高三数学排列组合

＿C4＿2A＿43＿＿14＿4种投放方法。
(4)每个盒内放一个球，并且恰好有一个 球的编号与盒子的编号相同, 有多少种放 法？
解析：1个球的编号与盒子编号相同的
选法有C41种，当1个球与1个盒子的编号 相同时,同局部列举法可知其余3个球的
投放方法有2种，故共有C41×2=8种.
[评注] 1. 做排列组合应用题，首先要分 清问题的类型，是用基本计数原理，还是排 列问题或是组合问题.2.掌握常见的解法策略， 常见策略有：特殊元素（特殊位置）优先； 合理分类与合理分步；先选后排；相邻问题 捆绑法；不相邻问题插空法；正难则反，等 价转化法。
(5) 女同学从左到右按高矮顺序排，有 多少种不同的排法？(3个女生身高互不 相等)
解析：从7个位置中选出4个位置把男生
安排好，则有A74种方法，然后再在余下 的3个空位置中安排女生，由于女生要按
身体高矮排列，故仅有一种排法，这样
一共有A74种不同排法。
(6)学生甲不站排头，学生乙不站 排尾，共有多少种不同的排法？
nm n
Cm n1
C
m n
C m1 n
排队问题
例1、 4个男同学，3个女同学
站成一排. (1) 3个女同学必须排在一起，有多 少种不同的排法？
(2) 任何两个女同学彼此不相邻,有 多少源自文库不同的排法？
(3) 其中甲、乙两同学之间必须有3 人，有多少种不同的排法？
(4) 甲、乙两人相邻，但都不与丙相 邻，有多少种不同的排法？
复习
基础知识1：知识结构网络图
排列 基 本 原 理
组合
排列数公式 应 用 问
组合数公式 题
组合数性质
基础知识2：两个原理的区别与联系 复
习
名称
内容
分类原理
分步原理
做一件事，完成它可以有n类办法， 做一件事，完成它可以有n个步骤，
第一类办法中有m1种不同的方法， 做第一步中有m1种不同的方法，
定 义 第二类办法中有m2种不同的方法…， 做第二步中有m2种不同的方法……， 第n类办法中有mn种不同的方法， 做第n步中有mn种不同的方法，
解析：分三步：甲学校2名，有 C62种方法，乙学校2名有C42种 方法，丙学校2名，有C22种方法， 依据分步计数原理，所求不同方 法数为C62 C42 C22 =90。
（2）分给甲、乙、丙三所学校， 一校1名，一校2名，一校3名。
解析：分两步：第一步，把6名教师 分为三组，分别为一、二、三名，共
(2) 任何两个女同学彼此不相邻, 有多少种不同的排法？
解析：先将男生排好, 共有A44种排法, 再在这4个男生的中间及两头的5个空档 中插入3个女生有A53种方案, 故符合条 件的排法共有A44A53=1440种不同排法.
(2) 任何两个女同学彼此不相邻, 有多少种不同的排法？
解析：先将男生排好, 共有A44种排法,
两个原理是学好排列组合的金钥匙， 第一类办法中有m1种不同的方法， 做第一步中有m1种不同的方法，
定 义 第二类办法中有m2种不同的方法…， 做第二步中有m2种不同的方法……， 第n类办法中有mn种不同的方法， 做第n步中有mn种不同的方法，
那么完成这件事共有
那么完成这件事共有
必须搞清两者的区别与联系，如何 N=m1+m2+m3+…mn 种不同的方法 N=m1·m2·m3·…·mn 种不同的方法.
解析：学生甲不站在排头，则他可能站 在中间或排尾，故可分两类，一类是甲 站在中间有5种站法，此时乙有5种站法， 其他5名学生站在五个不同的位置上有 A55种站法，故共有5×5×A55=3000种 站法。第二类是甲站在排尾，此时乙有 6种站法，其他5名同学站在五个不同的 位置上有6×A55=720种，由加法原理， 故共有3720种站法。
(4) 甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种 不同的排法？
(4) 甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻， 有多少种不同的排法？
解析： 安排甲、乙和丙3人以外的其他4 人，有A44种排法；由于甲、乙要相邻, 故再把甲、乙排好, 有A22种排法, 最后把 甲、乙排好的这个整体与丙分别插入原 先排好的4人的空档中有A52种排法, 这样, 总共有A44 A22 A52=960种不同排法.
(1) 3个女同学必须排在一起，有多 少种不同的排法？
解析：3个女同学是特殊元素，我们
先把她们排好，共有A33种排法；由于3 个元女素同相学邻必问须题排，在一一般用起“，捆我绑们法可”视,先排把好相
邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与
的其女它同元学素为全一排整列，体然，后再再与松甲绑同，学将排这若队干， 这个时元是素5内个部元全素排的列全。排列，应有A55种排 法，由乘法原理，有A33A55种=720种不 同排法.
注：对此类问题，常有疑惑，为什么不是 57 呢？
用分步计数原理看，5是步骤数，自然是指数。
涂色问题
例4、某城市在中心广场建造一个花圃，
花圃分为6个部分（如图），现要栽种4
种颜色的花，每部分栽种一种，且相邻
部分不能栽种相同颜色的花，不同的栽
种方法共 有______种.
(用数字作答)
5 6 14
23
[解析] 本题是一道涂色问题的应用题,
再• 元在素这不4相个邻男，生一的般中用间“及插两空法头”的，5个先将空不档
相邻元素以外的“普通”元素全排列，然
中后 素插在。入普3通个元女素生之有间A或53两种端方插案入, 不故相符邻合的条元 件的排法共有A44A53=1440种不同排法.
(3) 其中甲、乙两同学之间必须有3人，有多少种 不同的排法？
小结
本节课，我们对有关排列组合的几种常见的 解题策略加以复习巩固。排列组合历来是学 习中的难点，通过我们平时做的练习题，不 难发现排列组合题的特点是条件隐晦，不易 挖掘，题目多变，解法独特，数字庞大，难 以验证。同学们只有对基本的解题策略熟练 掌握。根据它们的条件,我们就可以选取不同 的技巧来解决问题.对于一些比较复杂的问题, 我们可以将几种策略结合起来应用，把复杂 的问题简单化，举一反三，触类旁通，进而 为后续学习打下坚实的基础。
有＿C6＿1C＿52C＿33＿种方法;
第二步，把他们分给甲、乙、 丙三所学校有＿A ＿3 3 种方法，
依据分步计数原理，共有＿C61C ＿52C ＿33A＿33＿360
种方法。
3）分给甲、乙、丙三所学校，一校 4名，另两所学校各1名。
解析：分三步：第一步，从6名教师中 选取4名有＿＿C 6 4 ＿种方法；
nm n
Cm n1
C
m n
C m1 n
基础知识点3：排列和组合的区别和联系
名称 定义
种数
排列
从n个不同元素中取出m个元 素，按一定的顺序排成一列
所有排列的的个数
组合
从n个不同元素中取出m个元 素，把它并成一组
所有组合的个数
符号
排列、组合是两个重要概念，只有 计算 准确、全面把握这两大概念，才能 公式
所有组合的个数
符号 计算 公式 关系 性质
Anm
C
m n
Anm n(n 1) (n m 1)
Anm
(n
n! m)!
Ann n!
0! 1
C
m n
C
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n(n 1) n!
m!(n
(n m!
m)!
m 1)
C
0 n
1
Anm Cnm Amm
Anm nAnm11
， C C m n
灵 相点同活利做用一这件事两或个完原成一理项对工问作的题方进法行数分
类 不点同或分直接步（， 分类往）完往成 是解应间接用（分题步骤的）关 完成键。
基础知识点3：排列和组合的区别和联系
名称 定义
种数
排列
从n个不同元素中取出m个元 素，按一定的顺序排成一列
所有排列的的个数
组合
从n个不同元素中取出m个元 素，把它并成一组
Anm
C
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Anm n(n 1) (n m 1)
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C
0 n
1
正 关系确区分是 A排 nm 列 问 Cnm题 还 Am是 m 组合问题。
性质
Anm nAnm11
， C C m n
(1)有多少种放法？ (2)每盒至多一球，有多少种放法？
（1）每个小球都等可能放入4个盒子 中的任何一个，将小球一个一个地放 入盒子，共有4×4×4×4=44=256 种放法。
（2）为全排列问题，共有A44种放法。
(3)恰好有一个空盒，有多少种放法？
解析：先将4个小球分为三组有＿＿C 4 2 ＿＿ 种，再将三组小球投入四个盒子中的三个 盒子有＿A ＿4 3 种 投放方法，故一共有
(3) 其中甲、乙两同学之间必须有3人， 有多少种不同的排法？
解析：甲、乙2人先排好，有A22种排法, 再从余下5人中选3个排在甲、乙2人中间, 有A53种排法, 这时把已排好的5人视为一 个整体, 与最后剩下的2人再排, 又有A33种 排法，这样总共有A22 A53A33 =720种不同 排法.
用乘法原理直接求解。 例3、七名学生争夺五项射击冠军，
每项冠军只 能由一人获得，获得冠军的可能
的种数有（ A ）
A.75
B. 57
C A75
D.C75
分析：因同一学生可以同时夺得n项冠军，故学生可重复排列， 将七名学生看作7家“店”，五项冠军看作5名“客”，每个 “客”有7种住宿法，由乘法原理得75 种。
第二步,分给甲、乙、丙三所学校中的 一所有＿C ＿3 1 种方法；
第三步：余下两名教师分给剩下的两所 学校有＿A 2 ＿2 种方法； 由分步计数原理有＿C64＿C31＿A22＿90＿种方法。
住店问题
解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素：
一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复
的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，再利
所以5×A44=120种 栽种方法.
放球问题
例5、 将4个编号为1、2、3、4的小球 放入4个编号为1、2、3、4的盒子中. (1)有多少种放法？ (2)每盒至多一球，有多少种放法？ (3)恰好有一个空盒，有多少种放法？ (4)每个盒内放一个球，并且恰好有一个球 的编号与盒子的编号相同, 有多少种放法？
那么完成这件事共有
那么完成这件事共有
N=m1+m2+m3+…mn 种不同的方法 N=m1·m2·m3·…·mn 种不同的方法.
相同 点
做一件事或完成一项工作的方法数
不同 点
直接（分类）完成
间接（分步骤）完成
基础知识2：两个原理的区别与联系 复
习
名称
内容
分类原理
分步原理
做一件事，完成它可以有n类办法， 做一件事，完成它可以有n个步骤，
分组问题
例2、为支援四川灾区,有6名教师去汶川甲、 乙、丙三所不同的学校任教。按以下要求分 配各有多少种分法？ （1）平均分给甲、乙、丙三所学校，每校两 名。 （2）分给甲、乙、丙三所学校，一校1名， 一校2名，一校3名。 （3）分给甲、乙、丙三所学校，一校4名， 另两所学校各1名。
（1）平均分给甲、乙、丙三所学 校，每校两名。
可以将不相邻的区域合并成涂同一颜色的
区域，再用颜色进 行排列；也可以根 据条件分布涂色.
5 6 14
23
把不相邻的区域合并后，成为4个
“大区域”，然后再把4种颜色对应全排
列
1 24 35 6 1 24 36 5
5 6 14
23
1 25 36 4 1 25 46 3 1 2 35 46
共5种合并方法，
(6)学生甲不站排头，学生乙不站 排尾，共有多少种不同的排法？
解析：学生甲不站在排头，则他可能站 在位中置间分或析排法尾和，元故素可分分析两法类是，解一决类排是列甲组 站合在问中题间最有常5用种也站是法最，基此本时的乙方有法5种,若站以法元， 其素他分5析名为学主生,需站先在安五排个特不殊同元的素位,置再上处有理其 A它55元种素站.法若，以故位共置有分5析×为5主×,A需55先=3满00足0特种殊 站位法置。的第要二求类,再是处甲理站其在它排位尾置，。此若时有乙多有个 6约种束站条法件，，其往他往5名是同考学虑站一在个五约个束不条同件的 位同置时上还有要6兼×顾A其55=它72条0件种，由加法原理， 故共有3720种站法。
(5) 女同学从左到右按高矮顺序排， 有多少种不同的排法？(3个女生身高互 不相等)
(6)学生甲不站排头，学生乙不站 排尾，共有多少种不同的排法？
(1) 3个女同学必须排在一起，有多 少种不同的排法？
（男生）
（女生）
(1) 3个女同学必须排在一起，有多 少种不同的排法？
解析：3个女同学是特殊元素，我们 先把她们排好，共有A33种排法；由于3 个女同学必须排在一起，我们可视排好 的女同学为一整体，再与男同学排队， 这时是5个元素的全排列，应有A55种排 法，由乘法原理，有A33A55种=720种不 同排法.