农作物施肥效果分析

农作物施肥效果分析
摘要
农作物施肥效果分析
本文是对农作物施肥效果进行分析，首先分别就氮肥、磷肥、钾肥对产量的影响做了基本模型，其次基于基本模型用MATLAB对N、P、K对产量的影响做了回归分析模型。

针对氮肥、磷肥、钾肥的施用量，我们考虑三种肥料分别对产量的影响，定义了氮肥、磷肥、钾肥的施用量分别为X1、X2、X3，土豆和生菜的产量分别为Y1、Y2，用excel拟合出方程曲线，通过对基本模型的分析，发现基本模型比较分散，所以建立了回归模型用MATLAB求出回归系数等参数的值，发现和原始数据拟合程度较好，并对该方程求偏导，得出当产量最大时氮肥、磷肥、钾肥的施用量。

针对土豆的经济效益，最后扩展了土豆和生菜的利润模型，来解决何时获得最大经济效益的问题。

根据上述研究，我们认为所建立的模型简单易懂，可以用其在较短的时间内对大量的数据进行处理。

关键字：MATLAB 回归模型曲线拟合
一、问题重述
某研究所为了研究N、P、K、三种肥料对土豆和生菜的作用，分别对每种作物进行了三组实验，实验中将每种肥料的施用量分为10个水平，在考察其中的一种肥料施用量与产量关系时，总是将另两种肥料固定在第7个水平上，实验数据如下列表格所示，其中ha表示公顷，t表示吨，kg表示千克，试建立反映施用量与产量关系的模型，并从应用价值和如何改进等方面做出评价。

二、基本假设
（1）不考虑土壤中原有的N、P、K的影响
（2）假设土豆和生菜生长状态相同，即不考虑个体植株间的生长差异（3）假设土豆和生菜在同样的环境下生长，包括阳光，水分，温度湿度等
三、符号说明
四、问题的分析与准备
本题目是为了探究N、P、K三种肥料的施肥量对土豆和生菜的作用，单独一种肥料对土豆和生菜的作用不相同，过量的肥料会造成植株
“烧苗”。

所以每种肥料都有一定的施肥量才能保证土豆和生菜的产
量最大。

根据所给的表格数据，首先来探究另外两种肥料固定在第七水平时，单独一种肥料对土豆和生菜产量的影响，建立单独一种肥料对产量影响的数学模型，通过MATLAB数学软件进行数据拟合，得到相应的数学模型。

五、模型的建立
基于以上分析，我们对施肥量对产量的影响进行建模。

基本建模首先利用表中所给数据在MATLAB中分别做出N、P、K 对土豆产量影响的散点图，并进行曲线拟合。

图1 Y1对X1的散点图
从图1可以发现，随着X1的增加，Y1先增加后降低。

图中曲线用二次函数模型
Y1=β0+β1×X1+β2×X12+ε，（1）
拟合，（其中是ε随机误差）。

β0= -0.0003332 (-0.0003833, -0.0002831)
β1= 0.194 (0.17, 0.218)
β2= 14.87 (12.72, 17.03)
R2=0.9853
从图二可以看出，随着X2增大，,Y1先增大后减小Y1=β0+β1×X2+β2×X22+ε，（2）
β0=-0.0001378 (-0.0002491, -2.654e-05)
β1= 0.07186 (0.03322, 0.1105)
β2= 32.92 (30.41, 35.42)
R2=0.8645
从图三可以看出，随着X3的增加,Y1先增加后保持平稳然后再增加Y1=β0+β1×X3+β2×X32+β3×X33+ε，（3）
β0= 3.966e-07 (9.692e-08, 6.963e-07)
β1= -0.0004541 (-0.0007494, -0.0001588)
β2= 0.1685 (0.08929, 0.2477)
β3= 20.55 (15.25, 25.85)
R2=0.9329
从图四可以看出，随着X2的增加，Y2先增加后减小 Y2=β0+β1×X1+β2×X12+ε（4）β0= -0.000238(-0.0003034, -0.0001729)
β1= 0.1013 (0.07535, 0.1273)
β2= 10.23 (8.295, 12.16)
R2=0.9249
从图五可以观察出，随着X 2的增大，Y 2先增加后减小，
y 2=β0+β1×X 1+β2×X 12
+ε （5）
β0= -5.453e-05 (-8.1e-05, -2.805e-05) β1= 0.0606 (0.04219, 0.07901) β2= 6.876 (4.477, 9.274) R 2=0.9586
从图六可以观察出，随着X 3的增大，Y 2也一直增大。

Y 2=β0+β1×X 3（6）
β0= 0.004657(0.0004689, 0.008845)
β1= 16.27 (14.8, 17.74) R 2=0.9511
结果分析 根据方程（1）—（6）可以直接利用MATLAB 求出一阶导为
零的点，然后求出对应点的值，也就是极值点。

对于土豆来说，当氮肥，钾肥，磷肥的用量分别为
291.12,260.74,445.26(kg/ha)
时，对应的土豆产量达到最大，分别为
43.11,42.29,40.56（t/ha），由此得到在农业生产过程中应适当多加磷肥；对于生菜来说，当氮肥，钾肥的用量分别为212.73, 555.66 (kg/ha)时对应的生菜产量达到最大，分别为21.00, 23.71（t/ha），磷肥对生菜产量的影响呈现出一次线性关系，在保证经济利益的条件下可以适当增加磷肥的用量。

模型改进
由数据结果显示，在剔除一些偏离程度大的数据后，模型的相关系数都达到了90%以上，证明产量关于施肥量的模型是可以应用的。

进一步讨论为寻找改进的方向，常用回归分析方法（用一种确定的函数关系去近似代替较为复杂的相关关系），亦称经验公式。

在此我们用多元线性回归方程模拟氮肥、磷肥、钾肥的施用量对土豆和生菜的产量进行数据拟合，首先探究三种肥料对土豆产量的影响。

结合以上的分析，建立了如下的回归模型
Y=β0+β1×X1+β2×X12+β3×X2+β4×X22+β5×X3+β6×X32+β7×X33（7）
其表示Y土豆总产量，X1，X2，X,3分别表示为N，P，K的施肥量。

建立一个统一的关于施肥量与产量的数学模型。

模型求解直接利用MATLAB统计工具箱的命令regress求解，使用格式为
【b,bint,r,rint,stats】=regress(Y,X,alpha)
其中输入Y为模型（7）中的数据（n维向量，n=30），X为对应与回归系数
β=（β
0×X12，β
1，
β
2，
β
3，
β
4，
β
5，
β
6，
β7）的数据矩阵【1 X1 X12 X2 X22X3
X32】（n*7矩阵，其中第1列全为1向量），alpha为置信水平α（缺省时α=0.05）；输出b为β的估计值，bint为b的置信区间，r为残差向量，rint为r的置信区间，stats为回归模型的检验统计量，有4个值，第1 个是回归方程的决定系数R2（R是相关系数），第2 个是F统计量值，第3个是与F统计量对应的概率值P，第4 个是剩余方差s2。

得到模型（7）的回归系数估计值及其置信区间，检验统计量R2，F，p，s2的结果如下表2
0.9576 F=70.9241 P<0.0001 2s 3.3204
结果分析表二显示R2=0.9576指因变量Y有95.76%可以有模型确定，F 值远远超过F检验的临界值，p远小于α，因而模型从整体上看是可用的。

表二的回归系数给出了模型中β0，β1，β2，β3，β4，β5，β6，β7的估计值，即β0=-14.9283，β1=0.1836，β2=-0.0003，β3=0.0736，β4=-0.0001，β5=0.168，β6=-0.0004，β7=0，检查回归系数及置信区间发现β7=0，β7的置信区间为零，表明X3对该方程无显著性影响，该方程与X33无关，即该模型的回归方程为
Y=−14.9283+0.1836×X1−0.0003×X12+0.0736×X2−0.0001×X22+0.168×X3−0.0004×X32
用MATLAB分别对X1,X2,X3求偏导，得当X1=306，X2=368，X3=210，时求得最大值，求得产量最大为44.34 t。

进一步讨论从经济学角度考虑，为获得最大利润W（利润=卖土豆的收益-买化肥的花费）
W=Y×t−（a×X1+b×X2+c×X3）
由此可以发现土豆的利润与产量和施肥量有关，同时产量又和施肥量有关，所以利润就和施肥量有关，而肥料的价格又和市场有关，是不确定的，是根据市场需求来变化的，所以在不同的时期利润是与施肥量有一定关系的，运用MATLAB对利润模型进行偏导运算，来求的当施肥量为何值时，所能得到的利润至最大，即收益最大。

化肥对生菜产量的模型
有上述分析可知，生菜模型与土豆模型大致相同，结合以上分析建立生菜的产量回归模型如下
Y=β0+β1×X1+β2×X12+β3×X2+β4×X22+β5×X3
模型求解同样运用MATLAB统计工具箱中的命令regress求解，过程大致如同求解土豆模型过程，经过计算得到生菜模型的回归系数值及其置信区间，检验统计量R2，F，p，s2的结果如下表3
0.8602 F=19.33564 P<0.0001 2s 3.2249
结果分析表3显示，R2=0.8602指生菜产量的86.03%可以由模型确定，F值远远超过F检验的临界值，p远小于α，因而模型从整体上看是可用的。

表3 中的回归系数给出了β0，β1，β2，β3，β4，β5的估计值，即β0=，-7.2682，β1= 0.094，β2=-0.0002，β3=0.0461，β4=0.000，β5=0.0167，其中β4=0说明该方程与X2无关，表明这个模型拟合的相对较好，即该模型的回归方程为
Y=−7.2682+0.094×X1−0.0002×X12+0.0461×X2+0.0167×X3
根据生菜的产量模型进行分析可知，氮肥对生菜产量的影响是很大的，利用MATLAB对生菜模型进行偏导计算，结果表明不存在偏导为零的点，说明这个模型并没有完全涵盖生菜产量的变化影响，没有很好的将三种肥料的施用量与产量统一起来，表明三种肥料对生菜的影响变化太大，不能够统一起来。

评注我们通过已知的实验数据建立的两个模型对氮肥、磷肥、钾肥的施用量对土豆和生菜产量的影响做了粗略的研究分析，希望能对种植者合理使用化肥增大收益有一定帮助，我们建议：
（1）针对实际情况，合理使用化肥，过量使用化肥会导致土豆产量减少；
（2）对于生菜的施肥，可以适当增加磷肥、钾肥的施肥量来提高产量；
参考文献
[1] 王正林，等，精通MATLAB科学计算第三版，电子科技大学出版社；
[2] 姜启源，等，数学模型，第四版高等教育出版社；
[3] 肖勇华，数学建模竞赛优秀论文精选与点评，西北工业大学出版社；。