《第一章全等三角形的辅助线》知识点与同步训练含答案解析

知识精讲

一.中点类辅助线作法

见到中线（中点），我们可以联想的内容无非是倍长中线或者是与中点有关的一条线段，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见，常见添加方法如下图（ AD是MBC底边的中线）.

.角平分线类辅助线作法

有下列三种作辅助线的方式：

1.由角平分线上的一点向角的两边作垂线；

2.过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形;

3. OA =OB ,这种对称的图形应用得也较为普遍.

三.截长补短类辅助线作法

截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何题化难为易的一种思

想.所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段等于已知的两条较短

线段中的一条，然后证明其中的另一段与已知的另一条线段相等；所谓“补短” ，就是将一个已知的

较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等，然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关

系.有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解.

点剖析

.考点：全等三角形辅助线的作法

二.重难点：中点类、角平分线类、截长补短类辅助线作法

全等三角形辅助线的作法

三.易错点：

1.辅助线只是一个指导方法，出现相关条件或结论时不一定要作辅助线或者是按照模型作辅助线，

关键是如何分析题目；

2.辅助线不是随便都可以作的，比如“作一条线段等于另外一条线段且与某条线段夹角是多少度”这

种辅助线就不一定能作出来.

题模一：中点类

例1.1.1 已知：△ABC中，AD是BC边上的中线， AB=8, AC =6,试求AD的取值范围.

【答案】 1 ：：：AD ：二7

【解析】该题考查了三角形三边关系和三角形的全等.

E -

延长AD至E,使得DE =AD ,连结CE

在^A鸵圆C D E CD中

1.' ZADB ZEDC

・ .△ ABDDWEDECD (SAS) AB =CE

AE 的取值范围为 CE -AC

2 二AE <14

1 : AD ；1

例1.1.2 如图所示，在 MBC中，AB =AC ,延长AB至U D ,使BD =AB , E为AB的中点，连接CE、 CD ,求证：CD =2EC .

A

【答案】见解析

【解析】解法一：如图所示，延长 CE到F ,使EF =CE ,连接BF.

容易证明任BF 9 AEAC ,从而 BF =AC ,而 AC =AB =BD ,故 BF = BD . 注意至U Z CBD =/BAC +/ACB =/BAC +/ABC ,

N CBF =/ABC +/FBA =/ABC +/CAB ,

故Z CBF =Z CBD ,而 BC 公用，故A CBF A CBD , 因此 CD =CF =2CE .

解法二：如图所示，取 CD的中点G ,连接BG .

因为G是CD的中点，B是AD的中点，

1 1

故BG是 4AC的中位线，从而 BG =—AC =—AB=BE ,

2 2

由 BG // AC 可得 ZGBC =/ACB =/ABC =/EBC ,故 ABCE 9 ABCG , 从而 EC =GC , CD =2CE .

A

题模二：角平分线类

例1.2.1 如图，/A+/D =180。，BE 平分 /ABC , CE 平分 /BCD，点 E 在 AD 上.

①探讨线段 AB、CD和BC之间的等量关系.

②探讨线段 BE与CE之间的位置关系.

【答案】见解析

【解析】①AB +CD =BC ;②BE ICE .证明如下：

在线段BC上取点F ,使FB =AB ,连结EF .

在MBE和AFBE中

AB = FB

.ABE =. FBE

BE =BE

MBE^ 任BE

ZAEB =/FEB , /BAE =/BFE

•••.A D =180

而.BFE . CFE =180

. CDE =. CFE

在ACDE和ACFE中

>CDE ZCFE

；_DCE =. FCE

CE =CE

ACDE 9 iCFE

/DEC =/FEC , CD =CF

AB +CD =BC , /BEC =/BEF +ZCEF =90°

A

例 1.2.2 如图，已知 AB =AC , /BAC=90。BD 为/ ABC 勺平分线，CEL BE 求证：BD =2CE .

【答案】 见解析

【解析】 延长CE,交BA 的延长线于点F.

••• BD 为/ ABC 的平分线，CEXBE,

BEF^A BEC,，BC=BF, CE=FE.

••• ZBAC =90。，CEXBE,「. /ABD =ZACF ,

又「 AB=AC, . ABD^A ACF ,BD =CF .，BD =2CE .

例1.2.3 已知/MAN =120*, AC 平分/ MAN 点R D 分别在AN AM 上.

(1)如图1,若NABC=/ADC =90)请你探索线段 AD AB AC 之间的数量关系，并证明之；

(2)如图2,若NABC +NADC =180%则(1)中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不

成立，请说明理由.

【答案】 见解析