第八章线性分组码

(8－14)
(8－15) 当 当生成矩阵给定时，线性分组码有如下性质： （1）零向量；
（2）任意两码字的和仍是一个码字； （3）任意码字 G 是 的行向量 的线性组合； g 0 , g1 ,, g k 1 （4）线性分组码的最小距离等于最小非零码字重量。
混合纠错 HEC
检错和纠错码 发端 判决信号 收端
在设计差错控制系统时，选择何种实现方式，应综合考 虑各方面的因素。主要有： ⑴满足用户对误码率的要求； ⑵有尽可能高的信息传输速率；
⑶有尽可能简单的编译码算法且易于实现； (4)可接受的成本。
8.1.3 纠错码的分类 常用的纠错码按其码字结构形式和对信息序列处理方式 的不同可分成两大类：分组码和卷积码。 分组码是把信息序列以每k个码元分组，编码器将每个信息组 按一定规律产生r个多余的码元（称为校验元），形成一个长 为n = k + r 的码字。
第八章 线性分组码
第八章 线性分组码
Baidu Nhomakorabea
内容提要 目前，几乎所有得到实际应用的纠错码都是线 性的。本章首先介绍有关纠错码的基本概念， 然后重点论述线性分组码的定义及其编译码理 论。在此基础上，介绍了一种典型的线性分组 码：汉明码。
8.1
纠错码的基本概念
8.1.1 信道纠错编码
香农第二定理指出，当信息传输速率低于信道容量时， 通过某种编译码方法，就能使错误概率为任意小。目 前已有了许多有效的编译码方法，并形成了一门新的 技术——纠错编码技术。 纠错编码即信道编码，与信源编码一样都是一种 编码，但两者的作用是完全不同的。 l信源编码的目的是压缩冗余度，提高信息的传输速率。 l信道编码的目的是提高信息传输时的抗干扰能力以增 加信息传输的可靠性。
图8.2
二进制对称信道
l有记忆信道中，各种干扰所造成的错误往往不是单个地，而是成 群、成串地出现，表现出错误之间有相关性。图8.3就是这种信道的 一个模型。
1 p1
p1
p1 p2
1 p2
p2
图8.3
有记忆信道模型
就实际信道而言，由于其干扰的复杂性，往往是两种错误 并存。随机错误与突发错误并存的信道，称为组合信道或复 合信道。
8.1.2 差错控制系统模型及分类 信息传输系统模型简化成图8.1所示的简化模型
图8.1
简化的信息传输系统模型
模型突出了以控制差错为目的的纠错码编码器和译码器， 因此也称为差错控制系统。
在差错控制系统中使用的码按其纠错能力的不同可分为两 种：检错码和纠错码。
能发现错误但不能纠 正错误的码称为检错码 ；
系统码的校验矩阵H具有以下形式：即 一个系统码的校验矩阵H，其右边r行r列应是一个r
阶单位方阵Ir， 而PT是一个 (n k ) k 阶矩阵：
H [P
Ir ]
T
PQ
8.2.3 编码的实现 设码的G矩阵为
p1,n k 1 p 2, n k 1 G Ik p k ,n k 1 p1, n k 2 p 2, n k 2 p k ,n k 2 p1,0 p 2, 0 p k ,0
前向纠错 FEC 发端 纠错码 收端
检错重发 ARQ
检错码 l缺点是译码设 发端 备较复杂；编码 判决信号 效率较低。 检错和纠错码
收端
混合纠错
（２）重传反馈(ARQ)方式: ARQ (Automatic Repeat Request) 方式是：发端发出 能够发现错误的码（检错码），收端译码器收到后，判断 在传输中有无错误产生，并通过反馈信道把捡测结果告诉 发端。发端把收端认为有错的消息再次传送，直到收端认 纠错码 前向纠错 为正确接收为止。 发端 收端
上式写成矩阵形式得
1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0
c6 c 5 0 0 c4 0 0 c3 0 0 c 2 1 0 c1 c 0
为了深化对线性分组码的理论分析，与线性空间联系起 来。 将（n，k）线性分组码的定义如下：
定义8.1 2k个n重的集合C称为线性分组码，当且仅当它是 n维线性空间Vn中的一个k维子空间。 （n，k）线性分组码的2k个码字组成了n维线性空间Vn的一 个 k 维子空间，因此这 2 k 个码字完全可由 k 个线性无关的矢 量所组成的基底所张成。 设此k个矢量为c1，c2，…，ck: c1＝（g1,n-1，g1,n-2，…，g1,0） c2＝（g2,n-1，g2,n-2，…，g2.0）
图8.5
（7, 3）线性分组码编码电路
8.3 伴随式与译码
8.3.1 码的距离和重量
定义8.3 两个码字 之间，对应位取值 不同的个数，称为 它们之间的汉明距 离，简称距离，用 d（c1，c 2）表示。 定义8.5
定义8.4 码字中 非零码元的个数， 称为该码字的汉明 重量，简称重量， 用w（c）表示。
一个码的最小距离dmin定义为
d min min d (c i , c j ), i j, c i , c j (n, k )
13)


(8－
定理8.1 线性分组码的最小距离等于其非零码字的最小重 量。 根据定理，要得到码的最小距离，只要检查2k－1个非零 码字的重量即可。 码的距离和重量满足以下不等 d（c 1，c 2） d（c 1，c 3）＋d（c 3，c 2） w（c 1＋c 2） w（c 1）＋w（c 2）
（３）混合纠错(HEC)方式： HEC (Hybrid Error Control) 方式是上述两种方式的 纠错码 前向纠错 发端 收端 结合。发端发送的码既能检错、又有一定的纠错能力。收 FEC 端译码时若发现错误个数在码的纠错能力以内，则自动进 行纠错；若错误个数超过了码的纠错能力，但能检测出来， 则通过反馈信道告知发方重发。这种方式在一定程度上避 检错码 免了 FEC 方式译码设备复杂和 ARQ方式信息连贯性差的 检错重发 发端 收端 缺点。 ARQ 判决信号
不仅能发 现错误而且还 能纠正错误的 码称为纠错码。
差错控制系统大致可分为前向纠错、重传反馈和混合纠错 等三种方式。
（１）前向纠错(FEC)方式 ： FEC (Forward Error Control) 方式是发端发送有纠错 能力的码（纠错码），接收端收到这些码后，通过纠错译 码器自动地纠正传输中的错误。 l优点:是不需要反馈 信道；能进行一个用 户对多个用户的同时 通信，特别适合于移 动通信；译码实时性 较好，控制电路也比 较简单。
(8－4)
（n，k）码中的任一码字ci，均可由这组基底的线性组合生成：
c i m i G mn 1 mn 2
g1,n 1 g 2, n 1 mn k g k ,n 1 g1,n 2 g1,0 g 2, n 2 g 2, 0 g k ,n 2 g k ,0
说明：常见系统码有两种形式： （1）、信息组排在码字的最左边k位；（本教材采用） （2）、信息组排在码字的最右边k位； 一个系统码的生成矩阵G，其左边k行k列应是一个 k阶单位方阵Ik 因此生产矩阵G表示为：
G [I k
Q]
其中，P是一个 k (n k ) 阶矩阵。
Q为k×r阶矩阵,Ik为k阶单位阵，称为典型生成矩阵。
(8－5)
信息组
000 001
码
字
0000000 0011101
010 011 100 101 110
111
0100111 0111010 1001110 1010011 1101001
1110100
表8.1 （7，3）线性分组码 定义8.2 若信息组以不变的形式，在码字的任意k位中出现 的码，称为系统码；否则，称为非系统码。
当信息组m＝（mn- 1mn-2 … mn-k）时，相应的码字c是 c＝ m· G＝（cn-1 cn-2… c1 c0）
cj＝mj
其中
n－k j n－1
cj＝ mn-1 p1,j+mn-2 p2,j+…+mn-k pk,j
0 j n－k
图8.4 （n，k）线性分组码编码电路
编码实现电路如图8.4所示。电路由移位寄存器、模二加法器和模 二乘法器组成根据图8.4的电路，可画出（7，3）线性分组码的编码 器电路，如图8.5。
这组方程称为校验方程。
（ 8－3）
信息组
000 001
码
字
0000000 0011101
010 011 100 101 110
111
0100111 0111010 1001110 1010011 1101001
1110100
表8.1 （7，3）线性分组码 （7，3）线性分组码有23＝８个许用码字或合法码字，另有 27－23个禁用码字。发方发送的是许用码字，若收方收到的 是禁用码字，则说明传输中发生了错误。
讨论码字序列c通过离散信道时发生的情况，信道分为无记忆信 道和有记忆信道。 l在无记忆信道中，噪声对传输码元的影响是相互独立的，即每一 个差错的出现与其前后是否有错无关,如图8.2。在无记忆信道中， 错误是随机产生的，因此被称作随机错误，无记忆信道也被称为随 机信道（random channel）。
an － 1 an － 2 … ar ar－ 1 … r个 监 督 位 码 长 n＝k＋r a0 时 间
k个 信 息 位
卷积码是把信息序列以每k个分组，通过编码器输出长为n（n k） 的一个子码。但是该子码的n－k个校验元不仅与本子码的信息元 有关，而且也与其前m个子码的信息元有关。
8.1.4 差错类型
这里的四行七列矩阵称为（7，3）码的一致校验矩阵，简称 校验矩阵，用H表示：
1 1 H 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
由 H 矩阵得到的（ n，k）线性分组码的每一码字 ci， （i＝1，2，…，2k），都必须满足由 H矩阵各行所确定的线 性方程组，即 ci· H T ＝0 (8－8) 或 H· ci T ＝0T (8－9) 又，（n，k）线性分组码的生成矩阵G中的每一行及其线性组 合都是（n，k）码的码字，所以有 G·H T＝0 (8－10) 或 H·G T＝0T (8－11)
8.2.2 校验矩阵 表8.1所示（7，3）线性分组码的四个校验元是由(8－3)式所示的线 性方程组决定的。把(8－3)式移项：
c 4 c3 0 c6 c c c c2 0 6 5 4 c1 0 c6 c5 c5 c 4 c0 0

ck＝（gk,n-1，gk,n-2，…，gk,0）
写成矩阵形式：
c 1 g1,n 1 c g 2, n 1 2 G c k g k ,n 1
g1,n 2 g 2, n 2 g k ,n2
g1,0 g 2, 0 g k ,0
FEC
l优点是译码设备简单， 在多余度一定的情况 检错重发 下，码的检错能力比 ARQ 纠错能力要高得多， 因而整个系统能获得 极低的误码率。
混合纠错 HEC
检错码 发端 判决信号 检错和纠错码 发端 收端 收端
l应用ARQ方式必须有一条从收端至发端的反馈信道。并要求信 判决信号 源产生信息的速率可以进行控制，收、发两端必须互相配合，其 控制电路比较复杂，传输信息的连贯性和实时性也较差。
8.2 线性分组码的编码
8.2.1 生成矩阵 表 8.1给出了一个（7，3）线性分组码的例子。该例 子中，信息组为（c6 c5 c4），码字为（c6 c5 c4 c3 c2 c1 c0）。当已知信息组时，按以下规则得到四个校验元：
c3 c 6 c 4 c c c c 2 6 5 4 c1 c 6 c5 c 0 c5 c 4