|x|>a {x|x>a或x<－a}{x|x∈R且x≠0}R
(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法
①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；
②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.
3.|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法
法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想.
法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想.
法三：通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想.
[微点提醒]
1.在解决有关绝对值不等式的问题时，充分利用绝对值不等式的几何意义解决问
题能有效避免分类讨论不全面的问题.若用零点分段法求解，要掌握分类讨论的标准，做到不重不漏.
2.绝对值三角不等式|a ±b |≤|a |＋|b |，从左到右是一个放大过程，从右到左是缩小过程，证明不等式可以直接用，也可利用它消去变量求最值.绝对值不等式是证明与绝对值有关的不等式的重要工具，但有时还需要通过适当的变形使其符合绝对值不等式的条件.
基 础 自 测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)若|x |＞c 的解集为R ，则c ≤0.( ) (2)不等式|x －1|＋|x ＋2|＜2的解集为∅.( )
(3)对|a ＋b |≥|a |－|b |当且仅当a ＞b ＞0时等号成立.( ) (4)对|a |－|b |≤|a －b |当且仅当|a |≥|b |时等号成立.( ) (5)对|a －b |≤|a |＋|b |当且仅当ab ≤0时等号成立.( ) 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√
2.(选修4－5P19习题T9改编)若关于x 的不等式|a |≥|x ＋1|＋|x －2|，存在实数解，则实数a 的取值范围是________.
解析 由于|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3， ∴|x ＋1|＋|x －2|的最小值为3，要使原不等式有解， 只需|a |≥3，即a ≥3或a ≤－3. 答案 (－∞，－3]∪[3，＋∞)
3.(选修4－5P20习题T7改编)不等式3≤|5－2x |<9的解集为( ) A.[－2，1)∪[4，7) B.(－2，1]∪(4，7] C.(－2，－1]∪[4，7)
D.(－2，1]∪[4，7)
解析 由题意得⎩⎨⎧|2x －5|<9，|2x －5|≥3，即⎩⎨⎧－9<2x －5<9，2x －5≥3或2x －5≤－3，
解得⎩⎨⎧－2不等式的解集为(－2，1]∪[4，7)．
答案
D
4.(2019·南阳第一中学月考)不等式|x －5|＋|x ＋3|≥1的解集是( ) A.[－5，7]
B.[－4，6]
C.(－∞，－5]∪[7，＋∞)
D.(－∞，＋∞)
解析 |x －5|＋|x ＋3|≥|(x －5)－(x ＋3)|＝8>1⇒原不等式的解集为R ，故选D. 答案 D
5.(2019·榆林二模)已知函数f (x )＝|x －2|. (1)求不等式f (x )＋x 2－4>0的解集；
(2)设g (x )＝－|x ＋7|＋3m ，若关于x 的不等式f (x )解 (1)当x ≥2时，不等式等价于x －2＋x 2－4>0，解得x >2， 当x <2时，不等式等价于2－x ＋x 2－4>0，解得x <－1. 综上，原不等式的解集为{x |x >2或x <－1}. (2)问题等价于|x －2|＋|x ＋7|<3m 的解集非空， ∵|x －2|＋|x ＋7|≥|x －2－x －7|＝9， ∴3m >9，∴m >3.
故实数m 的取值范围是(3，＋∞).
6.(2019·东北三省三校模拟)已知不等式|2x －5|＋|2x ＋1|>ax －1. (1)当a ＝1时，求不等式的解集； (2)若不等式的解集为R ，求a 的取值范围. 解 (1)令f (x )＝|2x －5|＋|2x ＋1|，
则f (x )＝|2x －5|＋|2x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x ＋4，x ≤－1
2，
6，－124x －4，x >52，
因为a ＝1，所以当x ≤－12时，由－4x ＋4>x －1，解得x ≤－1
2， 当－12＜x ≤52时，由6＞x －1，解得－12＜x ≤52，
当x ＞52时，由4x －4>x －1，解得x >52. 综上得，所求不等式的解集为R .
(2)由(1)作函数f (x )的图像，点A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
52，6，令y ＝ax －1，则其过定点P (0，－1)，如
图所示，由不等式|2x －5|＋|2x ＋1|>ax －1的解集为R ，可得－4≤a ＜6－(－1)
52－0
，
即－4≤a ＜145.所以，所求实数a 的取值范围为⎣⎢⎡
⎭
⎪⎫－4，145.
考点一 绝对值不等式的解法
【例1－1】 (2018·全国Ⅰ卷)已知f (x )＝|x ＋1|－|ax －1|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；
(2)若x ∈(0，1)时不等式f (x )>x 成立，求a 的取值范围. 解 (1)当a ＝1时，f (x )＝|x ＋1|－|x －1|，
即f (x )＝⎩⎨⎧－2，x ≤－1，
2x ，－1则当x ≥1时，f (x )＝2>1恒成立，所以x ≥1； 当－11，所以1
21
的解集为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |x >12. (2)当x ∈(0，1)时|x ＋1|－|ax －1|>x 成立等价于当x ∈(0，1)时|ax －1|<1成立. 若a ≤0，则当x ∈(0，1)时，|ax －1|≥1； 若a >0，|ax －1|<1
的解集为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪⎪0
