条件是由实验得到的，不可能取得精确的真值， 因此，解的稳定性具有重要的实际意义。 泊松方程及拉普拉斯方程解的稳定性在数学中已经得到证明。 可以证明电位微分方程解也是惟一的。
的边界面S上，给定 域V内具有唯一解。
唯一性定理是静电场边值问题的一个重要定理，表述为：在场域V
第三章
静电场的边值问题
主 要 内 容
电位微分方程，镜像法，分离变量法。
作业：3-4、3-19
*3-1 电位微分方程及其解的唯一性
已知，电位 与电场强度
E
对上式两边取散度，得
E 的关系为
E 2
对于线性各向同性的均匀介质，电场强度 E 的散度为
E
2
20 21 22 f f 0
且在边界面S 上有
0 S 1 S 2
或
S
0 或
S1
0
S1
1
S1
2
0,
0 1 2 S S n n n 0 1 2 S2 S2 n n n
S
0 0
S2
由格林第一恒等式
0
Q
0
S1
C 0
0
对于第三类边界条件：0
C 0
1 2
3-2 镜像法
实质:是以一个或几个等效电荷代替边界的影响，将原来具 有边界的非均匀空间变成无限大的均匀自由空间，从而使计算过
程大为简化。
依据：惟一性定理。因此，等效电荷的引入必须维持原来的 边界条件不变，从而保证原来区域中静电场没有改变，这是确定 等效电荷的大小及其位置的依据。这些等效电荷通常处于镜像位 置，因此称为镜像电荷，而这种方法称为镜像法。
若 V 为无源区，那么上式中的体积分为零。因此，第二项面积
分可以认为是泊松方程在无源区中的解，或者认为是拉普拉斯方程 以格林函数表示的积分解。 数学物理方程是描述物理量随空间和时间的变化规律。对于某 一特定的区域和时刻，方程的解取决于物理量的初始值与边界值， 这些初始值和边界值分别称为初始条件和边界条件，两者又统称为 该方程的定解条件。
第三类边界条件是给定一部分边界上的物理量及另一部分边界
上物理量的法向导数值，这种边界条件又称为混合边界条件。
对于任何数学物理方程需要研究解的存在、稳定及惟一性问题。 解的存在是指在给定的定解条件下，方程是否有解。 解的稳定性是指当定解条件发生微小变化时，所求得的解是否会 发生很大的变化。 解的惟一性是指在给定的定解条件下所求得的解是否惟一。
那么，线性各向同性的均匀介质中，电位满足的微分方程式为
该方程称为泊松方程。

对于无源区，上式变为
2 0
上式称为拉普拉斯方程。
泊松方程的求解
(r ' ) 在无限大的自由空间产生的 已知分布在 V 中的电荷 电位为 1 (r ' ) (r ) dV ' V 4π |r r |