哈密尔顿图

依据定理可判断下图（a）不是哈密尔顿图，这是因 若取V ’= {v}，有ω(G -V ’) =2 > 1 =|V ’| Note 2： 可验证彼得森图（下图（b）所示）不是 哈密尔顿图，但满足定理的条件。这表明定理所给 出的条件只是哈密尔顿图的必要条件而不是充分条 件。 v
（a）
(b)
• 这两个图是H图， 但用定理无法判断
设G是具有n 个点的简单图，则对G的任意两个 不相邻顶点 u 和 v ， （1）若d(u) + d(v)≥n-1, 则 G 有哈密尔顿路； （2）若d(u) + d(v)≥n, 则 G 是哈密尔顿图。
由定理可知当n≥3时， Kn是哈密尔顿图。
是哈密尔顿图， 但不满足定理的条件 故该定理的条件是哈密尔顿图的充分条件，但不是 必要条件。
(2)证明:反证法:设存在满足条件的图是非 Hamilton 图. 我们设 G是满足条件的非H-图 中边数最多的图, 即增加一条边使得变为H图. 则G中存在一条哈密尔顿通路, p=v1v2…vn但 v1与vn不相邻, 但 d(v1)+d(v2) ≥n, 可知一定存在一个顶点vi在 与v1相邻,且vn与vi-1相邻. 证明如下: 令S={vi|v1vi+1∈E}, T={vi|vivn ∈E}
定义: 经过图中每个点一次且仅一次的路 (回路) 称为 哈密尔顿路 (回路或圈) ,存在哈密尔顿圈的图称为哈 密尔顿图。 例
只有哈密尔顿路，但不是哈密尔顿图
无哈密尔顿路
哈密尔顿图
注意：
• 欧拉回路和H圈的区别: 欧拉回路是包含G 中的所有边, 但H圈不是, 它仅仅包含了G中 的n条边….. • Euler图感兴趣的是边， 而H图感兴趣的是 点。 • 一个邮递员如果他的任务是要遍历某些特 定的街道，那么他最好走的是Euler 回路， 如果他要投放特定的点， 最好走H-圈
哈密而尔顿图
例: 周游世界问题 1859年 HamiFra Baidu bibliotekton 提出这样一个问题：一个
正十二面体有20个顶点，它们代表世界上
20个重要城市。正十二面体的每个面均为
五边形，若两个顶点之间有边相连，则表 示相应的城市之间有航线相通。 Hamilton 提出“能否从某城市出发经过每个城市一 次且仅一次然后返回出发点？”
• 根据定理， 图G1,G4不是Hamilton图， 但对其他 图无法判断
推论1:每个H图都无割点.
证明：反证法：假设存在图G是H图， 但有割点， 不妨设割点为v, 令V’={v}， ω(G -V’)≥2, 而|V’|=1， 与定理矛盾。
推论2: 奇数阶的两分图不是H图.
证明： 反证法: G=(X, Y;E)是奇数阶的两分图，且 为H图， 则必定|X|不等于|Y|， 不妨设|X|<|Y|， 则 ω(G -X)=|Y|>|X|, 与定理矛盾
说明：判断一个图是否哈密尔顿图，往往要结合定义 进行。由定义知：一个图若有度为1的顶点，一定不 是哈密尔顿图，只可能有哈密尔顿路；若图是哈密尔 顿图，则图中2度顶点关联的边必属于所有哈密尔顿 圈；一个顶点关联的边再多，一个哈密尔顿圈只能用 其两条边。
左图不是哈密尔顿图， 因图中二度顶点所关联 的8条边（红边）已构 成圈，而此圈不是哈密 尔顿圈。
我们知道vn不属于S∪T, 因而| S∪T|<n 而d(v1)=|S|, d(vn)=|T|,但d(v1)+d(v2) ≥n, 所以 S∩T≠Φ,即存在一个顶点vi与v1相邻,且vn与 vi-1相邻, 此时(v2,…,vi-1,vn, vn-1,…,vi+1,vi,v1) 是一个H圈, 矛盾.
注：这个证明的巧妙之处在于找出vi满足v1与 vi相邻，但vi-1, vn与vi-1相邻。
定理：设G = (V, E) 是哈密尔顿图，则对任意的V V ，V ’ ≠Ф，有 ω(G -V’)≤| V’| 其中ω(G -V ’) 表示G 中删去V ’ （即删去V ’中各点及其 关联的边）后所得图的连通分支数。
证明：设C 是G 中一条哈密尔顿回路。任取 V 中非 空子集V’ ，因 C 是G 的哈密尔顿回路含G 的所有点， 故V’ 也是子图 C 的非空子集。由点不重复的回路的 特性知任意删去C 中 | V’ | 个点，最多将C 分为 | V’ | “段” ，即 ω(C-V’) ≤ | V’ |
带权图与货郎担问题
• 设有n个城市，城市之间有道路， 道路的长度均大于等于 0，可能是无穷大。 一个旅行商从一个城市出发要经过每 个城市一次且仅一次， 问他如何走才能使他走的路线最 短？ • G=(V, E, w)求一个H-圈， 使得圈中的边的权和最小。
• 根据定理我们可以证明:
• 设G是n个点， m条边的图, 若m≥(n23n+6)/2,则G是H-图.
• 定理：若u, v是G的两个不相邻的点，且 d(u)+d(v)>=n,则G为H图的充分必要条件为 G+uv是H图。 • 这是习题17 • 证明：必要性显然 • 充分性：反证法： 假设G+uv是H图，但G 不是，则G中存在H-路， v1v2….vn, 其中 v1=u, vn=v,若对某个vi, i在2与n-1之间， v1vi是G中的边， 则vivn一定不是， 否则G 有H圈， 因而d(u)<=n-1-d(v), 与d（u） +d(v)>=n矛盾
• Euler图和Hamilton图相比较， 前者是要周 游边， 后者要周游点， 虽然仅有一字之差， 但两者的困难程度却大不相同。（1）对于 Euler图， 我们已经有一个判别定理，简单 易行。 但寻找一个图是不是Hamilton图的 充分必要条件仍然是图论中的一个重要问 题。 （2）判断一个图是不是欧拉图是P问 题。 判断一个图是不是Hamilton图是NP-困 难问题。