北师大版高中数学选修4-4课件本讲高效整合1精选ppt版本

• 求两个圆ρ＝4cosθ，ρ＝4sinθ的圆心之间的距 离．并判定两圆的位置关系．
解析： 方法一：ρ＝4cosθ的圆心为(2,0)，半径为2， ρ＝4sinθ的圆心为2，π2，半径为2. 两圆圆心的距离为 d＝ 22＋22－2·2·2cosπ2＝2 2. 而两圆半径之和为4，两圆半径之差为0. ∴两圆相交．
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• 1．回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法， 体会坐标系的作用．
• 2．能通过具体例子，了解在平面直角坐标系伸缩变 换作用下平面图形的变化情况．
• 3．能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在 极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区 别．能进行极坐标和直角坐标的互化．
• 答案： D
4．在球坐标系中，集合M＝{(r，φ，θ)|2≤r≤6, 0≤φ ≤π2,
0≤θ<2π}表示的图形的体积为( )
A．4316π
B．1436π
C．6134π
D．4631π
解析： 由球坐标中r，φ，θ的含义知， 该图形的体积是两个半径分别为6,2的半球体积之差． ∴V＝1243π×63－43π×23 ＝12×43π×208＝4136π.
兼顾到它们的对称性，尽量使图形的对称轴(对称中 心)正好是坐标系中的x轴，y轴(坐标原点)． • 坐标系的建立，要尽量使我们研究的曲线的方程简 单．
• 如图1所示，木工师傅把一块边长为a的正方形
铁板ABCD割开，割线是CP，其中P是AD上一点， M是AD的中点，要求|CP|＝|AB|＋|AP|，∠BCP与 ∠MCD有怎样的关系？怎样切割才满足要求？
• 求轨迹方程的方法有直接法、定义法、相关点代入 法，在极坐标中仍然适用，注意求谁设谁，找出所 设点的坐标ρ，θ的关系．
△ABC底边BC＝10，∠A＝
1 2
∠B，以B为极点，
BC为极轴，求顶点A的轨迹的极坐标方程．
解析： 如图：令A(ρ，θ)，
△ABC内，设∠B＝θ，∠A＝2θ， 又|BC|＝10，|AB|＝ρ.
柱坐标系与球坐标系
• 1．柱坐标定义：设P是空间内任意一点，它在xOy平 面上的射影为Q，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)来表示点Q 在平面xOy上的极坐标．这时点P的位置可由有序数 组(ρ，θ，z)表示，叫做点P的柱坐标．
• 2．球坐标系：建立空间直角坐标系O－xyz，设P是 空间任意一点，连结OP，记|OP|＝r，OP与Oz轴正 向所夹的角为φ，Ox轴逆时针方向旋转到OQ时，所 转过的最小正角为θ，则P(r，φ，θ)为P点的球坐 标．
A．5，π3
B．5，43π
C．5，－23π
D．－5，－53π
解析： 点 －5，π3 所在位置如图所
示，而－
2π 3
，
4π 3
的终边落在OB的位置上，
极径又是正的，所以，B、C选项所表示的
点也在点B的位置上；－
5π 3
＋2π＝
π 3
，－
5π 3
在以极点为原点，以极轴为x轴正半轴的直角坐标系中，
ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，ρ2＝x2＋y2，因此有x2＋y2＝
2 2
(x＋
y)，
故方程ρ＝cosπ4－θ表示圆．
此题还有另一种思路：极坐标方程ρ＝2acosθ表示圆，而
π 4
－θ与极轴的旋转有关，它只影响圆心的位置，而不改变曲线
的形状，故方程ρ＝cosπ4－θ表示圆．
于是由正弦定理，
得sinπρ－32θ＝s1in0θ2， 化简，得A点轨迹的极坐标方程为ρ＝10＋20cosθ.
2．极坐标与直角坐标的互化 互化的前提依旧是把直角坐标系的原点作为极点，x轴的 正半轴作为极轴并在两种坐标系下取相同的单位． 互化公式为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ ρ2＝x2＋y2 tanθ＝yxx≠0 直角坐标方程化极坐标方程可直接将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ 代入即可，而极坐标方程化为直角坐标方程通常将极坐标方程 化为ρcosθ，ρsinθ的整体形式，然后用x，y代替较为方便，常 常两端同乘以ρ即可达到目的，但要注意变形的等价性．
方法二：如图设O，A是两定点，|OA|＝a(定值)．以O为极 点，射线OA为极轴建立极坐标系，则点A的极坐标为(a,0)．
设动点M的极坐标为(ρ，θ)． ∵|MA|＝λ|OM|，∴|MA|＝λ|ρ|. 在△OAM中，由余弦定理易得： ρ2(1－λ2)－2aρcosθ＋a2＝0.
当λ＝1时，方程为ρcosθ＝a2，表示OA的垂直平分线；
极坐标系
1．极坐标方程 在给定的平面上的极坐标系下，有一个二元方程F(ρ，θ) ＝0 如果曲线C是由极坐标(ρ，θ)满足方程的所有点组成的， 则称此二元方程F(ρ，θ)＝0为曲线C的极坐标方程．
• 由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，因此曲 线的极坐标方程和直角坐标方程也有不同之处，一 条曲线上的点的极坐标有多组表示形式，有些表示 形式可能不满足方程，这里要求至少有一组能满足 极坐标方程．
点沿与CB成arctan
4 3
的方向切割；可以以CB为始边，以C为顶
点，作出2∠MCD，沿着此角终边的方向切割．
选取适当坐标系求轨迹方程
• 建立的坐标系不同，解法也不尽相同，求得的轨迹 方程不同，但其实质是相同的．因此建立适当的坐 标系，可以使解题方法简捷，所求得的轨迹方程简 明．
• 求到两定点的距离的比是定值λ的点的轨迹(λ＞ 0)．
• 如下图所示，在长方体OABC－D′A′B′C′中， |OA|＝3，|OC|＝5，|OD′|＝3，A′C′与B′D′相交于点P， 分别写出点C、B′、P的柱坐标．
解析： C点的ρ、θ分别为|OC|及∠COA. B′点的ρ为|OB|＝ |OA|2＋|AB|2＝ 32＋52＝ 34. θ＝∠BOA， 而tan∠BOA＝||OABA||＝53. 所以∠BOA＝arctan53.
• 把下列极坐标方程化为直角坐标方程． • (1)ρ＝2acosθ(a＞0)； • (2)ρ＝9(sinθ＋cosθ)； • (3)ρ＝4； • (4)2ρcosθ－3ρsinθ＝5. • 解析： (1)ρ＝2acosθ， • 两边同时乘以ρ得ρ2＝2aρcosθ， • 即x2＋y2＝2ax. • 整理得x2＋y2－2ax＝0，即(x－a)2＋y2＝a2. • 是以(a,0)为圆心，以a为半径的圆．
方法二：ρ＝4cosθ两边同乘以ρ得ρ2＝4ρcosθ， ∴ρ＝4cosθ可化为x2＋y2－4x＝0， 即(x－2)2＋y2＝4， ∴表示的是以(2,0)为圆心，半径为2的圆 ρ＝4sinθ两边同乘以ρ得ρ2＝4ρsinθ， ∴ρ＝4sinθ可化为x2＋y2－4y＝0， 即x2＋(y－2)2＝4， ∴表示的是以(0,2)为圆心，半径为2的圆 两圆的圆心距为d＝ 2－02＋0－22＝2 2， 两圆半径之和为4，之差为0， ∴两圆相交．
[命题探究]
• 本章知识在高考中主要以直角坐标系的应用为主， 并且主要以解答题为主，在历年的高考中均有体现， 预测今后的高考中，仍将会出现以建立直角坐标系 来解决实际问题的类型，并且还会有平移变换和直 角坐标与极坐标、柱坐标、球坐标等的互化问题．
热点考点例析
[热点题型]
平面直角坐标系
• 解析法解决几何问题 • 利用问题的几何特征，建立适当坐标系，主要就是
∴P34a，a，∴kPC＝34aa＝43， 即tan∠BCP＝43.
1 在Rt△CDM中，tan∠MCD＝2aa＝12. ∴tan2∠MCD＝1－2tatann∠2∠MMCCDD＝12－×12122＝43.
又∠BCP,2∠MCD都是锐角，
∴∠BCP＝2∠MCD.
可以确定P点坐标P 34a，a ，连CP，沿CP切割；可以从C
直线与圆的极坐标方程的应用
• 常见的圆的极坐标方程要记住，能够根据圆的极坐 标方程熟练写出圆心和半径，尽量避免通过化为直 角坐标方程求出圆心和半径，再利用互化公式化为 极坐标方程，这样就失去了研究极坐标方程的意 义．
• 但是，对于研究极坐标方程下的距离及位置关系等 问题，可在极坐标系下研究，也可将它们化为直角 坐标方程，在直角坐标系下研究．
(2)两边同时乘以ρ得ρ2＝9ρ(sinθ＋cosθ)， 即x2＋y2＝9x＋9y， 又可化为x－922＋y－922＝821， 是以92，92为圆心，以92 2为半径的圆． (3)将ρ＝4两边平方得ρ2＝16， 即x2＋y2＝16. 是以原点为圆心，以4为半径的圆． (4)2ρcosθ－3ρsinθ＝5， 即2x－3y＝5，是一条直线．
C．抛物线
D．圆
解析： 常见的是将方程化为直角坐标方程，可以判断曲
线形状，
由于ρ不恒等于0，方程两边同乘ρ，得 ρ2＝ρcosπ4－θ＝ρ 22cosθ＋ 22sinθ ＝ 22(ρcosθ＋ρsinθ)， 即ρ＝ 12(cosθ＋sinθ)， 2ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ.
P点的ρ、θ分别为OE、∠AOE，|OE|
＝12|OB|＝ 234，∠AOE＝∠AOB.
所以C点的柱坐标为5，π2，0；

B′点的柱坐标为

34，arctan53，3；
P点的柱坐标为 234，arctan53，3
[跟踪训练]
1．已知点M的极坐标为 －5，π3 ，下列所给出的四个坐标 中不能表示点M的坐标的是( )
的终边落在OB的反
向延长线上，但是极径是负的，所以D选项所表示的点也在点
B的位置上．故选A．
• 答案： A
2．在同一平面直角坐标系中，直线x－y＝2变成直线2x′ －y′＝4的伸缩变换是( )
x′＝x A．y′＝12y
B．yx′′＝＝y2x
C．yx′′＝＝2xy
x′＝2x D．y′＝14y
• 4．能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、 过极点和圆心在极点的圆)的方程．通过比较这些图 形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，体会在 用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义．
• 5．借助具体实例(如圆形体育场看台的座位、地球 的经纬度等)了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间 中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中刻画点 的位置的方法相比较，体会它们的区别．
图1
图2
解析： 如图2所示，建立直角坐标系．设正方形边长为 a(a＞0)，AP＝b(b＞0)，过P作PE⊥BC于E，
由Rt△CPE可知：|PC|2＝|CE|2＋|PE|2， 这里|PC|＝|AB|＋|AP|＝a＋b， |CE|＝a－b，|PE|＝a， ∴(a＋b)2＝(a－b)2＋a2⇒b＝14a.
当λ≠1时，方程可化为
ρ2－1－2aλ2ρcosθ＋1－a λ22－1－λaλ22＝0，
根据以(ρ0，θ0)为圆心，r为半径的圆的一般形式为ρ2－
2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ
2 0
－r2＝0可知所求得的轨迹方程表示以
1－a λ2，0为圆心，以1－λaλ2为半径的圆．
Байду номын сангаас
解析：
由伸缩变换公式
x′＝λx， y′＝μy，
代入2x′－y′＝
4，
可得2λx－μy＝4，将此式与x－y＝2进行比较，得λ＝1，μ
＝2，
故所求的伸缩变换为yx′′＝＝2x，y， 故C正确．
• 答案： C
3．极坐标ρ＝cosπ4－θ表示的曲线是(
)
A．双曲线
B．椭圆
• 解析：方法一：如图设O、A是两定点，|OA|＝a(定 值)．以O为原点，OA为x轴建立平面直角坐标系，
• 则点O(0,0)，A(a,0)
• 设动点M坐标为(x，y)
• ∵|MA|＝λ|OM|，即|MA|2＝λ2|OM|2
由两点间的距离公式得 (x－a)2＋y2＝λ2(x2＋y2)， (1－λ2)(x2＋y2)－2ax＋a2＝0. 当λ＝1时，方程为x＝a2，它表示OA的垂直平分线； 当λ≠1时，方程化为x2＋y2－1－2aλ2x＋1－a2λ2＝0， 即x－1－a λ22＋y2＝1－λaλ22， 它表示以1－a λ2，0为圆心，以1－λaλ2为半径的圆．