第6讲.二次根式的运算.教师版

内容

基本要求

略高要求

较高要求

二次根式的化简和运算

理解二次根式的加、减、乘、除运算法

则

会进行二次根式的化简，会进行

二次根式的混合运算（不要求分

母有理化）

一、二次根式概念及化简

二次根式的概念：形如a （0a ≥）的式子叫做二次根式．

二次根式的基本性质：⑴0a ≥（0a ≥）双重非负性；⑵2()a a =（0a ≥）；⑶2 (0)

(0)

a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩

二、 二次根式的乘除

最简二次根式：

二次根式a （0a ≥）中的a 称为被开方数．满足下面条件的二次根式我们称为最简二次根式： ⑴被开放数的因数是整数，因式是整式（被开方数不能存在小数、分数形式） ⑵被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 ⑶分母中不含二次根式

二次根式的计算结果要写成最简根式的形式． 二次根式的乘法法则：a b ab ⋅=（0a ≥，0b ≥）

二次根式的除法法则：a a b b

=（0a ≥，0b >）

知识点睛

中考要求

第六讲

二次根式运算

利用这两个法则时注意a 、b 的取值范围，对于ab a b =⋅，a 、b 都非负，否则不成立， 如(7)(5)(7)(5)-⋅-≠-⋅-

三、二次根式的加减

同类二次根式：

几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式． 合并同类二次根式：()a x b x a b x +=+．同类二次根式才可加减合并．

四、分母有理化

分母有理化：

把分母中的根号化去叫做分母有理化．

互为有理化因式：

两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，说这两个代数式互为有理化因式．

a b +与a b -互为有理化因式；分式有理化时，一定要保证有理化因式不为0．

1、从二次根式的定义看出，二次根式的被开方数可以是一个数，也可以是一个式子，且被开方数必须是非负数．

2、二次根式的性质具有双重非负性，即二次根式a 中被开方数非负()0a ≥,算术平方根非负(

)

0a ≥.

3、利用

()

()2

0a

a a =≥得到()()2

0a a

a =

≥成立，可以把任意一个非负数或式写成一个数或式的平方的形

式．如()

2

22=

．

4、注意逆用二次根式的性质，即()00a b ab a b ⋅=≥，

≥，()00a a a b b b

=>≥，，利用这两个性质可以对二次根式进行化简．

5、运用二次根式的性质化简时，最后结果中的二次根式要化为最简二次根式或整式．最简二次根式必须满足两个条件：(1)被开方式中不含分母；(2)被开方式中不含能开得尽方的因数或因式．

重、难点

一、二次根式概念及性质

【例1】 x 取何值时，下列各式有意义：

⑴2x - ⑵2x -

⑶2

x - ⑷213x x ++- ⑸1x

-

⑹

x

【解析】 此题的关键有两点：①被开方数大于或等于0；②分母不等于0．⑴0x =；⑵2x ≤且2x ≠，即2x <；

⑶2x ≥且3x ≠；⑷1

32

x -≤≤；⑸0x ≥且1x ≠；⑹x 取任意数．

【巩固】 设3

1221

x x

y x -+-=

+，求使y 有意义的x 的取值范围.

【解析】 20210

x x -≥⎧⎨

+>⎩，即122x -<≤.

【巩固】当x 取何值时，式子

2

x

x +在实数范围内有意义． 【解析】 利用分式0A

B ≥的条件0000A A B B ⎧⎧⎨⎨><⎩⎩

≥≤或，把此题转化为解两个不等式组的问题． 由

02x

x +≥得020x x ⎧⎨

+>⎩≥或020x x ⎧⎨+<⎩

≤．解得0x ≥或2x <- ∴当0x ≥或2x <-时，原式在实数范围内由意义． 点评：记住

0A B ≥的条件为00A B ⎧⎨>⎩≥或00A B ⎧⎨<⎩≤，0A

B ≤的条件为00A B ⎧⎨>⎩≤或00A B ⎧⎨>⎩

≥．

【巩固】 当x 时，

2223

x

x x --+有意义．

【解析】 通过观察可以发现()2

22312x x x -+=-+一定是一个正数，这样就将原式有意义的条件

2

2023

x

x x --+≥且2230x x -+≠转化为20x -≥，解不等式得2x ≤． 例题精讲

点评：判定223x x -+是正数是关键，同理，()2

22312x x x ---=-+-是负数．

【例2】 若a 、b 为实数，且|1|20a ab -+-=，

求1111(1)(1)(2)(2)(1993)(1993)

ab a b a b a b +++++++++L L 的值. 【解析】 已知得1020a ab -=⎧⎨-=⎩

，即1a =，2b =，原式111112233419941995=+++⨯⨯⨯⨯L 11994

119951995=-=

.

【巩固】 （2005年淄博中考题)13a -和83b -互为相反数，求

()

2

1

27ab -的值.

【解析】 13830a b --=，∴130a -=，830b -=,∴13a =,3

8b =,∴

()2

127ab -642737=-=

【巩固】 (2007年成都)22(5)0a b -+=，那么a b +的值为 .

【解析】 3-

【巩固】 (第12届希望杯邀请赛)12x x x --.

【解析】 根据题意可得：01020x x x ≥⎧⎪

-≥⎨⎪-≥⎩，即2x ≥，当2x =12x x x --12+

【巩固】已知实数a 与非零实数x 满足等式：2

221130x a x x x ⎛

⎫-++-- ⎪⎝

⎭.2(2)a -【解析】 根据已知条件可知：22

130x x -+

=，1

0a x x

--=，故5a =±2(2)252a a -=-

【例3】 (人大附单元测试)已知a 为实数，且满足200201a a a -+-，求2200a -的值. 【解析】 由题意可知201a ≥，所以原式可变形为200201a a a -+-=，

201200a -，2201200a -=，即2200201a -=