2019-2020年初中数学竞赛试题及其答案

4
k 2 ，（取整 4
符号 a 表示不超过实数 a 的最大整数，例如 2.6 2， 0.2 0 ），则 x2010 等于 ____________.
5．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，等腰梯形 ABCD的顶点坐标分别为 A（1，1），B（2，－1）， C（－ 2，－ 1）， D（－ 1，1）． y 轴上一点 P（0，2）绕点 A 旋转 180°得点 P1，点 P1 绕点 B 旋转 180°得点 P2，点 P2 绕点 C 旋转 180°得点 P3，点 P3 绕点 D 旋转 180°得点 P4，……，重复操作依次 得到点 P1，P2，…， 则点 P2010 的坐标是 ______________.
日上午进行第二试，时间不超过两个小时。 8 月 13 日白天自由活动，晚上举行颁奖及闭幕式。
奖项设置： 个人奖（颁发证书） ：第一试一、二、三等奖；第二试一、二、三等奖。团体奖（颁发奖杯和
奖状）：第一试团体前六名；第二试团体前六名；团体总分前六名。
重要提示 ：
1、每支参赛代表队需要交纳“夏令营活动费”
11．一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶 5000 km 后报废；若把它安装在后轮，
则自行车行驶 3000 km 后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎．如果交换前、后轮胎，要
使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶
km ．
12．已知线段 AB的中点为 C，以点 A 为圆心，AB的长为半径作圆， 在线段 AB 的延长线上取点 D， 使得 BD＝ AC；再以点 D 为圆心， DA 的长为半径作圆，与⊙ A 分别相交于 F，G 两点，连接 FG交
210 ． 11
2．解： 因为 b 是实数，所以关于 b 的一元二次方程 b2
Βιβλιοθήκη Baiduab
1 a
2
0
2
＝( a) 2
1 41( a
2) ≥ 0,
解得 a≤ 2或 a≥４．
2
3． 解： 如图，过点 A，D 分别作 AE，DF 垂直于直线 BC，垂足分别为 E，F．
由已知可得 BE=AE= 6 ，CF＝ 2 2 ，DF＝ 2 6 ，
16．如图， AB 为⊙ O 的直径， C 为圆上一点， AD 平分 ∠BAC交⊙ O 于点 D，DE⊥AC交 AC的延长 线于点 E，FB 是⊙ O 的切线交 AD 的延长线于点 F.
（ 1）求证： DE是⊙ O 的切线 . （ 2）若 DE= 3，⊙ O 的半径为 5，求 BE的长 .
17．如图，给定锐角三角形 ABC， BC CA ，AD，BE是它的两条高，过点 C 作△ ABC的外接圆的
7．菱形 ABCD的边长为 a，点 O 是对角线 AC上的一点，且 OA＝a，OB＝OC＝OD＝1，则 a 等于 ____________.
8．已知 a＝ 5 － 1，则 2a3＋7a2－2a－11 的值等于
．
14．如图，在△ ABC中， CD 是高， CE为 ACB 的平分线．若 AC＝15， BC＝20，CD＝12，则 CE
的长等于
．
二、解答题（共 3 题，每题 20 分，共 60 分）
15．设实数 a，b 满足： 3a2 10ab 8b2 5a 10b 0 ，求 u 9a2 72b 2 的最小值 .
切线 l ，过点 D，E 分别作 l 的垂线，垂足分别为 F，G．试比较线段 DF 和 EG的大小，并证明你的 结论．
2019-2020 年初中数学竞赛试题及其答案
附：中国数学会普及工作委员会关于举办“ 2011 我爱数学初中夏令营”的通知
参赛办法： 每支代表队领队一人、队员三人 （ 队员必须是 2011 年 9 月 1 日以后才可能升入高中的学生） 。
活动内容： 8 月 10 日全天报到，晚上领队会。 8 月 11 日上午进行第一试，时间不超过两个小时； 8 月 12
9. 如图，在平面直角坐标系 xOy中，多边形 OABCDE的顶点坐标分别是 O（0，0），A（0，6），B
（4，6），C（ 4， 4），D（6，4），E（6，0）．若直线 l 经过点 M （2，3），且将多边形 OABCDE分
割成面积相等的两部分，则直线 l 的函数表达式是
．
10．如图，射线 AM，BN 都垂直于线段 AB，点 E 为 AM 上一点，过点 A 作 BE的垂线 AC分别交
2011 年中山华附“我爱数学初中夏令营”选拔赛
一、填空题（共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分）
1．若 a
b 20，
10 ，则 a
b 的值为 ______________.
b
c
bc
2．若实数 a， b 满足 1 a ab b2 2 0 ，则 a 的取值范围是 _________________. 2
于是 EF＝4＋ 6 ．
过点 A 作 AG⊥DF，垂足为 G．在 Rt△ADG 中，根据勾股定理
得
AD (4 6) 2 ( 6) 2 (2 24)2 ＝ 2 2 6 ．
AH
AB 于点 H，则 AB 的值为
．
13．已知 a1， a2， a3， a4， a5是满足条件 a1 a2 a3 a4 a5 9 的五个不同的整数，若 b 是关于 x
的方程 x a1 x a2 x a3 x a4 x a5 2009 的整数根，则 b 的值为
．
6．已知非零实数 a，b 满足 2a 4 b 2 (a 3)b2 4 2a ，则 a b 等于 _________.
AE
BE，BN 于点 F，C，过点 C作 AM 的垂线 CD，垂足为 D．若 CD＝CF，则
．
AD
3．如图，在四边形 ABCD中，∠ B＝135°，∠ C＝ 120°，AB= 2 3 ，BC= 4 2 2 ，CD＝ 4 2 ，则 AD 边的长为 ________________.
k1
4．在一列数 x1， x2， x3，……中，已知 x1 1，且当 k≥２时， xk xk 1 1 4
1500 元。
2、今年初中夏令营与小学夏令营同时进行，故安排一天自由活动，以便于专家组阅卷评奖。
3、参加夏令营如食宿需组委会协助解决的，请提前填写“食宿安排登记表”
。
2011 年中山华附“我爱数学初中夏令营”选拔赛参考答案
一、填空题
1．解： 由题设得 a b bc
a 1
b 1c
b
20 1 11
10