一元多项式因式分解方法归纳

一元多项式因式分解方法归纳

摘要：给出了一元多项式因式分解的几种常用方法，如提公因式法，运用公式法，分组分解法，十字相乘法，配方法，拆项补项法等等。

因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技术性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必须的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．学习它，既可以复习整式的四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，即可以培养学生的观察,思维发展性，运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力.

一提公因式法

1 定义：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因

式分解的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.

2 具体做法：

⑴确定公因式的方法

①定系数：当各项系数都是整数时，公因式的系数应该取各项系数的最大公约数；

②定字母：字母取各项的相同的字母；

③定指数：各字母的指数取次数最低的.

⑵如果多项式的第一项是负的，一般要提出“—”号，使括号内的第一项的系数成为正数.提出“—”号时，多项式的各项都要变号.

3 提公因式法基本步骤：

⑴找出公因式；

⑵提公因式并确定另一个因式：

①第一步找公因式，可按照确定公因式的方法，先确定系数再确定字母；

②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式；

③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同.

4 注意：

①提公因式后，另一个因式的项数与原多项式一致；

②提公因式后，另一个因式不能再含有公因式.

二运用公式法

1 定义：如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运

用公式法.

2 因式分解常用公式：

⑴代数中常用的乘法公式有：

平方差公式：()()b a b a -+ 2

2

b a -=

完全平方公式：()2

b a ± 2

2

2b ab a +±=

将上述乘法公式反过来就得到用公式来分解因式的方法，主要有以下三个公式：

两根法： ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣⎡----⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+--=++a ac b b x a ac b b x a c bx ax 2424222

(不要求掌握)

平方差公式：2

2

b a -=()()b a b a -+

完全平方公式：()2

222b a b ab a ±=+±

⑵其他公式

立方和公式： ()()

2

2

3

3

b ab a b a b a +-+=+

立方差公式：()()

2

2

3

3

b ab a b a b a ++-=-

完全立方公式：()3

322333b a b ab b a a ±=±+± （不要求掌握）

例1 因式分解1646

-x 分析 6

64x 可变形为()2

38x ，或变形为()3

24x ，而1既可看作2

1

，也可看作3

1，这样，本题可

先用平方差公式分解. 解 方法一

1646-x

=()2

3

8x 1- （把664x 变形为()

2

38x ）

()()

181833-+=x x （利用平方差公式） =(

)183+x ()()

124122++-x x x

()()()()

124121241222++-+-+=x x x x x x

方法二 1646

-x ()

143

2

-=x （把664x 变形为()

3

24x ）

()(

)

1416142

42

++-=x x x （运用立方差公式） ()()(

)2

2

4

418161212x

x x x x -++-+= （把2

4x

拆为2

248x x -）

()()(

)

()[]

2

2

22141212x x x x -+-+= （利用完全平方公式）

()()()()

124124121222+-++-+=x x x x x x （运用平方差公式）

点评:在分解因式时,尽管采用的方法不同,但结果应是相同的,本题的两种解法,显然第一种方法比较简单.

例2 已知A ()()()()495432+-+-+=x x x x (x 为整数),求证: A 为一个完全平方数. 证明：因为A ()()()()495432+-+-+=x x x x ()()

4920622+----=x x x x

()

()

()

2

2

22

213

169

26--=+---=x x

x x x x

所以A 是一个完全平方数.

三 分组分解法

1 定义：把各项适当分组，先把因式分组，再使分解因式在各组之间进行.

2 注意：在用分组分解法因式分解时，要注意分组不能使一个多项式变为乘积形式，分组的目的是分好的各组能提取各自的公因式同时使各组提取公因式后剩下的多项式又是各组的公因式，可以再提取，从而使问题得到解决，上述规律可以通俗的归纳成：“分组的目的是为了提取，提取的目的是为了再提取”，若多项式带有括号，且括号内的式子相同时，可用换元后进行分组分解，若括号内式子不相同，又不便直接分组时，要将括号去掉，重新整理后再分组分解. 3分组分解法的实质是分组后能直接提公因式或运用公式法. 4 具体方法：

5 总结

利用分组的手段为提公因式法创造条件，因此分组分解法是转化的数学思想在因式分解中的集中体现，分组的目的是经过适当的分组以后，将原来不显现的条件通过分组显现出来，将其转化为用已学过的提公因式法或运用公式法来进行因式分解。通过分组分解法的学习，我们可以体会到数学思想方法对数学学习的重要意义.