高考数学二轮复习 专题7 解析几何
江苏省天一中学届高三数学二轮复习解析几何应用题
06
解析几何应用题的重要性和发展趋势
未来展望：未来的解析几何应用题将更加注重创新和探究，需要学生具备更强的数学素养和创新能力。
重要性：解析几何应用题是数学中的重要题型，能够培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
发展趋势：随着科技的进步和数学教育的改革，解析几何应用题将更加注重实际应用和跨学科的综合问题。
特点：解析几何应用题通常涉及较为复杂的几何图形和数量关系，需要学生具备较高的数学建模能力和思维逻辑能力。同时，这类题目通常与实际生活问题密切相关，能够帮助学生理解数学在解决实际问题中的应用。
解析几何应用题的解题思路
理解题意：仔细阅读题目，明确题目要求和条件
建立模型：根据题意，建立相应的数学模型，将实际问题转化为数学问题
注意事项：注意定值问题的特点和难点，结合题目要求选择合适的解题方法
04
读题审题，理解题意
仔细阅读题目，确保理解题意
找出关键信息，明确解题方向
结合图形，将文字信息转化为数学语言
避免因理解错误而导致的解题失误
建立坐标系，确定变量和参数
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运用解析几何知识解决问题
运用知识：运用解析几何的知识，如直线、圆、椭圆、双曲线等，进行计算和分析。
理解问题：仔细阅读题目，明确问题的要求和条件，理解问题的本质。
建立模型：根据问题的描述，选择合适的坐标系，建立数学模型，将问题转化为数学表达式。
求解问题：通过计算和推理，得出问题的解，并给出合理的解释和结论。
解析几何知识运用：运用解析几何的知识，对数学模型进行分析和求解
结论检验：对求解结果进行检验，确保符合实际情况
解析几何应用题在高考中的地位和作用
高三数学二轮复习专题突破课件：解析几何
A．[1，＋∞) B．[－1，－ )
3
C．( ，1]
4
4
D．(－∞，－1]
答案：B
解析：∵y＝kx＋4＋2k＝k(x＋2)＋4，所以直线过定点(－2，4)，曲线y＝
4 − x 2 变形为x2＋y2＝4(y≥0)，表示圆的上半部分，当直线与半圆相切时直线斜
3
率为k＝－ ，当直线过点(2，0)时斜率为－1，结合图象可知实数k的取值范围是
a=2
所以 ሺ2 − 3 − ሻ2 + 2 = 2 ，解得 b = 1 .
r=2
2 + ሺ1 − ሻ2 = 2
所以圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
4．[2023·广东深圳二模]过点(1，1)且被圆x2 ＋y2 －4x－4y＋4＝0所
x＋y－2＝0
截得的弦长为2 2的直线的方程为___________．
－2)的距离为 2 − 0 2 + 0 + 2 2 ＝2 2，由于圆心
α
2
5
＝
2 2 2 2
α
αபைடு நூலகம்
α ＝ 2sin cos ＝
2
2
与点(0，－2)的连线平分角α，所以sin ＝
10
α
6
， 所 以 cos ＝ ， 所 以 sin
4
2
4
10
6
15
2×
× ＝ .故选B.
4
4
4
r
＝
(2)[2023·河南郑州二模]若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：(x－a)2＋(y－b)2
解析：圆x2＋y2－4x－4y＋4＝0，即(x－2)2＋(y－2)2＝4，
圆心为(2，2)，半径r＝2，
解析几何 第二讲 圆锥曲线的概念与性质,与弦有关的计算问题——2023届高考数学二轮复习含解析
专题七 解析几何 第二讲 圆锥曲线的概念与性质，与弦有关的计算问题1.若椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为( )A.122.已知O 是坐标原点，椭圆221259x y +=上的一点M 到左焦点1F 的距离为2，N 是MF 的中点，则ON 的长为( ) A.8B.6C.5D.43.若π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，方程22sin cos 1x y αα+=表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范围是( )A.π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B.π0,3⎛⎫⎪⎝⎭C.ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭ D.ππ,32⎛⎫⎪⎝⎭ 4.已知双曲线2222:1(0,0)x y T a b a b-=>>，直线y b =-与T 交于A ，B 两点，直线7y b =与T交于C ，D 两点，四边形ABCD 的两条对角线交于点E ，60AEB ∠=︒，则双曲线T 的离心率为( )C.2D.45.已知双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>1C 同渐近线的双曲线2C 过点A ，直线:40l x y +-=与x 轴、y 轴分别交于B ，C 两点，且与双曲线2C 交于D ，若CD CB λ=，则λ=( ) A.2B.58C.38D.36.双曲线E 与椭圆22:162x y C +=焦点相同且离心率是椭圆C E的标准方程为( )A.2213y x -=B.2221y x -=C.22122x y -= D.2213x y -= 7.已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点，，过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A ，B 两点，直线2l 与C 交于D ，E 两点，则||||AB DE +的最小值为( )A.16B.14C.12D.108.（多选）已知点P 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>所在平面内一点，12(,0),(,0)F c F c -分别为C 的左、右焦点，2121,4PF F F PF c ⊥=,线段12,PF PF 分别交双曲线于,M N 两点,11PF MF λ=,22PF NF μ=.设双曲线的离心率为e ,则下列说法正确的有( )A.若1PF 平行渐近线,则2e =B.若4λ=,则2e = C.若3μ=,则eD.λμ9. （多选）已知椭圆C 的中心在原点，焦点1F ，2F 在y 轴上，且短轴长为2，离心率1F 作y 轴的垂线，交椭圆C 于P ，Q 两点，则下列说法正确的是( ) A.椭圆方程为2213y x +=B.椭圆方程为2213x y +=C.3PQ =D.2PF Q △的周长为10. （多选）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，若()01,M y 为抛物线C 上一点，直线MF的斜率为M 为圆心的圆与C 的准线相切于点Q ，则下列说法正确的是( )A.抛物线C 的准线方程为3x =-B.直线MF 与抛物线C 相交所得的弦长为15C.MFQ △外接圆的半径为4D.若抛物线C 上两点之间的距离为8，则该线段的中点到y 轴距离的最小值为111.双曲线222:1(0)4x y C b b-=>的一条渐近线方程为320x y +=，则双曲线C 的焦距为__________.12.已知1F ，2F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的两个焦点，P 为C 上一点，且1260F PF ∠=︒，12||5||PF PF =，则C 的离心率为______.13.已知抛物线22(0)y px p =>的准线为l ，点P 在抛物线上，PQ l ⊥于点Q ，(2,0)M 与抛物线的焦点不重合，且||||PQ PM =，120MPQ ∠=︒，则p =______________.14.已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为,F O 为坐标原点,的点P 在抛物线C 上,满足||||PF PO =. (1)求抛物线C 的方程.(2)过抛物线C 上的点A 作抛物线C 的切线,l A 与O 不重合,过O 作l 的垂线,垂足为B ,直线BO 与抛物线C 交于点D .当原点到直线AD 的距离最大时,求点A 的坐标.15.如图，已知椭圆22112x y +=.设A ，B 是椭圆上异于(0,1)P 的两点，且点10,2Q ⎛⎫⎪⎝⎭在线段AB 上，直线PA ，PB 分别交直线132y x =-+于C ，D 两点.（Ⅰ）求点P 到椭圆上点的距离的最大值； （Ⅱ）求||CD 的最小值.答案以及解析1.答案：C解析：由题意，得b c =，则2222b a c c =-=，a =，则椭圆的离心率c e a==. 2.答案：D解析：椭圆221259x y +=上的一点M 到左焦点1F 的距离为2，则点M 到右焦点2F 的距离为8.又N 是1MF 的中点，所以2142ON MF ==. 3.答案：C解析：方程22sin cos 1x y αα+=，即22111sin cos x y αα+=表示焦点在y 轴上的椭圆，则11cos sin αα>.又π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos sin αα<，所以ππ,42α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 4.答案：A解析：在22221x y a b-=中，令y b =-，得x =，不妨设,),(,)A b B b --，同理可得(,7),,7)C b D b -， 由对称性可知，四边形ABCD 的两条对角线的交点E 在y 轴上. 易知直线AC的方程为)y x b =-，令0x =，得3b y =，即0,3b E ⎛⎫⎪⎝⎭. 因为60AEB ∠=︒，所以ABE △是等边三角形，|E A y y AB -=，所以22483b a b ==，因为222c a b =+，所以22358a c =，所以e =. 5.答案：C解析：由题意，双曲线1C的离心率c e a ==1ba=，∴设222:(0)C x y αα-=≠，将点A 代入得48α-=，解得4α=-，222:144y x C ∴-=，与直线l 联立得52D y =.易得0,4B C y y ==，CD CB λ=，()5,4,042D C B C x x x x λ⎛⎫∴--=-- ⎪⎝⎭，解得38λ=，故选C. 6.答案：C解析：由题知，椭圆22162x y +=的焦点坐标为(2,0)和(2,0)-设双曲线E的标准方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>，则224a b +=且2a =，解得222a b ==，所以双曲线E 的标准方程为22122x y -=，故选C.7.答案：A解析：如图所示，设直线AB 的倾斜角为θ，过A ，B 分别作准线的垂线，垂足为1A ，1B ，则1||AF AA =，1||BF BB =，过点F 向1AA 引垂线FG ，得||||cos ||||AG AF pAF AF θ-==， 则||1cos p AF θ=-，同理，||1cos pBF θ=+，则22||||||sin p AB AF BF θ=+=，即24|si |n AB θ=， 因为1l 与2l 垂直，所以直线DE 的倾斜角为π2θ+或π2θ-， 则24||cos DE θ=，则2244||||sin cos AB DE θθ+=+22224416sin cos sin 21sin 22θθθθ===⎛⎫⎪⎝⎭， 则易知||||AB DE +的最小值为16. 故选A. 8.答案：ACD解析：本题考查双曲线的定义、离心率问题、焦半径问题.由题意12PF F △为直角三角形,点P坐标为(,)c ±,直线1PF斜率1260k PF F =∠=.不妨设点P 在第一象限,如图.选项A,若1PF 平行渐近线,则ba,得2e =,故A 正确.选项B,若4λ=,则1MF c =.连接2MF (图略),由1260PF F ∠=︒,解得221,21)MF a MF MF c =∴=-=,得1e ,故B 错误.选项C,若3μ=,则2NF =.连接1NF (图略),由2190PF F ∠=︒,解得112,2NF a NF NF ∴=-=,得e 故C 正确. 选项D,114PF c MF λ==,14cMF λ∴=,点M 的坐标为2,M M cx c y λ=-=,代入双曲线方程得()2222ac c b λ+=,22b NF a =,则22PF NF λμμ==∴==故D 正确.故选ACD.9.答案：ACD解析：由已知，得22b =，3c a =，则1b =.又222a b c =+，所以23a =，所以椭圆的方程为2213y x+=.由题意，得223b PQ a ===，2PF Q △的周长为4a =.故选ACD. 10.答案：ACD解析：过点M 作MB 垂直于x 轴，垂足为B ，MF k =-，∴直线MF 的倾斜角为120°，60MFB ∴∠=︒，在Rt MBF △中，30BMF ∠=︒，||2||212pMF BF ⎛⎫∴==- ⎪⎝⎭，又由抛物线的定义可得||12pMF =+，21122p p ⎛⎫∴-=+ ⎪⎝⎭，解得6p =，∴抛物线C 的方程为212y x =，抛物线C 的准线方程为3x =-，故A 正确；易知直线MF的方程为3)y x =-，代入抛物线C 的方程，得21090x x -+=，解得1x =或9x =，∴直线MF 与抛物线C 相交所得弦长为19616++=，选项B 不正确；易得M ，(3,0)F，(3,Q -，||QF ==120QMF ∠=︒，设MFQ △外接圆的半径为r，根据正弦定理可得||28sin QF r QMF ====∠，4r ∴=，选项C正确；设抛物线C 上的两点分别为()11,G x y ，()22,H x y ，则||||||8GF HF GH +≥=，当且仅当G ，H ，F 三点共线时，等号成立，由抛物线的定义可知，1212||||6GF FH x x p x x +=++=++，所以1268x x ++≥，即122x x +≥，所以线段GH 的中点到y 轴的距离122122x x +≥=，选项D 正确.故选ACD. 11.答案：解析：根据题意，双曲线222:1(0)4x y C b b -=>C:x 24-y 2b 2=1(b >0)的焦点在x 轴上，则其渐近线方程为2by x =±，又由该双曲线的一条渐近线方程为320x y +=，即32y =-=3=；所以2c ==15PF =122PF +=153a =，2PF =12PF F 中，由余弦定理可得：22212121212||||||2||||cos F F PF PF PF PF F PF =+-⋅∠，而1260F PF ∠=︒，即222255429933a a a c a =+-⨯⨯712=，可得离心率c e a ==13.答案：45解析：如图，设抛物线的焦点为F ，连接PF ，由拖物线的定义知||||PQ PF =，又||||PQ PM =，所以||||PF PM =，由PQ l ⊥及120MPQ ∠=︒，得60PMF ∠=︒，于是PFM △为正三角形，||22pMF =-，所以点P 的坐标为1242p p ⎛⎫⎫+- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 将其代入22(0)y px p =>，得23221424p p p ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2556480p p +-=，即(12)(54)0p p +⋅-=，所以45p =. 14.答案：(1)24x y =(2)(2)-或( 解析：本题考查抛物线的标准方程,直线与抛物线的位置关系.(1)依题意设点1),(0,0),(0,)2p P O F p ,由||||PF PO =,又0p >,解得2p =,所以抛物线C 的方程为24x y =.(2)设()22,(0)A t t t ≠,由214y x =求导,得12y x '=, 所以过点A 的切线l 斜率为122k t t =⨯=, 所以切线l 的方程为2(2)y t t x t -=-, 即2y tx t =-.因为直线OB 与切线l 垂直,所以1OB k t=-, 直线OB 方程为1y x t=-,即0x ty +=,由20,4,x ty x y +=⎧⎨=⎩解得24,4,x ty t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或0,0x y =⎧⎨=⎩(舍).即点244(,)D t t-.因为()22442,,(,)A t t D t t-,所以22242422ADt t t k t t t --==+, 则直线AD 的方程为222(2)2t y t x t t--=-,即()22240t x ty t --+=. 原点到直线AD 的距离d ===2≤=,当且仅当224t t=,即t =,等号成立. 所以原点到直线AD 的距离最大为2,此时点A 坐标为(2)-或(.15.解析：（Ⅰ）设,sin )([0,2))M θθθ∈π是椭圆上任意一点，由(0,1)P ，知222221441144||12cos (1sin )1311sin 2sin 11sin 111111PM θθθθθ⎛⎫=+-=--=-+≤ ⎪⎝⎭， 故||PM即点P（Ⅱ）易知直线AB 的斜率存在，设直线AB ：12y kx =+，联立直线AB 与椭圆的方程，整理得22130124k x kx ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭， 设()11,A x y ，()22,B x y ，则122112k x x k +=-+，12231412x x k =-⎛⎫+ ⎪⎝⎭.直线PA 的方程为1111y y x x -=+，代入132y x =-+， 整理得111114422(21)1C x x x x y k x ==+-+-. 同理可得，222224422(21)1D x x x x y k x ==+-+-，则||C D CD x =-224(21)1x k x =-+-=====341431kk⨯+≥+=，当且仅当3|4|4k=，即3||16k=时等号成立，所以当3||16k=时，||CD.11。
专题七 数学建模 2023高考数学二轮复习课件
角度一 指数、对数运算模型
【例1】 某人喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到0.8 mg/mL，此
时他停止饮酒，其血液中的酒精含量以每小时20%的速度减少，经过n小
时后他血液中的酒精含量在0.2 mg/mL以下，则n的最小整数值为(参考数
据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)
(B )
cos 45°＝22ar＝22ab＝ 22，即ba＝ 22，故离心率 e＝ac＝ 故选 B.
1－ba2＝
1－12＝
2 2.
目录
02
类型2 构造新模型求解
目录
角度一 构造函数模型
【例4】 f(x)在(0，＋∞)上的导函数为f′(x)，xf′(x)＞2f(x)，则下列不等式成
立的是
(A)
A．2 0212f(2 022)＞2 0222f(2 021)
以下，所以 n 的最小值为 7，故选 B.
目录
|技法点拨| 先计算出100 mL血液中酒精含量，再构建指数型函数模型，根据 n小时后血液中酒精含量列出不等式即可求解．
目录
在流行病学中，基本传染数是指每个感染者平均可传染的人数．当基本传染
数高于 1 时，每个感染者平均会感染一个以上的人，从而导致感染这种疾病
B．2 0212f(2 022)＜2 0222f(2 021)
C．2 021f(2 022)＞2 022f(2 021)
D．2 021f(2 022)＜2 022f(2 021)
目录
解析
令
g(x)
＝
f（x） x2
(x>0)
，
则
g′(x)
＝
x2f′（x）－2xf（x） x4
＝
二轮专题复习第7讲解析几何(学生版)
2023年高考数学二轮复习专题解析几何1.直线的倾斜角与斜率的关系（1）倾斜角α的取值范围： .倾斜角为α(α≠90°)的直线的斜率k ＝ ，当倾斜角为=α90°的直线斜率 ．当∈α 时，k >0且k 随倾斜角α的增大而增大．当∈α 时时，k <0且k 随倾斜角α的增大而增大．（1）两点P 1(x 1，y 1)，P (x 2，y 2)间的距离：|P 1P 2|＝ . （2）点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝ . (3)两条平行线间的距离：两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝ . 二．圆的方程 1.圆的方程形式：（1）标准方程： ，圆心坐标为 ，半径为 .（2）一般方程： ( )，圆心坐标为 ，半径r ＝ . 2.点与圆的位置关系（1）几何法：利用点到圆心的距离d 与半径r 的关系判断：d >r ⇔点在圆外，d ＝r ⇔点在圆上；d <r ⇔点在圆内．（2）代数法：将点的坐标代入圆的标准(或一般)方程的左边，将所得值与r 2(或0)作比较，大于r2(或0)时，点在圆外；等于r2(或0)时，点在圆上；小于r2(或0)时，点在圆内．3.直线与圆的位置关系直线l ：Ax＋By ＋C＝0(A2＋B2≠0)与圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的位置关系如下表.位置关系几何法：根据d＝与r的大小关系代数法：联立消元得一元二次方程，根据判别式Δ的符号相交d<r Δ>0相切d＝r Δ＝0相离d>r Δ<0 4.圆与圆的位置关系表现形式位置关系几何表现：圆心距d与r1、r2的关系代数表现：两圆方程联立组成的方程组的解的情况相离d>无解外切d＝一组实数解相交<d<两组不同实数解内切d＝(r1≠r2)一组实数解内含≤d<(r1≠r2)无解三．椭圆、双曲线、抛物线的定义及几何性质椭圆双曲线抛物线定义在平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫．||P F1|＋|P F2|＝2a(2a>|F1F2|=2c)在平面内动点P与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离之差的绝对值为常数2a(0＜2a＜2c)，则点P的轨迹叫．||P F1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)在平面内定点F和定直线l，（点F直线l上），P到l距离为d，|PF|＝d标准方程焦点在x轴上焦点在x轴上焦点在x轴正半轴上图象几何性质范围|x|≤，|y|≤|x|≥，y∈R x≥，y∈R 顶点，对称性关于、和对称关于对称例1：(1)经过两点A (4，2y ＋1)，B (2，－3)的直线的倾斜角为3π4，则y ＝(2)直线x sin α－y ＋1＝0的倾斜角的变化范围是 (3)经过点P (3,2)且在两坐标轴上的截距相等；(4)经过点A (－1，－3)，倾斜角等于直线y ＝3x 的倾斜角的2倍．【变式训练1】(1)若直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，且α∈⎣⎡⎭⎫π6，π4∪⎣⎡⎭⎫2π3，π，则k 的取值范围是________．(2)直线l 过点M (－1,2)且与以点P (－2，－3)、Q (4,0)为端点的线段恒相交，则l 的斜率范围是（3）△ABC 的三个顶点为A (－3，0)，B (2，1)，C (－2，3)，求： ①BC 所在直线的方程；②BC 边上中线AD 所在直线的方程；③BC 边的垂直平分线DE 所在直线的方程．考向2：两条直线的位置关系及距离公式例2：（1）若直线l 1：mx －y －2＝0与直线l 2：(2－m )x －y ＋1＝0互相平行，则实数m 的值为（2）已知直线l 1：2ax ＋(a ＋1)y ＋1＝0，l 2：(a ＋1)x ＋(a －1)y ＝0，若l 1⊥l 2，则a ＝ (3)已知点P (4，a )到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是________．(4)若两平行直线3x －2y －1＝0，6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，则c 的值是________．【变式训练2】 (1)“a ＝－1”是“直线ax ＋3y ＋3＝0和直线x ＋(a －2)y ＋1＝0平行”的 条件。
2018年高考数学二轮复习第二部分高考22题各个击破专题七解析几何7.3.2圆锥曲线中的最值范围证明问题课件文
-8-
难点突破 (1)△ABP是等腰直角三角形⇒a=2;由 ������������ = ������������,得Q 2 点坐标,代入椭圆方程求得b;
3
(2)设直线y=kx-2,代入椭圆方程,由根与系数的关系及Δ>0得k的 一个范围,由原点O在以MN为直径的圆外⇒ ������������ ·������������ >0⇒x1x2+y1y2>0⇒关于k的不等式⇒k的另一范围,取两个k的范围的 交集得结论. 由向量数量积的坐标公式,即可求得直线l斜率的取值范围.
解 (1)由题意知△ABP是等腰直角三角形,a=2,B(2,0),
设 Q(x0,y0),由 ������������ = ������������,则 x0= ,y0=- ,代入椭圆方程, 解得 b2=1,
������ 2 2 5 5
3
6
4
∴椭圆方程为 4 +y2=1.
-9-
(2)由题意可知,直线l的斜率存在,设方程为y=kx-2,设 M(x1,y1),N(x2,y2),
4 2 2 9 3
-������ 2 +4������ +3 2( ������ 2 +1)
.
-4-
因为|PA|= 1 + ������ 2 ������ + |PQ|= 1 + ������ 2 (xQ-x)=-
1
2 (������ -1)(������ +1)2 ������ 2 +1
= 1 + ������ 2(k+1), ,
≥4 2,
当且仅当 y1=± 2 2,即 A(1,± 2 2)时取等号, △AMN 面积的最小值为 4 2.
高三数学二轮复习冲刺：例谈解析几何中的齐次化技巧
例谈解析几何中齐次化技巧一．基本原理在解析几何计算与二次曲线“半径”（曲线上一点到坐标原点的连线）斜率有关的问题时，我们可以进行“1”代换的齐次化计算，即一般计算步骤为：22222)(1b kx y ny mx ny mx b kx y -=+⇒⎩⎨⎧=++=，整理可得：0(2=+⋅+C xy B x y A 0(2=+⋅+C x y B x y A 中的几何意义为：直线与曲线的交点与原点的连线的斜率，即,OA OB 的斜率，设为12,k k ，由韦达定理知12B k k A +=-，12C k k A=，从而能通过最初的二次曲线和直线相交，得出,OA OB 的性质，倒过来，我们也可以通过,OA OB 的性质与二次曲线得出AB 的性质．下面通过例题予以分析.二．典例分析例1．已知双曲线22:154x y Γ-=的左右焦点分别为1F ，2F ，P 是直线8:9l y x =-上不同于原点O 的一个动点，斜率为1k 的直线1PF 与双曲线Γ交于A ，B 两点，斜率为2k 的直线2PF 与双曲线Γ交于C ，D 两点．（1）求1211k k +的值；（2）若直线OA ，OB ，OC ，OD 的斜率分别为OA k ，OB k ，,OC k ，OD k ，问是否存在点P ，满足0OA OB OC OD k k k k +++=，若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由．解析：（1）由已知1(3,0)F -，2(3,0)F ，设(9,8)P λλ-，(0)λ≠，∴1839k λλ=--，2893k λλ-=-，121139939884k k λλλλ---+=+=--.（2）由题意知直线113k x k y AB =-：，与双曲线方程联立得2121229)(45k x k y y x -=-，同除以2x ，令x y k =得0454929141(1221=--+k k k k ，因此498914192211211+=+=+k k k k k k OB OA .同理将直线223:k x k y CD -=-与双曲线方程联立可得498222+=+k k k k OD OC ，所以0498498222211=+++=+++k k k k k k k k OD OC OB OA ，即0)49)((2121=++k k k k .由（1）知21k k -≠，令点)98,(00x x P -，所以94398398000021-=--⋅+-=x x x x k k ，所以解得590±=x ，∴存在98(,55P -或98(,)55P -满足题意．例2.如图，已知椭圆12222=+b y a x (a b 0)>>过点（1，22），离心率为22，左右焦点分别为12F F ．点P 为直线l ：2x y +=上且不在x 轴上的任意一点，直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为A B 、和,C D O 、为坐标原点．（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线1PF 、2PF 斜率分别为1k 2k 、．()i 证明：12132k k -=（ⅱ）问直线l 上是否存在一点P ，使直线OA OB OC OD 、、、的斜率OA OB OC OD k k k k 、、、满足0OA OB OC OD k k k k +++=？若存在，求出所有满足条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由．解析：（1）椭圆方程为2212x y +=．（2）设B A ,的坐标为),(),,(2211y x y x ，AB 方程为)1(1+=x k y ，022)11(12)1(21221221=-+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=x xy k y k y x x k y 即021(2)(11(1221=-+-x y k x y k 故12211--=+k k k k OB OA .同理，设D C ,坐标为),)(,(4433y x y x ，CD 方程：)1(2-=x k y ，则12222--=+k k k k OD OC ，故：0))(1(012122121222211=+-⇒=--+--k k k k k k k k .则⎪⎩⎪⎨⎧=-=23112121k k k k ，解得：P 的坐标为)43,45(或⎪⎩⎪⎨⎧=-=+23102121k k k k ，解得：P 的坐标为)2,0(三．习题演练已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>24y x =的焦点F .（1）求椭圆C 的标准方程；（2）O 为坐标原点，过O 作两条射线，分别交椭圆于M ，N 两点，若OM ，ON 斜率之积为45-，求证：MON △的面积为定值.答案：（1）椭圆方程为22154x y +=；（2）MON S =△为定值.。
高三数学第二轮专题复习必备精品系列教案习题(7)--_直线与圆的方程 注：【高三数学第二轮专题复习必备精
高三数学第二轮专题复习系列(7)直线与圆的方程注：【高三数学第二轮专题复习必备精品系列教案习题共10讲全部免费欢迎下载】一、重点知识结构本章以直线和圆为载体，揭示了解析几何的基本概念和方法。
直线的倾斜角、斜率的概念及公式、直线方程的五种形式是本章的重点之一，而点斜式又是其它形式的基础；两条直线平行和垂直的充要条件、直线l1到l2的角以及两直线的夹角、点到直线的距离公式也是重点内容；用不等式（组）表示平面区域和线性规划作为新增内容，需要引起一定的注意；曲线与方程的关系体现了坐标法的基本思想，是解决解析几何两个基本问题的依据；圆的方程、直线（圆）与圆的位置关系、圆的切线问题和弦长问题等，因其易与平面几何知识结合，题目解法灵活，因而是一个不可忽视的要点。
二、高考要求1、掌握两条直线平行和垂直的条件，掌握两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系；3、会用二元一次不等式表示平面区域；4、了解简单的线性规划问题，了解线性规划的意义，并会简单的应用；5、了解解析几何的基本思想，了解用坐标法研究几何问题的方法；6、掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程的概念。
三、热点分析在近几年的高考试题中，两点间的距离公式，中点坐标公式，直线方程的点斜式、斜率公式及两条直线的位置关系是考查的热点。
但由于知识的相互渗透，综合考查直线与圆锥曲线的关系一直是高考命题的大热门，应当引起特别注意，本章的线性规划内容是新教材中增加的新内容，在高考中极有可能涉及，但难度不会大。
四、复习建议本章的复习首先要注重基础，对基本知识、基本题型要掌握好；求直线的方程主要用待定系数法，复习时应注意直线方程各种形式的适用条件；研究两条直线的位置关系时，应特别注意斜率存在和不存在的两种情形；曲线与方程的关系体现了坐标法的基本思想，随着高考对知识形成过程的考查逐步加强，对坐标法的要求也进一步加强，因此必须透彻理解。
解析几何 A卷-2023届高考数学二轮复习解答题专练
解析几何A 卷——2023届高考数学二轮复习解答题专练1.在平面直角坐标系xOy 中,已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>直线:1l y x =-与双曲线C 交于,A B 两点,点()00,D x y 在双曲线C 上. (1)求线段AB 中点的坐标; (2)若1a =,过点D 作斜率为2x y 的直线l '与直线10l y -=交于点P ,与直线20l y +=交于点Q ,若点(,)R m n 满足||||||RO RP RQ ==,求22220022m x n y +--的值.2.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的一个顶点为(0,1)A，焦距为（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）过点(2,1)P -作斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别与x 轴交于点M ，N .当2MN =时，求k 的值.3.已知过点(1,0)P 的直线l 与抛物线2:2(0)C x py p =>相交于A ，B 两点，当直线l 过抛物线C 的焦点时，||8AB =. (1)求抛物线C 的方程；(2)若点(0,2)Q -，连接QA ，QB 分别交抛物线C 于点E ，F ，且QAB △与QEF △的面积之比为1:2，求直线AB 的方程.4.已知12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，A 是C的右顶点，22AF =，P是椭圆C 上一点，M ，N 分别为线段12,PF PF 的中点，O 是坐标原点，四边形OMPN 的周长为4.（1）求椭圆C 的标准方程（2）若不过点A 的直线l 与椭圆C 交于D ，E 两点，且0AD AE ⋅=，判断直线l 是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.5.设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(),0D p ，过F 的直线交C 于M ，N 两点.当直线MD 垂直于x 轴时，3MF =. （1）求C 的方程；（2）设直线MD ，ND 与C 的另一个交点分别为A ，B ，记直线MN ，AB 的倾斜角分别为α，β.当αβ-取得最大值时，求直线AB 的方程.6.已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过(0,2)A -，3,12B ⎛⎫- ⎪⎝⎭两点.（1）求E 的方程；（2）设过点(1,2)P -的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT TH =，证明：直线HN 过定点.7.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为(2,0)F ，渐近线方程为y =.（1）求C 的方程；（2）过F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，点()11,P x y ，()22,Q x y 在C 上，且120x x >>，10y >.过P 且斜率为Q M ，请从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个条件成立： ①M 在AB 上；②//PQ AB ；③||||MA MB =.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.8.已知点(2,1)A 在双曲线2222:1(1)1x y C a a a -=>-上，直线l 交C 于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 的斜率之和为0. （1）求l 的斜率；（2）若tan PAQ ∠=PAQ △的面积.9.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为32，其右顶点为A ，下顶点为B ，定点(0,2)C ，ABC△的面积为3，过点C 作与y 轴不重合的直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，直线BP ，BQ 分别与x 轴交于M ，N 两点.（1）求椭圆C 的方程.（2）试探究点M，N的横坐标的乘积是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.10.已知半椭圆22221(0,0)y xy a ba b+=>>>和半圆222(0)x y b y+=≤组成曲线C.如图所示，半椭圆内切于矩形ABCD，CD与y轴交于点G，点P是半圆上异于A，B的任意一点.当点P位于点M⎝⎭处时，AGP△的面积最大.（1）求曲线C的方程；（2）连接PC，PD分别交AB于点E，F，求证2||AE+2||BF为定值.。
XX高三数学二轮专题复习-解析几何中斜率之和为零的问题探究
XX高三数学二轮专题复习-解析几何中斜率之和为零的问题探究解析几何中斜率之和为零的问题探究【教学目标】1.掌握斜率之和为零这类问题的基本解法，在探究中不断推广，深入，掌握一般性的结论；通过一类问题的探究提高学生的分析能力，引导学生养成探究、拓展、深入思考的习惯．【教学重、难点】重点是方法的确定与推广；难点是运算的简化．【教学方法】探究研讨式【教学过程】引入：解析几何中有很多的问题值得探究，不同背景下表现出来的同种问题往往会有一致的结果，通过探究会让我们对此类问题有更深刻的认识。
今天要和大家一起探究的问题是斜率之和为零的问题，例如：探究问题一：已知椭圆及定点，是椭圆上两个不同的动点，且直线的斜率与的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值,并求出该定值．思考1：如果定点，结果是什么呢？思考2：如果椭圆方程是，椭圆上的定点。
结果又是什么呢？思考3：上述结论能推广到双曲线和抛物线吗？试一试．得出结论：椭圆：双曲线：抛物线：探究问题二：已知椭圆，是椭圆上的动点，且直线经过椭圆内的定点，问在轴上是否存在定点使?若存在，请求出该定点，若不存在，请说明理由．思考1：若椭圆内的定点改为，问在轴上是否存在定点使?若存在，请求出该定点，若不存在，请说明理由．思考2：若椭圆改为圆，方程为，结果会如何呢？思考3：若椭圆改为抛物线呢？课堂收获：课后练习：已知是长轴为4，焦点在轴上的椭圆上的三点，点A是长轴的一个顶点，Bc过椭圆的中心o，且．求椭圆的方程；如果椭圆上的两点P、Q,使得的平分线垂直于，问是否总存在实数，使得？说明理由．是抛物线上的一点，动弦分别交轴于两点，且，若为定点，证明：直线的斜率为定值．在直角坐标系中，曲线，是曲线上的两个动点，且直线经过定点，问在轴上是否存在定点，使得？请说明理由．。
高中 平面解析几何——2022届高考数学二轮复习巧刷高考题型
平面解析几何——2022届高考数学二轮复习巧刷高考题型1.圆2244100x y x y +---=上的点到直线140x y +-=的最大距离与最小距离的和是()A.36B.18C. D.2.设椭圆2221(3x y a a +=>的右焦点为F ，右顶点为A ，已知113eOF OA FA +=，其中O 为坐标原点，e 为椭圆的离心率，则椭圆的标准方程为()A.22183x y += B.221123x y += C.22143x y += D.22163x y +=3.已知(2,0)M -，P 是圆22:4320N x x y -+-=上一动点，线段MP 的垂直平分线交NP 于点Q ，则动点Q 的轨迹方程为()A.22195x y += B.22159x y -= C.22159x y += D.22195x y -=4.已知F 是椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左焦点，经过点的直线l 与椭圆E 交于P ，Q 两点，若2PF QF =，且120PFQ ∠=︒，则椭圆E 的离心率为()B.12C.135.已知1F ，2F 分别为双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为M ，N ，设四边形12F NF M 的周长为p ，面积为S ，且满足232S p =，则该双曲线的渐近线方程为()A.12y x=± B.2y x = C.2y =± D.3y x =±6.已知直线:220l x y ++=，圆22:(1)(1)4C x y -+-=，P 为直线l 上的动点，过点P 作圆C 的切线,PA PB ，切点分别为,A B ，则当四边形PACB 的面积最小时，直线AB 的方程是()A.210x y --= B.210x y ++= C.210x y +-= D.210x y -+=7.已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 到其准线的距离为2，过点()4,0E 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，则||2||AF BF +的最小值为()A.3+B.3+C.178D.98.已知12,F F 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且12F P F P >，线段1F P 的垂直平分线过2F .若椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，则2122e e +的最小值为()B.3C.69.已知定点1(2,0)F -，2(2,0)F ，N 是圆22:1O x y +=上任意一点，点1F 关于点N 的对称点为M ，线段1F M 的中垂线与直线2F M 相交于点P ，则点P 的轨迹方程是()A.2213y x += B.2213y x -= C.2213x y += D.2213x y -=10.过抛物线2:4C y x =的焦点F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，与抛物线分别交于A ，B 和M ，N ，O 为坐标原点，则OAB 与OMN 的面积的倒数的平方和为()A.1B.2C.14D.1211.（多选）已知方程22141x y t t +=--表示的曲线为C .则以下四个判断正确的为()A.当14t <<时，曲线C 表示椭圆B.当4t >或1t <时，曲线C 表示双曲线C.若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则512t <<D.若曲线C 表示焦点在y 轴上的双曲线，则4t >12.（多选）已知P 是椭圆22:1(0)4x y E m m+=>上任意一点，M ，N 是椭圆上关于坐标原点对称的两点，且直线PM ，PN 的斜率分别为1k ，()2120k k k ≠，若12k k +的最小值为1，下列结论正确的是()A.椭圆E 的方程式为2214x y +=B.椭圆E 的离心率为12C.曲线31log 2y x =-经过E 的一个焦点D.线220x y --=与E 有两个公共点答案以及解析1.答案：C解析：2244100x y x y +---=即22(2)(2)18x y -+-=，圆22(2)(2)18x y -+-=的圆心坐标为(2,2)，半径r =因为圆心到直线的距离d =>线与圆相离，该圆上的点到直线的最大距离为d r +，最小距离为d r -，最大距离与最小距离的和是2d =.2.答案：C 解析：由113eOF OA FA +=，得113()c c a a a c +=-，化简，得224a c =.又23b =，则22233a c c -==，所以1c =，2a =，则椭圆的标准方程为22143x y +=.3.答案：A解析：由题意，可知圆N 的标准方程为22(2)36x y ++=，圆心为(2,0)N -，半径为6.Q 线段MP 的垂直平分线交NP 于点Q ，||||,||||||||||6||4,QP QM QM QN QP QN PN MN ∴=∴+=+==>=∴点Q 的轨迹是以,M N 为焦点的椭圆，3,2,a c b ∴===其轨迹方程为22195x y +=.故选A.4.答案：A解析：设1F 是椭圆E 的右焦点，如图，连接1PF ，1QF .根据对称性，线段1EF 与线段PQ 在点O 处互相平分，所以四边形1PFQF 是平行四边形，1FQ PF =，118060FPF PFQ ∠=︒-∠=︒，根据椭圆的定义，12PF PF a +=，所以123PF a =，43PF a =，而12F F c =，在1F PF △中，由余弦定理，得()222242422cos603333c a a a ⎛⎫⎛⎫=+-⨯⨯⨯︒ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得2213c a =，所以椭圆E 的离心率3c e a ==.故选A.5.答案：B解析：依题意得122MF MF a -=①，122p MF MF +=②，联立①②，解得1||4p MF a =+，24p MF a =-.由12F F 为直径，易得四边形12F NF M 为矩形，22124p S MF MF a ⎛⎫∴=⋅=- ⎪⎝⎭，则2223216p p a =-，即2232p a =.由2221212MF MF F F +=得2228p a +=24c ，即2232a c =，222a b ∴=，22b a ∴=，∴所求渐近线方程为22y x =±，故选B.6.答案：B解析：由题意，得点C 到直线l 的距离为d ==.由22PAC PACB S S PA ==⋅=四边形 .当CP l ⊥时，PC 取最小值，即四边形PACB 的面积取最小值2，此时12CP k =，所以直线CP 的方程为11(1)2y x -=-，即1122y x =+，与直线l的方程联立，得(1,0)P -.易知,,,P A C B 四点共圆，其圆心为10,2⎛⎫⎪⎝⎭的方程为2210x y y +--=，与22(1)(1)4x y -+-=相减，得210x y ++=，即直线AB 的方程是210x y ++=.7.答案：B解析：因为抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 到其准线的距离为2，所以2p =，抛物线C 的方程为24y x =.设直线l 的方程为4x my =+，将此方程代入24y x =，整理得24160y my --=.设211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫⎪⎝⎭，则1216y y =-，所以2222121221213334442y y y y AF BF ⎛⎫⎛⎫+=+++=++≥+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当221242y y =，即22122y y =时等号成立.故选：B.8.答案：C解析：设椭圆长轴长为12a ，双曲线实轴长为22a ，不妨设点P 在第一象限，如图.由题意可知1222F F F P c ==，又因为1211222,2F P F P a F P F P a +=-=，所以1112,2222F P c a F P c a +=-=，两式相减得122a a c -=.所以()222221121222422422222c a a c e a a a c c e c a ca ca ++++=+===2222222842422ca a c a cca c a ++=++，又因为22222a cc a +≥=，当且仅当2222a c c a =，即22c a =时等号成立，所以2122e e +的最小值为6.故选C.9.答案：B解析：如图，当点P 在y 轴左侧时，连接ON ，1PF ，则21|||12ON F M ==∣，所以2||2F M =.结合PN 为线段1MF 的垂直平分线，可得1222||2PF PM PF F M PF ==-=-，所以21122||4PF PF F F -=<=.同理，当点P 在y 轴左侧时121224PF PF F F -=<=.故点P 的轨迹是双曲线，其方程为2213y x -=.10.答案：C解析：由抛物线方程得焦点(1,0)F ，设直线1l 的方程为1(0)x my m =+≠，代入抛物线方程，得2440y my --=，设()11,A x y ，(22,)B x y ，则124y y m +=，故()21212||2y 2244AB x x m y m =++=+++=+.又原点到直线1l的距离d =，所以(2141)2OAB S m =+= 因为12l l ⊥，则OMNS = ，所以()()22222111144141OABOMN m S S m m +=+=++ .11.答案：BCD解析：由41t t -=-，得52t =，满足14t <<，此时方程22141x y t t +=--表示圆，故A 错误；由双曲线的定义可知，当(4)(1)0t t --<，即1t <或4t >时，方程22141x y t t +=--表示双曲线，故B 正确；由椭圆的定义可知，当椭圆的焦点在x 轴上时，满足410t t ->->，解得512t <<，故C 正确；若曲线C 表示焦点在y 轴上的双曲线，则40,10,t t -<⎧⎨->⎩解得4t >，故D 正确.故选BCD.12.答案：ACD解析：设()00,P x y ，()11,M x y ，01x x ≠±，01y y ≠±，则()11,N x y --，220014x y m +=，221114x y m+=，所以22004m y m x =-，22114mx y m =-，2201010112220101014y y y y y y mk k x x x x x x -+-=⋅==--+-.于是122k k +≥===12k k =时取等号，1=，解得1m =，故E 的方程为2214x y +=，A 正确；离心率为32，B 错误；焦点为(，曲线31log 2y x =-经过焦点，C 正确；直线220x y --=过点(1,0)，且点(1,0)在E 内，故直线220x y --=与E 有两个公共点，D 正确.故选ACD.。
高三数学二轮复习微专题 ——解析几何中的线段长度问题
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高三数学二轮复习微专题
——解析几何中的线段长度问题
■田荣成
在近几年高考及模拟试题中较多的出现线段长度（共线向 量）的问题。线段的长度问题常用的方法是两点间距离公式、 弦长公式。但对一些特殊的线段长度问题若仍然采用通法去 求解，则计算量成倍增加，费时费力，学生的畏难情绪油然而 生，大多中途放弃，能坚持算下去的少数学生中也极少有人能 算出正确答案。所以要攻克解析几何这座堡垒，一方面要坚持 培养学生的计算能力，另一方面也要重视条件转化方法的选 择，提升思维量，降低计算量，否则就把学生引入了“苦算”的汪 洋大海中去了。
（作者单位：河北省唐山市滦南县第一中学）
考点聚焦
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称此方法为化斜为“平竖”法。在得到两交点的坐标关系后，可
用弦长公式求解 HG 长。
分别过 H, G 点作 H1, G1 垂直于 y 轴，垂足为 H1, G1。
因为 HH1 ∥ EO ∥ GG1
所以
|HE| |EG|
=
|H1O| |OG1|
=
3
H
本文拟从一道较常见的模拟试题入手，从五个不同的角度 介绍破解策略，供读者参考，希望能给读者一点启发。
x2 y2 【例】已知椭圆C：8 +4 = 1，过左焦点 E 的直线与椭圆 C 交于 G, H 两点，且 HE = 3 EG，试求此时弦长 HG。 何使【用分条析件】H本E题=中3 E出G现，以三及条如线何段表H示E，所EG求，问HG题的HG长的度长，那度么呢如？ 【分方析法：1此】向题量中的的坐条标件法HE = 3 EG 是以向量形式给出的，所 以很容易想到向量的坐标法，在上述方法求出 H, G 点坐标后 可以用两点间距离公式求出 HG 长。
三、解题步骤 针对七选五这一题型，我建议以下解题步骤：1. 通读全文， 了解文章大意，明白上下文的逻辑。2. 浏览选项，并抓住选项 中的关键词语，做到心中有数。3. 详读段落，先易后难各个击 破，注重上下文的联系。4. 复读检查，攻克难点，注重上下文意 义关联。5. 研究两个多余选项，确定排除干扰。另外，在解题 过程中要牢记八字方针：空前空后，先易后难。 结语：通过以上分析，我们不难发现七选五题型并不像我 们想象得那么难，每一个空的设置都符合考试大纲的要求。由 此看出，高考题中的七选五是有答题模板的，只要我们掌握以 上解题技巧和方法，多练习高考真题，这一题型是可以拿高分 甚至满分的，毕竟把简单练到极致就会成功！ 参考文献 ［1］胡小力，赖丽燕 . 新课改背景下的英语试卷分析［D］. 中国考试（研究版），2009. ［2］邓景鸿，彭桂华 . 全面破解高考英语阅读七选五［D］. 高考金刊，2016.
高考数学二轮复习课件：解答题双规范案例之——解析几何问题
解答题双规范案例之——解析几何问题【重在“巧设”】1.解析几何部分知识点多,运算量大,能力要求高,在高考试题中大都是在压轴题的位置出现,是考生“未考先怕”的题型之一,不是怕解题无思路,而是怕解题过程中繁杂的运算.2.在遵循“设——列——解”程序化运算的基础上,应突出解析几何“设”的重要性,以克服平时重思路方法、轻运算技巧的顽疾,突破如何避繁就简这一瓶颈.【思维流程】【典例】(12分)(2018·全国卷II)设抛物线C:y2=4x 的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B 两点,|AB|=8.(1)求l的方程.(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.切入点:利用直线方程与抛物线联立,并结合抛物线弦长公式求解.关键点:设出圆心坐标,利用圆的性质求解.【标准答案】【解析】(1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k>0). …………1分①设A(x1,y1),B(x2,y2),由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0. …………2分②Δ=16k2+16>0,故x1+x2= .…………3分③所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)= . …4分④由题设知 =8,解得k=-1(舍去),k=1.……5分⑤因此l的方程为y=x-1. ………………6分⑥(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5. ………………………8分⑦设所求圆的圆心坐标为(x0,y),则解得或 …………………10分⑧因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.……………………………12分⑨【阅卷现场】第(1)问踩点得分①设出直线方程得1分.②将方程组化为关于x的一元二次方程得1分.③利用根与系数关系求出x1+x2正确得1分,错误不得分④利用抛物线的性质写出|AB|,并用含有斜率k的式子表示出来得1分.⑤求出斜率得1分.⑥写出直线方程得1分.第(2)问踩点得分⑦求出AB的垂直平分线方程得2分.⑧求出圆心坐标得2分.⑨写出圆的方程得2分,每正确一个得1分.。
(新课标(理))2022山东高考数学二轮复习第一部分专项七解析几何：1-7-1第一讲 直线与圆
(新课标（理）)2022山东高考数学二轮复习第一部分专项七解析几何：1-7-1第一讲 直线与圆1．若直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0与直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0垂直，则实数a ＝( ) A.23B ．－1C ．2D ．－1或2解析：由a ×1＋(a －1)×2＝0∴a ＝23答案：A2．(2020年高考辽宁卷)将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( )A ．x ＋y －1＝0B ．x ＋y ＋3＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x －y ＋3＝0 解析：依照圆心在直线上求解．因为圆心是(1，2)，因此将圆心坐标代入各选项验证知选C.答案：C3．(2020年高考陕西卷)已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0，l 是过点P (3，0)的直线，则( )A ．l 与C 相交B ．l 与C 相切 C ．l 与C 相离D ．以上三个选项均有可能 解析：将点P 的坐标代入圆的方程，判定确定．将点P (3，0)的坐标代入圆的方程，得32＋02－4×3＝9－12＝－3<0，∴点P (3，0)在圆内．∴过点P 的直线l 定与圆C 相交．答案：A4．(2020年珠海摸底)已知直线l 1与圆x 2＋y 2＋2y ＝0相切，且与直线l 2：3x ＋4y －6＝0平行，则直线l 1的方程是( )A ．3x ＋4y －1＝0B ．3x ＋4y ＋1＝0或3x ＋4y －9＝0C ．3x ＋4y ＋9＝0D ．3x ＋4y －1＝0或3x ＋4y ＋9＝0解析：设直线l 1的方程是3x ＋4y ＋c ＝0，则由直线l 1与圆x 2＋y 2＋2y ＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝1相切，得|4－c |5＝1，因此c ＝－1或9，故选D. 答案：D5．(2020年哈师大附中月考)已知直线l 过点(－2，0)，当直线l 与圆x 2＋y 2＝2x 有两个交点时，其斜率k 的取值范畴是( )A ．(－22，22)B ．(－2，2)C ．(－24，24)D ．(－18，18) 解析：易知圆心坐标是(1，0)，圆的半径是1，直线l 的方程是y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0，依照点到直线的距离公式得|k ＋2k |k 2＋1<1，即k 2<18， 解得－24<k <24. 答案：C二、填空题6．已知圆C ：(x －2)2＋(y ＋1)2＝2，过原点的直线l 与圆C 相切，则所有切线的斜率之和为________．解析：依题意，知切线l 的斜率存在，设为k ，则l 的方程为y ＝kx .由|2k ＋1|k 2＋1＝2，得2k 2＋4k －1＝0，则k 1＋k 2＝－2.答案：－27．两圆x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0和x 2＋y 2－4by －1＋4b 2＝0恰有三条公切线，若a ，b ∈R ，且ab ≠0，则1a 2＋1b2的最小值为________． 解析：两圆有三条公切线，即两圆相外切．故圆心距等于两圆半径之和．∴a 2＋4b 2＝9，∴19(a 2＋4b 2)＝1， 又1a 2＋1b 2＝19(a 2＋4b 2)(1a 2＋1b 2) ＝19(5＋4b 2a 2＋a 2b2)≥1，当且仅当a 2＝2b 2时，等号成立，即1a 2＋1b 2的最小值为1. 答案：18．(2020年朝阳模拟)设直线x －my －1＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝4相交于A ，B 两点，且弦AB 的长为23，则实数m 的值是________．解析：由条件可知圆心(1，2)到直线x －my －1＝0的距离d ＝4－3＝1，即|1－2m －1|1＋m 2＝1， 解之得m ＝±33. 答案：±33 三、解答题9．已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝2，过点A (－1，0)的直线l 将圆C 分成弧长之比为1∶3的两段圆弧，求直线l 的方程．解析：设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＝0，圆心C (1，0)到直线l 的距离为|k ＋k |k 2＋1，∵直线l 将圆C 分成弧长之比为1∶3的两段圆弧， ∴直线l 被圆所截得的弦所对的圆心角为π2， 又圆C 的半径为2，∴2×cos π4＝|k ＋k |k 2＋1， ∴k 2＝13，∴k ＝±33， ∴直线l 的方程为y ＝33(x ＋1)或y ＝－33(x ＋1)． 10．已知△ABC 中，顶点A (4，5)，点B 在直线l ：2x －y ＋2＝0上，点C 在x 轴上，求△ABC 周长的最小值．解析：如图所示，设点A 关于直线l ：2x －y ＋2＝0的对称点为A 1(x 1，y 1)，点A 关于x 轴的对称点为A 2(x 2，y 2)．连接A 1A 2交l 于点B ，交x 轴于点C ，则现在△ABC 的周长取最小值，且最小值为|A 1A 2|. 因为点A 1与点A 关于直线l ：2x －y ＋2＝0对称，因此有⎩⎪⎨⎪⎧y 1－5x 1－4·2＝－12·x 1＋42－y 1＋52＋2＝0，得⎩⎨⎧x 1＝0，y 1＝7.因此A 1(0，7)．易求得A 2(4，－5)． 因此△ABC 周长的最小值为|A 1A 2|＝（4－0）2＋（－5－7）2 ＝42＋122＝410.11．如图所示，平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于E 点，定点A ，C 的坐标分别是A (－2，3)，C (2，1)．(1)求以线段AC 为直径的圆E 的方程；(2)若B 点的坐标为(－2，－2)，求直线BC 截圆E 所得的弦长．解析：(1)AC的中点E(0，2)即为圆心，半径r＝12|AC|＝1242＋22＝5，因此圆E的方程为x2＋(y－2)2＝5.(2)直线BC的斜率为34，BC的方程为y－1＝34(x－2)，即3x－4y－2＝0.点E到直线BC的距离为d＝|－8－2|5＝2，因此BC截圆E所得的弦长为25－22＝2.。
新高考二轮复习专题七解析几何第一讲直线与圆课件(43张)
外离
[典型例题]
1.已知直线 3x y 3 0 与 x 轴交于点 A， 与圆 M : (x 2)2 ( y 3)2 4 交于 B，C 两点， 过点 A 的直线与过 B，C 两点的动圆 N 切于点 P， 当 PBC 的面积最大时，切线 AP 的方程为( D ) A. x 3y 3 0 B. 3x y 3 0 C. 3x y 3 0 D. x 3y 3 0
(5)直线的两种位置关系 ①当不重合的两条直线 l1 和 l2 的斜率存在时： (ⅰ)两直线平行：l1∥l2⇔k1＝k2． (ⅱ)两直线垂直：l1⊥l2⇔k1·k2＝－1． ②当两直线方程分别为 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0 时： (ⅰ)l1 与 l2 平行或重合⇔A1B2－A2B1＝0． (ⅱ)l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0．
（二）核心知识整合
考点1：直线的有关问题
(1)直线的斜率公式 ①已知直线的倾斜角为α(α≠90°)，则直线的斜率为k＝tan α． ②已知直线过点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x2≠x1)， 则直线的斜率为k＝yx11－－yx22 (x2≠x1)．
(2)三种距离公式 ①两点间的距离：若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
[解析] 由题意得， A( 3, 0) ，圆 M 的圆心 M (2, 3) ， 所以 | AM |2 ( 3 2)2 32 16 4 3 .如图，设 H 是 BC 的中点， 则 | AP |2 | AN |2 | NP |2 | AN |2 | NC |2
| AH |2 | NH |2 | CH |2 | NH |2 | AH |2 | CH |2 | AM |2 | MH |2 | MC |2 | MH |2 | AM |2 | MC |2 12 4 3 ，
专题七 解析几何 第一讲 直线与圆—2023届高考数学二轮复习重点练(含解析)
专题七 解析几何 第一讲 直线与圆1.若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为( )A.5B.5C.5D.52.下列说法中不正确的是( )A.平面上任一条直线都可以用一个关于,x y 的二元一次方程0Ax By C ++=(,A B 不同时为0)表示B.当0C =时,方程0Ax By C ++=(,A B 不同时为0)表示的直线过原点C.当0,0,0A B C =≠≠时,方程0Ax By C ++=表示的直线与 x 轴平行D.任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化3.已知设点M 是圆224690C x y x y +--+=上的动点，则点M 到直线240x y ++=距离的最小值为( )2 2- 2+ 2 4.已知直线1l ，2l 分别过点(1,3)P -，(2,1)Q -，若它们分别绕点P ，Q 旋转，但始终保持平行，则1l ，2l 之间的距离d 的取值范围为( )A.(0,5]B.(0,5)C.(0,)+∞D.5.直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是( )A.[2,6]B.[4,8]C.D.6.已知直线:10l x ay +-=是圆22:6210C x y x y +--+=的对称轴,过点()1,A a -作圆C 的一条切线,切点为B ,则AB =( ) A.1B.2C.4D.87.已知点(2,0),(1,1)A B --，射线AP 与x 轴的正方向所成的角为π4，点Q 满足||1QB =，则||PQ 的最小值为( )1 B.1 C.1 18.（多选）已知直线12:210,:20l ax y a l x ay a --+=+--=,圆22:4240E x y x y +-+-=,则以下命题正确的是( )A.直线12,l l 均与圆E 不一定相交B.直线1l 被圆E 截得的弦长的最小值C.直线2l 被圆E 截得的弦长的最大值6D.若直线1l 与圆E 交于2,,A C l 与圆E 交于,B D ,则四边形ABCD 面积最大值为14 9. （多选）已知圆221:()1C x a y ++=，圆2222:()(2)2C x a y a a -+-=，下列说法正确的是( )A.若12C OC △（O 为坐标原点）的面积为2，则圆2C 的面积为2πB.若a ，则圆1C 与圆2C 外离C.若a ，则y x =1C 与圆2C 的一条公切线D.若a 1C 与圆2C 上两点间距离的最大值为610. （多选）已知直线11:0l ax y -+=，2:10l x ay ++=，a ∈R ，则下列结论中正确的是( )A.不论a 为何值，1l ，2l 都互相垂直B.当a 变化时，1l ，2l 分别经过定点(0,1)A 和(1,0)B -C.不论a 为何值，1l ，2l 都关于直线0x y +=对称D.若1l ，2l 相交于点M ，则MO11.过两直线10x +=0y +的交点，并且与原点的最短距离为12的直线的方程为________________.12.圆221:2120C x y x ++-=与圆222:440C x y x y ++-=的交点为A ，B ，则弦AB 的长为_____.13.已知圆22:2410C x y x y ++-+=，若存在圆C 的弦AB ，使得AB =，且其中点M 在直线20x y k ++=上，则实数k 的取值范围是___________.14.已知曲线2:2x C y =，D 为直线12y =-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B.（1）证明：直线AB 过定点；（2）若以20,5E ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程.15.已知半圆224(0)x y y +=≥，动圆与此半圆相切（内切或外切，如图），且与x 轴相切.（1）求动圆圆心的轨迹方程，并画出其轨迹.（2）是否存在斜率为13的直线l ，它与（1）中所得的轨迹由左至右顺次交于A ，B ，C ，D 四点，且满足||2||AD BC =？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.答案以及解析1.答案：B解析：设圆心为()00,P x y ，半径为r ，圆与x 轴，y 轴都相切，00x y r ∴==，又圆经过点(2,1)，00x y r ∴==且()()2220021x y r -+-=，222(2)(1)r r r ∴-+-=，解得1r =或5r =.①1r =时，圆心(1,1)P ，则圆心到直线230x y --=的距离d ==②5r =时，圆心(5,5)P ，则圆心到直线230x y --=的距离d ==故选B. 2.答案：D解析：对于选项A,在平面直角坐标系中,每一条直线都有倾斜角α,当90α≠︒时,直线的斜率k 存在,其方程可写成y kx b =+,它可变形为0kx y b -+=,与0Ax By C ++=比较,可得,1,A k B C b ==-=；当90α=︒时,直线的斜率不存在,其方程可写成1x x =,与0Ax B C ++=比较,可得11,0,A B C x ===-,显然,A B 不同时为0,所以此说法是正确的.对于选项B,当0C =时,方程0Ax By C ++=(,A B 不同时为0),即0Ax By +=,显然有000A B ⨯+⨯=,即直线过原点()0,0,故此说法正确.对于选项C,因为当0A =,0,0B C ≠≠时,方程0Ax By C ++=可化为Cy B=-,它表示的直线与x 轴平行,故此说法正确.D 说法显然错误. 3.答案：B解析：由题意可知圆心(2,3)C ，半径2r =，则点M 到直线240x y ++=距离的最小值min22d =-=-，故选B. 4.答案：A解析：易知两直线之间的最大距离为P ，Q 两点间的距离，由两点间的距离公式得||5PQ .故1l ，2l 之间的距离d 的取值范围为(0,5].5.答案：A解析：由圆22(2)2x y -+=可得圆心坐标为()2,0，半径r ABP △的面积记为S ，点P 到直线AB 的距离记为d ，则有1||2S AB d =⋅.易知||AB =max d ==，min d =26S ≤≤，故选A.6.答案：C解析：已知直线:10l x ay +-=是圆22:6210C x y x y +--+=的对称轴,圆心()3,1C ,半径3r =,所以直线l 过圆心()3,1C ,故310a +-=,故2a =-.所以点()1,2A --,||5AC =,||4AB ==.故选C.7.答案：A解析：因为||1QB =，所以点Q 在以点B 为圆心，1为半径的圆上， 显然当射线AP 在x 轴的下方时||PQ 取得最小值，此时直线:20AP x y ++=，点B 到AP 的距离d ==所以||PQ 1，故选A. 8.答案：BCD解析：由题意,直线1:210l ax y a --+=,即(2)10a x y --+=.令20x -=,得2,1x y ==,即直线1l 过定点()2,1;直线2:20l x ay a +--=,即2(1)0x a y -+-=,令10y -=,得2,1x y ==,即直线2l 过定点()2,1,所以直线12,l l 过同一个定点()2,1,记为点M .圆22:4240E x y x y +-+-=可化为22(2)(1)9x y -++=,而点()2,1M 在圆E 内部,所以直线12,l l 均与圆E 相交,所以A 选项错误;对于直线1l ,当0a =时,直线1l 被圆E 截得的弦长最小,且最小值为所以B 选项正确;对于直线2l ,当0a =时,直线2l 被圆E 截得的弦长最大,且最大值恰好为圆E 的直径6,所以C 选项正确;又当0a ≠时,直线1l 的斜率为a ,直线2l 的斜率为1a-,即直线12l l ⊥.设圆心E 到直线12,l l 的距离分别为12,d d ,则12d d ==又22212||4d d EM +==,即22||||99444AC BD -+-=,所以22||||56AC BD +=,所以2211||||||||14222ABCDAC BD S AC BD +=⋅≤⨯=四边形,当且仅当||||AC BD ==,等号成立,故四边形ABCD 面积最大值为14,所以D 选项正确,故选BCD. 9.答案：BC解析：本题考查圆与圆的位置关系.依题意1(,0)C a -，2(,2)C a a ，圆1C 半径11r =，圆2C 半径2|r a =.对于选项A ，1221|||2|22C OC S a a a =-⋅==△，则a =2|2r a ==，则圆2C 的面积为22π4πr =，选项A 错误；对于选项B，12|C C a，121|r r a +=+，若圆1C 与圆2C 外离，则1212C C r r >+，即|1|a a >，得2a >或2a <，选项B 正确；对于选项C ，当a =时，1C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，2C ⎝，121r r ==，1212|2C C a r r ===+，所以圆1C 与圆2C 外切，且121C C k =，所以两圆的公切线中有两条的斜率为1，设切线方程为0x y b -+=1=，解得2b =-或2b =，则一条切线方程为0x y -=，即y x =，选项C 正确；对于选项D，当a =1(C，2C ，11r =，22r =，12|4C C a ==，圆1C 与圆2C 上两点间距离的最大值为1247r r ++=，选项D 错误.故选BC.10.答案：ABD解析：因为110a a ⨯-⨯=，所以无论a 为何值，1l ，2l 都互相垂直，故A 正确；1l ，2l 分别经过定点(0,1)A 和(1,0)B -，故B 正确；1:10l ax y -+=关于直线0x y +=对称的直线方程为10ay x -++=，不是2:10l x ay ++=，故C 错误；由10,10,ax y x ay -+=⎧⎨++=⎩解得221,11,1a x a a y a --⎧=⎪⎪+⎨-+⎪=⎪+⎩即2211,11a a M a a ---+⎛⎫ ⎪++⎝⎭，所以MO =≤MO的最大值是D 正确.故选ABD.11.答案：12x =或10x +=解析：联立10,0,x y ⎧+=⎪+解得1,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即两直线的交点为12⎛ ⎝⎭.当直线的斜率不存在时，12x =，到原点的距离等于12，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为12y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即220kx y k -+=.因为直线与原点的最短距离为12，所以12=，解得k =，所以所求直线的方程为10x +=，所以所求直线的方程为12x =或10x +=. 12.答案：解析：圆221:2120C x y x ++-=与圆222:440C x y x y ++-=联立可得： 公共弦的方程为260x y -+=，222:440C x y x y ++-=变形为()()222:228C x y ++=-，故222:440C x y x y ++-=的圆心为()22,2C -，半径为， 而()22,2C -满足260x y -+=，故弦AB 的长为圆2C 的直径， 故弦AB的长为.故答案为：. 13.答案：k 解析：圆C 的方程可化为22(1)(2)4x y ++-=，圆心(1,2)C -，半径2r =，由于弦AB满足||AB =M，则||1CM ， 因此M 点在以(1,2)C -为圆心，1为半径的圆上， 又点M 在直线20x y k ++=上，故直线20x y k ++=与圆22(1)(2)1x y ++-=1≤，解得k ≤14.答案：（1）见解析（2）当0t =时，所求圆的方程为22542x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭；当1t =±时，所求圆的方程为22522x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭ 解析：（1）证明：依题意，可设:AB y kx b =+，1,2D t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()11,A x y ，()()2212,B x y x x ≠.联立2,2,x y y kx b ⎧=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得2220x kx b --=. 2480k b ∆=+>，122x x k +=，122x x b =-.又直线DA 与抛物线相切，则2111122x x x t+=-， 所以211210x tx --=，同理222210x tx --=. 所以1222k x x t =+=，1221b x x -=⋅=-， 所以k t =，12b =，则直线1:2AB y tx =+，必过定点10,2⎛⎫⎪⎝⎭. （2）解法一：由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+.由21,22y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩可得2210x tx --=. 于是122x x t +=，()21212121y y t x x t +=++=+.设M 为线段AB 的中点，则21,2M t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.由于EM AB ⊥，而()2,2EM t t =-，AB 与向量(1,)t 平行，所以()220t t t +-=，解得0t =或1t =±.当0t =时，||2EM =，所求圆的方程为22542x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭； 当1t =±时，||2EM =，所求圆的方程为22522x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭. 解法二：设M 为线段AB 的中点，由（1）可知212,M t t ⎛+⎫ ⎪⎝⎭.所以()2,2EM t t =-，()2,FM t t =，又EM FM ⊥，则()2220t t t t ⋅+-⋅=， 解得0t =或1t =或1t =-.当0t =时，||2EM =，所求圆的方程为22542x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭； 当1t =±时，||2EM =，所求圆的方程为22522x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭. 15.答案：（1）见解析（2）不存在满足题意的直线l .理由见解析解析：（1）设动圆圆心(,)M x y ，作MN x ⊥轴于点N . ①若动圆与半圆外切，则||2||MO MN =+，2y +， 两边平方得22244x y y y +=++，化简得211(0)4y x y =->. ②若动圆与半圆内切，则||2||MO MN =-，2y =-， 两边平方得22244x y y y +=-+，化简得211(0)4y x y =-+>.综上，当动圆与半圆外切时，动圆圆心的轨迹方程为211(0)4y x y =->； 当动圆与半圆内切时，动圆圆心的轨迹方程为211(0)4y x y =-+>. 动圆圆心的轨迹如图所示.（2）假设满足题意的直线l 存在，可设l 的方程为13y x b =+.依题意，可得直线l 与曲线211(0)4y x y =->交于A ，D 两点，与曲线211(0)4y x y =-+>交于B ，C 两点.由21,3114y x b y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩与21,311,4y x b y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩消去y 整理可得23412120x x b ---=①与23412120x x b ++-=②. 设(),A A A x y ，(),B B B x y ，(),C C C x y ，(),D D D x y ，则43A D x x +=，12123A D b x x --=，43B C x x +=-，12123B C b x x -=.又||A D AD x =-，||B C BC x -，且||2||AD BC =，2A D B C x x x x ∴-=-，即()()22444A D A D B C B C x x x x x x x x ⎡⎤+-=+-⎣⎦， 整理得2244(1212)44(1212)43333b b ⎡⎤+-⎛⎫⎛⎫+=--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，解得23b =.将23b =代入方程①，得2A x =-，103D x =. 函数211(0)4y x y =->的定义域为(,2)(2,)-∞-+∞，∴假设不成立，即不存在满足题意的直线l .。
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高考数学二轮复习专题7 解析几何专题七解析几何【重点知识回顾】解析几何是高中数学的重要内容之一，各地区在这一部分的出题情况较为相似，一般两道小题一道大题，分值约占15%，即22分左右.具体分配为：直线和圆以及圆锥曲线的基础知识两个容易或中档小题，机动灵活，考查双基；解答题难度设置在中等或以上，一般都有较高的区分度，主要考查解析几何的本质——“几何图形代数化与代数结果几何化”以及分析问题解决问题的能力.解析几何的主要内容是高二中的直线与方程，圆与方程，圆锥曲线与方程考查的重点：直线的倾斜角与斜率、点到直线的距离、两条直线平行与垂直关系的判定、直线和圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系；圆锥曲线的定义、标准方程、简单的几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系、曲线与方程、圆锥曲线的简单应用等，其中以直线与圆锥曲线的位置关系最为重要。
圆锥曲线方程这章扩展开的内容比较多，比较繁杂，对学生来说不一定要把所有的结论一一记住，关键是掌握圆锥曲线的概念实质以及直线和圆锥曲线的关系.因此，在复习过程中要注意下述几个问题：（1）在解答有关圆锥曲线问题时，首先要考虑圆锥曲线焦点的位置，对于抛物线还应同时注意开口方向，这是减少或避免错误的一个关键，同时勿忘用定义解题.（2）在考查直线和圆锥曲线的位置关系或两圆锥曲线的位置关系时，可以利用方程组消元后得到二次方程，用判别式进行判.但对直线与抛物线的对称轴平行时，直线与双曲线的渐近线平行时，不能使用判别式，为避免繁琐运算并准确判断特殊情况，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法.画出方程所表示的曲线，通过图形求解.当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“差分法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.（3）求圆锥曲线方程通常使用待定系数法，若能据条件发现符合圆锥曲线定义时，则用定义求圆锥曲线方程非常简捷.在处理与圆锥曲线的焦点、准线有关问题，也可反用圆锥曲线定义简化运算或证明过程. 一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤.定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置；定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2+ny2=1(m＞0,n＞0)；定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小. （4）在解与焦点三角形（椭圆、双曲线上任一点与两焦点构成的三角形称为焦点三角形）有关的命题时，一般需使用正余弦定理、和分比定理及圆锥曲线定义.（5）要熟练掌握一元二次方程根的判别式和韦达定理在求弦长、中点弦、定比分点弦、弦对定点张直角等方面的应用.（6）求动点轨迹方程是解析几何的重点内容之一，它是各种知识的综合运用，具有较大的灵活性，求动点轨迹方程的实质是将“曲线”化成“方程”，将“形”化成“数”，使我们通过对方程的研究来认识曲线的性质. 求动点轨迹方程的常用方法有：直接法、定义法、几何法、代入转移法、参数法、交轨法等.解题时，注意求轨迹的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围. 【典型例题】1.直线的基本问题：直线的方程几种形式、直线的斜率、两条直线平行与垂直的条件、两直线交点、点到直线的距离。
例 1 已知21:220l x m y m ++=与2:3l y x =-，若两直线平行，则m 的值为_____．解析： 22313m m =≠⇒=--． 点评：解决两直线平行问题时要记住看看是不是重合．易错指导：不知道两直线平行的条件、不注意检验两直线是否重合是本题容易出错的地方。
例2 经过圆2220x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直的直线方程是 ． 解析：圆心坐标是()1,0-，所求直线的斜率是，故所求的直线方程是1y x =+，即10x y -+= 点评：本题考查解析几何初步的基本知识，涉及到求一般方程下的圆心坐标，两直线垂直的条件，直线的点斜式方程，题目简单，但交汇性很强，非常符合在知识网络的交汇处设计试题的命题原则，一个小题就把解析几何初步中直线和圆的基本知识考查的淋漓尽致 易错指导：基础知识不牢固，如把圆心坐标求错，不知道两直线垂直的条件，或是运算变形不细心，都可能导致得出错误的结果2.圆的基本问题：圆的标准方程和一般方程、两圆位置关系.例3 已知圆的方程为22680x y x y +--=．设该圆过点(35)，的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．解析：圆心坐标是()3,4，半径是5，圆心到点()3,5的距离为，根据题意最短弦BD 和最长弦（即圆的直径）AC 垂直，故最短弦的长为=ABCD 的面积为111022AC BD ⨯⨯=⨯⨯= 点评：本题考查圆、平面图形的面积等基础知识，考查逻辑推理、运算求解等能力。
解题的关键有二，一是通过推理知道两条弦互相垂直并且有一条为圆的直径，二是能根据根据面积分割的道理，推出这个四边形的面积就是两条对角线之积的一半。
本题是一道以分析问题解决问题的能力立意设计的试题。
易错指导：逻辑思维能力欠缺，不能找到解题的关键点，或是运算能力欠缺，运算失误，是本题不能解答或解答错误的主要原因3.圆锥曲线的基本问题：椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及其性质，求简单的曲线方程. 例4已知点P 在抛物线y 2= 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ ）A. （41，－1） B. （41，1） C. （1，2） D. （1，－2）解析：定点()2,1Q -在抛物线内部，由抛物线的定义，动点P 到抛物线焦点的距离等于它到准线的距离，问题转化为当点P 到点Q 和抛物线的准线距离之和最小时，求点P 的坐标，显然点P 是直线1y =-和抛物线24y x =的交点，解得这个点的坐标是1,14⎛⎫-⎪⎝⎭。
点评：本题考查抛物线的定义和数形结合解决问题的思想方法类似的题目在过去的高考中比较常见易错指导：不能通过草图和简单的计算确定点Q 和抛物线的位置关系，不能将抛物线上的点到焦点的距离转化为其到准线的距离，是解错本题或不能解答本题的原因例5已知圆22:6480C x y x y +--+=．以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为 ．解析：221412x y -= 圆C 和x 轴的交点是()()2,0,4,0，和y 轴没有交点。
故只能是点()2,0为双曲线的一个顶点，即2a =；点()4,0为双曲线的一个焦点，即4c =。
22212b c a =-=，所以所求双曲线的标准方程为221412x y -=。
点评：本题考查圆和双曲线的基础知识，考查数形结合的数学思想。
解题的关键是确定所求双曲线的焦点和顶点坐标易错指导：数形结合的思想意识薄弱，求错圆与坐标轴的交点坐标，用错双曲线中,,a b c 的关系等，是不同出错的主要问题 4.直线与圆锥曲线的位置关系例6若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线430x y -=和x 轴相切，则该圆的标准方程是（ ）A ．227(3)13x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭B ．22(2)(1)1x y -+-=C ．22(1)(3)1x y -+-=D ．223(1)12x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭解析：设圆心坐标为(),a b ，则1b =且4315a b-=.又0b >，故1b =，由435a -=得12a =-（圆心在第一象限、舍去）或2a =，故所求圆的标准方程是()()22211x y -+-=。
点评：本题考查直线和圆的有关基础知识，考查坐标法的思想，考查运算能力。
解题的关键是圆心坐标易错指导：不能把直线与圆相切的几何条件通过坐标的思想转化为代数条件，或是运算求解失误等例7 （过双曲线221916x y -=的右顶点为A ，右焦点为F 。
过点F 平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为______________解析：双曲线右顶点()3,0A ，右焦点()5,0F ，双曲线一条渐近线的斜率是43，直线FB 的方程是()453y x =-，与双曲线方程联立解得点B 的纵坐标为3215-，故△AFB 的面积为1132322221515B AF y ⨯=⨯⨯=点评：本题考查双曲线的基础知识和运算能力。
易错指导：过右焦点F 和渐近线平行的直线和双曲线只有一个交点，如果写错渐近线的方程，就会解出两个交点，不但增加了运算量，还使结果错误。
例8 在平面直角坐标系中，椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的焦距为2c ，以O 为圆心，a 为半径的圆做圆M ，若过点P ⎪⎪⎭⎫⎝⎛0,2c a ，所作圆M 的两切线互相垂直，则该椭圆的离心率为解析：过点⎪⎪⎭⎫⎝⎛0,2c a 作圆的两切线互相垂直，如图，这说明四边形OAPB 是一个正方形，即圆心O 到点P ⎪⎪⎭⎫⎝⎛0,2c a倍，即2a c=，故2c e a ==点评：本题把椭圆方程、圆和圆的切线结合起来，考查椭圆的简单几何性质，体现了“在知识的网络交汇处设计试题”的原则，较全面地考查了解析几何的基本知识。
解题的突破口是将圆的两条切线互相垂直转化为一个数量上的关系。
易错指导：陷入圆的两条切线互相垂直，不能通过数形结合的方法找到解题途径等，是考生解错本题的主要原因。
例9设0b >，椭圆方程为222212x yb b+=， 抛物线方程为28()x y b =-．如图4所示，过点(02)F b +，作x 轴的平行线， 与抛物线在第一象限的交点为G ，已知抛物线在点G 的切线经过椭圆的右焦点1F ． （1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；（2）设A B ，分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P ，使得ABP △为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．解析：（1）由28()x y b =-得218y x b =+， 当2y b =+得4x =±，∴G 点的坐标为(4,2)b +，1'4y x =，4'|1x y ==， 过点G 的切线方程为(2)4y b x -+=-即2y x b =+-，令0y =得2x b =-，1F ∴点的坐标为(2,0)b -，由椭圆方程得1F 点的坐标为(,0)b ，2b b ∴-=即1b =，即椭圆和抛物线的方程分别为2212x y +=和28(1)x y =-； （2）过A 作x 轴的垂线与抛物线只有一个交点P ,∴以PAB ∠为直角的Rt ABP ∆只有一个，同理∴以PBA ∠为直角的Rt ABP ∆只有一个 若以APB ∠为直角，设P 点坐标为21(,1)8x x +，A 、B 两点的坐标分别为(0)和，222421152(1)108644PA PB x x x x =-++=+-=。