插值和拟合资料讲解

插值和拟合

插值和拟合都是函数逼近或者数值逼近的重要组成部分

他们的共同点都是通过已知一些离散点集M上的约束，求取一个定义

在连续集合S(M包含于S)的未知连续函数，从而达到获取整体规律的

目的，即通过"窥几斑"来达到"知全豹"。

简单的讲，所谓拟合是指已知某函数的若干离散函数值{f1,f2,…,fn}，通

过调整该函数中若干待定系数f(λ1, λ2,…,λ3), 使得该函数与已知点集的差别(最小二乘意义)最小。如果待定函数是线性，就叫线性拟合或者

线性回归(主要在统计中)，否则叫作非线性拟合或者非线性回归。表

达式也可以是分段函数，这种情况下叫作样条拟合。

而插值是指已知某函数的在若干离散点上的函数值或者导数信息，通

过求解该函数中待定形式的插值函数以及待定系数，使得该函数在给

定离散点上满足约束。插值函数又叫作基函数，如果该基函数定义在

整个定义域上，叫作全域基，否则叫作分域基。如果约束条件中只有

函数值的约束，叫作Lagrange插值，否则叫作Hermite插值。

从几何意义上将，拟合是给定了空间中的一些点，找到一个已知形式

未知参数的连续曲面来最大限度地逼近这些点；而插值是找到一个(

或几个分片光滑的)连续曲面来穿过这些点。

一、概念的引入

1. 插值与拟合在现实生活中的应用

l 机械制造：汽车外观设计

l 采样数据的重新建构：电脑游戏中场景的显示，地质勘探，医学领域（CT）

2.概念的定义

l 插值：基于[a,b]区间上的n个互异点，给定函数f(x)，寻找某个函数去逼

近f(x)。若要求φ(x)在xi处与f(xi)相等，这类的函数逼近问题称为插值问题，xi即是插值点

l 逼近：当取值点过多时，构造通过所有点的难度非常大。此时选择一个次数较低的函数最佳逼近这些点，一般采用最小二乘法

l 光顾：曲线的拐点不能太多，条件：

①二阶几何连续②不存在多余拐点③曲率变化较小

l 拟合：曲线设计过程中用插值或通过逼近方法是生成的曲线光滑(切变量连续)光顾

二、插值理论

设函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，在[a,b]上有互异点x

0,x

1

,…,x

n

处取值

y 0,y

1

,…,y

n

。如果函数φ(x)在点x

i

上满足φ(x

i

)=y

i

(i=0,1,2,…,n)，则称

φ(x)是函数y=f(x)的插值函数，x

0,x

1

,…,x

n

是插值节点。若此时φ(x)是代数

多项式P(x)，则称P(x)为插值多项式。显然f(x)≈φ(x)，x∈[a,b] 1. 拉格朗日插值

构造n次多项式P

n (x)= y

k

l

k

(x)=y

l

(x)+y

1

l

1

(x)+…+y

n

l

n

(x)，这是不超过

n次的多项式，其中基函数l

k

(x)=

显然l

k (x)满足l

k

(x

i

)=

此时 P

n (x)≈f(x),误差R

n

(x)=f(x)-P

n

(x)=

其中∈(a,b)且依赖于x， =（x-x

0）(x-x

1

)…(x-x

n

)

很显然，当n=1、插值节点只有两个x

k ,x

k+1

时

P 1(x)=y

k

l

k

(x)+y

k+1

l

k+1

(x)

其中基函数l

k (x)= l

k+1

(x)=

2. 牛顿插值

构造n次多项式N

n (x)=f(x

)+f(x

,x

1

)(x-x

)+f(x

,x

1

,x

2

)(x-x

)(x-x

1

)+…

+f(x

0,x

1

,x

2

,…,x

n

)(x-x

)(x-x

1

)…(x-x

n

)

称为牛顿插值多项式，其中

(二个节点，一阶差商)

(三个节点，二阶差商)

(n+1个节点，n阶差商)

注意：由于插值多项式的唯一性，有时为了避免拉格朗日余项R

n

(x)中n+1阶导

数的运算，用牛顿插值公式R

n (x)=f(x)-N

n

(x)=f(x,x

,…,x

n

)ω

n+1

(x),

其中ω

n+1(x)=(x-x

)(x-x

1

)…(x-x

n

)

3. 分段插值------子区间内，避免函数在某些区间失真1）线性插值

已知n+1个不同节点x

0,x

1

,…,x

n

,构造分段一次线性多项式P(x)，使之满足

l P(x)在[a,b]上连续

l P(x

k )=y

k

l P(x)在[x

i ,x

i+1

]上是线性函数，P(x)=

2）两点带导数插值---避免尖点、一阶连续

区间[a,b]上两个互异节点x

i ,x

i+1

，已知实数y

i

,y

i+1

,m

i

,m

i+1

，为了构造次数

不大于3的多项式满足条件

引入 , 使之满足

可以求出

此时 = + ，其中

4. 三次样条插值------二阶可导

对于给定n+1个不同节点x

0,x

1

,…,x

n

及函数值y

,y

1

,…,y

n

，其中

a=x

1<…n=b。构造三次样条插值函数S(x)。S(x)称为三次样条函数时需满足：l S(x)在[a,b]上二阶导数连续

l S(x

k )=y

k

(k=0,1,…,n)

l 每个子区间[x

k ,x

k+1

]上S(x)是三次多项式(k=0,1,…,n)