电磁场中的矩阵理论Chapter 2_B

L(Ux) b
2014年11月7日4时33分
4
例：
利用A的LU分解来求解方程
Ax b
其中
2014年11月7日4时33分
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Ly b
6次乘法，6次加法
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Ux y
6次乘法，6次加法，4次除法
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如何求矩阵的LU？
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例：
求Rank A
解：
Rank A=3
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Thanks
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2.1 矩阵运算 2.2 矩阵的逆 2.3 分块矩阵 2.4 矩阵因式分解 2.5 Rn的子空间
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矩阵的LU分解 A为m×n矩阵
m×m下三角矩阵
m×n上三角矩阵
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Why LU分解？
Ax b
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坐标系
定义
假设B={b1,…,bn}是子空间H的一组基，对H中的每一个
向量x，相对于基B的坐标是使得x=c1 b1 +…+cp bp成立的权 值c1,…,cp,且Rp中的向量
称为x（相对于B）的坐标向量，或x的B-坐标向量。
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例：
若A=[a1…an], 它们各列属于Rm， 则Col A和Span{a1…an} 相同
例：
设 确定b是否属于A的列空间
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解：
向量b是A的各列的线性组合，当且仅当b可以写成Ax的形式， 即方程Ax=b有解
可见，方程Ax=b有解，b属于Col A
2014年11月7日4时33分
2014年11月7日4时33分
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Rn的子空间 Rn中的一个子空间是Rn中的集合H，具有以下三个性质：
定义
1. 零向量属于H 2. 对H中任意的向量u和v，u+v属于H 3. 对H中任意的向量u和数c，cu属于H
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Span{u,v}
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矩阵的列空间与零空间
定义
矩阵A的列空间是A的各列的线性组合的集合，记为 Col A。
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矩阵的列空间与零空间
定义
矩阵A的零空间是齐次方程Ax=0的所有解的集合，记为 Nul A。
子空间的基
定义
Rn中子空间H的一组基是H中一个线性无关 集，它生成H。
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例：
求出矩阵A的零空间的基
解：
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例：
求出矩阵B的列空间的基
Leabharlann Baidu解：
矩阵B的列空间的基为b1, b2, b5
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（1）计算该梯级网络的传递矩阵
2014年11月7日4时33分
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（2）设计一个梯级网络，使得传递矩阵为
求得 R1=8欧姆，R2=2欧姆
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2.1 矩阵运算 2.2 矩阵的逆 2.3 分块矩阵 2.4 矩阵因式分解 2.5 Rn的子空间
是H=Span{v1,v2}的基
判断x是否在H中，如果是，求x相对基B的坐标向量
解：
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子空间的维数
定义
非零子空间H的维数，用 dim H表示，是H的任意一个基
的向量个数。零子空间{0}的维数定义为零。
矩阵的秩 矩阵的秩（记为 rank A）是A的列空间的维数。
定义
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求矩阵A的LU分解：
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2014年11月7日4时33分
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LU分解的应用实例
输出电压电流 传递矩阵
输入电压电流
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梯级网络
2014年11月7日4时33分
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（1）计算该梯级网络的传递矩阵 （2）设计一个梯级网络，使得传递矩阵为