面板大数据地单位根检验

面板数据的单位根检验

1 LLC （Levin-Lin-Chu ，2002）检验（适用于相同根（common root ）情形）

LLC 检验原理是仍采用ADF 检验式形式。但使用的却是it y ∆和it y 的剔出自相关和确定项影响的、标准的代理变量。具体做法是（1）先从∆ y it 和y it 中剔出自相关和确定项的影响，并使

其标准化，成为代理变量。（2）用代理变量做ADF 回归，*ˆij ε=ρ*ij ε% + v it 。LLC 修正的ˆ()t ρ

渐近服从N(0,1)分布。

详细步骤如下：

H 0: ρ = 0（有单位根）； H 1: ρ < 0。LLC 检验为左单端检验。 LLC 检验以如下ADF 检验式为基础：

∆ y it = ρ y i t -1 +∑=i

k j j i 1γ∆ y i t -j + Z it 'φ + εit , i = 1, 2, …, N ; t = 1, 2, …, T （38）

其中Z it 表示外生变量（确定性变量）列向量，φ 表示回归系数列向量。

（1）估计代理变量。首先确定附加项个数k i ，然后作如下两个回归式，

∆ y it = ∑=i

k j j i ˆ1γ

∆ y i t -j + Z it 'ˆφ+t i εˆ

y i t -1 = ∑=i

k j j

i ~1

γ∆ y i t -j + Z it 'φ%+1~-it ε 移项得

t i ε

ˆ= ∆ y it -∑=i

k j j i ˆ1γ∆ y i t -j - Z it 'ˆφ 1

~-it ε

= y it -∑=i

k j j

i ~1

γ∆ y i t -j - Z it 'φ% 把t i εˆ和1

~-it ε标准化， *

ˆij ε= t i εˆ/s i *ij ε%= 1~-it ε/s i

其中s i , i = 1, 2, …, N 是用（38）式对每个个体回归时得到的残差的标准差，从而得到∆ y it

和y it -1的代理变量*ˆij ε和*ij ε%。

（2）用代理变量*ˆij ε和*ij ε%作如下回归，

*ˆij ε=ρ*

ij ε%+ v it

LLC 证明，上式中估计量ρˆ的如下修正的ρˆt ~统计量渐近地服从标准正态分布。

ρˆt ~=

**)ˆ(ˆ)~

(~~2ˆT

m T m N s S T N t σμρσ

ρ-→ N (0, 1)

其中ρˆt 表示标准的t 统计量；N 是截面容量；T ~

=T -⎪⎭

⎫ ⎝⎛∑i i N k /-1，（T 为个体容量）；S N 是每个个

体长期标准差与新息标准差之比的平均数；2ˆσ

是误差项v it 的方差；)ˆ(ρs 是ρˆ标准误差；T m ~μ和T

m ~σ分别是均值和标准差的调整项。

见图21输出结果，LLC = 9.7 > -1.65，所以存在单位根。

图21 LLC检验的EViews 5.0输出结果（部分）

EViews 5.0操作步骤：在面板数据窗口点击View选Unit Root Test功能。在Test Type 中选Common root –Levin, Lin, Chu。

2 Breitung 检验（2002）（适用于相同根（common root ）情形）

Breitung 检验法与LLC 检验法类似。先从it y ∆和it y 中剔出动态项it j y -∆，然后标准化，再退

势，最后用ADF 回归t i εˆ*=ρ1

~-it ε* + v it 。检验单位根。 用每个个体建立的单位根检验式的误差项之间若存在同期相关，上述面板数据的单位根检验方法都不再适用。主要是统计量的分布发生变化，检验功效降低。为此提出一些个体同期相关面板数据的单位根检验方法。

3 Hadri 检验（适用于相同根（common root ）情形）

Hadri 检验与KPSS 检验相类似。原假设是面板中的所有序列都不含有单位根。计算步骤是用原面板数据的退势序列（残差）建立LM 统计量。

退势回归是

y it = α1 +α2 t + u it

利用上式中的残差it u

ˆ计算如下LM 统计量， 22011()N i i t LM S t T f N =⎡⎤⎡⎤=

⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

∑∑ (39) 其中1

ˆ()t

i it s S t u

==∑是残差累积函数，0f 是频率为零时的残差谱密度。 Hadri 给出，在一般假定条件下

Z = b

a LM N )(-→N (0, 1) (40)

其中a=1/6，b=1/45，LM 由（39）式计算。

Hadri 检验的原假设是没有单位根。以案例1为例，图22给出检验结果。EViews 给出假定同方差和克服异方差两种情形下的Z 统计量。因为Z 渐近服从正态分布，Z = 7.5和7.6落在拒绝域，结论是存在共同单位根。

图22 Hadri检验的EViews 5.0输出结果（部分）

EViews 5.0操作步骤：在面板数据窗口点击View选Unit Root Test功能。在Test Type中选Common root – Hadri。

不同根（individual unit root ）情形的面板数据单位根检验方法 4 IPS （Im-Pesaran-Shin ）检验（1997,2002）

IPS 检验克服了LL 检验的缺陷，允许面板中不同个体（序列）的ρi 不同。IPS 检验式是

∆ y it = ρi y i t -1 +∑=i

k j j i 1

γ∆ y i t -j + X it 'α + εit , i = 1, 2, …, N ; t = 1, 2, …, T , εit ~IID(0,σ2)

（43）

H 0: ρi = 0, i = 1, 2, …, N ; （存在单位根）

H 1: 1110,1,..., 0,1,2,...,i i

i n i n n N ρρ==⎧⎨<=++⎩。

利用（41）式对N 个个体估计N 个ρi 及相应的ρˆt 。计算平均值∑==N

i t N

t 1

)

ˆ()

ˆ(1

ρ

ρ。再用)ˆ(ρt 构造面

板IPS 检验用统计量N

t Var t E t Z t /)()]([)ˆ()ˆ()ˆ(ρρρ-=

。