高一数学(人教A版)复数的乘除运算-教案
高中数学新人教版A版精品教案《3.2.2 复数代数形式的乘除运算》4
3.2.2复数代数形式的乘除运算教学设计
吉林省桦甸市第八中学
潘金鸿
【教学目标】
1知识与技能：掌握复数代数形式的乘除运算的法则，熟练进行复数的乘法和除法运算；理解复数乘法的交换律、结合律、分配律；了解共轭复数的定义及性质．
2过程与方法：运用类比方法，经历由实数系中的乘除法到复数系中乘除法的过程；培养学生发散思维和集中思维的能力，以及问题理解的深刻性、全面性．
3情感、态度与价值观：通过实数的乘、除法运算法则及运算律，推广到复数的乘、除法，使同学们对运算的发展历史和规律，以及连续性有一个比较清晰完整的认识，同时培养学生的科学思维方法．
【重点难点】
重点: 掌握复数代数形式的乘除运算的法则，熟练进行复数的乘法和除法运算．
难点:复数除法的运算法则
【学法指导】
复数乘法运算是按照多项式与多项式相乘展开得到，在学习时注意将2i换成1 ；除法是乘法的逆运算，所以复数的除法运算可由乘法运算推导获得，但是也可由互为共轭复数的两个复数的乘积为实数，先将复数的分母实数化，再化简可得，学习时注意体会第二种方法的优势和本质。
复数的乘除运算教案
复数的乘除运算教案复数乘除运算教案一、教学目标1. 理解复数的乘除运算的概念和规律；2. 能够进行复数的乘除运算；3. 通过实际问题的解决，培养学生的应用能力。
二、教学重点1. 复数的乘法规则；2. 复数的除法规则。
三、教学难点1. 对复数的乘除运算规则的理解和灵活运用。
四、教学准备1. 复数的定义和性质；2. 复数的乘法和除法运算规则。
五、教学过程Step 1 知识导入复习复数的概念和性质，并引导学生回顾复数的加减运算规则。
Step 2 复数的乘法规则1. 引导学生思考：如何计算两个复数的乘积？2. 让学生观察一些简单的乘法例子，并总结乘法的规律，例如：(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2。
3. 根据上述规律，引导学生完成一些乘法运算练习。
Step 3 复数的除法规则1. 引导学生思考：如何计算一个复数除以另一个复数？2. 让学生观察一些简单的除法例子，并总结除法的规律，例如：(a + bi)/(c + di) = (a + bi)(c - di)/(c^2 + d^2)。
3. 根据上述规律，引导学生完成一些除法运算练习。
Step 4 综合运用通过实际问题的解决，让学生灵活应用复数的乘除运算规则。
例如：问题：如果有一个复数z，满足z乘以4等于(-8 + 16i)，求z的值。
解决思路：设z = a + bi，将已知条件代入乘法规则，得到方程(a + bi) * 4 = (-8 + 16i)，然后解方程，求得z的值。
六、教学拓展引导学生思考复数的乘法和除法规则在实际生活中的应用，例如在电路分析、信号处理等领域。
七、作业布置完成教师布置的练习题，巩固所学的乘除运算规则。
八、课堂小结复习复数的乘除运算规则，并提醒学生练习和巩固所学知识。
以上是关于复数的乘除运算教案的参考内容，通过引导学生总结计算规律和应用实例，帮助学生理解复数的乘除运算规则，并通过实际问题的解决来培养学生的应用能力。
7.2.2复数的乘、除运算教学设计2023-2024学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
7.2.2复数的乘、除运算（2课时）教学设计-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册一、教学内容分析本节课的主要教学内容是复数的乘、除运算，这部分内容位于人教A 版（2019）必修第二册的第7章，第2节，共2课时。
教学内容主要包括：复数的乘法运算，复数的除法运算，以及复数乘除运算的逆运算性质。
教学内容与学生已有知识的联系：学生在学习本节课之前，已经掌握了复数的加减运算，以及复数的模和共轭复数的定义。
这些知识为本节课的学习奠定了基础。
通过本节课的学习，学生将能够进一步理解复数的运算规则，为后续学习复数的几何意义和应用打下基础。
二、教学目标本节课的教学目标主要包括：知识与技能目标，过程与方法目标，以及情感态度与价值观目标。
1. 知识与技能目标：学生能够理解和掌握复数的乘除运算规则，包括复数的乘法运算，复数的除法运算，以及复数乘除运算的逆运算性质。
例如，学生需要能够熟练地进行复数的乘法运算，如(3+2i)*(1+i)，以及复数的除法运算，如1/(1+2i)。
2. 过程与方法目标：学生通过本节课的学习，能够运用复数的乘除运算规则解决实际问题，提高解决问题的能力。
例如，学生需要能够运用复数的除法运算解决复数的方程问题，如解复数方程1/(1+2i)=x。
3. 情感态度与价值观目标：学生通过本节课的学习，能够培养对数学的兴趣和自信心，以及与他人合作解决问题的能力。
例如，学生需要能够在小组合作中积极参与讨论，共同解决复数的乘除运算问题。
综上所述，本节课的教学目标旨在帮助学生掌握复数的乘除运算规则，提高解决问题的能力，以及培养对数学的兴趣和自信心。
三、教学难点与重点本节课的重点是复数的乘除运算规则，难点是复数的除法运算和逆运算性质的理解与应用。
重点：1. 复数的乘法运算规则：乘法运算遵循交换律、结合律和分配律。
例如，(3+2i)*(1+i) = 3*1 + 3*i + 2i*1 + 2i*i = 3 + 3i + 2i - 2 = 3 + i。
《复数的乘除运算》教学设计【高中数学人教A版必修2(新课标)】
《复数的乘除运算》教学设计本节课是《复数代数形式的四则运算》的第二课时，是四则运算的重点，也是本章的重点．复数的乘法法则是规定的，其合理性表现在：这种规定与实数乘法的法则是一致的，而且实数乘法的有关运算律在这里仍然成立．由除法是乘法的逆运算的这种规定，可以得到复数除法的运算法则．教材在内容编排上使用问题探究式的方法，引导学生能够自己探究新知，发现新知，理解新知．学生不仅学到了知识，而且培养了学习兴趣，提高了学习积极性．课时分配1课时．1．掌握复数代数形式的乘除运算法则，熟练进行复数的乘法和除法运算．2．理解复数乘法的交换律、结合律、分配律．3．运用类比方法，经历由实数系中的乘除法到复数系中乘除法的过程．4．通过实数的乘、除法运算法则及运算律，推广到复数的乘、除法，使同学们对运算的发展历史和规律，以及连续性有一个比较清晰完整的认识，同时培养学生的科学思维方法．重点：掌握复数代数形式的乘除运算的法则，熟练进行复数的乘法和除法运算．难点：复数除法的运算法则．引入新课提出问题：试计算5(2＋i)．活动设计：先由学生独立思考，然后交流看法．学情预测：学生可能类比单项式与多项式的乘法来计算．活动成果：(板书)5(2＋i)＝(2＋i)＋(2＋i)＋(2＋i)＋(2＋i)＋(2＋i)＝10＋5i.设计意图通过比较分别运用实数集中乘法的意义和复数的加法法则计算所得的结果，得到结论：m(a＋b i)＝ma＋mb i，其中m，a，b∈R.引出新课．两个复数相乘又该如何计算？探究新知提出问题：如何计算(2＋i)(3＋2i)?活动设计：先让学生独立思考，然后小组交流，教师巡视指导，并注意与学生交流．学情预测：学生可能类比两个多项式的乘法来计算．活动成果：(板书)(1)规定，复数的乘法法则：设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i是任意两个复数，那么它们的积：(a＋b i)(c＋d i)＝ac＋bc i＋ad i＋bd i2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.(2)(2＋i)(3＋2i)＝6＋3i＋4i＋2i2＝4＋7i.设计意图遇到问题就得解决问题，但是复数又是一个全新的知识，它是实数集的扩充，所以在不违背原有知识的基础上规定了复数的乘法法则，使学生体会知识的创新与发展的过程．理解新知提出问题1：怎样理解复数的乘法法则？它可能满足哪些运算律？活动设计：学生独立思考，然后同学间交流．学情预测：学生可以独立理解复数的乘法法则，并写出它满足的运算律．活动成果：(1)可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．两个复数的积是一个确定的复数．(2)实数集上的乘法满足的运算律，可以直接推广到复数集上的乘法运算中：对于任意z1，z2，z3∈C，有z1·z2＝z2·z1，(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)，z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3.设计意图准确地把握法则及其满足的运算律，为正确熟练地运用打下良好的基础．提出问题2：计算i 5，i 6，i 7，i 8的值，你能推测i n (n ∈N *)的值有什么规律吗？活动设计：学生独立思考，然后同学间交流结果，教师巡视指导．学情预测：学生能够计算出四个值，并说出周期性．活动成果：i 5＝i ，i 6＝－1，i 7＝－i ，i 8＝1，推测i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i 4n ＋4＝1(n ∈N *)．设计意图了解i 的幂的周期性，培养学生的观察和归纳能力． 运用新知例1计算：(1)(1－i)2；(2)(1－2i)(3＋4i)(1＋2i)．思路分析：第(1)题可以用复数的乘法法则计算，也可以用实数系中的乘法公式计算；第(2)题可以按从左到右的运算顺序计算，也可以结合运算律来计算．解：(1)解法一：(1－i)2＝(1－i)(1－i)＝1－i －i ＋i 2＝－2i ；解法二：(1－i)2＝1－2i ＋i 2＝－2i.(2)解法一：(1－2i)(3＋4i)(1＋2i)＝(3＋4i －6i －8i 2)(1＋2i)＝(11－2i)(1＋2i)＝(11＋4)＋(22－2)i ＝15＋20i ；解法二：(1－2i)(3＋4i)(1＋2i)＝[(1－2i)(1＋2i)](3＋4i)＝5(3＋4i)＝15＋20i.点评：此题主要是巩固复数乘法法则及运算律，以及乘法公式的推广应用．特别要提醒其中(－2i)·4i ＝8，而不是－8.探究新知提出问题：类比实数的除法，联系复数减法法则的引入过程，探求复数除法的法则． 活动设计：引导学生运用乘法法则以及复数相等的概念来得到除法法则．活动成果：(1)规定复数的除法是乘法的逆运算，即把满足(c ＋d i)(x ＋y i)＝a ＋b i(c ＋d i ≠0)的复数x ＋y i ，叫做复数a ＋b i 除以c ＋d i 的商．(2)经计算可得(cx －dy )＋(dx ＋cy )i ＝a ＋b i.根据复数相等的定义，有cx －dy ＝a ，dx ＋cy ＝b .由此得x ＝ac ＋bd c 2＋d 2，y ＝bc －ad c 2＋d 2. 于是得到复数除法的法则是：(a ＋b i)÷(c ＋d i)＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i. 由此可见，两个复数相除(除数不为0)，所得的商是一个确定的复数．理解新知提出问题：在实际进行复数运算时，每次都按照乘法逆运算的办法来求商，这是十分麻烦的．如何简化求商的过程？这种简化的求商过程与实数系中作何种运算的过程相类似？活动设计：起初学生会无从下手，可以提示他们观察商的实部和虚部的分母与除数的关系，从而得解．学情预测：学生在教师的指导下，基本上能发现规律．活动结果：(1)在进行复数除法运算时，通常先把(a ＋b i)÷(c ＋d i)写成a ＋bi c ＋di 的形式，再把分子与分母都乘以分母的共轭复数c －d i ，化简整理后即可． (2)这种求商过程与作根式除法时的处理是很类似的．在作根式除法时，分子、分母都乘以分母的“有理化因式”，从而使分母“有理化”．这里分子和分母都乘以分母的“实数化因式”(共轭复数)，从而使分母“实数化”．设计意图简化求解过程，有利于熟练运用法则．运用新知例2计算(1＋2i)÷(3－4i)．思路分析：先把(1＋2i)÷(3－4i)写成1＋2i 3－4i的形式，然后分子、分母都乘以3＋4i ，计算整理即可．解：(1＋2i)÷(3－4i)＝1＋2i 3－4i＝1＋2i 3＋4i 3－4i 3＋4i ＝3－8＋6i ＋4i 32＋42＝－5＋10i 25＝－15＋25i. 点评：例2是复数除法的计算题，目的是让学生熟练操作上述作除法的简便过程． 巩固练习计算：(1)7＋i 3＋4i ；(2)(3＋2i)(－3＋2i)；(3)－1＋i 2＋i －i. 解：(1)7＋i 3＋4i ＝7＋i 3－4i 3＋4i3－4i ＝25－25i 25＝1－i ； (2)(3＋2i)(－3＋2i)＝(2i)2－(3)2＝2i 2－3＝－2－3＝－5；(3)－1＋i 2＋i －i ＝－2－i ＋2i ＋i 2－i ＝－3＋i －i＝－3＋i i －i·i＝－1－3i. 变练演编1．已知：________÷________＝1＋2i ，则横线上可以填的条件是什么？(可以多写几种)2．计算：3＋4i 4－3i ；并自己编制一道类似的题目． 答案：1.11＋2i ，3－4i 或5,1－2i 等等．(先写出被除数或除数中的一个，然后求另一个)2．解法一：3＋4i 4－3i＝3＋4i 4＋3i 4－3i 4＋3i ＝25i 25＝i ； 解法二：3＋4i 4－3i ＝3＋4i i 4－3i i ＝3＋4i i 3＋4i＝i. 编制的题目：5＋3i 3－5i ，－5i ＋6－6i －5(编制的原则设分子是z 1＝a ＋bi ，则分母为z 2＝b －ai ，即分母与i 的乘积就是分子，可直接约分，从而达到分母实数化)．设计意图第一个题目的设计不仅是为了训练学生灵活处理问题，熟练运用知识的能力，而且可以培养学生发散思维与集中思维的能力，还可以考查学生对知识、问题理解的深刻性和思维的深刻性、全面性．题型的新颖性、开放性更是不言而喻．第二个题的目的是使学生更深刻理解复数的除法就是分母的实数化．达标检测1．复数a ＋b i 与c ＋d i 的积是实数的充要条件是( )A ．ad ＋bc ＝0B ．ac ＋bd ＝0C ．ac ＝bdD ．ad ＝bc2．已知(1＋2i)z ＝4＋3i ，求z .3．计算－23＋i 1＋23i＋(21－i )2 010. 解析：1.若(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i 是实数，则只需虚部ad ＋bc ＝0.故答案为A .2．由已知可得z ＝4＋3i 1＋2i＝4＋3i 1－2i 1＋2i 1－2i ＝10－5i 5＝2－i ，所以z ＝2＋i. 3.－23＋i 1＋23i ＋(21－i )2 010＝i 1＋23i 1＋23i＋[(21－i )2]1 005＝i ＋(2－2i )1 005 ＝i ＋i 1 005＝i ＋i 4×251＋1＝i ＋i ＝2i.课堂小结对给定的三个复数z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i ，z 3＝a 3＋b 3i ，你能研究些什么？用什么样的方法来研究？(数系的扩充，当复数的虚部为0时，复数也就是特殊的实数；复数的分类；复数相等的概念；复数的几何意义；复数的模；复数的运算；复数的运算律；任一个复数的共轭复数及性质等本章所学的所有知识．用类比、转化、数形结合、化虚为实等思想方法来研究．)布置作业课本习题．补充练习基础练习1．复数(15＋8i)(－1－2i)的值为________．2．已知复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t 等于( )A.34B.43 C ．－43 D ．－343．复数z ＝m －2i 1＋2i在复平面上对应的点不可能位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．若z 1＝a ＋2i ，z 2＝3－4i 且z 1z 2为纯虚数，则实数a 的值为__________． 5．已知z 1＝5＋10i ，z 2＝3－4i ，1z ＝1z 1＋1z 2，求z . 答案：1.1－38i 2.A 3.A 4.83 5.5－52i. 拓展练习6．已知2i －3是关于x 的方程2x 2＋px ＋q ＝0的一个根，求实数p ，q 的值．思路分析：2i －3是方程的根，代入方程后根据复数相等的定义，化虚为实，即可求得． 解：由已知得：2(2i －3)2＋p (2i －3)＋q ＝0，从而(10－3p ＋q )＋(2p －24)i ＝0.于是，有⎩⎪⎨⎪⎧10－3p ＋q ＝0，2p －24＝0，解得p ＝12，q ＝26. 点评：解决复数问题的关键就是转化为实数问题来处理，复数相等就是实现这一转化的很好的工具．设计说明本节课是本章的重点内容，同时复数乘、除法的法则的理解更是难点．故在本节课的设计上多次采取类比的方法，使知识在不失其本质的情况下，更易于理解．同时这种处理方法可以使新知识与所学知识建立联系性，有利于知识的网络化和系统化．在整个设计上突出了问题驱动式的教学方法，以问题为主线，以学生为主体，随着问题的提出与解决，教学内容也被随之很好地学习与理解．在例题和习题的设计环节上，力求突出本节课的重点：熟练掌握复数的乘除法运算以及数学思维方式与技能形成的培养．例题的选题目的有三：一是巩固所学法则及运算律；二是通过一题多解培养学生的发散思维能力；三是培养计算能力，以形成技能．变练演编的第1题考查学生灵活运用知识、发散思维及逆向思维的能力；第2题则是使学生更加深刻地体会复数除法的实质就是“分母实数化”，培养学生问题理解的深刻性、全面性．为了进一步巩固所学，又设计了巩固练习、达标检测和补充练习等环节．在补充练习中为学有余力的同学安排了拓展练习，增加思维量的同时也开阔了视野．。
7.2.2 复数的乘、除运算(教学设计)-高一数学(人教A版2019必修第二册)
7.2.2 复数的乘、除运算教学设计一、教学目标1.掌握复数代数形式的乘、除运算法则；2.掌握复数代数形式的乘、除运算的运算规则. 二、教学重难点1.教学重点：复数代数形式的乘、除运算法则2.教学难点：复数代数形式的乘、除运算的运算规则 三、教学过程1、复习引入复数的加法法则(a +bi)+(c +di)=(a +c)+(b +d)i 复数的加法满足交换律、结合律 z 1+z 2= z 2+z 1(z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3) 复数的减法法则(a +b i )−(c +d i )=(a −c)+(b −d)i .复平面内的两点Z 1(x 1,y 1),Z 2(x 2,y 2)之间的距离|Z 1Z 2|=|Z 1Z 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|z 2−z 1|=√(x 2−x 1)2+(y 2−y 1)22、复数的乘法规则我们规定，复数的乘法法则如下： 设z 1=a +bi,z 2=c +di (a,b,c,d ∈R )是任意两个复数，那么它们的积(a +bi)(c +di)=ac +bci +adi +bdi 2=(ac −bd)+(ad +bc)i.注：1）两个复数的积是一个确定的复数．2）当z 1,z 2都是实数时，把它们看作复数时的积就是这两个实数的积．3）两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i 2换成-1，并且把实部与虚部分别合并即可.思考1:复数的乘法是否满足交换律、结合律？乘法对加法满足分配律吗？ 交换律：对任意z 1=a +bi,z 2=c +di (a,b,c,d, ∈R)，因为z 1z 2=(a +bi )(c +di )=(ac +bci +adi +bdi 2)=(ac−bd)+(ad+bc)i=z2z1所以z1z2= z2z1结合律：对任意z1=a+bi,z2=c+di，z3=e+fi(a,b,c,d,e,f∈R)，因为(z1z2)z3=[(a+bi)(c+di)](e+fi)=[(ac−bd)+(ad+bc)i] (e+fi)=[(ace−bde−adf−bcf)+(acf+ade+bce−bdf)i]=z1(z2z3)所以(z1z2)z3=z1(z2z3)加法分配律：对任意z1=a+bi,z2=c+di，z3=e+fi(a,b,c,d,e,f∈R)，因为z1(z2+z3)=(a+bi)[(c+di)+(e+fi)]=(a+bi)[(c+e)+(d+f)i]=[(ac+ae−bd−bf)+(ad+af+bc+eb)i]=z1z2+z1z3所以z1(z2+z3)=z1z2+z1z3教师总结：容易得到，对于任意z1,z2,z3∈C有z1z2=z2z1,(z1z2)z3=z1(z2z3),z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.3、典例分析例3 计算(1−2i)(3+4i)(−2+i).解：(1-2i)(3+4i)(-2+i)=(11−2i)(−2+i)=−20+15i.例4 计算(1)(2+3i)(2−3i);(2)(1+i)2.教师分析：本例可以用复数的乘法法则计算，也可以用乘法公式计算．（指的是与实数系中的乘法公式相对应的公式．）解：(1)(2+3i)(2−3i)=22−(3i)2=4−(−9)=13;(2)(1+i)2=1+2i+i2=1+2i−1=2i.练习1：计算(1)(7-6i)(-3i);(2)(3+4i)(-2-3i);(3)(1+2i)(3-4i)(-2-i).解：(1)(7−6i)(−3i)=−21i+18i2=−18−21i;(2)(3+4i)(−2−3i)=−6−9i−8i−12i2=6−17i;(3)(1+2i)(3−4i)(−2−i)=(11+2i)(−2−i)=−20−15i.:练习2：计算(1)(√3+√2i)(−√3+√2i);(2)(1−i)2;(3)i(2−i)(1−2i).解：(1)(√3+√2i)(−√3+√2i)=(√2i)2−√32=−5;(2)(1−i)2=1−2i+i2=−2i;(3)i(2−i)(1−2i)=(1+2i)(1−2i)=1−(2i)2=5.设计意图：通过具体的实例，增强学生的理解能力、实践能力、系统思维能力、问题解决能力以及学习热情。
《复数的乘除运算》教案、导学案、课后作业
《7.2.2 复数的乘除运算》教案【教材分析】复数四则运算是本章的重点，复数代数形式的乘法与多项式乘法是类似的，不同的是即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并．复数的除法运算法则是通过分子分母同时乘分母的共轭复数，将分母实数化转化为乘法运算而得出的.渗透了转化的数学思想方法，使学生体会数学思想的素材.【教学目标与核心素养】课程目标：1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算；2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律;3.理解且会求复数范围内的方程根.数学学科素养1.数学抽象：复数乘法、除法运算法则;2.逻辑推理：复数乘法运算律的推导;3.数学运算：复数四则运算;4.数学建模：结合实数范围内求根公式和复数四则运算，解决复数范围内的方程根问题.【教学重点和难点】重点：复数代数形式的乘法和除法运算．难点：求复数范围内的方程根.【教学过程】一、情景导入前面学习了复数的加法、减法运算，根据多项式的乘法、除法运算法则猜测复数的乘法、除法满足何种运算法则？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本77-79页，思考并完成以下问题1、复数乘法、除法的运算法则是什么？2、复数乘法的多项式运算与实数的多项式运算法则是否相同？如何应用共轭复数解决问题？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1．复数代数形式的乘法法则已知z1＝a＋b i，z2＝c＋d i，a，b，c，d∈R，则z1·z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.[提示]复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并．2.复数乘法的运算律对于任意z1，z2，z3∈C，有3．复数代数形式的除法法则(a＋b i)÷(c＋d i)＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i(c＋d i≠0)四、典例分析、举一反三题型一复数的乘法运算例1 计算下列各题．(1)(1－2i)(3＋4i) (－2＋i)；(2)(2－3i)(2＋3i)；(3)（1+i）2 . 【答案】(1) －20＋15i. (2) 13. (3) 2i.【解析】(1)原式=(11－2i)(-2＋i)＝-20＋15i.(2)原式=(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i＝4－9i2＝4+9＝13.(3)原式＝1＋2i＋i2＝1＋2i－1＝2i.解题技巧（复数乘法运算技巧）1．两个复数代数形式乘法的一般方法(1)首先按多项式的乘法展开．(2)再将i2换成－1.(3)然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式． 2．常用公式(1)(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i(a ，b ∈R)．(2)(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2(a ，b ∈R)． (3)(1±i)2＝±2i. 跟踪训练一1．计算：(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝ ( )A ．2－13iB ．13＋2iC ．13－13iD ．－13－2i【答案】D.【解析】 (1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝1－2i ＋i 2－(4－9i 2)＝－13－2i. 2．若复数(1－i)(a ＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(－1，＋∞)【答案】B.【解析】因为z ＝(1－i)(a ＋i)＝a ＋1＋(1－a )i ， 所以它在复平面内对应的点为(a ＋1,1－a )， 又此点在第二象限，所以⎩⎨⎧a ＋1＜0，1－a ＞0，解得a ＜－1.题型二 复数的除法运算 例2计算(1＋2i)÷(3－4i). 【答案】−15+25i.【解析】 原式=1+2i3−4i =(1+2i )(3+4i )(3−4i )(3+4i )=−5+10i 25=−15+25i.解题技巧： (复数的除法运算技巧) 1．两个复数代数形式的除法运算步骤 (1)首先将除式写为分式；(2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；(3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式． 2．常用公式(1)＝－i ；(2)＝i ；(3)＝－i. 跟踪训练二 1．复数z ＝11＋i(i 为虚数单位)，则|z |＝________. 【答案】22. 【解析】∵z ＝11＋i ＝＝1－i 2＝12－12i ， ∴|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝22.2．计算：1＋i4＋3i 2－i1－i＝________.【答案】－2＋i. 【解析】＝1＋7i 1－3i ＝＝－2＋i. 题型三 复数范围内的方程根问题 例3 在复数范围内解下列方程： （1）；（2），其中，且． 【答案】 （1）方程的根为．（2）方程的根为． 【解析】（1）因为，所以方程的根为．（2）将方程配方，得， 1(1)(1)i i i -+-(1)(43)(2)(1)i i i i ++--(17)(13)10i i ++220x +=20ax bx c ++=,,a b c ∈R 20,40a b ac ≠∆=-<220x +=2x i =±()242b ac b x a --=-±222(22==-220x +=2x i =20ax bx c ++=222424b b ac x a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭． 所以原方程的根为．解题技巧（解决复数方程根问题的技巧）与复数方程有关的问题，一般是利用复数相等的充要条件，把复数问题实数化进行求解．根与系数的关系仍适用，但判别式“Δ”不再适用．跟踪训练三1、已知1＋i 是方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个根(b ，c 为实数)． (1)求b ，c 的值；(2)试判断1－i 是否是方程的根．【答案】(1)b ＝－2，c ＝2. (2)1－i 也是方程的一个根． 【解析】(1)因为1＋i 是方程x 2＋bx ＋c ＝0的根， ∴(1＋i)2＋b (1＋i)＋c ＝0，即(b ＋c )＋(2＋b )i ＝0. ∴⎩⎨⎧b ＋c ＝0，2＋b ＝0，得⎩⎨⎧b ＝－2，c ＝2.∴b ＝－2，c ＝2.(2)将方程化为x 2－2x ＋2＝0，把1－i 代入方程左边x 2－2x ＋2＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立，∴1－i 也是方程的一个根．五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计七、作业课本80页练习，80页习题7.2的剩余题.2bx a +=2b x a =-±【教学反思】本节课主要是在学生了解复数的加减运算及共轭复数的基础上，类比多项式的乘除运算法则探讨得出复数的乘除运算法则，使学生对知识更加融会贯通.尤其在例3，使学生对方程的根有了更深刻的认识.《7.2.2 复数的乘除运算》导学案【学习目标】知识目标1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算；2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律;3.理解且会求复数范围内的方程根.核心素养1.数学抽象：复数乘法、除法运算法则;2.逻辑推理：复数乘法运算律的推导;3.数学运算：复数四则运算;4.数学建模：结合实数范围内求根公式和复数四则运算，解决复数范围内的方程根问题.【教学重点】：复数代数形式的乘法和除法运算．【教学难点】：求复数范围内的方程根.【学习过程】一、预习导入阅读课本77-79页，填写。
复数代数形式的乘除运算教案
复数代数形式的乘除运算教案一、教学目标：1.了解复数的定义和性质；2.掌握复数的加减乘除运算；3.能够应用复数进行实际问题求解。
二、教学重点：1.复数的加减乘除运算；2.复数的相关性质。
三、教学难点：1.复数乘除运算的步骤；2.复数运算过程中的常见问题。
四、教学过程：第一步：了解复数的定义和性质（10分钟）1. 复数的定义：复数由实数和虚数相加得到，形式为a + bi，其中a为实部，bi为虚部，i为虚数单位。
2.复数的性质：复数的加法、减法、乘法、除法满足相应运算规则；- 加法性质：(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i- 减法性质：(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i- 乘法性质：(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i- 除法性质：(a + bi) / (c + di) = (ac + bd) / (c^2 + d^2) + (bc - ad) / (c^2 + d^2)i第二步：复数的加法和减法运算（15分钟）1.讲解复数的加法和减法运算规则，并进行示例演练。
2.学生们自己动手进行练习，解决一些简单的加法和减法题目。
3.学生互相检查答案，解析错误的题目。
第三步：复数的乘法运算（25分钟）1.讲解复数的乘法运算规则，并进行示例演练。
2.学生们自己动手进行练习，解决一些简单的乘法题目。
3.学生互相检查答案，解析错误的题目。
第四步：复数的除法运算（25分钟）1.讲解复数的除法运算规则，并进行示例演练。
2.学生们自己动手进行练习，解决一些简单的除法题目。
3.学生互相检查答案，解析错误的题目。
第五步：实例分析和拓展应用（20分钟）1.提供一些实际问题，要求学生用复数进行求解。
2.学生们自己动手解决实际问题，并展示解题过程和结果。
3.学生之间进行交流和讨论，明确解题思路和答案的合理性。
高中数学新人教版A版精品教案《3.2.2 复数代数形式的乘除运算》6
bdbc ad ac d c b a +++=++)(）（i bc ad bd ac )()(++-=21z z 《3.2.2复数代数形式的乘除运算》教学设计山西省阳泉市第三中学校 王玮教学目标1、知识与技能：掌握复数代数形式的乘除运算的法则，熟练进行复数的乘法和除法运算； 理解复数乘法的交换律、结合律、分配律；了解共轭复数的定义及性质． 2、过程与方法：运用类比方法，经历由实数系中的乘除法到复数系中乘除法的过程；培养学生发散思维和集中思维的能力，以及问题理解的深刻性、全面性． 3、情感、态度与价值观：通过实数的乘、除法运算法则及运算律，推广到复数的乘、除法，使同学们对运算的发展历史和规律，以及连续性有一个比较清晰完整的认识，同时培养学生的科学思维方法．教学重点掌握复数代数形式的乘除运算的法则，熟练进行复数的乘法和除法运算． 教学难点复数除法的运算法则．三、教学过程一、复习旧知1、复数1z 与2z 的和的定义：()()()()i d b c a di c bi a z z +++=+++=+21； .复数1z 与2z 的差的定义：()()()()i d b c a di c bi a z z -+-=+-+=-21；2、多项式的乘法法则： 二、讲授新课探究一、复数的乘法运算设bi a z +=1、di c z +=2()R d c b a ∈,,,是任意两个复数，规定复数的乘法按照以下的法则 说明:(1)两个复数的积仍然是一个复数；(2)复数的乘法与多项式的乘法是类似的，只是在运算过程中把 换成－1，然后实部虚部分别合并.()()i i +12-32）（()()()[]i i i -+-11214）（22)(bi a -=222ib a -=22b a +=))((bi a bi a -+bi a z -=即22b a z +=2222b a z z z z +===⋅22b a z +=i 23-i 2-5-i 43+22(12)(34)386451012(34)(34)342555i i i i i i i i ++-++-+====-+-++i i -+111）（()2112i +）（=+=z 4i,32i)-z(1)3则若（()0≠+di c 体现数学思想：类比计算1：()()i i 2311-+）（ ()()()[]()i i i -+-11213 总结：复数乘法运算律（1）1221z z z z ⋅=⋅ （2）()()321321z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅ （3）()3121321z z z z z z z ⋅+⋅=+⋅ 例2 共轭复数：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数. 通常复数 bi a z +=的共轭复数记作结论：任意两个互为共轭复数的乘积是一个实数。
高中数学复数乘除教案
高中数学复数乘除教案一、教学目标：1. 理解复数的乘法和除法的定义和运算法则。
2. 熟练掌握复数的乘法和除法的计算方法。
3. 能够解决相关的实际问题。
二、教学重难点：1. 复数的乘法和除法的运算法则。
2. 复数的乘除混合运算的解题方法。
三、教学准备：1. 准备复数的乘法和除法的相关习题。
2. 准备板书和教学课件。
3. 备有学生讲解和解题的素材。
四、教学过程：1. 复数的乘法：首先复习一下复数的定义和加减法运算法则，然后介绍复数的乘法规则。
学生可以通过展示实例进行练习，以加强理解。
2. 复数的除法：介绍复数的除法规则，并结合实例进行展示和练习。
教师应重点解释复数的除法运算过程和步骤。
3. 复数乘除混合运算：学生通过实例进行习题练习，巩固复数的乘法和除法运算法则。
教师可以提供一些实际问题，让学生应用所学的知识解决问题。
4. 课堂练习：通过课堂练习，学生对复数的乘法和除法进行巩固和提高。
教师可以提供一定量的练习题，让学生熟练掌握相关知识。
五、作业布置：布置相关的练习题，让学生进行巩固和复习。
同时，鼓励学生多进行实际问题的应用练习，加深对复数乘除的理解和掌握。
六、课堂小结：通过本节课的学习，学生应该理解复数的乘法和除法的定义和运算法则，能够熟练进行相关的计算和解题。
同时，掌握并运用复数乘除混合运算的方法，解决实际问题。
以上为高中数学复数乘除教案范本，希望能对您的教学工作有所帮助。
祝教学顺利！。
《复数的乘除运算》教学设计【高中数学人教A版必修2(新课标)】
《复数的乘除运算》教学设计【高中数学人教A版必修2（新课标）】教学目标：1. 理解复数的乘法运算规则，并能够正确应用复数的乘法进行计算。
2. 理解复数的除法运算规则，并能够正确应用复数的除法进行计算。
3. 掌握复数的乘除运算在平面直角坐标系中的几何意义。
教学重点：1. 复数的乘法运算规则的理解和应用。
2. 复数的除法运算规则的理解和应用。
3. 复数乘除运算的几何意义的理解和应用。
教学难点：1. 复数的乘除运算规则的掌握和运用。
2. 复数乘除运算的几何意义的理解和应用。
教学准备：1. 教师准备：教材、课件、黑板、彩色笔。
2. 学生准备：教材、笔、纸。
教学过程：Step 1 热身导入（5分钟）通过回顾上节课所学的复数基本概念和运算规则，复习复数的基础知识。
Step 2 学习复数的乘法运算规则（20分钟）1. 教师以示例方式介绍复数的乘法运算规则，并解释规则的原理。
2. 教师讲解几种特殊情况的复数乘法运算规则，并通过示例进行演示。
3. 学生跟随教师进行课堂练习，巩固复数的乘法运算规则。
Step 3 学习复数的除法运算规则（20分钟）1. 教师以示例方式介绍复数的除法运算规则，并解释规则的原理。
2. 教师讲解几种特殊情况的复数除法运算规则，并通过示例进行演示。
3. 学生跟随教师进行课堂练习，巩固复数的除法运算规则。
Step 4 复数乘除运算的几何意义（15分钟）1. 教师引导学生思考复数乘法和除法运算在平面直角坐标系中的几何意义。
2. 教师演示并讲解复数乘法运算和除法运算的几何意义，并通过实例进行说明。
3. 学生完成几个与几何意义相关的练习题，巩固对复数乘除运算几何意义的理解。
Step 5 拓展应用（10分钟）1. 学生进行一些综合性的习题练习，巩固复数的乘除运算。
2. 学生通过解决实际问题，应用复数的乘除运算进行计算。
Step 6 总结反思（5分钟）教师对本节课的内容进行总结，并与学生一起回顾乘除运算的关键知识点。
人教A版高中数学选修第三章复数的代数形式的乘除运算教案新
第二课时3.2.2 复数的代数形式的乘除运算教学要求：掌握复数的代数形式的乘、除运算。
教学重点：复数的代数形式的乘除运算及共轭复数的概念教学难点：乘除运算教学过程：一、复习准备：1. 复数的加减法的几何意义是什么？2. 计算（1）(14)(72)i i +-+ （2）(52)(14)(23)i i i --+--+ （3）(32)(43)(5)]i i i --+-+-[3. 计算：（1）(1(2+⨯ （2）()()a b c d +⨯+ （类比多项式的乘法引入复数的乘法）二、讲授新课：1.复数代数形式的乘法运算①.复数的乘法法则：2()()()()a bi c di ac bci adi bdi ac bd ad bc i ++=+++=-++。
例1．计算（1）(14)(72)i i +⨯- （2）(72)(14)i i -⨯+ （3）[(32)(43)](5)i i i -⨯-+⨯+（4）(32)(43)(5)]i i i -⨯-+⨯+[探究：观察上述计算，试验证复数的乘法运算是否满足交换、结合、分配律？ 例2．1、计算（1）(14)(14)i i +⨯- （2）(14)(72)(14)i i i -⨯-⨯+（3）2(32)i +2、已知复数Z ，若，试求Z 的值。
变：若(23)8i Z +≥，试求Z 的值。
②共轭复数：两复数a bi a bi +-与叫做互为共轭复数，当0b ≠时，它们叫做共轭虚数。
注：两复数互为共轭复数，则它们的乘积为实数。
练习：说出下列复数的共轭复数32,43,5,52,7,2i i i i i --++--。
=，试写出复数的除法法则。
2．复数的除法法则：2222()()()()()()a bi a bi c di ac bd bc ad a bi c di i c di c di c di c d c d ++-+-+÷+===+++-++ 其中c di -叫做实数化因子 例3．计算(32)(23)i i -÷+，(12)(32)i i +÷-+（师生共同板演一道，再学生练习） 练习：计算232(12)i i -+，23(1)1i i -+- 2．小结：两复数的乘除法，共轭复数，共轭虚数。
复数的乘除运算课件高一下学期数学人教A版(2)
01
学习目标
1.熟悉并掌握复数乘法和除法运算法则；
2.掌握复数乘除的运算律；
3.会在复数范围内解实系数的一元二次方程.
导
01
导
知识回顾
复数加减法法则
已知两复数z1=a+bi，z2=c+di（a,b,c,d是实数）
（1）加法法则：z1+z2=(a+c)+(b+d)i；
（2）减法法则：z1-z2=(a-c)+(b-d)i.
即:两个复数相加(减)就是
实部与实部,虚部与虚部分别相加(减).
(a+bi )±(c+di) = (a±c) + (b±d)i.
01
导
知识回顾
复数加减法的交换律、结合律
对任意z1，z2，z3 C,有
z1+z2=z2+z1
（z1+z2）+z3=z1+（z2+z3）
02
研读课本P77-P79,思考并解答以下问题
相等
解：
（1） (3 4i)(3 4i)
（2） (1 i)
2
(1
i
)
（2）
3 (4i )
9 (16)
25
2
2
1 2i i 2
2
1 2i 1
2i
∙z2
2
2
2
是一个怎样的数?
思考：若z
【结论】
z 1，z
z 2是共轭复数，那么
( a bi )( a bi ) za1 2 b z
思
02
思
探究新知
高中数学 复数代数形式的乘除运算教案 新人教A版选修1 教案
复数代数形式的乘除运算【学习目标】1.知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算；2.过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题；3.情感、态度与价值观：复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的，让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系.【重点难点】重点：复数代数形式的除法运算.难点：对复数除法法则的运用.【学法指导】复数乘法运算是按照多项式与多项式相乘展开得到，在学习时注意将2i 换成1-；除法是乘法的逆运算，所以复数的除法运算可由乘法运算推导获得，但是也可由互为共轭复数的两个复数的乘积为实数，先将复数的分母实数化，再化简可得，学习时注意体会第二种方法的优势和本质. 【知识】1z 与2z 的和的定义：=+21z z ____________________；1z 与2z 的差的定义：=-21z z ____________________；3.复数的加法运算满足交换律:_________________________；4.复数的加法运算满足结合律：________________________；5.复数()R b a bi a z ∈+=,的共轭复数为__________.【课前预习】设z 1=a+bi ，z 2=c+di(a,b,c,d R ∈),则()di c bi a z z ++=⋅)(21=_________对任意C z z z ∈321,,,有3.设z=a+bi ()R b a ∈,,则_______=-z 叫z 的共轭复数。
若0≠b ,则-z 叫虚数z 的_____虚数，且_________________,=-=+--z z z z ,两共轭复数在复平面内所对应点关于____对称4.=++dic bi a 5.设i 为虚数单位，则____________________,_______,4321====i i i i ，【自我检测】1、复数=-221i___________； 2、已知_______,21=+=+-z i i z 则复数 2、设i 是虚数单位，则=-i i 25_________; 4、复数=⎪⎭⎫ ⎝⎛-31i i __________ 5、若复数z 满足z(1+i)=1-i ，则其共轭复数______=-z【问题探究】探究一、复数的乘法运算引导1:乘法运算规则设bi a z +=1、di c z +=2()R d c b a ∈,,,是任意两个复数，规定复数的乘法按照以下的法则进行： =⋅21z z其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把2i 换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.引导2:试验证复数乘法运算律（1）1221z z z z ⋅=⋅（2）()()321321z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅（3）()3121321z z z z z z z ⋅+⋅=+⋅点拨：两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把2i 换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.思考感悟：（1）两个共轭复数--⋅z z z z 的乘积,是个什么样的数？（2）设i 2321+-=ω,那么-⋅ωωωω与，32的值分别是多少？探究二、复数的除法运算引导1：复数除法定义：满足________________的复数()R y x yi x ∈+,叫复数bi a +除以复数di c +的商，记为：_______ ()0≠+di c . 引导2：除法运算规则：利用()()22d c di c di c +=-+.于是将dic bi a ++的分母有理化得： 原式=()()()()a bi a bi c di c di c di c di ++-==++- ∴(a +bi )÷(c +di )=______________.点拨：利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数di c +与复数di c -，相当于我们初中学习的23+的对偶式23-，它们之积为1是有理数，而()()=-+di c di c ___________是正实数.所以可以分母实数化. 把这种方法叫做分母实数化法【典例分析】例1计算()()()i i i +-+-24321引导:可先将前两个复数相乘，再与第三个复数相乘.点拨：在复数的乘法运算过程中注意将2i 换成－1.例2计算：（1）()()i i 4343-+；（2）()21i +.引导:按照复数乘法运算展开即可.点拨：注意体会互为共轭复数的两个复数的乘积是一个实数，记住一些特殊形式代数式的运算结果，便于后续学习的过程中的化简、代换等.例3计算(12)(34i i +÷-引导:可按照复数除法运算方法，先将除式写成分式，再将分母实数化，然后化简即可.点拨：本题可将除法运算转化为乘法运算，但是相对麻烦，易于采用先将除式写成分式，再将分母实数化，然后化简的办法，学习时注意体会总结，寻求最佳方法.例4计算ii i i 4342)1)(41(++++- 引导:可先将分子化简，再按照除法运算方法计算，注意计算的准确性.点拨：对于混合运算，注意运算顺序，计算准确.【目标检测】22i 1+i ⎛⎫ ⎪⎝⎭等于（ ） A ．4i B ．4i - C ．2i D ．2i - z 满足12i i z+=，则z =（ ） A ．2i -+B ．2i --C ．2i -D ．2i + 3*.复数32321⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+i 的值是（ ）A.i -B.iC.1-z 与()i z 822-+都是纯虚数，求z . 提示：复数z 为纯虚数，故可设()0z bi b =≠，再代入求解即可.5*.(1)试求87654321,,,,,,,i i i i i i i i 的值.(2)由（1）推测()*N n i n ∈的值有什么规律？并把这个规律用式子表示出来.提示：通过计算，观察计算结果，发现规律.【总结提升】复数的乘法和除法运算是复数的基本运算，在学习时注意运算法则和方法，在乘法运算中注意把2i 换成－1，在除法运算中注意方法的本质依据，计算时注意准确性.【总结反思】知识.重点.能力与思想方法.【自我评价】你完成本学案的情况为( )。
高中数学复数计算教案人教版
高中数学复数计算教案人教版
1. 理解复数的概念和表示方法。
2. 掌握复数的加减乘除运算规则。
3. 应用复数进行实际问题求解。
教学重点：
1. 复数的表示形式。
2. 复数的加减乘除运算规则。
教学难点：
1. 复数的乘法和除法运算。
2. 复数的应用问题求解。
教具准备：黑板、彩色粉笔、教学课件、练习题。
教学步骤：
一、复数的引入
1. 复数的概念：对于方程x^2=-1在实数范围内无解，因此引入复数的概念。
复数是由实部和虚部构成的数字，一般表示为a+bi，其中a为实部，bi为虚部，i为虚数单位，满足i^2=-1。
2. 复数的表示形式：直角坐标形式和极坐标形式。
二、复数的运算
1. 复数的加减法规则：实部相加，虚部相加。
2. 复数的乘法规则：使用分配律展开乘法，i^2=-1的性质。
3. 复数的除法规则：分子分母同乘以复数的共轭形式。
三、复数的求解
1. 利用复数解方程。
2. 复数的应用问题求解。
四、综合练习
设计一些练习题，包括复数的加减乘除运算和实际问题求解。
五、课堂小结
1. 复习本节课的知识点。
2. 强调复数的重要性和应用价值。
教学反思：
本节课主要围绕复数的概念、运算规则和应用问题进行教学，通过理论知识的学习和实践操作的训练，提高学生对复数的理解和运用能力。
在教学过程中，要引导学生灵活运用复数的知识，积极参与实践操作和问题求解，达到理论联系实际的目的。
复数的乘除运算(教学设计)
§一、内容和内容解析内容：复数的乘除运算．内容解析：本节课选自《普通高中课程标准数学教科书必修第二册》（人教A版）第七章第2节第二课时的内容．复数四则运算是本章的重点，复数代数形式的乘法与多项式乘法是类似的，不同的是即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并．复数的除法运算法则是通过分子分母同时乘分母的共轭复数，将分母实数化转化为乘法运算而得出的.渗透了转化的数学思想方法，使学生体会数学思想的素材.通过实例，明确复数的乘除运算法则，发展数学运算素养.经历复数四则运算的几何意义的形成过程，提高直观想象的核心素养，发展逻辑推理素养.二、目标和目标解析目标：（1）掌握复数代数形式的乘法和除法运算，培养数学运算的核心素养．（2）理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律，会求在复数范围内方程的根，提升数学运算的核心素养．目标解析：（1）与复数的加法法则类似，教学时要引导学生结合引入复数集的过程，在希望保持运算律的指引下，自主探索如何“合理地”规定复数的乘法法则．（2）鉴于复数的乘法法则的形式较为复杂，因此在引入复数的乘法法则后，更应引导学生加强与多项式的乘法进行类比，以发现两者的共性和差异，将复数看作关于i的“一次二项式”，将复数的乘法按多项式乘法进行，只要在结果中把2i换成1,并且把实部和虚部分别合并即可.（3）数学核心素养是数学教学的重要目标，但数学核心素养需要在每一堂课中寻找机会去落实．在本节课的教学中，推导乘法的运算法则是进行数学类比教学的很好机会．基于上述分析，本节课的教学重点定为：掌握复数的乘法和除法运算．三、教学问题诊断分析教学问题一：学生已经经历了数系扩充的过程，学习了复数的概念及其几何意义，知道复数a+bi和平面上的点Z(a，b)以及向量OZ一一对应；但独立推导复数乘法法则，从思维角度看学生还缺乏经验．解决方案：在讲解本节前，可提前布置一些预习作业，让学生为新课的学习做好知识准备，或者在课上先复习共轭复数和分母有理化等相关知识，再进行新课的学习和探究，这是突破难点的一个重要举措，这样有助于学生理解复数的乘法法则．教学问题二：复数的除法运算是本节课的第二个教学问题．这不仅是本节课的重点，也是教学难点．解决方案：通过复习共轭复数的性质，22z z a b ⋅=+，类比分母有理化帮助学生理解．教学问题三：如何在复数范围内求二次方程的根？这是学生不好理解的一个地方．解决方案：两种方法解决：一是拓展求根公式，当△<0==，从而求解；二是将方程的根设为a bi +，代入方程．利用复数的相等求解.基于上述情况，本节课的教学难点定为：求复数范围内的方程根．四、教学策略分析本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示．为了让学生通过观察、归纳得到复数的乘、除法法则，应该为学生创造积极探究的平台．可以让学生从被动学习状态转到主动学习状态中来．在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点．在教学过程中，重视复数除法法则的推导理解，让学生体会到类比的基本过程.五、教学过程与设计课堂小结升华认知a是实数，且a1＋i＋1＋i2是实数，则a等于()A.12 B.1 C.322.(1＋i)(2－i)＝()A.－3－iB.－3＋iC.3－iD.3＋iz1＝2－i，z2＝1－3i，则复数iz1＋z－25的虚部等于________.z满足：z·z－＋2z i＝8＋6i，求复数z的实部与虚部的和.学生15：学生课后进行思考，并完成课后练习．答案：1.B 2.D 3.1 4.4课后练习是对运算巩固，是对本节知识的一个深化认识，同时也为下节内容做好铺垫．。
7.2.2复数的乘、除运算教学设计2023-2024学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
7.2.2 《复数的乘、除运算》教学设计一、教材分析复数乘、除运算是人教A版高中数学必修二第七章第二节的内容。
它是第七章复数的重点，也是高考选择题的常考点。
复数形式的乘法与实数中的多项式乘法类似，不同的是要将所得结果中把i2换成－1，再将实部、虚部分别合并；复数的除法运算实际上是将分母实数化，即转化为乘法运算。
在教学过程中，通过复数的乘、除运算，能够使学生体会数学中类比、转化的思想。
二、学情分析学习这一章的学生是高二的学生，在这个时候学生已经学习了数系的扩充、复数的概念、几何意义、加、减运算。
类比实数四则运算，学生很容易想到复数也有乘、除运算。
从而探究复数乘法、除法法则。
三、教学目标：1. 理解并掌握复数代数形式的乘法与除法运算法则及共轭复数的概念；2. 理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类比问题；3. 通过对复数乘除法运算的学习，给学生渗透数学转化的数学思想方法。
四、教学重难点：重点：复数代数形式的乘除运算及共轭复数的概念。
难点：复数除法法则的应用。
五、教学过程（一）复习导入1.复数加、减法的运算法则①z1＋z2=②z1－z2=2.加法运算律①z1＋z2=②(z1＋z2)＋z3=设计意图：使学生过度自然，能类比实数四则运算，想到复数的乘除运算。
（二）探求新知探究一：复数乘法：z1 z2=(a＋bi) (c＋di)=归纳：乘法解题步骤：学生计算：(1) i(3＋4i)= (2) (3＋4i)i=归纳运算律①交换律②结合律③乘法对加法的分配律设计意图：学生回顾、类比多项式乘法写出两个复数相乘的展开形式。
让学生通过已经熟悉的知识，学习新内容。
学生计算，归纳复数的运算律。
（三）例题解析例1.计算 (1－2i )(3＋4i )(－2＋i )=；例2.计算 (1) (3＋4i )(3－4i )=； (2) (1＋i )2=；设计意图：例1是为使学生熟悉乘法法则，例2是使加深学生对法则的理解，同时观察式子，引出共轭复数的乘法。
复数的代数形式的乘除运算教案
复数的代数形式的乘除运算教案教学目标：1.学生能够了解复数的基本概念和表示方法。
2.学生能够学会复数的代数形式的乘法运算。
3.学生能够学会复数的代数形式的除法运算。
教学重点：1.复数的代数形式的乘法运算。
2.复数的代数形式的除法运算。
教学准备：1.复数的定义和表示。
2.复数的乘法运算法则。
3.复数的除法运算法则。
教学步骤：步骤一：复习1.复习实数的四则运算，包括加法、减法、乘法和除法。
步骤二：引入复数1.引入复数的概念，说明实数不能解决一些问题，因此引入了复数的概念。
2. 定义复数为a + bi的形式，其中a和b都是实数，i为虚数单位。
3.解释复数的实部和虚部的概念。
步骤三：复数的表示1.说明复数的表示形式有代数形式和三角形式。
2.讲解代数形式的复数，并给出一些例子说明。
步骤四：复数的乘法运算1.讲解复数的乘法运算法则。
2.解释乘法运算的几何意义。
步骤五：复数的除法运算1.讲解复数的除法运算法则。
2.解释除法运算的几何意义。
步骤六：练习1.设计一些乘除复数的练习题，让学生互相练习并解答。
2.强调解题的步骤和解题技巧。
步骤七：归纳总结1.请学生总结复数的乘除运算法则，并归纳相关的公式和规律。
教学延伸：1.引入复数的其他运算，如加法和减法。
2.给学生更多的练习机会，巩固复数的乘除运算。
教学反思：通过本次教学，学生们将对复数的代数形式的乘除运算有了更深入的理解，同时也培养了学生们的逻辑思维能力和解题能力。
在教学过程中，应注重示范和指导，并尽量提供实际问题的例子来帮助学生理解抽象的概念。
人教A版高中数学选修复数代数形式的乘除运算教案
§3.2.2复数代数形式的乘除运算教学目标：知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题情感、态度与价值观：复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的，让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系。
教学重点：复数代数形式的除法运算。
教学难点：对复数除法法则的运用。
教具准备：多媒体、实物投影仪。
教学设想：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a ，b ，c ，d ∈R ，那么a +bi =c +di ⇔a =c ，b =d ，只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小 教学过程：学生探究过程：1.虚数单位i :(1)它的平方等于-1，即 21i =-; (2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立2. i 与－1的关系: i 就是－1的一个平方根，即方程x 2=－1的一个根，方程x 2=－1的另一个根是－i3. i 的周期性：i 4n+1=i, i 4n+2=-1, i 4n+3=-i, i 4n =14.复数的定义：形如(,)a bi a b R +∈的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示*3. 复数的代数形式: 复数通常用字母z 表示，即(,)z a bi a b R =+∈，把复数表示成a +bi 的形式，叫做复数的代数形式4. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)a bi a b R +∈，当且仅当b =0时，复数a +bi (a 、b ∈R )是实数a ；当b ≠0时，复数z =a +bi 叫做虚数；当a =0且b ≠0时，z =bi 叫做纯虚数；当且仅当a =b =0时，z 就是实数0.5.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C .6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a ，b ，c ，d ∈R ，那么a +bi =c +di ⇔a =c ，b =d一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小 只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小7. 复平面、实轴、虚轴：点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z =a +bi (a 、b ∈R )可用点Z (a ，b )表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)， 它所确定的复数是z =0+0i =0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数8．复数z 1与z 2的和的定义：z 1+z 2=(a +bi )+(c +di )=(a +c )+(b +d )i .9. 复数z1与z2的差的定义：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.10. 复数的加法运算满足交换律: z1+z2=z2+z1.11. 复数的加法运算满足结合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)讲解新课：１．乘法运算规则：规定复数的乘法按照以下的法则进行：设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i.其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.2.乘法运算律：(1)z1(z2z3)=(z1z2)z3证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).∵z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i，z2z1=(a2+b2i)(a1+b1i)=(a2a1-b2b1)+(b2a1+a2b1)i.又a1a2-b1b2=a2a1-b2b1，b1a2+a1b2=b2a1+a2b1.∴z1z2=z2z1.(2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).∵(z1z2)z3=［(a1+b1i)(a2+b2i)］(a3+b3i)=［(a1a2-b1b2)+(b1b2+a1b2)i］(a3+b3i)=［(a1a2-b1b2)a3-(b1a2+a1b2)b3］+［(b1a2+a1b2)a3+(a1a2-b1b2)b3］i=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2b3+a1a2b3-b1b2b3)i，同理可证：z1(z2z3)=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2a3+a1a2b3-b1b2b3)i，∴(z1z2)z3=z1(z2z3).(3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).∵z1(z2+z3)=(a1+b1i)［(a2+b2i)+(a3+b3i)］=(a1+b1i)［(a2+a3)+(b2+b3)i］=［a1(a2+a3)-b1(b2+b3)］+［b1(a2+a3)+a1(b2+b3)］i=(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i.z1z2+z1z3=(a1+b1i)(a2+b2i)+(a1+b1i)(a3+b3i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i+(a1a3-b1b3)+(b1a3+a1b3)i=(a1a2-b1b2+a1a3-b1b3)+(b1a2+a1b2+b1a3+a1b3)i=(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i∴z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.例1计算(1-2i)(3+4i)(-2+i)解：(1-2i)(3+4i)(-2+i)＝(11-2i) (-2+i)= -20+15i.例2计算：（1）(3+4i) (3-4i) ；（2）（1+ i)2.解：（1）(3+4i) (3-4i) =32-（4i）2=9-(-16)=25;(2) （1+ i)2=1+2 i+i2=1+2 i-1=2 i.3.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数通常记复数z的共轭复数为z。
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与实数多项式的乘法进行类比，有利于学生理解复数的乘法法则。同时培养学生类比的核心素养。
引导学生根据复数的加法满足实数加法的运算律，大胆尝试推导复数乘法的运算律。培养学生的学习兴趣和勇于探索的精深。
通过将复数的除法转化成分式的除法，再类比实数中的分母有理化，对分母进行实数化，通过该化简的过程，帮助学生理解复数的除法法则。渗透类比和转化的数学思想方法，体会数学知识的紧密联系。
教案
教学基本信息
课题
7.2.2复数的乘、除运算
学科
数学
学段：高中
年级
高一
教材
书名：普通高中教科书《数学》必修第二册
出版社：人民教育出版社出版日期：2019年6月
教学目标及教学重点、难点
教学目标：
1.知识与技能目标：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则。
2.过程与方法目标：在问题探究过程中，体会和学习类比等数学思想方法，感悟运算形成的基本过程。
例题
（一）复数的乘法对应例题
例，计算
分析：复数的乘法，类似于多项式乘法，从左到右进行计算。
解：
例，计算
分析：可以利用复数的乘法法则计算，也可以用与实数系相对应的乘法公式计算
解：
（二）复数的除法对应例题
例，计算
分析：先将除法化成分式的形式，在进行分母实数化运算。
解
例巩固练习，让学生体验成功。使学生实现从掌握知识到运用知识的转化。
设 ，
根据乘法的运算法则：
所以，
同理可证，
（三）复数的除法法则
与复数减法法则的推导方法类似，我们利用复数的减法是复数加法的逆运算，利用复数的加法法则，推导出了复数的减法法则。现在我们依据，复数的除法是乘法的逆运算，利用复数的乘法法则，去推导复数的除法法则。即把满足 的复数 ，叫做复数 的商。
计算，得到 ，
3.情感、态度与价值观目标：培养类比思想和逆向思维；通过复数的乘除法的学习，体会实虚数的矛盾和统一，加深对数学的情感认识。
教学重点：复数代数形式的乘、除法的运算法则及其运算律。
教学难点：复数除法的运算法则。
教学方法：探究法。
教学过程(表格描述)
教学环节
主要教学活动
设置意图
引入
各位同学，大家好。今天这节课我们将探讨复数的乘法、除法运算。经过前面的学习，我们了解了复数的概念，以及复数加减法运算及其几何意义。复数的加法和减法法则，类似多项式的加减法，是将复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加减。从几何意义的角度出发，复数的加法可以按照向量的加法（平行四边形法则）来进行，复数的减法可以按照向量的减法（三角形法则）来进。一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。
通过上节课的探究，我们发现，复数的加减法与实数中多项式的加减法类似，那么，复数的乘除运算，是否也有这个规律呢？接下来让我们一起来探究一下。
复习复数的加减法运算及其几何意义相关知识，通过复数加减法运算与实数运算的对比，引出复数乘除法的运算法则。
新课
（一）复数的乘法法则：
我们规定，复数的乘法法则如下：
设 ，那么他们的积
根据复数的乘法法则，请同学们思考一下问题：
问题（1）：两个复数的积是个什么数？它的的值唯一确定吗？
通过观察，我们发现，两个复数的积仍是复数，它的值唯一确定。
问题（2）：当 都是实数时，与实数乘法法则一致吗？
根据法则，我们发现，当 时， 都是实数，复数的乘法与实数乘法法则一致。
问题（3）：复数的乘法类似于实数的哪种运算方法?
课后巩固，
知识升华。
在计算的过程中，锻炼学生的计算能力，培养学生的数学运算的核心能力。
在熟练应用复数的乘法除法运算法则之余，进行提升练习。让学生先独立思考，提高学生的建构能力及主动发现问题，探究问题的能力。分层教学，让不同能力水平的学生学有所得。
总结
（1）复数代数形式的乘法法则：
两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得结果中把 换成 ，并且把实部与虚部分别合并即可。
计算，得到， ，
由复数相等的定义，得 ，联立以上两个等式，
解这个二元一次方程组，用加减消元法比较简单，最终解得 。
以上，就是复数除法法则的探究过程。
设 ，复数的除法法则是：
，由此可见，两个复数相除（除数不为0），所得的商是一个确定的复数。
说明：在进行复数的除法运算时，通常先把 写成 的形式，再把分子与分母都乘分母的共轭复数 ，即
（2）复数代数形式的除法法则：
在进行复数的除法运算时，通常先把 写成 的形式，再把分子与分母都乘分母的共轭复数 ，将分母“实数化”。
通过课堂小结，增强学生对复数代数形式的乘法除法运算的理解。引导学生自我反馈、自我总结，并对所学知识进行提炼升华。
作业
1.计算：
2.计算：
3.计算：
4.在复数范围内解下列方程：
两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得结果中把 换成 ，并且把实部与虚部分别合并即可。
通过以上探究，我们知道，两个复数的积仍然是一个复数，且唯一确定，运算中与实数的乘法法则保持一致，类似于两个多项式相乘。
（二）复数乘法的运算律
复数的加法满足实数运算中的运算律，那么，复数的乘法是否满足实数乘法的运算律呢？复数的乘法满足交换律、结合律、分配律。以 为例，让我们一起验证。