一元二次方程题型分类的总结
一元二次方程应用题总结归类及典型例题
一元二次方程应用题总结分类及经典例题1、列一元二次方程解应用题的特点列一元二次方程解应用题是列一元一次方程解应用题的继续和发展，从xx 解应用题的方法来讲，列出一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题是非常相似的，由于一元一次方程未知数是一次，因此这类问题大部分都可通过算术方法来解决．如果未知数出现二次，用算术方法就很困难了，正由于未知数是二次的，所以可以用一元二次方程解决有关面积问题，经过两次增长的平均增长率问题，数学问题中涉及积的一些问题，经营决策问题等等．2、列一元二次方程解应用题的一般步骤和列一元一次方程解应用题一样，列一元二次方程解应用题的一般步骤是：“审、设、列、解、答”．(1)“审”指读懂题目、审清题意，明确已知和未知，以及它们之间的数量关系．这一步是解决问题的基础；(2)“设”是指设元，设元分直接设元和间接设元，所谓直接设元就是问什么设什么，间接设元虽然所设未知数不是我们所要求的，但由于对xx有利，因此间接设元也十分重要．恰当灵活设元直接影响着xx与xx的难易；(3)“列”是xx，这是非常重要的步骤，xx就是找出题目中的等量关系，再根据这个相等关系列出含有未知数的等式，即方程．找出相等关系xx是解决问题的关键；(4)“解”就是求出所xx的解；(5)“答”就是书写答案，应注意的是一元二次方程的解，有可能不符合题意，如线段的xx不能为负数，降低率不能大于100%等等．因此，解出方程的根后，一定要进行检验．3、数与数字的关系两位数=(十位数字)×10＋个位数字三位数=(百位数字)×100＋(十位数字)×10＋个位数字4、翻一番翻一番即表示为原量的2倍，翻两番即表示为原量的4倍．5、增长率问题(1)增长率问题的有关公式：增长数=基数×增长率实际数=基数＋增长数(2)两次增长，且增长率相等的问题的基本等量关系式为：原来的×(1＋增长率)增长期数=后来的说明：(1)上述相等关系仅适用增长率相同的情形；(2)如果是下降率，则上述关系式为：原来的×(1－增长率)下降期数=后来的6、利用一元二次方程解几何图形中的有关计算问题的一般步骤(1)整体地、系统地审读题意；(2)寻求问题中的等量关系(依据几何图形的性质)；(3)设未知数，并依据等量关系列出方程；(4)正确地求解方程并检验解的合理性；(5)写出答案．7、xx解应用题的关键(1)审题是设未知数、xx的基础，所谓审题，就是要善于理解题意，弄清题中的已知量和未知数，分清它们之间的数量关系，寻求隐含的相等关系；(2)设未知数分直接设未知数和间接设未知数，这就需根据题目中的数量关系正确选择设未知数的方法和正确地设出未知数．8、xx解应用题应注意：(1)要充分利用题设中的已知条件，善于分析题中隐含的条件，挖掘其隐含关系；(2)由于一元二次方程通常有两个根，为此要根据题意对两根加以检验．即判断或确定方程的根与实际背景和题意是否相符，并将不符合题意和实际意义的（一）传播问题1.市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格。
一元二次方程必考题型
一元二次方程必考题型
（原创实用版）
目录
一、一元二次方程的概述
二、一元二次方程的必考题型
三、如何解决一元二次方程的必考题型
四、总结
正文
【一、一元二次方程的概述】
一元二次方程是指形如 ax+bx+c=0 的方程，其中 a、b、c 为已知数，且 a≠0。
它是初中数学中的重要内容，也是高中数学的基础知识。
一元二次方程的解法主要包括配方法、公式法和韦达定理等。
【二、一元二次方程的必考题型】
在一元二次方程的考试中，以下几种题型是经常出现的：
1.根据一元二次方程的根与系数的关系，求解方程的根。
2.给定一元二次方程的根，求解方程。
3.根据一元二次方程的解的判别式，判断方程的根的情况。
4.利用一元二次方程的解法，解决实际问题。
【三、如何解决一元二次方程的必考题型】
1.对于第一种题型，我们可以根据一元二次方程的根与系数的关系，直接得出答案。
2.对于第二种题型，我们可以利用一元二次方程的求根公式，将已知的根代入公式，解出方程。
3.对于第三种题型，我们可以根据一元二次方程的解的判别式，判断方程的根的情况。
如果判别式大于 0，则方程有两个不相等的实数根；如果判别式等于 0，则方程有两个相等的实数根；如果判别式小于 0，则方程无实数根。
4.对于第四种题型，我们首先需要根据题目的要求，列出一元二次方程，然后利用一元二次方程的解法，求解方程，最后得出答案。
【四、总结】
一元二次方程是数学中的基础知识，也是各类考试中的常考点。
一元二次方程应用题总结归类及典型例题库
一元二次方程应用题总结分类及经典例题1、列一元二次方程解应用题的特点列一元二次方程解应用题是列一元一次方程解应用题的继续和发展,从列方程解应用题的方法来讲,列出一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题是非常相似的,由于一元一次方程未知数是一次,因此这类问题大部分都可通过算术方法来解决．如果未知数出现二次,用算术方法就很困难了,正由于未知数是二次的,所以可以用一元二次方程解决有关面积问题,经过两次增长的平均增长率问题,数学问题中涉及积的一些问题,经营决策问题等等．2、列一元二次方程解应用题的一般步骤和列一元一次方程解应用题一样,列一元二次方程解应用题的一般步骤是：“审、设、列、解、答”．1“审”指读懂题目、审清题意,明确已知和未知,以及它们之间的数量关系．这一步是解决问题的基础；2“设”是指设元,设元分直接设元和间接设元,所谓直接设元就是问什么设什么,间接设元虽然所设未知数不是我们所要求的,但由于对列方程有利,因此间接设元也十分重要．恰当灵活设元直接影响着列方程与解方程的难易；3“列”是列方程,这是非常重要的步骤,列方程就是找出题目中的等量关系,再根据这个相等关系列出含有未知数的等式,即方程．找出相等关系列方程是解决问题的关键；4“解”就是求出所列方程的解；5“答”就是书写答案,应注意的是一元二次方程的解,有可能不符合题意,如线段的长度不能为负数,降低率不能大于100%等等．因此,解出方程的根后,一定要进行检验．3、数与数字的关系两位数=十位数字×10＋个位数字三位数=百位数字×100＋十位数字×10＋个位数字4、翻一番翻一番即表示为原量的2倍,翻两番即表示为原量的4倍．5、增长率问题1增长率问题的有关公式：增长数=基数×增长率实际数=基数＋增长数2两次增长,且增长率相等的问题的基本等量关系式为：原来的×1＋增长率增长期数=后来的说明：1上述相等关系仅适用增长率相同的情形；2如果是下降率,则上述关系式为：原来的×1－增长率下降期数=后来的6、利用一元二次方程解几何图形中的有关计算问题的一般步骤1整体地、系统地审读题意；2寻求问题中的等量关系依据几何图形的性质；3设未知数,并依据等量关系列出方程；4正确地求解方程并检验解的合理性；5写出答案．7、列方程解应用题的关键1审题是设未知数、列方程的基础,所谓审题,就是要善于理解题意,弄清题中的已知量和未知数,分清它们之间的数量关系,寻求隐含的相等关系；2设未知数分直接设未知数和间接设未知数,这就需根据题目中的数量关系正确选择设未知数的方法和正确地设出未知数．8、列方程解应用题应注意：1要充分利用题设中的已知条件,善于分析题中隐含的条件,挖掘其隐含关系；2由于一元二次方程通常有两个根,为此要根据题意对两根加以检验．即判断或确定方程的根与实际背景和题意是否相符,并将不符合题意和实际意义的一传播问题1.市政府为了解决市民看病难的问题,决定下调药品的价格;某种药品经过连续两次降价后,由每盒200元下调至128元,则这种药品平均每次降价的百分率为2.有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了个人;3.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是91,每个支干长出小分支;4.参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛,共比赛45场比赛,共有个队参加比赛;5.参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛,共比赛90场比赛,共有个队参加比赛;6.生物兴趣小组的学生,将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件,全组共互赠了182件,这个小组共有多少名同学7.一个小组有若干人,新年互送贺卡,若全组共送贺卡72张,这个小组共有多少人8.某种电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析,每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑若病毒得不到有效控制,3轮感染后,被感染的电脑会不会超过700台二平均增长率问题变化前数量×1 x n＝变化后数量1.青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200公斤,2003年平均每公顷产8450公斤,水稻每公顷产量的年平均增长率为;2.某种商品经过两次连续降价,每件售价由原来的90元降到了40元,求平均每次降价率是;3.周嘉忠同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”,到期后将本金和利息取出,并将其中的500元捐给“希望工程”,剩余的又全部按一年定期存入,这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的60%,这样到期后,可得本金和利息共530元,求第一次存款时的年利率.利息税为20%,只需要列式子;4.某种商品,原价50元,受金融危机影响,1月份降价10％,从2月份开始涨价,3月份的售价为元,求2、3月份价格的平均增长率;5.某药品经两次降价,零售价降为原来的一半,已知两次降价的百分率相同,求每次降价的百分率6.为了绿化校园,某中学在2007年植树400棵,计划到2009年底使这三年的植树总数达到1324棵,求该校植树平均每年增长的百分数;7.王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”,到期后将本金和利息取出,并将其中的500元捐给“希望工程”,剩余的又全部按一年定期存入,这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%,这样到期后,可得本金和利息共530元,求第一次存款时的年利率.假设不计利息税三商品销售问题售价—进价=利润单件利润×销售量=总利润单价×销售量=销售额1.某商店购进一种商品,进价30元．试销中发现这种商品每天的销售量P件与每件的销售价X元满足关系：P=100-2X销售量P,若商店每天销售这种商品要获得200元的利润,那么每件商品的售价应定为多少元每天要售出这种商品多少件2.某玩具厂计划生产一种玩具熊猫,每日最高产量为４０只,且每日产出的产品全部售出,已知生产ⅹ只熊猫的成本为Ｒ元,售价每只为Ｐ元,且Ｒ、Ｐ与x的关系式分别为R=500+30X,P=170—2X;1当日产量为多少时每日获得的利润为1750元2若可获得的最大利润为1950元,问日产量应为多少3.某水果批发商场经销一种高档水果,如果每千克盈利10元,每天可售出500千克,经市场调查发现,在进货价不变的情况下,若每千克涨价1元,日销售量将减少20千克;现该商品要保证每天盈利6000元,同时又要使顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少元4. 服装柜在销售中发现某品牌童装平均每天可售出２０件,每件盈利４０元;为了迎接“六一”儿童节,商场决定采取适当的降价措施,扩大销售量,增加盈利,减少库存;经市场调查发现,如果每件童装每降价４元,那么平均每天就可多售出８件;要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元,那么每件童装应降价多少元5. 西瓜经营户以２元／千克的价格购进一批小型西瓜,以３元／千克的价格出售,每天可售出２００千克;为了促销,该经营户决定降价销售;经调查发现,这种小型西瓜每降价元/千克,每天可多售出40千克;另外,每天的房租等固定成本共２４元;该经营户要想每天盈利200元,应将每千克小型西瓜的售价降低多少元6. 益群精品店以每件21元的价格购进一批商品,该商品可以自行定价,若每件商品售价a 元,则可卖出350－10a 件,但物价局限定每件商品的利润不得超过20%,商店计划要盈利400元,需要进货多少件每件商品应定价多少7. 利达经销店为某工厂代销一种建筑材料这里的代销是指厂家先免费提供货源,待货物售出后再进行结算,未售出的由厂家负责处理;当每吨售价为260元时,月销售量为45吨;该经销店为提高经营利润,准备采取降价的方式进行促销;经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时,月销售量就会增加吨;综合考虑各种因素,每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元;1当每吨售价是240元时,计算此时的月销售量；2在遵循“薄利多销”的原则下,问每吨材料售价为多少时,该经销店的月利润为9000元;3小静说：“当月利润最大时,月销售额也最大;”你认为对吗请说明理由;8. 国家为了加强对香烟产销的宏观管理,对销售香烟实行征收附加税政策. 现在知道某种品牌的香烟每条的市场价格为70元,不加收附加税时, 每年产销100万条,若国家征收附加税,每销售100元征税x 元叫做税率x%, 则每年的产销量将减少10x 万条.要使每年对此项经营所收取附加税金为168万元,并使香烟的产销量得到宏观控制,年产销量不超过50万条,问税率应确定为多少9. 春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游,推出了如图1对话中收费标准.某单位组织员工去天水湾风景区旅游,共支付给春秋旅行社旅游费用27000元.请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游四面积问题判断清楚要设什么是关键1. 一个直角三角形的两条直角边的和是14cm,面积是24cm 2,两条直角边的长分别是;2.一个直角三角形的两条直角边相差5㎝,面积是7㎝2,斜边的长是; 3.一个菱形两条对角线长的和是10㎝,面积是12㎝2,菱形的周长是;结果保留小数点后一位 4. 为了绿化学校,需移植草皮到操场,若矩形操场的长比宽多14米,面积是3200平方米则操场的长为米,宽为米;5. 若把一个正方形的一边增加2cm,另一边增加1cm,得到的矩形面积的2 倍比正方形的面积多11cm 2,则原正方形的边长为cm.6. 如图,在长为10cm,宽为8cm 的矩形的四个角上截去四个全等的正方形,使得留下的图形图中阴影部分面积是原矩形面积的80％,所截去的小正方形的边长是;7. 张大叔从市场上买回一块矩形铁皮,他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后,剩下的部分刚好能围成一个容积为15立方米的无盖长方体箱子,且此长方体箱子的底面长比宽多2米,现已购买这种铁皮每平方米需20元如果人数超过25人,每增加1人,人均旅游费用降低20元,但人均旅游费用不得低700元. 如果人数不超过25人,人均旅游费用为1000元.钱,问张大叔购买这张铁皮共花了是元钱8.如图,在宽为20m ,长为30m ,的矩形地面上修建两条同样宽且互相垂直的道路,余分作为耕地为551㎡;则道路的宽为是;9.如图某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙墙长18m,另三边用木栏围成,木栏长35m;①鸡场的面积能达到150m2吗②鸡场的面积能达到180m2吗如果能,请你给出设计方案；如果不能,请说明理由;3若墙长为a m,另三边用竹篱笆围成,题中的墙长度a m对题目的解起着怎样的作用五工程问题1.某公司需在一个月31天内完成新建办公楼的装修工程．如果由甲、乙两个工程队合做,12天可完成；如果由甲、乙两队单独做,甲队比乙队少用10天完成．1求甲、乙两工程队单独完成此项工程所需的天数．2如果请甲工程队施工,公司每日需付费用2000元；如果请乙队施工,公司每日需付费用1400元．在规定时间内：A．请甲队单独完成此项工程出．B请乙队单独完成此项工程；C．请甲、乙两队合作完成此项工程．以上三种方案哪一种花钱最少2.搬运一个仓库的货物,如果单独搬空,甲需10小时完成,乙需12小时完成,丙需15小时完成,有货物存量相的两个仓库A和B,甲在A仓库,乙在B仓库同时开始搬运货物,丙开始帮助甲搬运,中途又转向帮助乙,最后两个仓库的货物同时搬完,丙帮助甲乙各多少时间列式子3.乙两人都以不变的速度在环形路上跑步,相向而行,每隔2分钟相遇一次；同向而行,每隔6分钟相遇一次,已知甲比乙跑得快,求甲、乙每分钟各跑几圈4.某油库的储油罐有甲、乙两个注油管,单独开放甲管注满油罐比单独开放乙管注满油罐少用4小时,两管同时开放3小时后,甲管因发生故障停止注油,乙管继续注油9小时后注满油罐,求甲、乙两管单独开放注满油罐时各需多少小时六行程问题1、A、B两地相距82km,甲骑车由A向B驶去,9分钟后,乙骑自行车由B出发以每小时比甲快2km的速度向A驶去,两人在相距B点40km处相遇;问甲、乙的速度各是多少甲、乙二人分别从相距20千米的A、B两地以相同的速度同时相向而行,相遇后,二人继续前进,乙的速度不变,甲每小时比原来多走1千米,结果甲到达B地后乙还需30分钟才能到达A地,求乙每小时走多少千米．3、甲、乙两个城市间的铁路路程为1600公里,经过技术改造,列车实施了提速,提速后比提速前速度增加20公里/小时,列车从甲城到乙城行驶时间减少4小时,这条铁路在现有的安全条件下安全行驶速度不得超过140公里/小时.请你用学过的数学知识说明在这条铁路现有的条件下列车还可以再次提速.4、甲、乙两人分别骑车从A,B两地相向而行,甲先行1小时后,乙才出发,又经过4小时两人在途中的C地相遇,相遇后两人按原来的方向继续前进;乙在由C地到达A地的途中因故停了20分钟,结果乙由C地到达A地时比甲由C地到达B地还提前了40分钟,已知乙比甲每小时多行驶4千米,求甲、乙两人骑车的速度;七、增长率问题：1、恒利商厦九月份的销售额为200万元,十月份的销售额下降了20%,商厦从十一月份起加强管理,改善经营,使销售额稳步上升,十二月份的销售额达到了万元,求这两个月的平均增长率.2、某种电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析,每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑若病毒得不到有效控制,3轮感染后,被感染的电脑会不会超过700台3、王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”,到期后将本金和利息取出,并将其中的500元捐给“希望工程”,剩余的又全部按一年定期存入,这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%,这样到期后,可得本金和利息共530元,求第一次存款时的年利率.假设不计利息税4、周嘉忠同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”,到期后将本金和利息取出,并将其中的500元捐给“希望工程”,剩余的又全部按一年定期存入,这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的60%,这样到期后,可得本金和利息共530元,求第一次存款时的年利率.利息税为20%,只需要列式子5、市政府为了解决市民看病难的问题,决定下调药品的价格;某种药品经过连续两次降价后,由每盒200元下调至128元,则这种药品平均每次降价的百分率为七、动态几何：1、已知：如图3-9-3所示,在△ 中, .点从点开始沿边向点以1cm/s的速度移动,点从点开始沿边向点以2cm/s的速度移动.1如果分别从同时出发,那么几秒后,△ 的面积等于4cm22如果分别从同时出发,那么几秒后, 的长度等于5cm3在1中,△ 的面积能否等于7cm2说明理由.八、其他类型题：1、象棋比赛中,每个选手都与其他选手恰好比赛一局,每局赢者记2分,输者记0分.如果平局,两个选手各记1分,领司有四个同学统计了中全部选手的得分总数,分别是1979,1980,1984,1985.经核实,有一位同学统计无误.试计算这次比赛共有多少个选手参加.2、机械加工需要用油进行润滑以减少摩擦,某企业加工一台大型机械设备润滑用油量为90千克,用油的重复利用率为60%,按此计算,加工一台大型机械设备的实际耗油量为36千克．为了建设节约型社会,减少油耗,该企业的甲、•乙两个车间都组织了人员为减少实际耗油量进行攻关．1甲车间通过技术革新后,加工一台大型机械设备润滑油用油量下降到70千克,用油的重复利用率仍然为60%．问甲车间技术革新后,加工一台大型机械设备的实际耗油量是多少千克2乙车间通过技术革新后,不仅降低了润滑用油量,•同时也提高了用油的重复利用率,并且发现在技术革新的基础上,润滑用油量每减少1千克,用油量的重复利用率将增加%．这样乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到12千克．问乙车间技术革新后,加工一台大型机械设备润滑用油量是多少千克用油的重复利用率是多少。
九年级数学--一元二次方程题型总结
一元二次方程题型总结【一】一元二次方程的定义与解【题型一】应用一元二次方程的定义，求字母的值例1、当a 为何值时，关于x 的方程（a -1）x |a|+1+2x -7=0是一元二次方程？【题型二】一元二次方程解的应用例1、关于x 的一元二次方程（a -1）x 2+x+|a|-1=0的一个根是0，则实数a 的值为（ ）A ．-1B ．0C ．-1D ．-1或1例2、已知多项式ax 2-bx+c ，当x=1时，它的值是0；当x=-2时，它的值是1（1）试求a+b 的值（2）直接写出关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0的一个根【题型三】一元二次方程拓展开放型题例1、已知关于x 的方程（k 2-1）x 2-（k+1）x -2=0（1）当k 取何值时，此方程为一元一次方程？并求出此方程的根（2）当k 取何值时，此方程为一元二次方程？写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项。
巩 固 练 习1、下列方程中，是一元二次方程的为（ ）A. x 2= -1B. 2x （x -1）+1=2x 2C. x 2+3x=2xD. ax 2+bx+c -0 2、已知关于x 的方程mx 2+(m -1)x -1=2x 2-x ，当m 取什么值时，这个方程是一元二次方程？3、若关于x 的一元二次方程（a -2）x 2+ 是一元二次方程，则a 的取值范围是4、把方程 (x -1)2-3x （x -2）=2（x+2）+1化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项5、若a 是方程x 2-3x+1=0的一个根，求2a 2-5a -2+231a +的值6、若关于x 的方程ax 2+bx+c=0（a≠0）中，abc 满足a+b+c=0和a -b+c=0，则方程的根是（ ）A. 1，0B. -1，0C. 1，-1D. 1，27、已知x=1是一元二次方程ax 2+bx -40=0的一个解，且a≠b ，求2222a b a b--的值【二】一元二次方程的解法一、直接开平方法1、下列方程能用直接开平方法求解的是（ ）A. 5x 2+2=0B. 4x 2-2x -1=0C. 12(x -2)2=4 D. 3x 2+4=2 2、若关于x 的一元二次方程5x 2-k=0有实数根，则k 的取值范围是_________3、已知(a 2+b 2-1)2=9，则a 2+b 2=_________4、已知一元二次方程ax 2+bx+c=0的一个根是1，且a ，b 满足等式4，求方程13y 2-2c=0的根5、用开平方法解下列方程（1）2 9(x 1)25-= （2）()26x 181-= （3）(x -1)2=(3x -4)2二、配方法1、（1）x 2--____)2 （2）3x 2+12x+____=3(x+____)2 （3）12x 2-5x+____=12(x -____)2 2、若x 2+ax+9是关于x 的完全平方式，则常数a 的值是__________3、多项式4x 2+1加上一个单项式后，成为一个整式的完全平方，那么加上的这个单项式可以是4、一元二次方程x 2-px+1=0配方后为(x -q)2=15，那么一元二次方程x 2-px -1=0配方后为（ ）A. (x -4)2=17B. (x+4)2=15C. (x+4)2=17D. (x -4)2=17或(x+4)2=175、若x 为任意实数，则x 2+4x+7的最小值为__________★★★★当x=_______时，代数式3x 2-2x+1有最_______（填大或小）值为_______6、用配方法证明：关于x 的方程(m 2-12m+37)x 2+3mx+1=0，无论m 为何值，此方程都是一元二次方程。
一元二次方程经典题型汇总
一元二次方程经典题型汇总将一元二次方程化为完全平方形式，然后两边开平方根，得到方程的解。
2、因式分解法：将一元二次方程化为两个一次因式的乘积形式，然后根据乘积为零的性质求解。
3、配方法：通过添加或减少一个适当的常数，将一元二次方程化为完全平方形式，然后利用完全平方公式求解。
4、公式法：利用求根公式，直接求解一元二次方程的解。
三、例题解析1、用直接开平方法求解方程x2+6x+9=0.解：将方程变形为(x+3)2=0，然后两边开平方根，得到x=-3.所以方程的解为x=-3.2、用因式分解法求解方程x2-5x+6=0.解：将方程因式分解为(x-2)(x-3)=0，然后根据乘积为零的性质得到x=2或x=3.所以方程的解为x=2或x=3.3、用配方法求解方程2x2-5x+2=0.解：为了将方程化为完全平方形式，需要在方程两边同时加上一个适当的常数，使得方程的左边成为一个完全平方。
可以发现，2x2-5x+2=2(x-1)(x-2)+2，所以方程可以化为2(x-1)2=0.然后利用完全平方公式，得到x=1或x=2.所以方程的解为x=1或x=2.4、用公式法求解方程3x2-4x+1=0.解：根据求根公式，方程的解为x=[4±√(16-4*3*1)]/(2*3)，化简可得到x=1/3或x=1.所以方程的解为x=1/3或x=1.四、练题1、用直接开平方法求解方程2x2-12x+18=0.2、用因式分解法求解方程x2+7x+10=0.3、用配方法求解方程x2+4x-5=0.4、用公式法求解方程x2-2x+1=0.5、求解方程2x2-5x-3=0的解法有哪些？分别求出方程的解。
答案：1、将方程变形为x2-6x+9=0，然后利用直接开平方法，得到x=3.所以方程的解为x=3.2、将方程因式分解为(x+5)(x+2)=0，然后根据乘积为零的性质，得到x=-5或x=-2.所以方程的解为x=-5或x=-2.3、为了将方程化为完全平方形式，需要在方程两边同时加上一个适当的常数，使得方程的左边成为一个完全平方。
一元二次方程的应用题分类题型汇总
一元二次方程的应用（设未知数——找等量关系——求解——检验）一、商品销售问题售价—进价=利润单价×销售量=销售额一件商品的利润×销售量=总利润1、某种服装，平均每天可以销售20件，每件盈利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？2、某化工材料经售公司购进了一种化工原料,进货价格为每千克30元.物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元,也不得低于30元.市场调查发现：单价每千克70元时日均销售60kg；单价每千克降低一元,日均多售2kg。
在销售过程中,每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时,按一天计算）.如果日均获利1950元,求销售单价3、某商店购进一种商品，进价30元．试销中发现这种商品每天的销售量P(件)与每件的销售价X(元)满足关系：P=100-2X销售量P，若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？4、某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为４０只，且每日产出的产品全部售出，已知生产ⅹ只熊猫的成本为Ｒ（元），售价每只为Ｐ（元），且ＲＰ与x的关系式分别为R=500+30X，P=170—2X。
（１）当日产量为多少时每日获得的利润为１７５０元？（２）若可获得的最大利润为１９５０元，问日产量应为多少？二、行程问题路程=速度*时间相遇路程=速度和*相遇时间追及问题=速度差*追及时间顺水速度=船速（静水中的速度）+ 水流速度逆流速度=船速（静水中的速度）—水流速度1、甲乙二人分别从相聚20千米的A、B两地以相同的速度同时相向而行，相遇后，二人继续前进，乙的速度不变，甲每小时比原来多走1千米，结果甲到达B地后乙还需30分钟才能到达A地，求乙每小时走多少千米？2、甲、乙两个城市间的铁路路程为1600公里，经过技术改造，列车实施了提速，提速后比提速前速度增加20公里/小时，列车从甲城到乙城行驶时间减少4小时，这条铁路在现有的安全条件下安全行驶速度不得超过140公里/小时.请你用学过的数学知识说明在这条铁路现有的条件下列车还可以再次提速.3、一个自行车队进行训练，训练时所有队员都以35千米/时的速度前进，突然，1号队员以45千米/时的速度独自前进，行进10千米后调转车头，仍以45千米/时的速度往回骑，直到与其他队员会合，1号队员从离队开始到与队员重新会合，经过了多少时间。
一元二次方程与实际问题题型归纳
一元二次方程与实际问题题型归纳在我们的数学学习中，一元二次方程是一个非常重要的知识点，它不仅在理论上有着重要的地位，而且在解决实际问题中也有着广泛的应用。
接下来，让我们一起来归纳一下一元二次方程在实际问题中的常见题型。
一、增长率问题增长率问题是一元二次方程在实际生活中常见的应用之一。
例如，某公司去年的利润为 100 万元，今年的利润比去年增长了 20%，明年预计在今年的基础上再增长 10%，求明年的利润。
设明年的利润为 x 万元，今年的利润为 100×（1 ＋ 20%）＝ 120 万元，明年的利润为 120×（1 ＋ 10%）＝ x 万元，整理可得方程：＼＼begin{align}120×（1 ＋ 10%）＆＝x\＼120×11&＝x\＼132&＝x＼end{align}＼在这类问题中，通常设原来的量为 a，平均增长率为 x，增长后的量为 b，经过 n 次增长后的公式为：＼（b ＝ a(1 ＋ x)＾n\）；若为平均降低率，则公式为：＼（b ＝ a(1 x)＾n\）。
二、面积问题面积问题也是常见的题型之一。
比如，要在一块长方形的土地上建造一个花园，已知长方形的长比宽多 10 米，面积为 2400 平方米，求长方形的长和宽。
设长方形的宽为 x 米，则长为(x ＋ 10)米，根据长方形面积公式可得方程：＼＼begin{align}x(x ＋ 10)＆＝2400\＼x^2 ＋ 10x 2400&＝0\＼（x 40)（x ＋ 60)＆＝0＼end{align}＼解得＼（x ＝ 40\）或＼（x ＝－60\）（舍去），所以长方形的宽为 40 米，长为 50 米。
解决面积问题时，关键是要根据图形的形状和面积公式，找出等量关系，列出方程。
三、销售利润问题销售利润问题常常涉及到商品的进价、售价、销售量和利润等因素。
例如，某商品的进价为每件 20 元，售价为每件 30 元，每天可卖出 100 件。
一元二次方程应用题七大题型
一元二次方程应用题七大题型
1. 求解物体运动距离
题型：一个物体从静止开始运动，加速度为 a，运动时间为 t。
求物体运动的距离。
公式：距离 = (1/2) 加速度时间²
2. 求解物体最终速度
题型：一个物体从静止开始运动，加速度为 a，运动时间为 t。
求物体最终速度。
公式：最终速度 = 加速度时间
3. 求解物体运动时间
题型：一个物体从静止开始运动，最终速度为 v，加速度为 a。
求物体运动的时间。
公式：时间 = 最终速度 / 加速度
4. 求解物体加速度
题型：一个物体从静止开始运动，运动时间为 t，最终速度为v。
求物体加速度。
公式：加速度 = 最终速度 / 时间
5. 求解运动物体速度
题型：一个物体从静止开始运动，在 t1 时刻速度为 v1，在
t2 时刻速度为 v2。
求物体在 t3 时刻的速度。
公式：速度 = (最终速度 - 初始速度) / (最终时间 - 初始
时间)
6. 求解运动物体加速度变化率
题型：一个物体的加速度从 a1 变化到 a2，时间间隔为Δt。
求加速度的变化率。
公式：加速度变化率 = (最终加速度 - 初始加速度) / 时间间隔
7. 求解运动物体速度变化率
题型：一个物体的速度从 v1 变化到 v2，时间间隔为Δt。
求速度的变化率。
公式：速度变化率 = (最终速度 - 初始速度) / 时间间隔。
一元二次方程常见题型总结
一元二次方程常见题型总结一元二次方程常见题型总结题型1：一元二次方程的概念1.若方程$(a-1)x^2-3x+2=0$是关于$x$的一元二次方程，则$a$的取值范围为【】（A）$a\neq1$（B）$a>1$（C）$a\neq1$（D）$a>1$答案：$a\neq1$2.若$1-3$是方程$x^2-2x+c=0$的一个根，则$c$的值为【】（A）$-2$（B）$4/3$（C）$3/2$（D）$4$答案：$4/3$3.已知关于$x$的一元二次方程$(k+4)x^2+3x+k^2+3k-4=0$的一个根为$0$，且$k$的值为【】答案：$k=-4$或$k=1$题型2：一元二次方程的解法4.一个等腰三角形的底边长是$6$，腰长是一元二次方程$x^2-7x+12=0$的一个根，则此三角形的周长是【】（A）$12$（B）$13$（C）$14$（D）$12$或$14$答案：$14$5.方程$(x+3)^2=5(x+3)$的解为__________。
答案：$x=-2$或$x=2$6.用适当的方法解下列方程：1）$4x^2-144=0$；（2）$2x^2+3x=3$；（3）$x^2-2x-24=0$；（4）$x(2x-5)=4x-10$。
题型3：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系定理7.已知$a,b,c$为常数，点$P(a,c)$在第二象限，则关于$x$的方程$ax^2+bx+c=0$的根的情况是【】（A）有两个相等的实数根（B）有两个不相等的实数根（C）没有实数根（D）无法判断答案：$B$8.若关于$x$的一元二次方程$x^2+(2k-1)x+k^2-1=0$没有实数根，则$k$的取值范围为__________。
答案：$k1$9.已知关于$x$的一元二次方程$x^2+(2k+1)x+k^2=0$有两个不相等的实数根。
1）求$k$的取值范围；2）设方程的两个实数根分别为$x_1,x_2$，当$k=1$时，求$x_1^2+x_2^2$的值。
一元二次方程各类题型汇总
一元二次方程题型汇总一、填空题： 1、方程(x –1)(2x +1)=2化成一般形式是 ，它的二次项系数是 .2、关于x 的方程是(m 2–1)x 2+(m –1)x –2=0，那么当m 时，方程为一元二次方程； 当m 时，方程为一元一次方程.3、方程0322=+x x 的根是 .4、当k = 时，方程0)1(2=+++k x k x 有一根是0.5、若方程kx 2–6x +1=0有两个实数根，则k 的取值范围是 .6、设x 1、x 2是方程3x 2+4x –5=0的两根，则=+2111x x .x 12+x 22= . 7、关于x 的方程2x 2+(m 2–9)x +m +1=0，当m = 时，两根互为倒数； 当m = 时，两根互为相反数.8、若x 1 =23-是二次方程x 2+ax +1=0的一个根，则a = ， 该方程的另一个根x 2 = .9、方程x 2+2x +a –1=0有两个负根，则a 的取值范围是 .10、若p 2–3p –5=0，q 2－3q –5=0，且p ≠q ，则=+2211pq . 11、分解因式：122--x x = ，2232y xy x --= .12、请写出一个一元二次方程使它有一个根为3 ， .13、如果把一元二次方程 x 2–3x –1=0的两根各加上1作为一个新一元二次方程的两根， 那么这个新一元二次方程是 .14、已知方程0)1(2=+++k x k x 的两根平方和是5，则k = .二、选择题：1、方程012=--kx x 的根的情况是（ ）（A ）方程有两个不相等的实数根 （B ）方程有两个相等的实数根（C ）方程没有实数根 （D ）方程的根的情况与k 的取值有关2、已知方程22=+x x ，则下列说中，正确的是（ ）（A ）方程两根和是1 （B ）方程两根积是2（C ）方程两根和是－1 （D ）方程两根积是两根和的2倍3、已知方程062=--kx x 的两个根都是整数，则k 的值可以是（ ）（A ）—1 （B ）1 （C ）5 （D ）以上三个中的任何一个4、若一元二次方程 2x （kx －4）－x 2＋6 ＝ 0 无实数根，则k 的最小整数值是（ ）（A ）－1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 5、若c 为实数，方程x 2－3x ＋c ＝0的一个根的相反数是方程x 2＋3x －3＝0的一个根，那么方程x 2 －3x ＋c ＝0的根是（ ）（A ）1，2 （B ）－1，－2 （C ）0，3 （D ）0，－3 6、若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝ 0 （a ≠0） 的两根之比为2：3，那么a 、b 、c 间的关系应当是( ） （A ）3b 2＝8ac （B ）a c a b 2325922= （C ）6b 2＝25ac （D ）不能确定 三、解下列方程：（1）9)12(2=-x （2）42)2)(1(+=++x x x(3) 3x 2–4x –1=0 (4)4x 2–8x +1=0（用配方法）四、求证：不论k 取什么实数，方程x 2-(k+6)x+4(k- 3)=0一定有两个不相等的实数根.五、若方程 x 2＋mx －15 ＝ 0 的两根之差的绝对值是8，求ｍ的值.六、某商店4月份销售额为50万元，第二季度的总销售额为182万元，，求月平均增长率.七、 已知a 、b 、c 为三角形三边长，且方程b (x 2-1)-2ax+c (x 2+1)=0有两个相等的实数根.试判断此三角形形状，说明理由.八、综合应用题1. 分式1872---x x x 的值是0，则__________=x 2. 已知053)23(6522=+++-+-x x m m m m ,是关于x 的二次方程, 则m ＝图1图233. 设b a ,是一个直角三角形两条直角边的长，且12)1)((2222=+++b a b a ，则这个直角三角形的斜边长为4. 如果两个连续整数的积为210，那么这两个数是5. 已知实数x 满足+++x x x 22101=x ,那么x x 1+的值为 6.如图中的每个图是由若干盆花组成的形如三角形的图案,每条边(包括两个顶点)有n(n>1)盆花,每个图案花盆的总数是s 按此推断s 与n 的关系是 .n=2,s=3n=3,s=6n=4,s=9 7.观察下列一组图形，根据其变化规律，可得第10个图形中三角形的个数为8.等腰三角形的两边的长是方程091202=+-x x 的两个根，则此三角形的周长为 （ ）A. 27B. 33C. 27和33D.以上都不对9. 合肥百货大搂服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了迎接“十•一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存.经市场调查发现：如果每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出8件.要想平均每天销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装因应降价多少元？10. 解答题：方程01)3()1(12=--+++x m x m m ；（1）m 取何值时是一元二次方程，并求出此方程的解；（2）m 取何值时是一元一次方程；11.已知a 、b 、c 均为实数且0)3(11222=+++++-c b a a ，求方程02=++c bx ax 的根；12.试证明关于x 的方程012)208(22=+++-ax x a a 无论a 取何值，该方程都是一元二次方程；13.两个正方形，小正方形的边长比大正方形的边长的一半多4cm ，大正方形的面积比小正方形的面积的2倍少32cm2，求大小两个正方形的边长。
一元二次方程常考题型
一元二次方程常考题型在数学中，一元二次方程是一种常见的方程形式，以"x"作为未知数，可用一般形式表示为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知数且a≠0。
解一元二次方程的方法有多种，包括因式分解法、配方法、求根公式等。
下面将介绍常见的一元二次方程考题类型及解题方法。
一、因式分解法1. 完全平方当一元二次方程可经过因式分解后（如(ax + b)(cx + d)）形成完全平方时，可以直接利用完全平方公式进行求解。
例题1：求解方程x^2 + 6x + 9 = 0。
解析：将方程左侧进行因式分解得到(x+3)^2=0，利用完全平方公式可以解得x=-3。
2. 利用特殊因式公式在一元二次方程中，如果出现常见特殊因式公式，也可以通过因式分解法进行求解。
例题2：求解方程x^2 + 8x + 15 = 0。
解析：观察方程右侧的常数项15，找到两个数的乘积等于15且和等于8，可以得到因式分解为(x+5)(x+3)=0，解得x=-5或x=-3。
二、配方法1. 配方法对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，如果其中a、b为整数，可以通过"配方"的方法将方程转化为一个完全平方的形式。
例题3：求解方程x^2 + 7x + 12 = 0。
解析：先找到方程中二次项系数为7的一半，即7/2=3.5，然后用3.5^2=12.25减去加法常数项12，得到所需的差值0.25。
将这个差值作为新的常数项加入到方程中，即得到(x + 3.5)^2 = 0.25。
再开根号得到x + 3.5 = ±0.5，解得x=-3或x=-4。
三、求根公式一元二次方程的求根公式是一种常用的解法，它可以用来求解任何一元二次方程。
求根公式可表示为：x = (-b ± √(b^2-4ac)) / 2a例题4：求解方程x^2 - 5x + 6 = 0。
解析：根据求根公式，将方程的系数代入公式得到x = (5 ± √(5^2-4*1*6)) / (2*1)，化简后得到x = 2 或 x = 3。
一元二次方程常见题型
一元二次方程常见题型
一元二次方程是数学中常见的一种形式，下面列举几种常见的一元二次方程题型：
1.求根：给定一个一元二次方程，要求求出方程的根。
可以
有实根、复数根以及无解的情况。
2.完全平方：给定一个一元二次方程，要求将其转化为完全
平方的形式，即配方。
3.平移、伸缩与翻折：考察一元二次方程在平移、伸缩和翻
折等变换中的性质。
例如，给定一个二次函数的图像，要
求求出对应的方程。
4.方程组与二次方程：考察一元二次方程与其他线性或非线
性方程的关系。
例如，给定一个二次函数的图像和一条直
线，要求求出二者的交点。
5.题目应用：将实际问题转化为一元二次方程，并求解问题。
例如，给出一个抛物线的方程和一个物体的运动轨迹，要
求求出物体的落地时间和距离等相关信息。
6.图像性质：通过对一元二次函数的图像性质的分析来得出
方程的特征。
例如，给定一个二次函数的图像，要求判断
方程的开口方向、对称轴、顶点等。
这些题型旨在让学生巩固和应用一元二次方程的知识，掌握求解一元二次方程、理解二次函数图像性质以及将问题转化为一元二次方程的能力。
通过解这些题目，学生可以加深对一元二
次方程的理解，并提高解决实际问题的能力。
一元二次方程题型归纳总结
一元二次方程题型归纳总结一元二次方程是高中数学中的重要内容，其解题过程繁多且多样化，掌握不同的题型和解题方法对于学生来说至关重要。
在本文中，我们将对一元二次方程的常见题型进行归纳总结，并提供相应的解题思路和解法。
通过学习和掌握这些题型，相信同学们能够在解题过程中更加灵活和准确地运用相关知识。
1. 完全平方公式题型完全平方公式是解一元二次方程的一种重要方法，其形式为：$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，常用于完全平方形式的方程解题中。
在解答这类题目时，我们可以先判断方程形式是否符合完全平方形式，若是，则使用完全平方公式进行求解。
例题：已知 $x^2+6x+9=0$，求解方程的根。
解答过程：首先，我们可以观察到该方程是完全平方形式的，其形式为$(a+b)^2$，其中 $a=x$，$b=3$。
接下来，应用完全平方公式，我们可以得到 $(x+3)^2=0$。
由完全平方公式可知，$(x+3)^2=0$ 的解为 $x=-3$。
因此，方程的根为 $x=-3$。
2. 因式分解题型因式分解是解一元二次方程的常见方法之一，其基本思路是将方程展开为多个因式的积，并根据乘法的逆运算，求解出方程的根。
在解答因式分解题型时，我们首先要将方程化简为标准的一元二次方程，然后通过因式分解的方法解方程。
例题：已知 $2x^2-7x+3=0$，求解方程的根。
解答过程：首先，我们观察到该方程可以进行因式分解为 $(2x-1)(x-3)=0$ 。
根据乘法的逆运算，我们可以得出 $(2x-1)(x-3)=0$ 的解为$x=\frac{1}{2}$ 和 $x=3$。
因此，方程的根为 $x=\frac{1}{2}$ 和 $x=3$。
3. 二次函数图像题型对于某些问题，我们可以通过绘制二次函数的图像来解决。
在解答二次函数图像题型时，我们首先根据题目中给出的条件，确定二次函数的相关参数，然后绘制函数图像，最后通过图像来确定题目所要求的解。
初中数学《一元二次方程的解法》十大题型含解析
一元二次方程的解法【十大题型】【题型1直接开平方法解一元二次方程】【题型2配方法解一元二次方程】【题型3公式法解一元二次方程】【题型4因式分解法解一元二次方程】【题型5十字相乘法解一元二次方程】【题型6用适当方法解一元二次方程】【题型7用指定方法解一元二次方程】【题型8用换元法解一元二次方程】【题型9解含绝对值的一元二次方程】【题型10配方法的应用】知识点1：直接开平方法解一元二次方程根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法.直接降次解一元二次方程的步骤:①将方程化为x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0,m≠0)的形式；②直接开平方化为两个一元一次方程；③解两个一元一次方程得到原方程的解.【题型1直接开平方法解一元二次方程】1(23-24九年级上·广东深圳·期中)将方程(2x-1)2=9的两边同时开平方，得2x-1=，即2x-1=或2x-1=，所以x1=，x2=．【答案】±33-32-1【分析】依照直接开平方法解一元二次方程的方法及步骤,一步步解出方程即可【详解】∵(2x-1)2=9∴2x-1=±3∴2x-1=3，2x-1=-3∴x1=2，x2=-1【点睛】此题考查解一元二次方程直接开平方法，掌握运算法则是解题关键2(23-24九年级上·贵州遵义·阶段练习)用直接开平方解下列一元二次方程，其中无解的方程为()A.x2+9=0B.-2x2=0C.x2-3=0D.(x-2)2=0【答案】A【分析】根据负数没有平方根即可求出答案．【详解】解：(A )移项可得x 2=-9，故选项A 无解；(B )-2x 2=0，即x 2=0，故选项B 有解；(C )移项可得x 2=3，故选项C 有解；(D )x -2 2=0，故选项D 有解；故选A ．【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法．3(23-24九年级上·陕西渭南·阶段练习)如果关于x 的一元二次方程x -5 2=m -7可以用直接开平方求解，则m 的取值范围是．【答案】m ≥7【分析】根据平方的非负性得出不等式，求出不等式的解集即可．【详解】解：∵方程x -5 2=m -7可以用直接开平方求解，∴m -7≥0，解得：m ≥7，故答案为：m ≥7．【点睛】本题考查了解一元二次方程和解一元一次不等式，能得出关于m 的不程是解此题的关键．4(23-24九年级上·河南南阳·阶段练习)小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：如：解方程x x +4 =6．解：原方程可变形，得：x +2 -2 x +2 +2 =6．x +2 2-22=6，x +2 2=10．直接开平方并整理，得．x 1=-2+10，x 2=-2-10．我们称小明这种解法为“平均数法”(1)下面是小明用“平均数法”解方程x +5 x +9 =5时写的解题过程．解：原方程可变形，得：x +a -b x +a +b =5．x +a 2-b 2=5，∴x +a 2=5+b 2．直接开平方并整理，得．x 1=c ，x 2=d ．上述过程中的a 、b 、c 、d 表示的数分别为______，______，______，______．(2)请用“平均数法”解方程：x -5 x +7 =12．【答案】(1)7，2，-4，-10．(2)x 1=-1+43，x 2=-1-43．【分析】(1)仿照平均数法可把原方程化为x +7 -2 x +7 +2 =5，可得x +7 2=9，再解方程即可；(2)仿照平均数法可把原方程化为x +1 -6 x +1 +6 =12，可得x +1 2=48，再解方程即可；【详解】(1)解：∵x +5 x +9 =5，∴x +7 -2 x +7 +2 =5，∴x +7 2-4=5，∴x +7 2=9，∴x +7=3或x +7=-3，解得：x 1=-4，x 2=-10．∴上述过程中的a 、b 、c 、d 表示的数分别为7，2，-4，-10．(2)∵x -5 x +7 =12，∴x +1 -6 x +1 +6 =12，∴x +1 2-36=12，∴x +1 2=48，∴x +1=43，x +1=-43，解得：x 1=-1+43，x 2=-1-43．【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，新定义运算的含义，理解平均数法结合直接开平方法解一元二次方程是解本题的关键．知识点2配方法解一元二次方程将一元二次方程配成(x +m )2=n 的形式，再用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax 2+bx +c =0(a ≠0)的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．【题型2配方法解一元二次方程】1(23-24九年级上·广东深圳·期中)用配方法解方程，补全解答过程．3x 2-52=12x ．解：两边同除以3，得______________________________．移项，得x 2-16x =56．配方，得_________________________________，即x -112 2=121144．两边开平方，得__________________，即x -112=1112，或x -112=-1112．所以x 1=1，x 2=-56．【答案】x 2-56=16x x 2-16x +112 2=56+112 2 x -112=±1112【分析】方程两边除以3把二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形后，开方即可求出解．【详解】3x 2-52=12x ．解：两边同除以3，得x 2-56=16x ．移项，得x 2-16x =56．配方，得x2-16x+1122=56+112 2，即x-1 122=121144．两边开平方，得x-112=±1112，即x-112=1112，或x-112=-1112．所以x1=1，x2=-5 6．【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．2(23-24九年级下·广西百色·期中)用配方法解方程x2-6x-1=0时，配方结果正确的是()A.x-32=9 B.x-32=10 C.x+32=8 D.x-32=8【答案】B【分析】此题考查了配方法求解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法求解一元二次方程的步骤．根据配方法的步骤，求解即可．【详解】解：x2-6x-1=0移项得：x2-6x=1配方得：x2-6x+9=1+9即x-32=10故选：B3(24-25九年级上·全国·假期作业)用配方法解方程：x2+2mx-m2=0．【答案】x1=-m+2m，x2=-m-2m【分析】本题考查了解一元二次方程--配方法．先移项，再进行配方，最后开方即可得．【详解】解：移项得x2+2mx=m2，配方得x2+2mx+m2=m2+m2，即x+m2=2m2，所以原方程的解为：x1=-m+2m，x2=-m-2m．4(2024·贵州黔东南·一模)下面是小明用配方法解一元二次方程2x2+4x-8=0的过程，请认真阅读并完成相应的任务．解：移项，得2x2+4x=8第一步二次项系数化为1，得x2+2x=4第二步配方，得x+22=8第三步由此可得x+2=±22第四步所以，x1=-2+22，x2=-2-22第五步①小明同学的解答过程，从第步开始出现错误；②请写出你认为正确的解答过程．【答案】①第三步；②详见解析【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法，先将方程2x2+4x-8=0变为x2+2x=4，然后配方为x+12=8，再开平方即可．【详解】解：①小明同学的解答过程，从第三步开始出现错误；②2x2+4x-8=0，移项，得2x2+4x=8，二次项系数化为1，得x2+2x=4，配方，得x+12=5，由此可得x+1=±5，所以，x1=-1+5，x2=-1-5．知识点3公式法解一元二次方程当b2-4ac≥0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)通过配方，其实数根可写为x=-b±b2-4ac2a的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式，把各项系数的值直接代入这个公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.【题型3公式法解一元二次方程】1(23-24九年级上·山西大同·阶段练习)用公式法解关于x的一元二次方程，得x= -6±62-4×4×12×4，则该一元二次方程是．【答案】4x2+6x+1=0【分析】根据公式法的公式x=-b±b2-4ac2a，可得方程的各项系数，即可解答．【详解】解：∵x=-b±b2-4ac2a=-6±62-4×4×12×4，∴a=4，b=6，c=1，从而得到一元二次方程为4x2+6x+1=0，故答案为：4x2+6x+1=0．【点睛】本题考查了用公式法解一元二次方程，熟记公式是解题的关键．2(23-24九年级上·广东深圳·期中)用公式法解一元二次方程：x-23x-5=0．解：方程化为3x2-11x+10=0．a=3,b=，c=10．Δ=b 2-4ac =-4×3×10=1>0．方程实数根．x ==，即x 1=，x 2=53．【答案】-11(-11)2有两个不相等的--11 ±12×311±162【分析】根据公式法解一元二次方程的解法步骤求解即．【详解】解：方程化为3x 2-11x +10=0．a =3，b =-11，c =10．Δ=b 2-4ac =-11 2-4×3×10=1>0．方程有两个不相等的实数根．x =--11 ±12×3=11±16，即x 1=2，x 2=53．故答案为：-11；(-11)2；有两个不相等的；--11 ±12×3；11±16；2．【点睛】本题考查公式法解一元二次方程，熟练掌握公式法解一元二次方程的解法步骤是解答的关键．3(23-24九年级上·河南三门峡·期中)用公式法解方程-ax 2+bx -c =0 (a ≠0)，下列代入公式正确的是()A.x =-b ±b 2-4a ×(-c )2×(-a ) B.x =b ±b 2-4ac2a C.x =b ±b 2-4a ×(-c )2×(-a ) D.x =-b ±b 2-4ac2a【答案】B【分析】先将方程进行化简，然后根据一元二次方程的求根公式，即可做出判断．【详解】解：方程-ax 2+bx -c =0 (a ≠0)可化为ax 2-bx +c =0由求根公式可得：x =-(-b )±(-b )2-4ac 2a =b ±b 2-4ac 2a 故选：B【点睛】本题主要考查了一元二次方程的求根公式，准确的识记求根公式是解答本题的关键．4(23-24九年级上·广东深圳·期中)用求根公式法解得某方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两个根互为相反数，则()A.b =0B.c =0C.b 2-4ac =0D.b +c =0【答案】A【分析】根据求根公式法求得一元二次方程的两个根x 1、x 2，由题意得x 1+x 2=0，可求出b =0．【详解】∵方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两根，∴Δ=b2-4ac≥0且a≠0．求根公式得到方程的根为x=-b±b2-4ac2a，两根互为相反数，所以x1+x2=0，即-b+b2-4ac2a+-b-b2-4ac2a=0，解得b=0．故选：A．【点睛】本题考查了解一元二次方程-公式法，相反数的意义，熟练掌握用公式法解一元二次方程是解题的关键．知识点4因式分解法解一元二次方程当一个一元二次方程的一边是0，另一边能分解为两个一次因式的乘积时，就可以把解这样的一元二次方程转化为解两个一元一次方程，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.【题型4因式分解法解一元二次方程】1(23-24九年级下·安徽亳州·期中)关于x的一元二次方程x x-2=2-x的根是()A.-1B.0C.1和2D.-1和2【答案】D【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先移项，然后利用因式分解法解方程即可得到答案．【详解】解：∵x x-2=2-x，∴x x-2+x-2=0，∴x+1x-2=0，∴x+1=0或x-2=0，解得x=-1或x=2，故选：D．2(23-24九年级上·陕西榆林·阶段练习)以下是某同学解方程x2-3x=-2x+6的过程：解：方程两边因式分解，得x x-3=-2x-3，①方程两边同除以x-3，得x=-2，②∴原方程的解为x=-2．③(1)上面的运算过程第______步出现了错误．(2)请你写出正确的解答过程．【答案】(1)②(2)过程见解析【分析】(1)根据等式的性质作答即可；(2)先移项，然后用因式分解法求解．【详解】(1)解：∵x-3可能为0，∴不能除以x-3，∴第②步出现了错误故答案为②．(2)解：方程两边因式分解，得x x-3=-2x-3，移项，得x x-3+2x-3=0，∴x-3x+2=0，∴x1=3，x2=-2．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．3(23-24九年级下·安徽安庆·期中)对于实数m，n，定义运算“※”：m※n=m2-2n，例如：2※3=22 -2×3=-2．若x※5x=0，则方程的根为()A.都为10B.都为0C.0或10D.5或-5【答案】C【分析】本题考查的知识点是新定义运算、解一元二次方程，解题关键是理解题意．现根据新定义运算得出一元二次方程，再求解即可．【详解】解：根据定义运算m※n=m2-2n可得，x※5x=0即为x2-5x·2=0，即x x-10=0，∴x1=0，x2=10，则方程的根为0或10．故选：C．4(13-14九年级·浙江·课后作业)利用因式分解求解方程(1)4y2=3y；(2)(2x+3)(2x-3)-x(2x+3)=0．【答案】(1)y1=0,y2=34；(2)x1=-32,x2=3【分析】(1)利用移项、提公因式法因式分解求出方程的根；(2)利用提公因式法分解因式求出方程的根.【详解】(1)4y2=3y；4y2-3y=0y(4y-3)=0y=0或4y-3=0∴y1=0,y2=34，故答案为：y1=0,y2=3 4；(2)(2x+3)(2x-3)-x(2x+3)=0(2x+3)(x-3)=02x+3=0或x-3=0 x1=-32,x2=3，故答案为：x1=-32,x2=3．【点睛】本题考查利用因式分解解方程，关键是防止丢掉方程的根．例如：解方程4y2=3y时，给方程两边同除以y，解得y=34，而丢掉y=0的情况．【题型5十字相乘法解一元二次方程】1(23-24九年级下·广西百色·期中)以下是解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一种方法：二次项的系数a分解成a1a2，常数项c分解成c1c2，并且把a1，a2，c1，c2排列为：然后按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若此时满足a1c2+a2c1=b，那么ax2+bx+c=0(a≠0)就可以因式分解为(a1x +c1)(a2x+c2)=0，这种方法叫做“十字相乘法”．那么6x2-11x-10=0按照“十字相乘法”可因式分解为()A.(x-2)(6x+5)=0B.(2x+2)(3x-5)=0C.(x-5)(6x+2)=0D.(2x-5)(3x+2)=0【答案】D【分析】根据“十字相乘法”分解因式得出6x2-11x-10=(2x-5)(3x+2)即可．【详解】∵∴6x2-11x-10=2x-53x+2=0．故选：D．【点睛】本题主要考查了利用因式分解法解一元二次方程以及十字相乘法分解因式，正确分解常数项是解题关键．2(23-24九年级上·江西上饶·期末)试用十字相乘法解下列方程(1)x2+5x+4=0；(2)x2+3x-10=0．【答案】(1)x1=-4，x2=-1；(2)x1=2，x2=-5．【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．(1)利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解可得答案；(2)利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解可得答案．【详解】(1)解：x2+5x+4=0x+4=0x+1x+4=0或x+1=0∴x1=-4，x2=-1；(2)解：x2+3x-10=0x+5=0x-2x+5=0或x-2=0∴x1=2，x2=-5．3(23-24九年级下·广西梧州·期中)解关于x的方程x2-7mx+12m2=0得()A.x1=-3m，x2=4mB.x1=3m，x2=4mC.x1=-3m，x2=-4mD.x1=3m，x2=-4m【答案】B【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用十字相乘法求解即可．直接运用十字相乘法解一元二次方程即可．【详解】解：x2-7mx+12m2=0，x-3mx-4m=0，x-3m=0或x-4m=0，x1=3m，x2=4m．故选B．4(23-24九年级下·重庆·期中)阅读下面材料：材料一：分解因式是将一个多项式化为若干个整式积的形式的变形，“十字相乘法”可把某些二次三项式分解为两个一次式的乘积，具体做法如下：对关于x，y的二次三项式ax2+bxy+cy2，如图1，将x2项系数a=a1⋅a2，作为第一列，y2项系数c=c1⋅c2，作为第二列，若a1c2+a2c1恰好等于xy项的系数b，那么ax2+bxy+cy2可直接分解因式为：ax2+bxy+cy2=a1x+c1ya2x+c2y示例1：分解因式：x2+5xy+6y2解：如图2，其中1=1×1，6=2×3，而5=1×3+1×2；∴x2+5xy+6y2=(x+2y)(x+3y)；示例2：分解因式：x2-4xy-12y2．解：如图3，其中1=1×1，-12=-6×2，而-4=1×2+1×(-6)；∴x2-4xy-12y2=(x-6y)(x+2y)；材料二：关于x，y的二次多项式ax2+bxy+cy2+d x+ey+f也可以用“十字相乘法”分解为两个一次式的乘积．如图4，将a=a1a2作为一列，c=c1c2作为第二列，f=f1f2作为第三列，若a1c2+a2c1=b，a1f2+a2f1=d，c1f2+c2f1=e，即第1、2列，第1、3列和第2、3列都满足十字相乘规则，则原式分解因式的结果为：ax2+bxy+cy2+d x+ey+f=a1x+c1y+f1a2x+c2y+f2；示例3：分解因式：x2-4xy+3y2-2x+8y-3．解：如图5，其中1=1×1，3=(-1)×(-3)，-3=(-3)×1；满足-4=1×(-3)+1×(-1)，-2=1×(-3)+1×1,8=(-3)×(-3)+(-1)×1；∴x2-4xy+3y2-2x+8y-3=(x-y-3)(x-3y+1)请根据上述材料，完成下列问题：(1)分解因式：x2+3x+2=；x2-5xy+6y2+x+2y-20=；(2)若x，y，m均为整数，且关于x，y的二次多项式x2+xy-6y2-2x+my-120可用“十字相乘法”分解为两个一次式的乘积，求出m的值，并求出关于x，y的方程x2+xy-6y2-2x+my-120=-1的整数解．【答案】(1)(x+1)(x+2)，(x-3y+5)(x-2y-4)；(2)m=54m=-56，x=-1y=4和x=2y=-4【分析】(1)①直接用十字相乘法分解因式；②把某个字母看成常数用十字相乘法分解即可；(2)用十字相乘法把能分解的集中情况全部列出求出m值．【详解】解：(1)①1=1×1，2=1×2，3=1×1+1×2，∴原式=(x+1)(x+2)；②1=1×1，6=(-2)×(-3)，-20=5×(-4)满足(-5)=1×(-2)+1×(-3)，1=1×5+1×(-4)，2=(-2)×5+(-3)×(-4)∴原式=(x-3y+5)(x-2y-4)；(2)①1-35a1c1f11-2-4a2c2f2{a1c2+a2c1=-5a1f22+a2f1=1c1f2+c2f1=2②1-21013-12{a1c2+a2c1=1a1f2+a2f1=-2c1f2+c2f1=m1-2-121310(x-2y+10)(x+3y-12)=x2+xy-6y2-2x+my-120∴m=54(x-2y-12)(x+3y+10)=x2+xy-6y2-2x+my-120∴m=-56当m=54时，(x-2y+10)(x+3y-12)=-1{x-2y+10=1x+3y-12=-1或{x-2y+10=-1x+3y-12=1，x=-75y=245(舍)，{x=-1y=4当m=-56时，(x-2y-12)(x+3y+10)=-1{x-2y-12=1x+3y+10=-1或{x-2y=12=1x+3y+10=1，{x=2y=-4或x=695y=25(舍)综上所述，方程x2+xy-6y2-2x+my-120=-1的整数解有{x=-1y=4和{x=2y=-4；方法二：x2+xy+(-6y2)-2x+my-120=(x+3y)(x-2y)-2x+my-12y =(x+3y+a)(x-2y+b)=(x+3y)(x-2y)+(a+b)x+(3b-2a)y+ab {a+b=-2⇒{a=-123b-2a=m ab=-120 b=10或{a=10⇒m=54b=-12m=-56．【点睛】本题考查了因式分解的方法--十字相乘法，弄清题目中的十字相乘的方法是解题关键．【题型6用适当方法解一元二次方程】1(23-24九年级上·江苏宿迁·期末)用适当的方法解下列方程：(1)x2=4x；(2)x-32-4=0；(3)2x2-4x-5=0；(4)x-1x+2=2x+2．【答案】(1)x1=4，x2=0(2)x1=5，x2=1(3)x1=2+142，x2=2-142(4)x1=-2，x2=3【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程-因式分解法，公式法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．(1)利用解一元二次方程-因式分解法进行计算，即可解答；(2)利用解一元二次方程-因式分解法进行计算，即可解答；(3)利用解一元二次方程-公式法进行计算，即可解答；(4)利用解一元二次方程-因式分解法进行计算，即可解答．【详解】(1)解：x2-4x=0x x-4=0，解得x1=4，x2=0(2)解：x-3-2x-3+2=0x-5x-1=0，解得x1=5，x2=1(3)解：∵a=2，b=-4，c=-5∴b2-4ac=-42-4×2×-5=16--40=56∴x=4±562×2=2±142解得x1=2+142，x2=2-142(4)解：x-1x+2-2x+2=0x+2x-1-2=0，x+2x-3=0，∴x+2=0,x-3=0，解得x1=-2，x2=32(23-24九年级上·山西太原·期中)用适当的方法解下列一元二次方程：(1)x2+4x-2=0；(2)x x+3=5x+15.【答案】(1)x1=6-2，x2=-6-2(2)x1=-3，x2=5【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握配方法、因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．(1)利用配方法解方程；(2)先移项，再利用提公因式法解方程．【详解】(1)解：移项，得x2+4x=2，配方，得x2+4x+4=2+4，x+22=6，两边开平方，得x+2=±6，所以，x1=6-2，x2=-6-2；(2)解：原方程可变形为：x x+3=5x+3，x x+3-5x+3=0，x+3x-5=0，x+3=0或x-5=0，所以，x1=-3，x2=53(23-24九年级下·山东泰安·期末)用适当的方法解下列方程(1)3x2=54；(2)x+13x-1=1；(3)4x2x+1=32x+1；(4)x2+6x=10．【答案】(1)x1=32，x2=-32(2)x1=-1+73，x2=-1-73(3)x1=-12，x2=34(4)x1=-3+19，x2=-3-19【分析】(1)方程整理后，利用直接开平方法求解即可；(2)方程整理后，利用求根公式法求解即可；(3)方程利用因式分解法求解即可；(4)方程利用配方法求解即可．【详解】(1)解：方程整理得：x2=18，开方得：x=±32，解得：x1=32，x2=-32；(2)解：方程整理得：3x2+2x-2=0，这里a=3，b=2，c=-2，∵△=22-4×3×(-2)=4+24=28>0，∴x=-2±276=-1±73，解得：x1=-1+73，x2=-1-73；(3)解：方程移项得：4x(2x+1)-3(2x+1)=0，分解因式得：(2x+1)(4x-3)=0，所以2x+1=0或4x-3=0，解得：x1=-12，x2=34；(4)解：配方得：x2+6x+9=19，即(x+3)2=19，开方得：x+3=±19，解得：x1=-3+19，x2=-3-19．【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，公式法，直接开平方法，配方法，熟练掌握根据方程的特征选择恰当的解法是解本题的关键．4(23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末)用适当的方法解下列方程．(1)(x+2)2-25=0；(2)x2+4x-5=0；(3)2x2-3x+1=0．【答案】(1)x1=3，x2=-7(2)x1=1，x2=-5(3)x1=12，x2=1【分析】(1)利用平方差公式，可以解答此方程；(2)利用因式分解法解方程即可；(3)利用因式分解法解方程即可．【详解】(1)解：(x+2)2-25=0，(x+2-5)(x+2+5)=0，∴x-3=0或x+7=0，解得x1=3，x2=-7；(2)解：x2+4x-5=0，x-1x+5=0，∴x-1=0或x+5=0，解得x1=1，x2=-5；(3)解：2x2-3x+1=0，2x-1x-1=0，∴2x-1=0或x-1=0，解得x1=12，x2=1．【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想)．【题型7用指定方法解一元二次方程】1(23-24九年级下·山东日照·期末)用指定的方法解下列方程：(1)4(x-1)2-36=0(直接开方法)(2)x2+2x-3=0(配方法)(3)(x+1)(x-2)=4(公式法)(4)2(x+1)-x(x+1)=0(因式分解法)【答案】(1)x1=4，x2=-2；(2)x1=1，x2=-3；(3)x1=3，x2=-2；(4)x1=-1，x2=2．【分析】(1)直接利用开方法进行求解即可得到答案；(2)直接利用配方法进行求解即可得到答案；(3)直接利用公式法进行求解即可得到答案；(4)直接利用因式分解法进行求解即可得到答案；【详解】解：(1)∵4x-12-36=0∴(x-1)2=9，∴x-1=±3，∴x1=4，x2=-2；(2)∵x2+2x=3，∴x2+2x+1=4，∴(x+1)2=4，∴x+1=±2，∴x1=1，x2=-3；(3)∵x2-x-6=0，∴△=1-4×1×(-6)=25，∴x=1±252=1±52，∴x1=3，x2=-2；(4)∵2x+1-x x+1=0∴(x+1)(2-x)=0，∴x+1=0或2-x=0，∴x1=-1，x2=2．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握解一元二次方程的方法.2(23-24九年级下·山东烟台·期中)用指定的方法解方程：(1)x2-4x-1=0(用配方法)(2)3x2-11x=-9(用公式法)(3)5x-32=x2-9(用因式分解法)(4)2y2+4y=y+2(用适当的方法)【答案】(1)x1=5+2，x2=-5+2(2)x1=11+136，x2=11-136(3)x1=3，x2=92(4)y1=12，y2=-2【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．(1)运用配方法解方程，先移项再配方，然后开方即可作答．(2)先化为一般式，再根据Δ=b2-4ac算出，以及代入x=-b±Δ2a进行化简，即可作答．(3)先移项，再提取公因式，令每个因式为0，进行解出x的值，即可作答．(4)先移项，再提取公因式，令每个因式为0，进行解出x的值，即可作答．【详解】(1)解：x2-4x-1=0移项，得x2-4x=1配方，得x 2-4x +4=1+4，即x -2 2=5∴x -2=±5解得x 1=5+2，x 2=-5+2；(2)解：3x 2-11x =-93x 2-11x +9=0Δ=b 2-4ac =121-4×3×9=121-108=13∴x =11±136解得x 1=11+136，x 2=11-136；(3)解：5x -3 2=x 2-95x -3 2-x 2-9 =05x -3 2-x -3 x +3 =0x -3 5x -3 -x +3 =x -3 4x -18 =0则x -3=0，4x -18=0解得x 1=3，x 2=92；(4)解：2y 2+4y =y +22y 2+4y -y +2 =02y y +2 -y +2 =02y -1 y +2 =0∴2y -1=0，y +2=0解得y 1=12，y 2=-2．3(23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期中)用指定的方法解方程：(1)12x 2-2x -5=0(用配方法)(2)x 2=8x +20(用公式法)(3)x -3 2+4x x -3 =0(用因式分解法)(4)x +2 3x -1 =10(用适当的方法)【答案】(1)x 1=2+14,x 2=2-14(2)x 1=10,x 2=-2(3)x 1=3,x 2=0.6(4)x 1=-3,x 2=43【分析】(1)利用配方法解方程即可；(2)利用公式法解方程即可；(3)利用因式分解法解方程即可；(4)先将给出的方程进行变形，然后利用因式分解法解方程即可．【详解】(1)移项，得：12x 2-2x =5，系数化1，得：x 2-4x =10，配方，得：x 2-4x +4=14，(x -2)2=14，x -2=±14，∴x 1=2+14，x 2=2-14；(2)原方程可变形为x 2-8x -20=0，a =1，b =-8，c =-20，Δ=(-8)2-4×1×-20 =64+80=144>0，原方程有两个不相等的实数根，∴x =-b ±b 2-4ac 2a =8±1442=8±122，∴x 1=10，x 2=-2；(3)原方程可变形为：x -3 x -3+4x =0，整理得：x -3 5x -3 =0，解得x 1=3，x 2=0.6；(4)原方程可变形为：3x 2+5x -2-10=0，整理得：3x 2+5x -12=0，3x -4 x +3 =0，∴x 1=-3，x 2=43【点睛】本题主要考查的是配方法，公式法，因式分解法解一元二次方程的有关知识，掌握配方法的基本步骤，一元二次方程的求根公式是解题关键．4(23-24九年级上·河北邯郸·期中)按指定的方法解下列方程：(1)x 2=8x +9(配方法)；(2)2y 2+7y +3=0(公式法)；(3)x +2 2=3x +6(因式分解法)．【答案】(1)x 1=9，x 2=-1．(2)x 1=-3，x 2=-12．(3)x 1=-2，x 2=1．【分析】(1)先把方程化为x 2-8x +16=25，可得x -4 2=25，再利用直接开平方法解方程即可；(2)先计算△=72-4×2×3=49-24=25>0，再利用求根公式解方程即可；(3)先移项，再把方程左边分解因式可得x +2 x -1 =0，再化为两个一次方程，再解一次方程即可．【详解】(1)解：x 2=8x +9，移项得：x 2-8x =9，∴x 2-8x +16=25，配方得：x-42=25，∴x-4=5或x-4=-5，解得：x1=9，x2=-1．(2)解：2y2+7y+3=0，∴△=72-4×2×3=49-24=25>0，∴x=-7±254=-7±54，∴x1=-3，x2=-12．(3)解：x+22=3x+6，移项得：x+22-3x+2=0，∴x+2x-1=0，∴x+2=0或x-1=0，解得：x1=-2，x2=1．【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握“配方法，公式法，因式分解法解一元二次方程”是解本题的关键．【题型8用换元法解一元二次方程】1(23-24九年级下·浙江杭州·期中)已知a2+b2a2+b2+2-15=0，求a2+b2的值．【答案】3【分析】先用换元法令a2+b2=x(x>0)，再解关于x的一元二次方程即可．【详解】解：令a2+b2=x(x>0)，则原等式可化为：x(x+2)-15=0，解得：x1=3,x2=-5，∵x>0，∴x=3，即a2+b2=3．a2+b2的值为3．【点睛】本题考查了换元法、一元二次方程的解法，注意a2+b2为非负数是本题的关键．2(23-24九年级下·安徽合肥·期中)关于x的方程x2+x2+2x2+2x-3=0，则x2+x的值是()A.-3B.1C.-3或1D.3或-1【答案】B【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用换元法解方程是解题的关键．设x2+x=t，则此方程可化为t2+2t-3=0，然后用因式分解法求解即可．【详解】解：设x2+x=t，则此方程可化为t2+2t-3=0，∴t-1t+3=0，∴t-1=0或t+3=0，解得t1=1，t2=-3，∴x2+x的值是1或-3．∵x2+x=-3，即x2+x+3=0，Δ=12-4×1×3=-11<0方程无解，故x2+x=-3舍去，∴x2+x的值是1，故选：B．3(23-24九年级上·广东江门·期中)若a+5ba+5b+6=7，则a+5b=．【答案】1或-7【分析】本题主要考查解一元二次方程，设a+5b=x，则原方程可变形为x x+6=7，方程变形后运用因式分解法求出x的值即可得到结论．【详解】解：设a+5b=x，则原方程可变形为x x+6=7，整理得，x2+6x-7=0，x-1x+7=0，x-1=0，x+7=0，∴x=1，x=-7，即a+5b=1或-7，故答案为：1或-7．4(23-24九年级上·山东临沂·期中)利用换元法解下列方程：(1)2x4-3x2-2=0；(2)(x2-x)2-5(x2-x)+4=0．【答案】(1)x1=2，x2=-2(2)x1=1+172，x2=1-172，x3=1+52，x4=1-52【分析】(1)根据换元思想，设y=x2，则y=2或y=-12，由此即可求解；(2)设y=x2-x，则y=4或y=1，由此即可求解．【详解】(1)解：(1)设y=x2，则原方程化为2y2-3y-2=0，∴y=2或y=-12，当y=2时，x2=2，∴x1=2，x2=-2，当y=-12时，x2=-12，此时方程无解，∴原方程的解是x1=2，x2=-2．(2)解：设y=x2-x，则原方程化为y2-5y+4=0，∴y=4或y=1，当y=4时，x2-x=4，∴x1=1+172，x2=1-172，当y=1时，x2-x=1，∴x3=1+52，x4=1-52．∴原方程的解是x1=1+172，x2=1-172，x3=1+52，x4=1-52．【点睛】本题主要考查换元思想解高次方程，掌握我一元二次方程的解法是解题的关键．【题型9解含绝对值的一元二次方程】1(23-24九年级上·陕西榆林·阶段练习)阅读下面的材料，解答问题．材料：解含绝对值的方程：x2-3|x|-10=0．解：分两种情况：①当x≥0时，原方程化为x2-3x-10=0解得x1=5,x2=-2(舍去)；②当x<0时，原方程化为x2+3x-10=0，解得x3=-5,x4=2(舍去)．综上所述，原方程的解是x1=5,x2=-5．请参照上述方法解方程x2-|x+1|-1=0．【答案】x1=2,x2=-1【分析】根据题意分两种情况讨论，化简绝对值，然后解一元二次方程即可求解．【详解】解：分两种情况：①当x+1≥0，即x≥-1时，原方程化为x2-x+1-1=0，解得x1=2,x2=-1；②当x+1<0，即x<-1时，原方程化为x2+x+1-1=0，解得x3=0(舍去)，x4=-1(舍去)．综上所述，原方程的解是x1=2,x2=-1．【点睛】本题考查了解一元二次方程，分类讨论是解题的关键．2(23-24九年级上·内蒙古赤峰·期中)解方程x2+2|x+2|-4=0．【答案】x1=0，x2=-2【分析】对x+2进行分类讨论，先把绝对值号化简后方程变形为一般的一元二次方程，再利用因式分解法解出方程的解，最后结合x的取值范围最终确定答案即可．【详解】解：①当x+2≥0，即x≥-2时，方程变形得：x2+2(x+2)-4=0∴x2+2x=0∴x(x+2)=0∴x1=0，x2=-2；②当x+2<0，即x<-2时，方程变形得：x2-2(x+2)-4=0∴x2-2x-8=0∴(x+2)(x-4)=0∴x1=-2(舍去)，x2=4(舍去)∴综上所述，原方程的解是x1=0或x2=-2．【点睛】本题考查了含绝对值的方程、一元二次方程的解法等知识，渗透了分类讨论的思想．3(23-24九年级下·安徽滁州·阶段练习)解方程x2-22x+3+9=0．【答案】x1=1,x2=3【分析】分x≥-32与x<-32，化简绝对值得到一元二次方程，解一元二次方程即可求解．【详解】当2x+1≥0，即x≥-32时，原方程可化为：x2-2(2x+3)+9=0整理得：x2-4x+3=0解得：x1=1,x2=3当2x+1<0，即x<-32时，原方程可化为：x2+2(2x+3)+9=0整理得x2+4x+15=0∵Δ=42-4×1×15=-44<0,∴此方程无实数解，综上所述，原方程的解为：x1=1,x2=3【点睛】本题考查了解一元二次方程，分类讨论化简绝对值是解题的关键．4(23-24九年级上·山西太原·阶段练习)解方程x2-|x-5|-2=0【答案】x1=-1+292，x2=-1-292【分析】根据题意分x-5≥0和x-5<0两种情况，分别解方程即可．【详解】解：①当x-5≥0时，即x≥5时，原方程化为x2-x+5-2=0，即x2-x+3=0，a=1,b=-1,c=3，∴Δ=b2-4ac=-12-4×1×3=-11<0，∴原方程无解，②当x-5<0时，即x<5时，原方程化为x2+x-5-2=0，即x2+x-7=0，a=1,b=1,c=-7，∴Δ=b2-4ac=12-4×1×-7=29>0x=-1±292×1解得：x1=-1+292，x2=-1-292．【点睛】此题考查了解含绝对值的一元二次方程，解题的关键是根据题意分两种情况讨论．【题型10配方法的应用】1(23-24九年级上·河北沧州·期中)【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．例：求代数式y2+4y+8的最小值．解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=(y+2)2+4，∵y+22≥0，∴y+22+4≥4∴当y =-2时，y 2+4y +8的最小值是4．(1)【类比探究】求代数式x 2-6x +12的最小值；(2)【举一反三】若y =-x 2-2x 当x =________时，y 有最________值(填“大”或“小”)，这个值是________；(3)【灵活运用】已知x 2-4x +y 2+2y +5=0，则x +y =________；(4)【拓展应用】如图某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙(墙的长度为15m )，另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形，栅栏的总长度为24m ．当BF 为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？【答案】(1)3(2)-1；大；1(3)1(4)当BF =4m ，矩形养殖场的总面积最大，最大值为48m 2．【分析】本题主要考查了配方法的应用，熟练掌握配方法是解题的关键：(1)把原式利用配方法变形为x -3 2+3，再仿照题意求解即可；(2)把原式利用配方法变形为-x +1 2+1，再仿照题意求解即可；(3)把原式利用配方法变形为x -2 2+y +1 2=0，再利用非负数的性质求解即可；(4)设BF =xm ，则CF =2BF =2xm ，则BC =3xm ，进而求出AB =24-3x 3m ，则S 矩形ABCD =3x ⋅24-3x 3=-3x -4 2+48，据此可得答案．【详解】(1)解：x 2-6x +12=x 2-6x +9 +3=x -3 2+3，∵x -3 2≥0，∴x -3 2+3≥3，∴当x =3时，x 2-6x +12的最小值为3；(2)解：y =-x 2-2x=-x 2-2x -1+1=-x+12+1，∵x+12≥0，∴-x+12≤0，∴-x+12+1≤1，∴当x=-1时，y=-x2-2x有最大值，最大值为1，故答案为：-1；大；1；(3)解：∵x2-4x+y2+2y+5=0，∴x2-4x+4+y2+2y+1=0，∴x-22+y+12=0，∵x-22≥0，y+12≥0，∴x-22=y+12=0，∴x-2=0，y+1=0，∴x=2，y=-1，∴x+y=2-1=1；(4)解：设BF=xm，则CF=2BF=2xm，∴BC=3xm，∴AB=24-3x3m，∴S矩形ABCD =3x⋅24-3x3=-3x2+24x=-3x-42+48，∵x-42≥0，∴-3x-42≤0，∴-3x-42+48≤48，∵AD=BC=3x≤15，∴0<x≤5，∴当x=4时，S矩形ABCD最大，最大值为48，∴当BF=4m，矩形养殖场的总面积最大，最大值为48m2．2(2023·河北石家庄·一模)已知A=x2+6x+n2，B=2x2+4x+n2，下列结论正确的是()A.B-A的最大值是0B.B-A的最小值是-1C.当B=2A时，x为正数D.当B=2A时，x为负数【答案】B【分析】利用配方法表示出B-A，以及B=2A时，用含n的式子表示出x，确定x的符号，进行判断即可．【详解】解：∵A=x2+6x+n2，B=2x2+4x+n2，∴B-A=2x2+4x+n2-x2+6x+n2=2x2+4x+n2-x2-6x-n2=x2-2x=x-12-1；∴当x=1时，B-A有最小值-1；当B=2A时，即：2x2+4x+n2=2x2+6x+n2，∴2x2+4x+n2=2x2+12x+2n2，∴-8x=n2≥0，∴x≤0，即x是非正数；故选项A,C,D错误，选项B正确；故选B．【点睛】本题考查整式加减运算，配方法的应用．熟练掌握合并同类项，以及配方法，是解题的关键．3(23-24九年级上·四川攀枝花·期中)已知三角形的三条边为a,b,c，且满足a2-10a+b2-16b+89= 0，则这个三角形的最大边c的取值范围是()A.c>8B.5<c<8C.8<c<13D.5<c<13【答案】C【分析】先利用配方法对含a的式子和含有b的式子配方，再根据偶次方的非负性可得出a和b的值，然后根据三角形的三边关系可得答案．【详解】解：∵a2-10a+b2-16b+89=0，∴(a2-10a+25)+(b2-16b+64)=0，∴(a-5)2+(b-8)2=0，∵(a-5)2≥0，(b-8)2≥0，∴a-5=0，b-8=0，∴a=5，b=8．∵三角形的三条边为a，b，c，∴b-a<c<b+a，∴3<c<13．又∵这个三角形的最大边为c，∴8<c<13．故选：C．【点睛】本题考查了配方法在三角形的三边关系中的应用，熟练掌握配方法、偶次方的非负性及三角形的三边关系是解题的关键．4(23-24九年级下·浙江宁波·期中)我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用.例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式x2+2x+3的最小值．解：x2+2x+3=x2+2x+1+2=(x+1)2+2；∵无论x取何实数，都有(x+1)2≥0，∴(x+1)2+2≥2，即x2+2x+3的最小值为2．【尝试应用】(1)请直接写出2x2+4x+10的最小值______；【拓展应用】(2)试说明：无论x取何实数，二次根式x2+x+2都有意义；【创新应用】(3)如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，若AC+BD=10，求四边形ABCD的面积最大值．【答案】(1)8；(2)见解析；(3)25 2【分析】(1)利用配方法把2x2+4x+10变形为2(x+1)2+8，然后根据非负数的性质可确定代数式的最小值；(2)利用配方法得到x2+x+2=x+122+74，则可判断x2+x+2>0，然后根据二次根式有意义的条件可判断无论x取何实数，二次根式x2+x+2都有意义；(3)利用三角形面积公式得到四边形ABCD的面积=12⋅AC⋅BD，由于BD=10-AC，则四边形ABCD的面积=12⋅AC⋅10-AC，利用配方法得到四边形ABCD的面积=-12(AC-5)2+252，然后根据非负数的性质解决问题．【详解】解：(1)2x2+4x+10=2x2+2x+10=2x2+2x+1-1+10=2(x+1)2+8，∵无论x取何实数，都有2(x+1)2≥0，∴(x+1)2+8≥8，即x2+2x+3的最小值为8；故答案为：8；(2)x2+x+2=x+122+74，∵x+122≥0，∴x2+x+2>0，∴无论x取何实数，二次根式x2+x+2都有意义；(3)∵AC⊥BD，。
一元二次方程与实际问题题型归纳
实际问题与一元二次方程题型归纳总结一、列一元二次方程解应用题的一般步骤：与列一元一次方程解应用题的步骤类似，列一元二次方程方程解实际问题的一般步骤也可归纳为：“审、找、设、列、解、验、答”七个步骤。
（1）审：审清题意，弄清已知量与未知量；（2）找：找出等量关系；（3）设：设未知数，有直接和间接两种设法，因题而异；（4）列：列出一元二次方程；（5）解：求出所列方程的解；（6）验：检验方程的解是否正确，是否符合题意；（7）答：作答。
二、典型题型1.数字问题例1、有两个连续整数，它们的平方和为25，求这两个数。
例2、有一个两位数，它的个位上的数字与十位上的数字的和是6，如果把它的个位上的数字与十位上的数字调换位置，所得的两位数乘以原来的两位数所得的积就等于1008，求调换位置后得到的两位数。
练习：1、两个连续的整数的积是156，求这两个数。
2、一个两位数等于它个位上数字的平方，个位上的数字比十位上的数字大3，则这个两位数为（）A. 25B. 36C. 25或36D. -25或-362.传播问题：公式：（a+x）n=M其中a为传染源（一般a=1）,n为传染轮数，M 为最后得病总人数例3、有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？练习：有一个人患了流感，经过两轮传染后共有196人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感？3.相互问题(循环、握手、互赠礼品等)问题循环问题：又可分为单循环问题1n(口-1),双循环问题n(n-1).2例4、(1)参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有多少个队参加比赛？(2)参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛90场比赛，共有多少个队参加比赛？例5、一次会上，每两个参加会议的人都相互握手一次，一共握手66，请问参加会议的人数共有多少人？例6、生物兴趣小组的同学，将自己收集的标本向本组其他同学各赠送1件，全组共互赠了 182件，设全组有x个同学，则根据题意列出的方程是( ) A. x(x +1)= 182 B. x(x -1)= 182 C. 2x Q +1)= 182 D. x Q-1)= 182 x 2练习：1、甲A联赛中的每两队之间都要进行两次比赛，若某一赛季共比赛110 场，则联赛中共有多少个队参加比赛？2、参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手 15次,有多少人参加聚会?3、初三毕业晚会时每人互相送照片一张,一共要90张照片,有多少人?4.平均增长率问题：b=a(1±x)n，n为增长或降低次数，b为最后产量，a为基数，x为平均增长率或降低率例7、某种商品，原价50元，受金融危机影响，1月份降价10％，从2月份开始涨价，3月份的售价为64.8元，求2、3月份价格的平均增长率。
一元二次方程的应用题型总结
一元二次方程的应用题型总结
一元二次方程是数学中常见的方程形式，可以用来描述很多实际问题。
以下是一些常见的一元二次方程应用题型总结：
1. 求解问题：给定一个一元二次方程，要求求解方程的根。
这种类型的问题可能涉及到物理、几何或经济等领域。
2. 几何问题：一元二次方程可以用来描述物体在空间中的运动轨迹。
例如，当一个物体沿着抛物线运动时，可以建立一个一元二次方程来描述其位置随时间变化的关系。
3. 经济问题：一元二次方程可以用来解决经济学中的一些问题。
例如，当讨论某个公司销售量与价格之间的关系时，可以建立一个一元二次方程来描述这种关系。
4. 优化问题：一元二次方程可以用来解决一些最优化问题。
例如，当我们希望找到一个长度为固定值的矩形的最大面积时，可以建立一个一元二次方程来表示这个问题。
5. 物理问题：一元二次方程可以用来解决一些物理问
题，如自由落体、抛射等。
例如，当我们希望计算一个物体从一定高度自由落下所需的时间时，可以建立一个一元二次方程来解决这个问题。
无论是哪种类型的应用问题，我们需要首先建立一个符合实际情况的一元二次方程，然后通过求解方程的根或者利用方程的性质来得出问题的答案。
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一元二次方程题型分类总结知识梳理一元二次方程⎪⎩⎪⎨⎧*⇒韦达定理根的判别解与解法考点类型一 概念只含有一个未知数．．．．．．．．，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的③整式方程．．．．就是一元二次方程。
)0(02≠=++a c bx“未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”；②未知数指数为“2”；③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。
例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ()()12132+=+x xB 02112=-+x xC 02=++c bx axD 1222+=+x x x 变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。
例2、方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为。
★1、方程782=x 的一次项系数是 ，常数项是 。
★2、若方程()021=--m x m 是关于x 的一元一次方程，⑴求m 的值；⑵写出关于x 的一元一次方程。
★★3、若方程()112=•+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。
★★★4、若方程nx m +x n -2x 2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ ）A.m=n=2B.m=3,n=1C.n=2,m=1D.m=n=1考点类型二 方程的解例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 。
例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。
例3、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为 。
例4、已知b a ,是方程042=+-m x x 的两个根，c b ,是方程0582=+-m y y 的两个根，则m 的值为 。
★1、已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为 ，另一根是 。
★2、已知关于x 的方程022=-+kx x 的一个解与方程311=-+x x 的解相同。
⑴求k 的值； ⑵方程的另一个解。
★3、已知m 是方程012=--x x 的一个根，则代数式=-m m 2 。
★★4、已知a 是0132=+-x x 的根，则=-a a 622。
★★5、方程()()02=-+-+-a c x c b x b a 的一个根为（ ） A 1- B 1 C c b - D a -★★★6、若=•=-+y x 则y x 324,0352 。
考点类型三 解法()m x m m ±=⇒≥=,02※※对于()m a x =+2，()()22n bx m ax +=+等形式均适用直接开方法例1、解方程：();08212=-x ()216252x -=0; ()();09132=--x例2、若()()2221619+=-x x ，则x 的值为 。
）A.12322-=+x xB.()022=-x C.x x -=+132 D.092=+x)()021=--x x x x 21,x x x x ==⇒或0”，()()22n bx m ax +=+，()()()()c x a x b x a x ++=++ ， 0222=++a ax x例1、()()3532-=-x x x 的根为（ ）A 25=xB 3=xC 3,2521==x x D 52=x 例2、若()()044342=-+++y x y x ，则4x+y 的值为 。
变式1：()()=+=-+-+2222222,06b 则a b a b a 。
变式2：若()()032=+--+y x y x ，则x+y 的值为 。
变式3：若142=++y xy x ，282=++x xy y ，则x+y 的值为 。
例3、方程062=-+x x 的解为（ ）A.2321=-=，x xB.2321-==，x xC.3321-==，x xD.2221-==，x x例4、解方程： ()04321322=++++x x例5、已知023222=--y xy x ,则yx y x -+的值为 。
变式：已知023222=--y xy x ,且0,0>>y x ,则y x y x -+的值为 。
★1、下列说法中：①方程02=++q px x 的二根为1x ，2x ，则))((212x x x x q px x --=++② )4)(2(862--=-+-x x x x .③)3)(2(6522--=+-a a b ab a ④ ))()((22y x y x y x y x -++=-⑤方程07)13(2=-+x 可变形为0)713)(713(=-+++x x正确的有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个★2、以71+与71-为根的一元二次方程是（）A ．0622=--x xB ．0622=+-x xC ．0622=-+y yD ．0622=++y y★★3、⑴写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为倒数： ⑵写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为相反数： ★★4、若实数x 、y 满足()()023=++-+y x y x ，则x+y 的值为（ ）A 、-1或-2B 、-1或2C 、1或-2D 、1或25、方程：2122=+xx 的解是 。
★★★6、已知06622=--y xy x ，且0>x ，0>y ，求y x y x --362的值。
★★★7、方程()012000199819992=-⨯-x x 的较大根为r ，方程01200820072=+-x x 的较小根为s ，则s-r 的值为 。
()002≠=++a c bx 222442a ac b a b x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⇒ ※在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。
例1、 试用配方法说明322+-x x 的值恒大于0。
例2、 已知x 、y 为实数，求代数式74222+-++y x y x 的最小值。
例3、 已知，x、y y x y x 0136422=+-++为实数，求y x 的值。
例4、 分解因式：31242++x x★★1、试用配方法说明47102-+-x x 的值恒小于0。
★★2、已知041122=---+x x x x ，则=+x x 1 . ★★★3、若912322-+--=x x t ，则t 的最大值为 ，最小值为 。
★★★4、如果4122411-++-=--++b a c b a ,那么c b a 32-+的值为 。
)04,02≥-≠ac b a 且aac b b x 242-±-=,()04,02≥-≠ac b a 且例1、选择适当方法解下列方程：⑴().6132=+x ⑵()().863-=++x x ⑶0142=+-x x⑷01432=--x x ⑸()()()()5211313+-=+-x x x x例2、在实数范围内分解因式：（1）3222--x x ； （2）1842-+-x x . ⑶22542y xy x --说明：①对于二次三项式c bx ax ++2的因式分解，如果在有理数范围内不能分解， 一般情况要用求根公式，这种方法首先令c bx ax ++2=0，求出两根，再写成 c bx ax ++2=))((21x x x x a --.②分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去.⑴求代数式的值； ⑵解二元二次方程组。
例1、 已知0232=+-x x，求代数式()11123-+--x x x 的值。
例2、如果012=-+x x ，那么代数式7223-+x x 的值。
例3、已知a 是一元二次方程0132=+-x x 的一根，求1152223++--a a a a 的值。
例4、用两种不同的方法解方程组⎩⎨⎧=+-=-)2(.065)1(,6222y xy x y x说明：解二元二次方程组的具体思维方法有两种：①先消元，再降次；②先降次，再消元。
但都体现了一种共同的数学思想——化归思想，即把新问题转化归结为我们已知的问题.考点类型四 根的判别式b 2-4ac①定根的个数；②求待定系数的值；③应用于其它。
例1、若关于x 的方程0122=-+x k x 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 。
例2、关于x 的方程()0212=++-m mx x m 有实数根，则m 的取值范围是( )A.10≠≥且m mB.0≥mC.1≠mD.1>m例3、已知关于x 的方程()0222=++-k x k x(1)求证：无论k 取何值时，方程总有实数根；(2)若等腰∆ABC 的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求∆ABC 的周长。
例4、已知二次三项式2)6(92-++-m x m x 是一个完全平方式，试求m 的值.例5、m 为何值时，方程组⎩⎨⎧=+=+.3,6222y mx y x 有两个不同的实数解？有两个相同的实数解？★1、当k 时，关于x 的二次三项式92++kx x 是完全平方式。
★2、当k 取何值时，多项式k x x 2432+-是一个完全平方式？这个完全平方式是什么？★3、已知方程022=+-mx mx 有两个不相等的实数根，则m 的值是 .★★4、k 为何值时，方程组⎩⎨⎧=+--+=.0124,22y x y kx y （1）有两组相等的实数解，并求此解；（2）有两组不相等的实数解；（3）没有实数解.★ ★★5、当k 取何值时，方程04234422=+-++-k m m x mx x 的根与m 均为有理数？考点类型五 方程类问题中的“分类讨论”例1、关于x 的方程()03212=-++mx x m⑴有两个实数根，则m 为 ,⑵只有一个根，则m 为 。
例2、 不解方程，判断关于x 的方程()3222-=+--k k x x 根的情况。
例3、如果关于x 的方程022=++kx x 及方程022=--k x x 均有实数根，问这两方程是否有相同的根？若有，请求出这相同的根及k 的值；若没有，请说明理由。
考点类型六 应用解答题⑴“碰面”问题；⑵“复利率”问题；⑶“几何”问题；⑷“最值”型问题；⑸“图表”类问题1、五羊足球队的庆祝晚宴，出席者两两碰杯一次，共碰杯990次，问晚宴共有多少人出席？2、某小组每人送他人一张照片，全组共送了90张，那么这个小组共多少人？3、北京申奥成功，促进了一批产业的迅速发展，某通讯公司开发了一种新型通讯产品投放市场，根据计划，第一年投入资金600万元，第二年比第一年减少31，第三年比第二年减少21，该产品第一年收入资金约400万元，公司计划三年内不仅要将投入的总资金全部收回，还要盈利31，要实现这一目标，该产品收入的年平均增长率约为多少？（结果精确到0.1，61.313≈）4、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克，销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对此回答：（1）当销售价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润。