最新大学数学专业 微分几何复习题

大学数学专业微分几何复习题一、 填空题：（每小题2分）⒈ 向量{}(),3,r t t t a =具有固定方向，则a =_______________。

⒉ 非零向量()r t 满足(),,0r r r '''=的充要条件是__________________。

⒊ 设曲线在P 点的切向量为α，主法向量为β，则过P 由,αβ确定的平面是曲线在P 点的_______________________。

⒋ 曲线()r r t =在点0()r t 的单位切向量是α，则曲线在0()r t 点的法平面方程是__________________________。

⒌ 曲线()r r t =在t = 1点处有2γβ=，则曲线在 t = 1对应的点处其挠率(1)τ=___________________。

⒏ 在旋转曲面{}()cos ,()sin ,()r t t t ϕθϕθψ=中，____________________是旋转曲面的经线。

⒐ 曲面(,)z z x y =在点000(,,)x y z 的法线方程是_____________________。

⒑ 直纹面的参数表示总可以写成 r =______________________。

11、向量函数()r r t =使(,,)0r r r '''=的充要条件是()r r t = 。

12、若0()r t 是曲线()r r t =的正则点，则曲线()r r t =在0()r t 的密切平面方程是 。

13、一曲线的副法向量是常向量，则这曲线的挠率τ 。

15、曲面上一族坐标曲线是测地线，另一族为它的正交轨线坐标网是16、已知曲面(,)r r u v =的第一类基本量为E 、F 、G ，则两方向du:dv 与:u vδδ垂直的充要条件是 。

17、对曲面(,)r r u v =有22243dr du dv =+，则曲面上曲线u=u(t),v=v(t)从0t 到t （t >0t ）的弧长s = 。

18、若曲面(,)r r u v =在（0，1）点处的第二基本形式223du dv II =-+，则在（0，1）点处，u u r n ⋅= 。

其中n 为曲面的单位法向量。

19、已知曲面(,)r r u v =的第二类基本量L 、M 、N ，则曲面上渐近曲线的微分方程是 。

20、若曲面(,)r r u v =的第一基本形式为222ds Edu Gdv =+，曲面在一点的切向dr 与u —线的夹角为θ，则曲面在这点沿切向dr 的测地曲率g k = 。

21 ()r t 具有固定方向的充要条件是______________________。

22 挠率______________________的曲线其副法向量是常矢。

23 曲线()r r t =在0()P t 点的主法向量是β，则曲线在P 点的从切面方程是 。

25 曲面上的曲纹坐标网是渐近网的充要条件是________________。

26．曲面上一曲线，如果它每一点的切方向都是主方向，则称该曲线为____________。

27．半径为R 的球面的高斯曲率K= .28. 一个曲面为可展曲面的充分必要条件是它的______________恒等于零。

30．在可展曲面上，测地三角形的三内角之和 π。

31.向量函数()r r t =使(,,)0r r r '''=的充要条件是()r r t = 。

32、若0()r t 是曲线()r r t =的正则点，则曲线()r r t =在0()r t 的密切平面方程是 。

33、一曲线的副法向量是常向量，则这曲线的挠率τ 。

35、球面{cos cos ,cos sin ,sin }r R R R θϕθϕθ=上， 线是球面上的纬圆。

36、已知曲面(,)r r u v =的第一类基本量为E 、F 、G ，则两方向du:dv 与:u v δδ垂直的充要条件是 。

37、对曲面(,)r r u v =有22243dr du dv =+，则曲面上曲线u=u(t),v=v(t)从0t 到t （t >0t ）的弧长s = 。

38、若曲面(,)r r u v =在（0，1）点处的第二基本形式223du dv II =-+，则在（0，1）点处，u u r n ⋅= 。

其中n 为曲面的单位法向量。

39、已知曲面(,)r r u v =的第二类基本量L 、M 、N ，则曲面上渐近曲线的微分方程是 。

40、若曲面(,)r r u v =的第一基本形式为222ds Edu Gdv =+，曲面在一点的切向dr 与u —线的夹角为θ，则曲面在这点沿切向dr 的测地曲率g k = 。

二、 选择填空题：（每小题3分）1、圆柱螺线cos ,sin ,x t y t z t ===在点()1,0,0的切线为______。

A 、1011x y z -== B 、0y z += C 、1100x y z -== D 、0y z -= 2、曲面的三个基本形式之间的关系为______。

A 、Ⅲ+2H Ⅱ+K Ⅰ=0B 、Ⅲ-2H Ⅱ+K Ⅰ=0C 、Ⅲ-2K Ⅱ+H Ⅰ=0D 、Ⅲ-2H Ⅱ-K Ⅰ=03、曲面的坐标网是正交网的充要条件是_____。

A 、M = 0B 、L = N = 0C 、M = F = 0D 、F = 04、下列曲面中_____不是可展曲面。

A 、柱面B 、锥面C 、一条曲线的切线曲面D 、正螺面5、曲面上， 不是曲面的内蕴量。

A 、两曲线的夹角B 、曲线的弧长6、曲线()r r s =在P(s)点的基本向量是,,αβγ，曲率k(s)，挠率()s τ，则下式 不正确。

A 、k αβ=-B 、k βατγ=-+C 、k αβ=D 、γτβ=-7、曲面(,)r r u v =在P 点的第一、第二基本形式分别为,I II ，曲面上曲线(C )在P 点的曲率k 、沿切向dr 的法曲率为n k ，(C )在P 点的主法向量与曲面的单位法向量n 的夹角为θ，则下式 正确。

A 、n k II =±IB 、cos n k k θ=C 、||n k II =ID 、sin n k k θ= 8、L = N = 0 是曲面的曲纹坐标网为 的充要条件。

A 、正交网B 、渐近网C 、曲率网D 、 半测地坐标网9、在圆柱面上，圆柱螺线是 。

A 、平面曲线B 、曲率线C 、测地线D 、渐近线10、以下各项中， 不一定是测地线。

A 、球面上的大圆B 、圆柱面上的螺旋线C 、旋转曲面上的经线D 、旋转曲面上的纬线11、设曲面在一点的单位法向量n ，切向量为dr ，则dn dr λ=的充分必要条件是 。

A 、 存在方向r δ使0dn r δ⋅=B 、存在方向r δ使0dr r δ⋅=C 、存在方向r δ使0dn r δ⋅=且0dr r δ⋅=D 、沿dr 有n k = 012、对于球面{cos sin ,cos sin ,sin }r R R R θϕθϕθ=，以下判断中 不正确。

A 、沿其上任何曲线的球面的法线曲面是可展曲面B 、其上大圆是渐近线C 、高斯曲率为正常数 21R D 、其上大圆的每一点的测地曲率为零 13、曲面(,)r r u v =上，曲线(C )在P 点的基本向量是,,αβγ，曲面在P 点的单位法向量n ，则在P 点沿切向α的测地曲率g κ≠ 。

A 、n κβ⨯B 、（,,k n αβ）C 、(,,)r r nD 、(,,)n καβ14、若在曲面上一点20LN M -,则曲面在该点的高斯曲率K 。

A 、>0B 、< 0C 、= 0D 、符号不确定15、下列直纹面中， 是可展曲面。

A 、双曲抛物面B 、挠曲线的副法线曲面C 、挠曲线的切线曲面D 、单叶双曲面16、若曲线的所有密切平面经过一定点，则此曲线是______。

A 、 直线B 、平面曲线C 、球面曲线D 、圆柱螺线17、曲线()r r t =在P(t)点的曲率为k , 挠率为τ，则下列式子______不正确。

A 、2r r k r '''⨯='B 、3r r k r '''⨯='C 、k r =D 、()()2r r r r r τ''''''='''⨯18、对于曲面的第一基本形式2222,I Edu Fdudv Gdv EG F =++-_____。

A 、0>B 、0<C 、0≤D 、0≥19、对于圆柱面{}cos ,sin ,r R R z θθ=，以下结论_____是不正确的。

A 、坐标网是正交网B 、沿同一直母线的切平面是同一个C 、其上高斯曲率为零D 、其上没有抛物点20、以下结论正确的是_____。

A 、法曲率是法截线的曲率B 、法曲率是曲率向量r 在主法向量β上的投影C 、法曲率≥0D 、法曲率的绝对值是法截线的曲率21、设曲面(,),r r u v n =是其单位法向量，下列第二类基本量的计算中，____是不正确的。

A 、uv M r n =⋅B 、uv M r n =-⋅C 、u v M r n =-⋅D 、v u M r n =-⋅22、球面上的大圆不可能是球面上的_____。

A 、测地线B 、曲率线C 、法截线D 、渐近线23、正螺面{}cos ,sin ,r u v u v bv =的坐标网不是_____。

A 、正交网B 、共轭网C 、渐近网D 、半测地坐标网24、曲面上每一点处的主方向_______。

A 、只有一个B 、至少两个C 、只有两个D 、也可能不存在25、下列直纹曲面中，_______是可展曲面。

A 、双曲抛物面B 、挠曲面的副法线曲面C 、挠曲面的切线曲面D 、单叶双曲面三、计算题1、设曲线Γ：r = { cht , sht , t }，求①Γ在点(1,0,0 )的曲率和挠率；②Γ的切线曲面的高斯曲率。

2、已知圆柱螺线{}cos ,sin ,r t t t =，试求⑴ 在点0,1,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭的切线和法平面。

⑵ 曲率和挠率。

3、对于圆柱面{}:cos ,sin ,r u ρθρθ∑=，试求⑴ ∑的第一、第二基本形式；⑵ ∑在任意点处沿任意方向的法曲率；⑶ ∑在任意点的高斯曲率和平均曲率；⑷ 试证∑的坐标曲线是曲率线。

4、求曲面{}2cos ,sin ,r v u v u v =的u 线的测地曲率。

5、设点P 是曲面∑上一个固定点，试证明∑在P 点沿任意互相垂直的两个方向的法曲率之和是常数。

6、设曲面∑：r = { t cos θ , t sin θ , t }，求① ∑的第一、第二基本形式；② ∑在点(1,0,1)处沿任意方向的法曲率；③ 试证∑的坐标曲线是曲率线。