初三数学利用三角函数解直角三角形

解直角三角形

中考要求

知识要点

模块一 解直角三角形

一、解直角三角形的概念

根据直角三角形中已知的量（边、角）来求解未知的量（边、角）的过程就是解直角三角形． 二、直角三角形的边角关系

如图，直角三角形的边角关系可以从以下几个方面加以归纳： （1）三边之间的关系：2

2

2

a b c += (勾股定理) （2）锐角之间的关系：90A B ∠+∠=︒

（3）

边角之间的关系：sin cos ,cos sin ,tan a b a

A B A B A c c b

=====

三、解直角三角形的四种基本类型

（1）已知斜边和一直角边(如斜边c ，直角边a )，由sin a

A c

=

求出A ∠，则90B A ∠=︒-∠，

b =； （2）已知斜边和一锐角(如斜边

c ，锐角A )，求出90B A ∠=

︒-∠，sin a c A =，cos b c A =； （3）已知一直角边和一锐角(如a 和锐角A )，求出90B A ∠=︒-∠，tan b a B =，sin a

c A

=； （4）已知两直角边(如a 和b )，求出c =tan a

A b

=，得90B A ∠=︒-∠． 具体解题时要善于选用公式及其变式，如sin a A c =可写成sin a c A =，sin a c A

=等． 四、解直角三角形的方法

解直角三角形的方法可概括为：“有斜(斜边)用弦(正弦，余弦)，无斜用切(正切，余切)，宁乘毋除，取原避中”．这几句话的意思是：当已知或求解中有斜边时，就用正弦或余弦；无斜边时，就用正切或余切；

当所求的元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；既可由已知数据又可用中间数据求得时，则用原始数据，尽量避免用中间数据． 五、解直角三角形的技巧及注意点

在Rt ABC ∆中，90A B ∠+∠=︒，故sin cos(90)cos A A B =︒-=，cos sin A B =．利用这些关系式，可在解题时进行等量代换，以方便解题．

c

b C

B

A

六、如何解直角三角形的非基本类型的题型

对解直角三角形的非基本类型的题型，通常是已知一边长及一锐角三角函数值，可通过解方程(组)来转化为四种基本类型求解；

（1）如果有些问题一时难以确定解答方式，可以依据题意画图帮助分析；

（2）对有些比较复杂的问题，往往要通过作辅助线构造直角三角形，作辅助线的一般思路是：①作垂线构成直角三角形；②利用图形本身的性质，如等腰三角形顶角平分线垂直于底边等．

【例1】 如图是教学用直角三角板，边3

3090tan 3

AC cm C BAC =∠=︒∠=

，，，则边BC 的长为（ ）

A ．303cm

B ．203cm

C ．103cm

D ．53cm

【巩固】如图，在ABC △中，9060C B D ∠=︒∠=︒，，是AC 上一点，DE AB ⊥于E ，且21CD DE ==，，

则BC 的长为（ ）

A ．2

B ．

4

33

C ．23

D ．43

【巩固】如图，ABC △是等腰三角形，90ACB ∠=︒，过BC 的中点D 作DE AB ⊥，垂足为E ，连接CE ，

则sin ACE ∠= ．

例题精讲

C

B

A

3

E

D C

B

A

E

D

C

B

A

如图所示，O 的直径点作O 的切线，切点为七、直角三角形中其他重要概念

（1）仰角与俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角．如图⑴．

（2）坡角与坡度：坡面的垂直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母表示为h i l

=，坡面与水平面的夹角记作α，叫做坡角，则tan h

i l

α=

=．坡度越大，坡面就越陡．如图⑵．

（3）方向角（或方位角）：方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达为北（南）偏东（西）××度．如图⑶．

八、解直角三角形应用题的解题步骤及应注意的问题：

（1）分析题意，根据已知条件画出它的平面或截面示意图，分清仰角、俯角、坡角、坡度、水平距离、垂直距离等概念的意义；

（2）找出要求解的直角三角形．有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当的辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）；

（3）根据已知条件，选择合适的边角关系式解直角三角形；

（4）按照题目中已知数据的精确度进行近似计算，检验是否符合实际，并按题目要求的精确度取近似值，注明单位． （一）仰角与俯角

30,400DCB CD ∠=︒=米)，测得A 的仰角为60︒，求山的高度AB ．

图(3)

图(2)

图(1)

俯角

仰角视线

视线

水平线

铅

垂线

F

D C

D

C

B A

【巩固】如图，某电信部门计划架设一条连结B C ，

两地的电缆，测量人员在山脚A 地测得B C ， 两地在同一方向，且两地的仰角分别为3045︒︒，，在B 地测得C 地的仰角为60︒，已知C 地比A 地高200

米，且由于电缆的重力导致下坠，实际长度是两地距离的1.2倍，求电缆的长（精确到0.1米）

（二）坡度与坡角

图所示）．已知图纸上的图形是某建筑物横断面的示意图，它是以圆O 的半径OC 所在的直线为对称轴的轴对称图形，A 是OD 与圆O 的交点．

（1）请你帮助小王在下图中把图形补画完整；

（2）由于图纸中圆O 的半径r 的值已看不清楚，根据上述信息（图纸中1:0.75i =是坡面CE 的坡

度），求r 的值．

O C

A