《复数的概念》教学设计【高中数学人教A版必修2(新课标)】

进“新数”扩充实数集．让我们设想引入一个新数 i，使 i 满足两个条件：(1)i 是方程 x2＋1 ＝0 的根，即 i2＝－1；(2)新数 i 与实数之间满足加法、乘法的交换律、结合律以及乘法对 加法的分配律．
设计意图
面对新问题的需要，感到扩充实数集的必要性，通过类比，猜想增添的新数需满足的
条件． 提出问题：同学们设想，实数 a 与新数 i 相加，实数 b 与新数 i 相乘，结果如何表达？
并确定其实部和虚部，然后利用两复数相等的充要条件，即实部和虚部分别相等列出相应
的方程组，然后解方程组求出参数的值． 变练演编 1．给出实数－1、1 和 0，你能构成哪些不同的复数？ 2．已知复数 z＝(x2＋5x＋6)＋(x2－2x－15)i(x∈R)，需要添加条件：____________，即
可求实数 x 的值．
《复数的概念》教学设计
◆ 教材分析
教材通过三个环节完成了对实数系的扩充过程：(1)提出问题(用什么方法解决方程 x2＋ 1＝0 在实数集中无解的问题)，引发学生的认知冲突，激发学生扩充实数系的欲望；(2)回 顾从自然数集逐步扩充到实数集的过程和特点(添加新数，满足原来的运算律)；(3)类比、 设想扩充实数系的方向及引入新数 i 所满足的条件(使 i2＝－1 成立，满足原来的运算 律)．由于学生对数系扩充的知识并不熟悉，教学中教师需多作引导．
式)的方法求出相应的 m 的取值．
变式练习 已知集合 M＝{1,2，(a2－3a－1)＋(a2－5a－6)i}，N＝{－1,3}，若 M∩N＝{3}，则实数 a＝______.
提示：由 M∩N＝{3}知，3∈M，即有(a2－3a－1)＋(a2－5a－6)i＝3，
a2－3a－1＝3，
所以
解得 a＝－1.
答案：1.可以构成不同的复数有：－1＋i，－1＋0i，1－i，1＋0i，i，－i；
2．可以添加的条件很多，如 z 为实数，z 为虚数，z 为纯虚数，z＝0，z＝6－15i 等等．
达标检测
1．下列说法正确的是( )
①实数是复数；②虚数是复数；③实数集和虚数集的交集不是空集；④实数集与虚数
集的并集等于复数集．
条件．
提出问题：实数系扩充到复数系后，实数集 R 与复数集 C 有怎样的关系？你能类比实 数的分类，对复数进行合理的分类吗？试用韦恩图表示复数集、实数集、虚数集和纯虚数 集之间的关系．
活动设计：小组讨论，学生尝试分类，教师引导归纳． 活动结果：实数集 R 是复数集 C 的真子集.复数 z＝a＋bi 可以分类如下：
和新数 i 可以看作是 a＋bi(a，b∈R)这样数的特殊形式，即 a＝a＋0i，i＝0＋i. 实数系经过上述扩充后，得到的新数集 C＝{a＋bi|a，b∈R}． 我们把形如 a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中 i 叫做虚数单位．全体复数所构成的集
合 C 叫做复数集，即 C＝{a＋bi|a，b∈R}． 复数通常用字母 z 表示，即 z＝a＋bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式． 注意：今后不做特殊说明，a，b∈R，其中 a 叫做复数 z 的实部，b 叫做复数 z 的虚部． 设计意图
难点：虚数单位 i 的引进及复数的概念．
◆ 教学过程
引入新课 请同学们回答以下问题： (1)在自然数集 N 中，方程 x＋4＝0 有解吗？ (2)在整数集 Z 中，方程 3x－2＝0 有解吗？
(3)在有理数集 Q 中，方程 x2－2＝0 有解吗？ 活动设计：先让学生独立思考，然后小组交流，最后师生总结． 活动成果：问题(1)在自然数集中，方程 x＋4＝0 无解，为此引进负数，自然数→整 数； 问题(2)在整数集中，方程 3x－2＝0 无解，为此引进分数，整数→有理数； 问题(3)在有理数集中，方程 x2－2＝0 无解，为此引进无理数，有理数→实数． 数集的每一次扩充，对数学本身来说，解决了在原有数集中某种运算不能实施的矛 盾，如分数解决了在整数集中不能整除的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛 盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾． 提出问题：从自然数集 N 扩充到实数集 R 经历了几次扩充？每一次扩充的主要原因是 什么？每一次扩充的共同特征是什么？ 活动设计：先让学生独立思考，然后小组讨论，师生共同归纳总结． 活动成果：扩充原因：①满足解决实际问题的需要；②满足数学自身完善和发展的需 要． 扩充特征：①引入新的数；②原数集中的运算规则在新数集中得到保留和扩展，都满 足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律． 设计意图
2．通过问题情境，了解扩充数系的必要性，感受数系的扩充过程，体会引入虚数单位 i 和复数形式的合理性，使学生对数的概念有一个初步的、完整的认识．
3．通过问题情境，体会实际需求与数学内部矛盾在数系扩充过程中的作用，感受人类 理性思维的作用以及数与现实世界的联系．
◆ 教学重难点 ◆
重点：复数的概念，虚数单位 i，复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等等概 念．
复数的概念是复数这一章的基础，复数的有关概念都是围绕复数的代数表示形式展开 的．虚数单位、实部、虚部的命名，复数相等的概念，以及虚数、纯虚数等概念的理解， 教学中可结合具体例子，以促进对复数实质的理解．
课时分配 1 课时．
◆ 教学目标
1．了解引进复数的必要性；理解虚数单位 i 以及 i 与实数的四则运算规律．理解并掌 握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部、复数相等)．
充要条件是实部和虚部分别相等．特别地，a＋bi＝0 a＝0 且 b＝0.
设计意图
通过探究讨论，让学生对复数相等的概念达成共识，并揭示复数相等的内涵，利用两
复数相等，可以得到关于实数的方程组，进而得到 a，b 的值． 理解新知 提出问题：对于复数 z＝a＋bi，当且仅当 a，b 满足什么条件时，z 为实数，为 0，为虚
实数 a 与实数 b 和新数 i 相乘的结果相加，如何表示？ 活动设计：学生动手操作，尝试写出新数与实数加法和乘法的运算，然后教师引导，
更正不正确的写法，统一新数的特点，为引出复数的概念做铺垫． 活动成果：a＋i，bi，a＋bi. 根据条件(2)，i 可以与实数 b 相乘，再与实数 a 相加．由于满足乘法和加法的交换律，
从而都可以把结果写成 a＋bi(a，b∈R)的形式． 提出问题：形如 a＋bi(a，b∈R)的数包括所有实数吗？包括你原来没遇到过的新数
吗？ 写出实数系经过上述扩充后得到的新数构成的集合 C. 活动设计：学生思考，可以讨论，师生共同总结，得出复数的概念． 活动成果：形如 a＋bi(a，b∈R)的数，包括所有实数，也包括新数 bi 和 a＋bi，实数 a
虚数、纯虚数的概念判断． 解：①的实部为 2，虚部为 3，是虚数；②的实部为－3，虚部为12，是虚数；③的实部
为 2，虚部为 1，是虚数；④的实部为 π，虚部为 0，是实数；⑤的实部为 0，虚部为－
3，是纯虚数；⑥的实部 0，虚部为 0，是实数．
点评：复数 a＋bi 中，实数 a 和 b 分别叫做复数的实部和虚部．特别注意，b 为复数的
解：(1)当 m－1＝0，即 m＝1 时，复数 z 是实数；
(2)当 m－1≠0，即 m≠1 时，复数 z 是虚数；
(3)当 m＋1＝0，且 m－1≠0，即 m＝－1 时，复数 z 是纯虚数．
点评：这是一道巩固复数概念的题目，首先要在变化中认识复数代数形式的结构，正
确判断复数的实部和虚部；然后依据复数是实数、虚数、纯虚数的条件，用列方程(或不等
复数
实数 z虚数
b＝0 b≠0
当a＝0时为纯虚数
复数集、实数集、虚数集和纯虚数集之间的关系用图表示如下：
设计意图 让学生了解数系扩充后复数的正确分类及各数系之间的包含关系． 提出问题：任意两个复数可以比较大小吗？若可以，请说明进行比较的方法；若不可
以，请说明理由． 活动设计：让学生思考，议论后发言，教师点拨． 学情预测：学生可能不知所云，无法下结论，也可能类比实数的大小比较，认为可以
数，为纯虚数？ 活动设计：学生思考、讨论，师生总结． 活动结果：当且仅当 b＝0 时，复数 z＝a＋bi 是实数；当且仅当 a＝b＝0 时，复数 z＝a
＋bi 为 0；当且仅当 b≠0 时，复数 z＝a＋bi 是虚数；当且仅当 a＝0 且 b≠0 时，复数 z＝a ＋bi 为纯虚数．
设计意图
让学生进一步理解复数的代数形式，明确复数 z＝a＋bi 为实数、虚数和纯虚数的充要
让学生自己添加上这些新数，感受实数系的扩充过程，认识扩充后新数的特点，知道
复数的代数形式及有关概念． 提出问题：你认为满足什么条件，可以说这两个复数相等？ 活动设计：学生讨论探究 a＋bi＝c＋di 时，实部和虚部应满足的条件，教师补充． 活动结果：若 a＋bi＝c＋di(其中 a，b，c，d∈R)，则 a＝b 且 c＝d，即两个复数相等的
回顾从自然数集 N 扩充到实数集 R 的过程，帮助学生认识数系扩充的主要原因和共同
特征． 探究新知 提出问题：方程 x2＋1＝0 在 R 上有解吗？如何对实数集进行扩充，使方程 x2＋1＝0 在
新的数集中有解？ 活动设计：小组讨论，类比猜想，设想新数的引进，师生共同完成． 学情预测：学生讨论可能没有统一结果，无法描述． 类比原来不同阶段数系的每一次扩充的特点，在实数集中方程 x2＋1＝0 无解，需要引
答案或提示：1.B 2.B
3．C(提示：由两复数相等的条件列出关于 a 的方程组)
4．2＋2i(提示：先确定两个已知复数的实部和虚部，注意：i2＝－1)
课堂小结
可以先给学生 1～2 分钟的时间默写本节的主要基础知识、方法，例题、题目类型、解
题规律等；然后用精练的、精确的语言概括本节的知识脉络、思想方法、解题规律等．
比较大小． 活动结果：若两个复数都是实数，则可以比较大小；否则就不能比较大小．因此，一
般说来，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较其大小． 运用新知 例 1 请说出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数还是纯虚数． ①2＋3i；②－3＋12i；③ 2＋i；④π；⑤－ 3i；⑥0. 思路分析：根据复数的代数形式及实部和虚部的概念找出各复数的实部和虚部，根据