(高二下数学期末20份合集)广东省广州市高二下学期数学期末试卷合集

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2022-2023学年广东省广州市高二下学期期末数学试题【含答案】

2022-2023学年广东省广州市高二下学期期末数学试题【含答案】

2022-2023学年广东省广州市高二下学期期末数学试题一、单选题1.设集合{}03M x x =<<,163N x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭,则()R M N ⋂=ð()A .{}06x x <≤B .133x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C .{}36x x <≤D .{}36x x ≤≤【答案】D【分析】先求集合M 的补集R M ð,再取R M ð与集合N 的交集即可.【详解】由{}03M x x =<<,可得{}R 03M x x x =≤≥或ð则(){}{}R 1036363M N x x x x x x x ⎧⎫⋂=≤≥⋂≤≤=≤≤⎨⎬⎩⎭或ð故选:D 2.复数4i1iz =+,则z =()A .22i --B .22i-+C .22i+D .22i-【答案】D【分析】先计算z ,再根据共轭复数的概念即可求解.【详解】根据复数除法的运算法则可得41i z i =+()()()414422112i i i i i i -+===+-+,所以可得其共轭复数22z i =-.故选:D.3.函数(sin sin 2)y x x x =-的部分图象大致为()A .B .C .D .【答案】C【分析】判断函数的奇偶性,再用赋值法,排除ABD ,即可.【详解】由()(sin sin 2)y f x x x x ==-,得()()()()()sin sin 2sin sin 2f x x x x x x x f x -=----=--+=⎡⎤⎣⎦,所以()f x 为偶函数,故排除BD.当π2x =时,ππππ(sin sin π)02222y f ⎛⎫==-=> ⎪⎝⎭,排除A.故选:C.4.用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截得的圆台上底面半径为1,下底面半径为2,且该圆台侧面积为35π,则原圆锥的母线长为()A .2B .5C .4D .25【答案】D【分析】设圆台的母线长为l ,根据圆台的侧面积公式求出圆台的母线长,利用圆台的性质以及相似三角形即可求解.【详解】设圆台的母线长为l ,因为该圆台侧面积为35π,则由圆台侧面积公式可得π(12)3π35πl l +==,所以5l =,设截去的圆锥的母线长为l ',由三角形相似可得12l l l '='+,则25l l ''=+,解得5l '=,所以原圆锥的母线长5525l l '+=+=,故选:D .5.某兴趣小组研究光照时长x (h )和向日葵种子发芽数量y (颗)之间的关系,采集5组数据,作如图所示的散点图.若去掉()10,2D 后,下列说法正确的是()A .相关系数r 变小B .决定系数2R 变小C .残差平方和变大D .解释变量x 与预报变量y 的相关性变强【答案】D【分析】从图中分析得到去掉()10,2D 后,回归效果更好,再由相关系数,决定系数,残差平方和和相关性的概念和性质作出判断即可.【详解】从图中可以看出()10,2D 较其他点,偏离直线远,故去掉()10,2D 后,回归效果更好,对于A ,相关系数r 越接近于1,模型的拟合效果越好,若去掉()10,2D 后,相关系数r 变大,故A 错误;对于B ,决定系数2R 越接近于1,模型的拟合效果越好,若去掉()10,2D 后,决定系数2R 变大,故B 错误;对于C ,残差平方和越小,模型的拟合效果越好,若去掉()10,2D 后,残差平方和变小,故C 错误;对于D ,若去掉()10,2D 后,解释变量x 与预报变量y 的相关性变强,且是正相关,故D 正确.故选:D .6.已知函数()()e e 2x xx f x --=,则21log3a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,342b f -⎛⎫= ⎪⎝⎭,432c f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的大小关系为()A .b a c <<B .a b c <<C .c<a<bD .a c b<<【答案】A【分析】先判断函数的奇偶性,再判断函数的单调性,然后再比较43342log 3,2,2-的大小,再根据函数的单调性可得结果【详解】()f x 的定义域为R ,因为()()()e e ee ()22x xxx x x f x f x ------===,所以()f x 为偶函数,所以()()2221log log 3log 33a f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭,443322c f f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,当0x >时,()()()e e e e 2xx x xx f x ---++'=,因为0x >,所以e 1,0e 1x x -><<,所以e e 0x x -->,(e e )0x x x -+>,所以()0f x '>,所以()f x 在(0,)+∞上单调递增,因为2x y =在R 上单调递增,且340143-<<<,所以43013402222-<<<<,即433402122-<<<<,因为2log y x =在(0,)+∞上为增函数,且234<<,所以222log 2log 3log 4<<,即21log 32<<,所以4334202log 32-<<<,所以()433422log 32f f f -⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即b a c <<,故选:A7.已知抛物线21:4C y x =的焦点为F ,过F 且斜率大于零的直线l 与1C 及抛物线22:4C y x =-的所有公共点从左到右分别为点A B C 、、,则BC =()A .4B .6C .8D .10【答案】C【分析】设直线l 的方程为1(0)x my m =+>,代入22:4C y x =-,化简后由Δ0=求出m 的值,从而可得直线方程,再代入21:4C y x =化简,结合弦长公式可得答案.【详解】由题意可得()1,0F ,设直线l 的方程为1(0)x my m =+>,由题意可得直线l 与抛物线1C 必有2个交点,与抛物线2C 相切,联立方程组214x my y x=+⎧⎨=-⎩,可得2440y my ++=,所以2Δ16160m =-=,解得1m =,故直线l 的方程为1x y =+,与抛物线1C 方程联立214x y y x=+⎧⎨=⎩,得2610x x -+=,设()()1122,,,B x y C x y ,则126x x +=,所以1228BC x x =++=.故选:C.8.互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系,但如果平面坐标系中两条坐标轴不垂直,则这样的坐标系称为“斜坐标系”.如图,在斜坐标系中,过点P 作两坐标轴的平行线,其在x 轴和y 轴上的截距,a b 分别作为点P 的x 坐标和y 坐标,记(),P a b .若斜坐标系中,x 轴正方向和y 轴正方向的夹角为θ,则该坐标系中()11,M x y 和()22,N x y 两点间的距离为()A .()()()()22121212122cos x x y y x x y y θ-+-+--B .()()()()22121212122cos x x y y x x y y θ-+----C .()()()()22121212122cos x x y y x x y y θ-+-+--D .()()()()22121212122cos x x y y x x y y θ-+----【答案】A【分析】建立直角坐标系,求出直角坐标,即可得解.【详解】以O 为坐标原点,原x 轴正方向为x 轴,垂直于x 轴的方向为y 轴建立平面直角坐标系,则在直角坐标系下,()111cos s n ,i M x y y θθ+,()222cos s n ,i N x y y θθ+,则()()22211221cos cos sin sin MN x y x y y y θθθθ+---=+()()()()22121212122cos x x y y x x y y θ=-+-+--.故选:A.二、多选题9.下列结论正确的是()A .若随机变量X 服从两点分布,1(1)2P X ==,则()12E X =B .若随机变量Y 的方差()2D Y =,则(32)8D Y +=C .若随机变量ξ服从二项分布14,2B ⎛⎫⎪⎝⎭,则1(3)4P ξ==D .若随机变量η服从正态分布()25,N σ,(2)0.1P η<=,则(28)0.8P η<<=【答案】ACD【分析】根据二点分布的期望公式,可判定A 正确;根据方差的性质,可判定B 错误;根据二项分布的概率计算公式,可判定C 正确;根据正态分布曲线的对称性,可判定D 正确.【详解】对于A 中,由随机变量X 服从两点分布且1(1)2P X ==,则()11122E X =⨯=,故A 正确;对于B 中,由随机变量Y 的方差()2D Y =,可得()2(32)318D Y D X +==,故B 错误;对于C 中,由变量ξ服从二项分布14,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭,则334111(3)C ()(1)224P ξ==-=,所以C 正确;对于D 中,由随机变量η服从正态分布()25,N σ,(2)0.1P η<=,根据正态分布曲线的对称性,可得(28)1(2)0.8P P ηη<<=-<=,所以D 正确.故选:ACD.10.已知函数21()3sin cos cos 2f x x x x =-+,则下列说法正确的是()A .()sin 26πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B .函数()f x 的最小正周期为πC .函数()f x 的图象的对称轴方程为()ππZ 12x k k =+∈D .函数()f x 的图象可由cos 2y x =的图象向左平移π12个单位长度得到【答案】AB【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数()f x ,再结合正弦函数的性质逐项判断作答.【详解】2131cos 21()3sin cos cos sin 22222x f x x x x x +=-+=-+31πsin 2cos 2sin 2226x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,故A 正确;函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==,故B 正确;由ππ2π()62x k k Z -=+∈,得ππ(Z)32k x k =+∈,故C 错误;由cos 2y x =的图象向左平移π12个单位长度,得ππcos 2cos 2cos 212623ππy x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2πsin sin π2π2π223sin 33x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝+⎭⎝⎦-⎭⎣,故D 错误.故选:AB11.一口袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球,从中无放回的随机取两次,每次取1个球,记事件A 1:第一次取出的是红球;事件A 2:第一次取出的是白球;事件B :取出的两球同色;事件C :取出的两球中至少有一个红球,则()A .事件1A ,2A 为互斥事件B .事件B ,C 为独立事件C .()25P B =D .()234P C A =【答案】ACD【分析】根据互斥事件、独立事件的定义判断AB ,由组合知识求得()P B 判断C ,根据条件概率的定义求得2(|)P C A 判断D .【详解】第一次取出的球是红球还是白球两个事件不可能同时发生,它们是互斥的,A 正确;由于是红球有3个,白球有2个,事件B 发生时,两球同为白色或同为红色,2325223225C C ()3()C C ()4C P BC P C P B ===+,事件B 不发生,则两球一白一红,()1P C =,,B C 不独立,B 错;223225C C 2()C 5P B +==,C 正确;事件2A 发生后,口袋中有3个红球1个白球,只有从中取出一个红球,事件C 才发生,所以23(|)4P C A =,D 正确.故选:ACD .12.已知函数()sin ln f x x x =+,将()f x 的所有极值点按照由小到大的顺序排列,得到数列{}n x ,对于正整数n ,则下列说法中正确的有()A .()1ππn n x n-<<B .1πn n x x +-<C .(21)π2n n x ⎧-⎫-⎨⎬⎩⎭为递减数列D .()2(41)π1ln2n n f x ->-+【答案】AC【分析】()f x 的极值点为()f x '的变号零点,即为函数cos y x =与函数1y x=-图像在()0,∞+交点的横坐标.将两函数图像画在同一坐标系下.A 选项,利用零点存在性定理及图像可判断选项;BC 选项,由图像可判断选项;D 选项,注意到(41)π(41)π1ln22n n f --⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,由图像可得()f x 单调性,后可判断选项.【详解】()f x 的极值点为()1cos f x x x'=+在()0,∞+上的变号零点.即为函数cos y x =与函数1y x=-图像在()0,∞+交点的横坐标.又注意到()0,x ∈+∞时,10x -<,N k ∈时,()1212cos π+ππ+πk k =-<-,N k *∈,022222πππ,∪π,πx k k ⎛⎫⎛⎫∈-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时,cos 0x >.据此可将两函数图像画在同一坐标系中,如下图所示.A 选项,注意到N k ∈时,120222ππππf k k ⎛⎫'+=> ⎪⎝⎭+,()12102ππππf k k '+=-+<+,31203222ππππf k k ⎛⎫'+=> ⎪⎝⎭+.结合图像可知当21,N n k k *=-∈,()()112π,ππ,πn x n n n n ⎛⎫⎛⎫∈-⊆- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.当2,N n k k *=∈,()()()1112π,ππ,πn x n n n n ⎛⎫⎛⎫∈--⊆- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故A 正确;B 选项,由图像可知325322π,πx x ><,则32πx x ->,故B 错误;C 选项,(21)π2n n x --表示两点(),0n x 与12π,0n ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭间距离,由图像可知,随着n 的增大,两点间距离越来越近,即(21)π2n n x ⎧-⎫-⎨⎬⎩⎭为递减数列.故C 正确;D 选项,由A 选项分析可知,()241212π,π,N n n x n n *⎛⎫-∈-∈ ⎪⎝⎭,又结合图像可知,当()2412,πn n x x ⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭时,1cos x x >-,即此时()0f x ¢>,得()f x 在()2412,πn n x ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增,则()2(41)π(41)π1ln 22n n n f x f --⎛⎫<=-+ ⎪⎝⎭,故D 错误.故选:AC【点睛】关键点点睛:本题涉及函数的极值点,因函数本身通过求导难以求得单调性,故将两相关函数画在同一坐标系下,利用图像解决问题.三、填空题13.函数()ln f x x x =⋅在e x =处的切线方程为.【答案】2ey x =-【分析】求出函数的导函数,即可求出切线的斜率,再由点斜式求出切线方程.【详解】因为()ln f x x x =⋅,则()e e ln e e f =⋅=,又()ln 1f x x '=+,则()e ln e 12f '=+=,所以函数()ln f x x x =⋅在e x =处的切线方程为()e 2e y x -=-,即2e y x =-.故答案为:2ey x =-14.若12nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的二项式系数之和为64,则展开式中的常数项是.【答案】60【分析】先根据二项式系数之和求出n ,然楼根据展开式的通式,令x 的次数为零即可得常数项.【详解】由12nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的二项式系数之和为64得264n=,解得6n =,即612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭,其展开式的通式为()()366621661C 212C rr r r r r rr T x xx ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭令3602r-=得4r =,()42441612C 60T +∴=-=故答案为:60.15.某高中学校在新学期增设了“传统文化”、“数学文化”、“综合实践”、“科学技术”和“劳动技术”5门校本课程.小明和小华两位同学商量每人选报2门校本课程.若两人所选的课程至多有一门相同,且小明必须选报“数学文化”课程,则两位同学不同的选课方案有种.(用数字作答)【答案】36【分析】分两类:所选课程恰有一门相同和没有相同,利用排列、组合分别求出每类的种数,再利用分类计数原理即可求出结果.【详解】当小明和小华两位同学所选的课程恰有一门相同时:相同的课程为“数学文化”时,有24A 12=种,相同的课程不是“数学文化”时,有1134C C 12=种,所以小明和小华两位同学所选的课程恰有一门相同时,共有24种,当小明和小华两位同学所选的课程没有相同时,有1243C C 12=,所以,两位同学不同的选课方案有241236+=,故答案为:3616.费马定理是几何光学中的一条重要原理,在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质.例如,点P 为双曲线(1F ,2F 为焦点)上一点,点P 处的切线平分12F PF ∠.已知双曲线C :22142x y -=,O 为坐标原点,l 是点103,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭处的切线,过左焦点1F 作l 的垂线,垂足为M ,则OM =.【答案】2【分析】延长2PF 交1F M 延长线于点N ,结合题意得点M 为1F N 的中点,1PN PF =,从而得到212OM F N =,再结合双曲线的定义即可求解.【详解】如图,延长2PF 交1F M 延长线于点N ,因为点M 是12F PF ∠的角平分线上的一点,且1F M MP ⊥,所以点M 为1F N 的中点,所以1PN PF =,又点O 为12F F 的中点,且1224PF PF a -==,所以()()22111142222OM F N PN PF PN PF ==-=-+=.故答案为:2.四、解答题17.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,数列{}n b 为等比数列,满足12542,30,2a b S b ===+是3b 与5b 的等差中项.(1)求数列{}{},n n a b 的通项公式;(2)设()(1)n n n n c a b =-+,求数列{}n c 的前20项和20T .【答案】(1)2n a n =,12n n b -=;(2)202+593【分析】(1)设等差数列{}n a 的公差为d ,等比数列{}n b 的公比为q ,利用12a =,515452S a d ⨯=+求出d 值即可得到{}n a 的通项公式;再由题意得4352(2)b b b +=+,结合12b =可求出q 值,进一步可得{}n b 的通项公式;(2)由()392021(246840)12222T =-+-+-++-+-+-+ ,利用等比数列求和公式,结合分组求和即可求出20T .【详解】(1)设等差数列{}n a 的公差为d ,等比数列{}n b 的公比为q ,因为12a =,所以55410302S d ⨯=+=,解得2d =,所以22(1)2n a n n =+-=,由题意知:()43522b b b +=+,因为22b =,所以()2322222q q q +=+,解得2q =,所以12n n b -=;(2)由(1)得()11(1)22(1)2(1)2n n n n n n c n n --=-+=-⋅+-⋅,()392021(246840)12222T =-+-+-++-+-+-+ ()220200112212+59210201(2)33⎡⎤-⨯---⎣⎦=⨯+=+=--.18.近年来,绿色环保和可持续设计受到社会的广泛关注,成为了一种日益普及的生活理念和方式.可持续和绿色能源,是我们这个时代的呼唤,也是我们每一个人的责任.某环保可持续性食用产品做到了真正的“零浪费”设计,其外包装材质是蜂蜡.食用完之后,蜂蜡罐可回收用于蜂房的再建造.为了研究蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐与蜜蜂种类的关系,研究团队收集了黄、褐两种颜色的蜂蜡罐,对,M N 两个品种的蜜蜂各60只进行研究,得到如下数据:黄色蜂蜡罐褐色蜂蜡罐M 品种蜜蜂4020N 品种蜜蜂5010(1)依据小概率值0.05α=的独立性检验,分析蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐是否与蜜蜂种类有关联?(2)假设要计算某事件的概率()P B ,常用的一个方法就是找一个与B 事件有关的事件A ,利用公式:()()()()()()()P B P AB P AB P A P B A P A P B A =+=⋅+⋅求解,现从装有a 只M 品种蜜蜂和b 只N 品种蜜蜂的蜂蜡蠸中不放回地任意抽取两只,令第一次抽到M 品种蜜蜂为事件A ,第二次抽到M 品种蜜蜂为事件B ,求()P B (用,a b 表示()P B )附:()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++,其中n a b c d =+++.临界值表:α0.10.050.010.0050.001x α 2.706 3.841 6.6357.87910.828【答案】(1)蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐与蜜蜂种类有关联;(2)()a P B a b =+【分析】(1)由已知数据结合公式求2χ,比较其与临界值的大小,由此确定蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐与蜜蜂种类有关联,进一步求频率判断;(2)由古典概型概率公式和条件概率公式求()()()(),,,P A P B A P A P B A ,再代入所给公式求解.【详解】(1)根据列表得2212060040 4.444 3.841609309χ⨯==≈>⨯⨯,所以依据0.05α=的独立性检验,蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐与蜜蜂种类有关联,M 品种进入黄色蜂蜡罐的频率为23,M 品种进入褐色蜂蜡罐的频率为13,N 品种进入黄色蜂蜡罐的频率为56,N 品种进入褐色蜂蜡罐的频率为16,依据频率分析,M 品种的蜜蜂选择褐色蜂蜡罐的频率是N 品种的蜜蜂的两倍,所以品种M N 、的蜜蜂选择进入黄色蜂蜡罐与褐色蜂蜡罐有显著差异;(2)由已知上式知,()()()()1,,,11a a b a P A P B A P A P B A a b a b a b a b -====++-++-则()()()()()()()P B P AB P AB P A P B A P A P B A=+=⋅+⋅,所以1()11a a b a P B a b a b a b a b -=⋅+⋅++-++-,所以()()()()11a a b a P B a b a b a b +-==++-+,所以()a P B a b =+.19.如图,在平面四边形ABCD 中,4AC =,BC CD ⊥.(1)若2AB =,3BC =,15CD =,求△ACD 的面积;(2)若2π3B ∠=,π6D ∠=,求3162AD BC ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭的最大值.【答案】(1)7154(2)463【分析】(1)先用余弦定理求出cos ACB ∠,再利用面积公式求解;(2)设BCA θ∠=,运用正弦定理分别表示出,BC AD ,再利用恒等变换以及三角函数的性质求解.【详解】(1)在ABC 中,22216947cos 22438AC BC AB ACB AC BC +-+-∠===⋅⨯⨯,因为BC CD ⊥,所以7sin cos 8ACD ACB ∠=∠=,所以ACD 的面积117715sin 4152284S AC CD ACD =⋅⋅∠=⨯⨯⨯=;(2)设BCA θ∠=,π03θ<<,则π2ACD θ∠=-,π3BAC θ∠=-.在ABC 中,2ππsin sin 33BC AC θ=⎛⎫- ⎪⎝⎭,则8πsin 33BC θ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,在ACD 中,ππsin sin 62AD AC θ=⎛⎫- ⎪⎝⎭,则8cos AD θ=,所以31438π4cos sin 62333AD BC θθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭434346πcos sin sin 3334θθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭,当π4θ=时,3162AD BC ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭取得最大值463;综上,ACD 的面积为7154,3162AD BC ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭的最大值463.20.如图,四棱锥P ABCD -的底面为正方形,2AB AP ==,PA ⊥平面ABCD ,E ,F 分别是线段PB,PD的中点,G是线段PC上的一点.(1)求证:平面EFG⊥平面PAC;(2)若直线AG与平面AEF所成角的正弦值为13,且G点不是线段PC的中点,求三棱锥E ABG-体积.【答案】(1)证明见解析(2)1 9【分析】(1)由面面垂直的判定定理证明即可;(2)建立空间直角坐标系,用坐标法求出G点坐标,然后求解即可.【详解】(1)证明:如图:连接BD,在正方形ABCD中BD AC⊥,又PA⊥平面ABCD,故PA BD⊥.而PA,AC是平面PAC上的两条相交直线,所以BD⊥平面PAC.在PBD△中,EF为中位线,故EF BD∥.所以EF⊥平面PAC.又EF⊂平面EFG,所以平面EFG⊥平面PAC.(2)如图:以AB ,AD ,AP 所在直线为x ,y ,z 轴建立如图空间直角坐标系A xyz -,则()0,0,0A ,()2,0,0B ,()2,2,0C ,()002P ,,,()0,2,0D ,()1,0,1E ,()0,1,1F ,()1,0,1AE =uuu r ,()0,1,1AF = ,设平面AEF 的一个法向量为()111,,m x y z = ,则00AE m AF m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即111100x z y z +=⎧⎨+=⎩,取()1,1,1m =- ,设101,2PG PC λλλ⎛⎫=<<≠ ⎪⎝⎭ ,则(0,0,2)(2,2,2)(2,2,22)AG AP PG AP PC λλλλλ=+=+=+-=- .则222621sin cos ,3344(22)m AG λθλλλ-===⨯++- ,整理得212810λλ-+=,解得16λ=或12λ=(舍去),故16PG PC = ,故G 到平面PAB 的距离1163h BC ==,故1226EBG S BE h =⋅=△.因为()()1,0,10,1,00AE BC ⋅=⋅= ,所以AE BC ⊥,又()()1,0,12,0,20AE BP ⋅=⋅-= ,所以AE BP ⊥,又BP BC P = ,所以EA ⊥平面PBC ,故A 到平面BEG 的距离为2EA =.三棱锥E ABG -体积为112123369E ABG A EBG EBG V V S EA --==⋅=⨯⨯=△.21.已知函数()()2ln 21f x a x x a x =+-+,其中0a >.(1)求函数()f x 的单调区间;(2)当102a <<时,判断函数()f x 零点的个数.【答案】(1)答案见解析(2)一个零点,理由见解析【分析】(1)求出()f x ',分12a =、102a <<、12a >讨论可得答案;(2)由(1)当102a <<时,函数()f x 的单调递增区间为()0,a ,1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭,单调递减区间为1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭可得函数()f x 的极大值()f a ,再利用导数证明()0f a <可得答案.【详解】(1)()()()()()212210x x a a f x x a x x x --'=+-+=>,令()0f x '=得21,2x x a ==,当12a =时,()0f x '≥,则函数()f x 在()0,∞+上单调递增,当102a <<时,0x a <<或12x >时,()0f x ¢>,12a x <<时,()0f x '<,所以函数()f x 在()0,a ,1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增,在1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,当12a >时,102x <<或x a >时,()0f x ¢>,12x a <<时,()0f x '<,所以函数()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭,(),a +∞上单调递增,在1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减.综上所述,当12a =时,函数()f x 的单调递增区间为()0,∞+,无单调递减区间;当102a <<时,函数()f x 的单调递增区间为()0,a ,1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭,单调递减区间为1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭;当12a >时,函数()f x 的单调递增区间为在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭,(),a +∞,单调递减区间为1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭.(2)当102a <<时,函数()f x 仅有一个零点的个数,理由如下,由(1)得当10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,函数()f x 在()0,a ,1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增,在1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减;则函数()f x 的极大值为()()()2ln 21ln 1f a a a a a a a a a =+-+=--,且极小值为()12f f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭,令()ln 1g x x x =--,10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则()1110x g x x x -'=-=>,10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以()g x 在10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递增,所以()13ln 2022g x g ⎛⎫<=--< ⎪⎝⎭,所以当10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()()ln 10f a a a a =--<,()()()()224222e ln e e 21e e 1e 2f a a a =+-+=--,因为10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以()20,1a ∈,22e 10,e 20a ->->,可得()2e 0f >,如下图,作出函数()f x 的大致图象,由图象可得当102a <<时,函数()f x 仅有一个零点的个数.【点睛】关键点点睛:解题的关键点是利用导数研究函数的单调性与极值,考查数形结合思想与运算求解能力.22.已知中心在坐标原点,焦点在x 轴上的椭圆过点()23P ,,且它的离心率12e =(I )求椭圆的标准方程;(II )与圆()2211x y -+=相切的直线:l y kx t =+交椭圆于M 、N 两点,若椭圆上一点C 满足OM ON OC λ+= ,求实数λ的取值范围【答案】(1)22186x y +=;(2)()()2,00,2-⋃【分析】(1)根据题意先设出椭圆的标准方程,然后根据椭圆上的点及离心率可求出方程中的待定系数,进而可得所求的方程;(2)由直线和圆相切可得212t k t-=(t≠0),然后将直线方程代入椭圆方程后得到关于x 的一元二次方程,根据根据系数的关系可得点C 的坐标,代入椭圆方程后整理得到2222222234111t k t t λ==+⎛⎫++ ⎪⎝⎭,根据t 的范围可得202λ<<,进而得到所求范围.【详解】(1)设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>,由已知得2222243112a b c a c a b ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩,,,解得2286a b ⎧=⎨=⎩,,所以椭圆的标准方程为22186x y +=.(2)因为直线l :y =kx +t 与圆(x -1)2+y 2=1相切,所以21t kk ++=1,整理得212t k t-=(t≠0).由22186y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得(3+4k 2)x 2+8ktx +4t 2-24=0,因为直线l 与椭圆交于M ,N 两点,所以()()()2222226443442416243180k t k t k t ∆=-=-+>+-,将212t k t-=代入上式可得0∆>恒成立.设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),则有x 1+x 2=-2834kt k +,所以y 1+y 2=kx 1+t +kx 2+t =k(x 1+x 2)+2t =2634t k +,因为OC λ= ()1212,x x y y ++2286,3434kt t k k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭),所以可得C ()()2286,3434kt t k k λλ⎛⎫-- ⎪ ⎪++⎝⎭,又因为点C 在椭圆上,所以()22222834k t k λ++()2222634t k λ+=1,所以2222222234111t k t t λ==+⎛⎫++ ⎪⎝⎭,因为t 2>0,所以221t ⎛⎫ ⎪⎝⎭+21t +1>1,所以202λ<<,所以λ的取值范围为()()2,00,2-⋃.【点睛】解决圆锥曲线中的范围或最值问题时,若题目的条件和结论能体现出明确的函数关系,则可先建立目标函数,再求这个函数的最值.在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑:①利用判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围;②利用已知参数的范围,求出新参数的范围,解题的关键是建立两个参数之间的等量关系;③利用基本不等式求出参数的取值范围;④利用函数值域的求法,确定参数的取值范围.。

2022届广州市名校高二第二学期数学期末考试试题含解析

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2022届广州市名校高二第二学期数学期末考试试题一、单选题(本题包括12个小题,每小题35,共60分.每小题只有一个选项符合题意)1.若122n nn n n C x C x C x +++L 能被7整除,则,x n 的值可能为 ( )A .4,3x n ==B .4,4x n ==C .x="5,n=4"D .6,5x n ==2.已知某函数图象如图所示,则图象所对应的函数可能是( )A .2xx y =B .22xy =-C .e xy x =-D .|2|2x y x =﹣3.已知10个产品中有3个次品,现从其中抽出若干个产品,要使这3个次品全部被抽出的概率不小于0.6,则至少应抽出的产品个数为( ) A .7B .8C .9D .104.已知a ,b ,c ,R d ∈,且满足1a b +=,1c d +=,1ac bd +>,对于a ,b ,c ,d 四个数的判断,给出下列四个命题:①至少有一个数大于1;②至多有一个数大于1;③至少有一个数小于0;④至多有一个数小于0.其中真命题的是( ) A .①③B .②④C .①④D .②③5.已知随机变量ξ服从正态分布()21,N σ,若()20.66P ξ≤=,则()0P ξ≤=( )A .0.84B .0.68C .0.34D .0.166.已知21zi i=++,则复数z =( ) A 10B .2C .13i -D .13i +7.某市交通部门为了提高某个十字路口通行效率,在此路口增加禁止调头标识(即车辆只能左转、右转、直行),则该十字路口的行车路线共有( ) A .24种B .16种C .12种D .10种8.已知随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ,且(0)(2)P P a ξξ<=>-,则a =( ) A .-2B .2C .4D .69.已知定义域为R 的奇函数()f x ,当0x >时,满足()()()23log 72,0233,2x x f x f x x ⎧--<≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩,则()()()()123....2018f f f f ++++=( ) A .2log 5B .2log 5-C .2-D .010.抛物线21y x =+和直线3y x =+所围成的封闭图形的面积是( )A .132B .112C .92D .7211.6的展开式中的常数项是( ) A .192B .192-C .160D .160-12.经过椭圆22x 2y 2+=的一个焦点作倾斜角为45o 的直线l ,交椭圆于M ,N 两点,设O 为坐标原点,则OM ON ⋅u u u u v u u u v等于( ) A .3-B .13±C .13-D .12-二、填空题(本题包括4个小题,每小题5分,共20分)13.已知函数2()e x f x x =与()2e xg x x a =+的图象有且只有三个交点,则实数a 的取值范围为________.14.小明玩填数游戏:将1,2,3,4四个数填到44⨯的表格中,要求每一行每一列都无重复数字。

广东省广州市高二下学期数学期末考试试卷

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广东省广州市高二下学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共18题;共36分)1. (2分) (2019高一上·温州月考) 下列表示正确的是()A . 0∈NB . ∈NC . –3∈ND . π∈Q2. (2分) (2019高二下·瑞安期末) 若关于的不等式的解集是,则实数m等于()A . -1B . -2C . 1D . 23. (2分)(2019·通州模拟) 若不等式组可表示为由直线围成的三角形区域(包括边界),则实数的范围是()A .B .C .D .4. (2分)(2017·九江模拟) 已知数列{an}为等比数列,若a2=2,a10=8,则a6=()A . ±4B . ﹣4C . 4D . 55. (2分)设a,b是实数,则“a+b0”是“ab0”的()A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件6. (2分) (2018高三下·鄂伦春模拟) 若双曲线的一个焦点为,则()A .B .C .D .7. (2分)已知实数a,b满足a2+b2﹣4a+3=0,函数f(x)=asinx+bcosx+1的最大值记为φ(a,b),则φ(a,b)的最小值为()A . 1B . 2C . +1D . 38. (2分)已知f(x)=3ax2+bx-5a+b是偶函数,且其定义域为[6a-1,a],则a+b=()A .B . -1C . 1D . 79. (2分)α、β表示平面,a、b表示直线,则a∥α的一个充分条件是()A . α⊥β,且a⊥βB . α∩β=b,且a∥bC . a∥b,且b∥αD . α∥β,且a⊂β10. (2分) (2019高二上·洛阳月考) 在中,内角的对边分别为,且,则角为()A .B .C .D .11. (2分) (2020高二下·怀化期末) 设,则的大小关系是()A .B .C .D .12. (2分) (2019高一上·昌吉期中) 函数的零点的个数是()A . 0B . 1C . 2D . 313. (2分) (2018高二上·锦州期末) 若,满足条件,则的最大值为()A . 5B . 1C .D . -114. (2分)(2017·嘉兴模拟) 等差数列中,则()A . 45B . 42C . 21D . 8415. (2分)(2020·长沙模拟) 如图,在正方体的八个顶点中任取两个点作直线,与直线异面且夹角成的直线的条数为().A .B .C .D .16. (2分) (2016高一上·襄阳期中) 若函数f(x),g(x)分别是R上的奇函数、偶函数,且满足f(x)+g(x)=2x ,则有()A . f(3)<g(0)<f(4)B . g(0)<f(4)<f(3)C . g(0)<f(3)<f(4)D . f(3)<f(4)<g(0)17. (2分) (2020高三上·深圳月考) 如图,正方体的棱长为,以下结论错误的是()A . 面对角线中与直线所成的角为的有8条B . 直线与垂直C . 直线与平行D . 三棱锥的体积为18. (2分) (2019高二下·仙桃期末) 已知抛物线,过点的任意一条直线与抛物线交于两点,抛物线外一点,若∠ ∠ ,则的值为()A .B .C .D .二、填空题 (共4题;共4分)19. (1分)(2017·潍坊模拟) 某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为________.20. (1分) (2019高二上·湖北期中) 若圆上恰有3个点到直线的距离为1,则________.21. (1分) (2018高三上·河北月考) 已知函数下列四个命题:①f(f(1))>f(3);② x0∈(1,+∞),f'(x0)=-1/3;③f(x)的极大值点为x=1;④ x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)-f(x2)|≤1其中正确的有________(写出所有正确命题的序号)22. (1分) (2016高三上·六合期中) 如图,在2×4的方格纸中,若和是起点和终点均在格点的向量,则向量2 + 与﹣的夹角余弦值是________.三、解答题 (共3题;共30分)23. (10分).24. (10分)已知双曲线过点(3,﹣2)且与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦点.(1)求双曲线的标准方程;(2)若点M在双曲线上,F1、F2为左、右焦点,且|MF1|=2|MF2|,试求△MF1F2的面积.25. (10分) (2017高二下·深圳月考) 已知函数,其中.(Ⅰ)求函数的零点;(Ⅱ)讨论在区间上的单调性;(Ⅲ)在区间上,是否存在最小值?若存在,求出最小值;若不存在,请说明理由.参考答案一、单选题 (共18题;共36分)答案:1-1、考点:解析:答案:2-1、解析:答案:3-1、考点:解析:答案:4-1、考点:解析:答案:5-1、考点:解析:答案:6-1、考点:解析:答案:7-1、考点:解析:答案:8-1、考点:解析:答案:9-1、考点:解析:答案:10-1、考点:解析:答案:11-1、考点:解析:答案:12-1、考点:解析:答案:13-1、考点:解析:答案:14-1、考点:解析:答案:15-1、考点:解析:答案:16-1、考点:解析:答案:17-1、考点:解析:答案:18-1、考点:解析:二、填空题 (共4题;共4分)答案:19-1、考点:解析:答案:20-1、考点:解析:答案:21-1、考点:解析:答案:22-1、考点:解析:三、解答题 (共3题;共30分)答案:23-1、考点:解析:答案:24-1、答案:24-2、考点:解析:答案:25-1、。

广东省广州市高二下学期数学期末考试试卷

广东省广州市高二下学期数学期末考试试卷

广东省广州市高二下学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题;共24分)1. (2分) (2019高一上·兴庆期中) 已知,则集合的元素个数是()A . 8B . 7C . 6D . 52. (2分) (2019高二下·临海期中) 已知函数,则()A . 4B . 3C . 2D . 13. (2分)某市组织一次高三调研考试,考试后统计的数学成绩服从正态分布,其密度函数,则下列命题不正确的是()A . 该市这次考试的数学平均成绩为90分B . 分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同C . 分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同D . 该市这次考试的数学标准差为204. (2分) (2017高一上·广东月考) 函数的定义域为()A .B .C .D .5. (2分)下列平面图形中与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是()A . 三角形B . 梯形C . 平行四边形D . 矩形6. (2分)(2019·吕梁模拟) 若复数的实部是2,则的虚部是()A .B . 1C .D . 27. (2分)(2017·天津) 设x∈R,则“2﹣x≥0”是“|x﹣1|≤1”的()A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件8. (2分)随机变量的分布列如下,且满足,则的值()123A . 0B . 1C . 2D . 无法确定,与,有关9. (2分)若,则的值为()A . 4B . 4或5C . 6D . 4或610. (2分) (2019高三上·玉林月考) 函数的大致图象为()A .B .C .D .11. (2分) (2019高一上·如皋月考) 已知函数,则的值是()A .B .C . 4D .12. (2分) (2019高一上·厦门期中) 已知函数,若在上为减函数,则的取值范围为()A .B .C .D .二、填空题 (共4题;共8分)13. (1分) (2020高二下·北京期中) 若复数的共轭复数,则 ________.14. (5分) (2016高三上·苏州期中) 函数y= 的定义域为________.15. (1分)(2017·山东模拟) 对于实数m,n,定义一种运算:,已知函数f(x)=a*ax ,其中0<a<1,若f(t﹣1)>f(4t),则实数t的取值范围是________.16. (1分)(2020·苏州模拟) 为了做好防疫工作,要对复工员工进行体温检测,从4名(含甲、乙两人)随机选2名,则甲、乙两人中,至少有一人被选中的概率是________.三、解答题 (共6题;共65分)17. (10分) (2018高二下·枣庄期末) 在的展开式中,求:(1)第3项的二项式系数及系数;(2)含x2的项.18. (15分)(2017·河南模拟) 某校高一某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图因故都受到不同程度的损坏,但可见部分如下,据此解答如下问题:(Ⅰ)求分数在[50,60)的频率及全班人数;(Ⅱ)求分数在[80,90)之间的频数,并计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高;(Ⅲ)若规定:75(包含75分)分以上为良好,90分(包含90分)以上为优秀,要从分数在良好以上的试卷中任取两份分析学生失分情况,设在抽取的试卷中,分数为优秀的试卷份数为X,求X的概率分布列及数学期望.19. (10分)如图, 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,点D是AB的中点(1)求证:AC 1//平面CDB1;(2)求证:AC⊥面BB1C1C;20. (10分)(2017·呼和浩特模拟) 某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A,B两种奶制品.生产1吨A产品需鲜牛奶2吨,使用设备1小时,获利1000元;生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨,使用设备1.5小时,获利1200元.要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍,设备每天生产A,B两种产品时间之和不超过12小时.假定每天可获取的鲜牛奶数量W(单位:吨)是一个随机变量,其分布列为W121518P0.30.50.2该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产,使其获利最大,因此每天的最大获利Z(单位:元)是一个随机变量.(1)求Z的分布列和均值;(2)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立,求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率.21. (10分)(2016·南通模拟) 如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆 =1(a>b>0)的离心率为,长轴长为4,过椭圆的左顶点A作直线l,分别交椭圆和圆x2+y2=a2于相异两点P,Q.(1)若直线l的斜率为,求的值;(2)若=λ ,求实数λ的取值范围.22. (10分)(2019·南通模拟) 已知函数.(1)讨论的单调性;(2)设的导函数为,若有两个不相同的零点.① 求实数的取值范围;② 证明:.参考答案一、单选题 (共12题;共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题;共8分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题;共65分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-2、21-1、21-2、22-1、。

2022-2023学年广东省广州市天河区高二(下)期末数学试卷【答案版】

2022-2023学年广东省广州市天河区高二(下)期末数学试卷【答案版】

2022-2023学年广东省广州市天河区高二(下)期末数学试卷一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.在某项测试中,测量结果ξ服从正态分布N (2,σ2),若P (2<ξ<4)=0.2,则P (ξ<0)=( ) A .0.1B .0.2C .0.3D .0.42.已知随机变量X ~B(4,23),则P (X ≥1)的值为( ) A .8081B .1681C .6581D .1813.已知数列{a n }满足a n +1﹣a n =3(n ∈N *),a 1=﹣6,则|a 1|+|a 2|+|a 3|+|a 4|+|a 5|+|a 6|=( ) A .27B .18C .9D .04.已知抛物线x =2y 2上的点M 到其焦点的距离为2,则点M 的横坐标是( ) A .32B .74C .158D .31165.古希腊时期,人们把宽与长之比为√5−12的矩形称为黄金矩形,把这个比值√5−12称为黄金分割比例,其中√5−12≈0.618.如下图为希腊的一古建筑,其中图中的矩形ABCD ,BCFE ,CFGH ,FGJI ,GJKL ,JKMN 均为黄金矩形,若M 与K 之间的距离超过2m ,C 与F 之间的距离小于14.5m ,则该古建筑中B 与C 之间的距离可能是( )(参考数据:0.6182≈0.382,0.6183≈0.236,0.6184≈0.146,0.6185≈0.090,0.6186≈0.056,0.6187≈0.034)A .22mB .23mC .24mD .25m6.甲、乙、丙三人相互做传球训练,第1次由甲将球传出,每次传球时,传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人,则4次传球后球在乙手中的概率为( ) A .14B .13C .38D .5167.某校高二年级羽毛球社团为了解喜欢羽毛球运动是否与性别有关,随机在高二年级抽取了若干人进行调查.已知抽取的女生人数是男生人数的3倍,其中女生喜爱羽毛球运动的人数占女生人数的25,男生喜爱羽毛球运动的人数占男生人数的35.若本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.05的前提下,认为喜爱羽毛球运动与性别有关”的结论,则被调查的男生至少有( )参考公式及数据:χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)A .35人B .32人C .31人D .30人8.已知函数f (x )=alnx +12x 2,若对任意正数x 1,x 2(x 1≠x 2),都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>2恒成立,则实数a的取值范围为( ) A .(0,1]B .(0,2]C .[1,+∞)D .[2,+∞)二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分. 9.已知(2﹣x )8=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 8x 8,则( ) A .a 0=28B .a 1=210C .a 1+a 2+…+a 8=﹣28D .展开式中所有项的二项式系数的和为2810.设离散型随机变量X 的概率分布列如表,若E (X )=1,Y =2X +1,则下列各式正确的是( )A .P (X =6)=14B .a =b =14C .E (Y )=3D .D (Y )=3411.已知函数f (x )=e 2x ﹣2ax ,a ∈R ,则下列结论中正确的有( ) A .f (x )必有唯一极值点B .若a =1,则f (x )在(﹣1,1)上有极小值1C .若a =1,对∀x ∈[0,+∞)有f (x )≥kx 恒成立,则k ≤2e ﹣2D .若存在x 0∈[2,3],使得f (x 0)≤0成立,则a ≥e 6612.已知双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,左、右顶点分别为A 1、A 2,P 为双曲线右支上的一点,且直线P A 1与P A 2的斜率之积等于3,则下列说法正确的是( ) A .双曲线C 的渐近线方程为y =±√3xB .若PF 1⊥PF 2,且S △PF 1F 2=6,则a =1C .分别以线段PF 1,A 1A 2为直径的两个圆内切D .∠PF 2A 1=2∠P A 1F 2三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分. 13.椭圆y 29+x 27=1的离心率为 .14.有4名同学和2位老师排成一排合影,其中2位老师必须相邻,则不同的排法有 种.(用数字作答)15.要做一个无盖的长方体箱子,其体积为36m 3,底面长方形长与宽的比为2:1,则当它的宽为 m 时,可使其表面积最小,最小表面积为 m 2.16.已知等比数列{a n }满足:a 1+a 2=20,a 2+a 3=80.数列{b n }满足b n =log 2a n (n ∈N *),其前n 项和为S n ,若b n S n +8≤λ恒成立,则λ的最小值为 .四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知函数f (x )=x 3+ax 2+bx (a ∈R ,b ∈R ),其图象在点(1,4)处的切线方程为y =4. (1)求函数f (x )的解析式;(2)求函数f (x )在区间[12,4]上的最值. 18.(12分)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的焦点坐标为F 1(﹣1,0)、F 2(1,0),点A(1,√22)为椭圆C 上一点.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)经过点F 2且倾斜角为45°的直线l 与椭圆C 相交于M ,N 两点,O 为坐标原点,求△OMN 的面积.19.(12分)5月25日是全国大、中学生心理健康日,“5.25”的谐音即为“我爱我”,意在提醒孩子们“珍惜生命、关爱自己”.学校将举行心理健康知识竞赛,第一轮选拔共设有A ,B ,C 三个问题,每位参加者按问题A ,B ,C 顺序作答,规则如下:①每位参加者计分器的初始分均为10分,答对问题A ,B ,C 分别加2分、4分、5分,答错任一题减2分;②每回答一题,计分器显示累计分数,当累计分数小于8分时,答题结束,淘汰出局;当累计分数大于或等于14分时,答题结束,进入下一轮;③当答完三题,若累计分数大于或等于14分,则答题结束,进入下一轮;否则,答题结束,淘汰出局.假设甲同学对问题A ,B ,C 回答正确的概率依次为34,23,12,且各题回答正确与否相互之间没有影响.(1)求甲同学进入下一轮的概率;(2)用ξ表示甲同学本轮答题结束时答对的个数,求ξ的分布列和数学期望E (ξ).20.(12分)已知正项数列{a n}的前n项和为S n,a n2+a n=2S n(n∈N*).数列{b n}是公比为2的等比数列,且b1=a2.(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式;(2)数列{a n},{b n}的所有项按照“当n为奇数时,b n放在前面;当n为偶数时,a n放在前面”的要求进行“交叉排列”,得到一个新数列{c n}:b1,a1,a2,b2,b3,a3,a4,b4,…,求数列{c n}的前4n+3项的和T4n+3.21.(12分)某医疗团队为研究M市的一种疾病发病情况与该市居民的年龄关系,从该市疾控中心得到以下数据:(1)若将每个区间的中点数据记为x i,对应的发病率记为y i(i=1,2,3,4,5),根据这些数据可以建立发病率y(‰)关于年龄x(岁)的经验回归方程y=b x+a,求a;(2)医学研究表明,化验结果有可能出现误差.现有M市某一居民年龄在[40,50),A表示事件“该居民化验结果呈阳性”,B表示事件“该居民患有这种疾病”.用频率估计概率,已知P(A|B)=0.9,P(A|B)=0.8,求P(A).参考公式及数据:b=∑(x i−x)(y i−y)ni=1∑n i=1(x i−x)2,∑5i=1x i2=11125,∑5i=1x i y i=78.522.(12分)已知函数f(x)=lnx+ax2,a∈R.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当a=1时,证明:f(x)≤x2+x﹣1;(3)求证:对任意的n∈N*且n≥2,都有:(1+122)(1+132)(1+142)⋯(1+1n2)<√e23.(其中e≈2.718为自然对数的底数)2022-2023学年广东省广州市天河区高二(下)期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.在某项测试中,测量结果ξ服从正态分布N (2,σ2),若P (2<ξ<4)=0.2,则P (ξ<0)=( ) A .0.1B .0.2C .0.3D .0.4解:ξ服从正态分布N (2,σ2),P (2<ξ<4)=0.2, 则P (0<ξ<2)=P (2<ξ<4)=0.2,P (ξ<2)=0.5, P (ξ<0)=P (ξ<2)﹣P (0<ξ<2)=0.5﹣0.2=0.3. 故选:C .2.已知随机变量X ~B(4,23),则P (X ≥1)的值为( ) A .8081B .1681C .6581D .181解:随机变量X ~B(4,23), 则X 的可能取值为0,1,2,3,4,P (X =0)=C 40(23)0(13)4=181,则P (X ≥1)=1﹣P (X =0)=1−181=8081. 故选:A .3.已知数列{a n }满足a n +1﹣a n =3(n ∈N *),a 1=﹣6,则|a 1|+|a 2|+|a 3|+|a 4|+|a 5|+|a 6|=( ) A .27B .18C .9D .0解:数列{a n }满足a n +1﹣a n =3(n ∈N *),a 1=﹣6, 则a 2=﹣3,a 3=0,a 4=3,a 5=6,a 6=9. ∴|a 1|+|a 2|+|a 3|+|a 4|+|a 5|+|a 6|=6+3+0+3+6+9=27. 故选:A .4.已知抛物线x =2y 2上的点M 到其焦点的距离为2,则点M 的横坐标是( ) A .32B .74C .158D .3116解:抛物线x =2y 2的标准方程为:y 2=12x , 所以准线方程为x =−18,设点M 的横坐标为x 0,由M 到焦点的距离为2及抛物线的性质可得2=x 0+18, 解得x 0=158, 故选:C .5.古希腊时期,人们把宽与长之比为√5−12的矩形称为黄金矩形,把这个比值√5−12称为黄金分割比例,其中√5−12≈0.618.如下图为希腊的一古建筑,其中图中的矩形ABCD ,BCFE ,CFGH ,FGJI ,GJKL ,JKMN 均为黄金矩形,若M 与K 之间的距离超过2m ,C 与F 之间的距离小于14.5m ,则该古建筑中B 与C 之间的距离可能是( )(参考数据:0.6182≈0.382,0.6183≈0.236,0.6184≈0.146,0.6185≈0.090,0.6186≈0.056,0.6187≈0.034)A .22mB .23mC .24mD .25m解:设|AB |=x 米,a =√5−12≈0.618,因为矩形ABCD ,EBCF ,FGHC ,FGJI ,LGJK ,MNJK 均为黄金矩形, 所以|BC |=ax ,|CF |=a 2x ,|GF |=a 3x ,|GJ |=a 4x ,|JK |=a 5x ,|KM |=a 6x , 又因为M 与K 间的距离超过2米,C 与F 间的距离小于14.5米,所以{a 6x >2a 2x <14.5,解得2a 6<x <14.5a 2,所以2a 5<ax <2a ,则22.2<ax <×23.5,比较各选项可知该古建筑中B 与C 间的距离可能是23米. 故选:B .6.甲、乙、丙三人相互做传球训练,第1次由甲将球传出,每次传球时,传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人,则4次传球后球在乙手中的概率为( ) A .14B .13C .38D .516解:画出树状图,如图所示:所以4次传球后球在乙手中的概率为516.故选:D .7.某校高二年级羽毛球社团为了解喜欢羽毛球运动是否与性别有关,随机在高二年级抽取了若干人进行调查.已知抽取的女生人数是男生人数的3倍,其中女生喜爱羽毛球运动的人数占女生人数的25,男生喜爱羽毛球运动的人数占男生人数的35.若本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.05的前提下,认为喜爱羽毛球运动与性别有关”的结论,则被调查的男生至少有( )参考公式及数据:χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)A .35人B .32人C .31人D .30人解:设抽取的男生人数为x ,由题意可得列联表如下表:X 2=4x(3x 5⋅9x 5−6x 5⋅2x 5)2x⋅3x⋅9x 5⋅11x5=433x ,因为本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜爱足球与性别有关”的结论, 所以有X 2≥3.841,即433x ≥3.841,解得x ≥31.688,又因为上述列联表中的所有数字均为整数,x 最小为35. 故选:A .8.已知函数f (x )=alnx +12x 2,若对任意正数x 1,x 2(x 1≠x 2),都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>2恒成立,则实数a的取值范围为( ) A .(0,1]B .(0,2]C .[1,+∞)D .[2,+∞)解:因为对任意两个不等的正数x 1,x 2,都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>2恒成立,设x 1>x 2,则f (x 1)﹣f (x 2)>2x 1﹣2x 2, 即f (x 1)﹣2x 1>f (x 2)﹣2x 2恒成立, 令函数F (x )=f (x )﹣2x ,问题等价于F (x )=alnx +12x 2﹣2x 在(0,+∞)上为增函数, 所以F ′(x )=ax+x ﹣2≥0在(0,+∞)上恒成立, 即a ≥2x ﹣x 2在(0,+∞)上恒成立, 所以a ≥(2x ﹣x 2)max =1, 即实数a 的取值范围是[1,+∞). 故选:C .二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分. 9.已知(2﹣x )8=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 8x 8,则( ) A .a 0=28 B .a 1=210C .a 1+a 2+…+a 8=﹣28D .展开式中所有项的二项式系数的和为28 解:(2﹣x )8=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 8x 8, 令x =0,则28=a 0,故A 正确;(2﹣x )8的展开式的通项公式为T r +1=C 8r 28−r (−1)r x r ,令r =1,则a 1=﹣8×27,故B 错误; 令x =1,则1=a 0+a 1+a 2+…+a 8,所以a 1+a 2+…+a 8=1﹣a 0=1﹣28,故C 错误;展开式中所有项的二项式系数的和为28,故D 正确. 故选:AD .10.设离散型随机变量X 的概率分布列如表,若E (X )=1,Y =2X +1,则下列各式正确的是( )A .P (X =6)=14B .a =b =14C .E (Y )=3D .D (Y )=34解:∵E (X )=1,∴(﹣1)×12+6b =1①; 又12+a +b =1②,联立①②,解得a =b =14,故B 正确; P (X =6)=b =14,故A 正确;E (Y )=E (2X +1)=2E (X )+1=3,故C 正确;∵D (X )=(﹣1﹣1)2×12+(0﹣1)2×14+(6﹣1)2×14=172, ∴D (Y )=D (2X +1)=4D (X )=34,故D 正确. 故选:ABCD .11.已知函数f (x )=e 2x ﹣2ax ,a ∈R ,则下列结论中正确的有( ) A .f (x )必有唯一极值点B .若a =1,则f (x )在(﹣1,1)上有极小值1C .若a =1,对∀x ∈[0,+∞)有f (x )≥kx 恒成立,则k ≤2e ﹣2D .若存在x 0∈[2,3],使得f (x 0)≤0成立,则a ≥e 66解:已知f (x )=e 2x ﹣2ax ,a ∈R ,函数定义域为R , 由题意得 f '(x )=2e 2x ﹣2a ,当a ≤0时,f ′(x )≥0,f (x )单调递增,无极值点,故选项A 错误; 当a =1时,f (x )=e 2x ﹣2x ,f '(x )=2e 2x ﹣2, 当x <0时,f ′(x )<0,f (x )单调递减; 当x >0时,f ′(x )>0,f (x )单调递增, 当x =0时,f (x )取得极小值,极小值f (0)=1, 则f (x )在(﹣1,1)上有极小值1,故选项B 正确;若对∀x ∈[0,+∞)有f (x )≥kx 恒成立,此时k ≤e 2x −2x x =e 2xx−2,不妨设g (x )=e 2xx −2,可得g ′(x )=2xe 2x −e 2x x 2=e 2x (2x−1)x 2,当0≤x <12时,g ′(x )<0,g (x )单调递减; 当x >12时,g ′(x )>0,g (x )单调递增,所以当x =12时,g (x )取得极小值也是最小值,最小值g (12)=2e ﹣2则k ≤2e ﹣2,故选项C 正确;若存在x 0∈[2,3],使得f (x 0)≤0成立, 即当x 0∈[2,3]时,2a ≥(e 2x x)min ,不妨设h (x )=e 2xx,函数定义域为R , 可得h ′(x )=2xe 2x −e 2x x 2=e 2x (2x−1)x 2,当2≤x ≤3时,h ′(x )>0,h (x )单调递增, 所以h (x )min =h (2)=e 42, 即2a ≥e 42,解得a ≥e 44,故选项D 错误.故选:BC . 12.已知双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,左、右顶点分别为A 1、A 2,P 为双曲线右支上的一点,且直线P A 1与P A 2的斜率之积等于3,则下列说法正确的是( ) A .双曲线C 的渐近线方程为y =±√3xB .若PF 1⊥PF 2,且S △PF 1F 2=6,则a =1C .分别以线段PF 1,A 1A 2为直径的两个圆内切D .∠PF 2A 1=2∠P A 1F 2解:对于A ,设P (x ,y ),则y 2=b 2(x 2a 2−1),因为A 1(﹣a ,0),A 2(a ,0),直线P A 1与P A 2的斜率率之积等于3,所以k PA 1•k PA 2=yx+a •y x−a =y 2x 2−a 2=b 2a 2=3,得b a=√3,所以双曲线C 的渐近线方程为y =±√3x ,故A 正确;对于B :由A 可得e =√1+b2a2=2,所以c =2a ,而P 为双曲线的右支上一点,根据双曲线的定义可得|PF 1|﹣|PF 2|=2a , 又PF 1⊥PF 2,且S △PF 1F 2=6,则|PF 2|•|PF 1|=12,由|PF 2|2+|PF 12|=(2c )2,可得(|PF 2|﹣|PF 1|)2+2|PF 2|•|PF 1|=4c 2,即4a 2+24=16a 2,解得a =√2,故B 错误;对于C :设PF 1的中点为O 1,O 为坐标原点,则OO 1为△PF 1F 2的中位线, 所以|OO 1|=12|PF 2|=12(|PF 1|﹣2a )=12|PF 1|﹣a , 则以线段PF 1为直径的圆,圆心为O 1,半径r 1=12|PF 1|, 以线段PF 2为直径的圆,圆心为O ,半径r 2=a ,所以|OO 1|=12|PF 1|﹣a =r 1﹣r 2,故两个圆内切,故C 正确;对于D :设P (x 0,y 0),则x 0>a ,不妨取y 0>0,∵e =2,∴c =2a ,b =√3a , 则渐近线方程为y =±√3x ,∴∠P A 1F 2∈(0,π3),∠PF 2A 1∈(0,2π3),又tan ∠PF 2A 1=−y 0x 0−c =−y 0x 0−2a ,tan ∠P A 1F 2=y0x 0+a ,tan2∠P A 1F 2=2y 0x 0+a 1−(y 0x 0+a )2=2y 0(x 0+a)(x 0+a)2−y 02=2y 0(x 0+a)(x 0+a)2−b 2(x 02a 2−1)=2y 0(x 0+a)(x 0+a)2−3(x 02−a 2)=−y 0x 0−2a=tan ∠PF 2A 1. ∵2∠P A 1F 2∈(0,2π2),∴∠PF 2A 1=2∠P A 1F 2,故D 正确.故选:ACD .三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分. 13.椭圆y 29+x 27=1的离心率为√53. 解:椭圆y 29+x 27=1,可得a =3,b =√7,所以c =√2,所以椭圆的离心率为:e =ca =√23. 故答案为:√23.14.有4名同学和2位老师排成一排合影,其中2位老师必须相邻,则不同的排法有240种.(用数字作答)解:将2位老师看作是一个整体,与另外4个人全排列,即A22A55=240.故答案为:240.15.要做一个无盖的长方体箱子,其体积为36m3,底面长方形长与宽的比为2:1,则当它的宽为3m 时,可使其表面积最小,最小表面积为54m2.解:设长方体中底面长方形的宽为xm,则长方体中底面长方形的长为2xm,由于长方体的体积为36cm3,则其高为362x2=18x2m,则其表面积S=f(x)=2x2+2x⋅18x2+4x•18x2=2x2+108x=2x2+54x+54x≥3√2x2⋅54x⋅54x3=54.当且仅当2x2=54x,即x=3时等号成立.∴当它的宽为3m时,可使其表面积最小,最小表面积为54m2.故答案为:3,54.16.已知等比数列{a n}满足:a1+a2=20,a2+a3=80.数列{b n}满足b n=log2a n(n∈N*),其前n项和为S n,若b nS n+8≤λ恒成立,则λ的最小值为310.解:设数列{a n}的公比为q,则q=a2+a3a1+a2=8020=4,因为a1+a2=20=a1+4a1,所以a1=4,所以a n=4•4n﹣1=4n,所以b n=log2a n=log24n=2n,S n=(b1+b n)n2=(2+2n)n2=n2+n,所以b nS n+8=2nn2+n+8=2n+8n+1(n∈N*),由对勾函数的性质知,当n=3时,n+8n+1取得最小值为203,此时b nS n+8=2n+8n+1取得最大值为310,所以λ≥310,即λ的最小值为310.故答案为:310.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知函数f(x)=x3+ax2+bx(a∈R,b∈R),其图象在点(1,4)处的切线方程为y=4.(1)求函数f (x )的解析式;(2)求函数f (x )在区间[12,4]上的最值. 解:(1)f ′(x )=3x 2+2ax +b ,所以f (x )在点(1,4)处切线的斜率为k =f ′(1)=3+2a +b , 因为切线方程为y =4,所以切线的斜率为0,且f (1)=4, 所以{3+2a +b =01+a +b =4,解得a =﹣6,b =9, 所以f (x )=x 3﹣6x 2+9x .(2)由(1)知f (x )=x 3﹣6x 2+9x . f ′(x )=3x 2﹣12x +9=3(x ﹣1)(x ﹣3), 令f ′(x )=0得x =1或3,所以在(12,1)上f ′(x )>0,f (x )单调递增,在(1,3)上f ′(x )<0,f (x )单调递减, 在(3,4)上f ′(x )>0,f (x )单调递增, 所以x =1处f (x )取得极大值f (1)=4, x =3处f (x )取得极小值f (3)=0, 又f (12)=(12)3﹣6(12)2+9(12)=258,f (4)=43﹣6×42+9×4=4,所以f (x )在[12,4]上的最大值为4,最小值为0.18.(12分)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的焦点坐标为F 1(﹣1,0)、F 2(1,0),点A(1,√22)为椭圆C 上一点.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)经过点F 2且倾斜角为45°的直线l 与椭圆C 相交于M ,N 两点,O 为坐标原点,求△OMN 的面积.解:(1)由题意可得{c =11a 2+12b2=1c 2=a 2−b 2,解得a 2=1,b 2=1,所以椭圆C 的标准方程为:x 22+y 2=1;(2)由题意设直线l 的方程为x =y +1,设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2), 联立{x =y +1x 2+2y 2=2,整理可得:3y 2+2y ﹣1=0, 显然Δ>0,y 1+y 2=−23,y 1y 2=−13,所以S △OMN =12•1•|y 1﹣y 2|=12•√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=12√49−4⋅(−13)=23.即△OMN 的面积为23.19.(12分)5月25日是全国大、中学生心理健康日,“5.25”的谐音即为“我爱我”,意在提醒孩子们“珍惜生命、关爱自己”.学校将举行心理健康知识竞赛,第一轮选拔共设有A ,B ,C 三个问题,每位参加者按问题A ,B ,C 顺序作答,规则如下:①每位参加者计分器的初始分均为10分,答对问题A ,B ,C 分别加2分、4分、5分,答错任一题减2分;②每回答一题,计分器显示累计分数,当累计分数小于8分时,答题结束,淘汰出局;当累计分数大于或等于14分时,答题结束,进入下一轮;③当答完三题,若累计分数大于或等于14分,则答题结束,进入下一轮;否则,答题结束,淘汰出局.假设甲同学对问题A ,B ,C 回答正确的概率依次为34,23,12,且各题回答正确与否相互之间没有影响.(1)求甲同学进入下一轮的概率;(2)用ξ表示甲同学本轮答题结束时答对的个数,求ξ的分布列和数学期望E (ξ). 解:(1)记答对A ,B ,C 分别为事件D 1,D 2,D 3, 甲同学进入下一轮为事件E ,则P(E)=P(D 1D 2+D 1D 2D 3+D 1D 2D 3)=34×23+34×13×12+14×23×12=1724; (2)由题意知ξ的可能取值为0,1,2, P(ξ=0)=P(D 1D 2)=14×13=112,P(ξ=1)=P(D 1D 2D 3+D 1D 2D 3)=34×13×12+14×23×12=524, P(ξ=2)=P(D 1D 2+D 1D 2D 3+D 1D 2D 3)=34×23+34×13×12+14×23×12=1724, 所以ξ的分布列为:数学期望E(ξ)=0×112+1×524+2×1724=138. 20.(12分)已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ,a n 2+a n =2S n (n ∈N *).数列{b n }是公比为2的等比数列,且b 1=a 2.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式;(2)数列{a n },{b n }的所有项按照“当n 为奇数时,b n 放在前面;当n 为偶数时,a n 放在前面”的要求进行“交叉排列”,得到一个新数列{c n }:b 1,a 1,a 2,b 2,b 3,a 3,a 4,b 4,…,求数列{c n }的前4n +3项的和T 4n +3.解:(1)由a n 2+a n =2S n ,知a n+12+a n+1=2S n +1,两式相减得,(a n+12−a n 2)+(a n +1﹣a n )=2a n +1,整理得(a n +1+a n )(a n +1﹣a n ﹣1)=0,因为a n >0,所以a n +1+a n >0,所以a n +1﹣a n =1,在a n 2+a n =2S n 中,令n =1,则a 1=1,所以数列{a n }是首项为1,公差为1的等差数列, 所以a n =1+(n ﹣1)×1=n ,因为数列{b n }是公比为2的等比数列,且b 1=a 2=2, 所以b n =2•2n ﹣1=2n .(2)T 4n +3=(b 1+a 1)+(a 2+b 2)+(b 3+a 3)+…+(b 2n ﹣1+a 2n ﹣1)+(a 2n +b 2n )+(b 2n +1+a 2n +1)+a 2n +2 =(b 1+b 2+…+b 2n +b 2n +1)+(a 1+a 2+…+a 2n +1+a 2n +2)=2(1−22n+1)1−2+(1+2n+2)⋅(2n+2)2=4n +1+2n 2+5n +1.21.(12分)某医疗团队为研究M 市的一种疾病发病情况与该市居民的年龄关系,从该市疾控中心得到以下数据:(1)若将每个区间的中点数据记为x i ,对应的发病率记为y i (i =1,2,3,4,5),根据这些数据可以建立发病率y (‰)关于年龄x (岁)的经验回归方程y =b x +a ,求a ;(2)医学研究表明,化验结果有可能出现误差.现有M 市某一居民年龄在[40,50),A 表示事件“该居民化验结果呈阳性”,B 表示事件“该居民患有这种疾病”.用频率估计概率,已知P (A |B )=0.9,P(A|B)=0.8,求P (A ).参考公式及数据:b=∑(x i−x)(y i−y)ni=1∑n i=1(x i−x)2,∑5i=1x i2=11125,∑5i=1x i y i=78.5解:(1)由题意,x=(25+35+45+55+65)÷5=45,y=(0.09+0.18+0.30+0.40+0.53)÷5=0.30,b=(∑5i=1x i y i−5xy)÷(∑5i=1x i2−5x2)=(78.5﹣5×45×0.30)÷(11125﹣5×452)=0.011,a=y−bx=0.30﹣0.011×45=﹣0.195;(2)由题意得P(B)=0.0003,所以P(B)=0.9997,由贝叶斯公式得P(A)=P(A|B)P(B)+P(A|B)P(B)=0.9×0.0003+0.2×0.9997=0.20021.22.(12分)已知函数f(x)=lnx+ax2,a∈R.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当a=1时,证明:f(x)≤x2+x﹣1;(3)求证:对任意的n∈N*且n≥2,都有:(1+122)(1+132)(1+142)⋯(1+1n2)<√e23.(其中e≈2.718为自然对数的底数)解:(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=1x +2ax=2ax2+1x,当a≥0时,在(0,+∞)上,f′(x)>0,f(x)单调递增,当a<0时,令f′(x)=0,得x=√−12a或−√−12a(舍),所以在(0,√−12a)上,f′(x)>0,f(x)单调递增,在(√−12a,+∞)上f′(x)<0,f(x)单调递减,综上所述,当a≥0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增,当a<0时,f(x)在(0,√−12a)上单调递增,在(√−12a,+∞)上单调递减.(2)证明:当a=1时,f(x)=lnx+x2,要证明f(x)≤x2+x﹣1,即证lnx+x2≤x2+x﹣1,需证lnx﹣x+1≤0,令g(x)=lnx﹣x+1,x>0,g′(x)=1x −1=1−xx,令g′(x)=0得x=1,所以在(0,1)上g′(x)>0,g(x)单调递增,在(1,+∞)上g′(x)<0,g(x)单调递减,所以g(x)max=g(1)=0,所以g(x)≤0,得证.(3)证明:由(2)可得lnx≤x﹣1(当且仅当x=1时等号成立),令x=1+1n2,n=1,2,3,…,则ln(1+122)<1n2<1n2−14=1n−12−1n+12,故ln(1 +122)+ln(1+132)+…+ln(1+1n2)<12−12−12+12+13−12−13+12+⋯+1n−12−1n+12=23−1n+12<23,即ln[(1+122)(1+132)(1+142)⋯(1+1n2)]<23=ln√e23,故(1+122)(1+132)(1+142)⋯(1+1n2)<√e23.。

广东省2021年高二下学期数学期末试卷(附答案)

广东省2021年高二下学期数学期末试卷(附答案)

广东省高二下学期数学期末试卷本卷共100分,考试时间120分钟。

注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号分别填写在答题卡上,用2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡上,并在答题卡右上角的“试室号”和“座位号”栏填写试室号、座位号,将相应的试室号、座位号信息点涂黑。

2.单项选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答卷前必须先填好答题纸的密封线内各项内容。

答案必须写在答题纸上各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4.考生必须保持答题卡、答题纸的整洁,考试结束后,将答题卡、答题纸一并交回。

参考公式:锥体的体积公式Sh V 31=,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高.一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设全集,{|(3)0},{|1},U R A x x x B x x ==+<=<-则图中阴影部分表示的集合为A .}13|{-<<-x xB .}03|{<<-x xC .{x|x >0}D .}1|{-<x x 2. i 是虚数单位,若复数Z=)31(i i +,则复数Z 的虚部是A .-3 B.3i C .1 D .i 3. 已知平面向量()(),3,4,2a b a b λ=-=-⊥,若,则实数λ等于A.32 B. 32- C.6- D.64. 设条件0:2>+a a p , 条件0:>a q ; 那么q p 是的A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件5.已知直线1l 与圆2220x y y ++=相切,且与直线2:l 3460x y +-=平行,则直线1l 的 方程是A .3410x y +-=B .3410x y ++=或3490x y +-=C .3490x y ++=D .3410x y +-=或3490x y ++=6. 某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为334::,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本,则应从高三年级抽取的学生人数为 A.15 B.25 C.20 D.30 7.如图,正三棱柱111ABC A B C -的底面边长和侧棱长均为2,其正(主)视图如图所示,则此三棱柱侧(左)视图的面积为A. 22B. 4C. 3D. 238. 在ABC ∆中,若°60A ∠=,°45B ∠=,32BC =,则AC 的长度为A . 43B . 23C . 3D . 322222904,11124124.....x y x y m m m m A B C D <<-=-=--若实数满足则曲线与曲线的实半轴长相等虚半轴长相等离心率相等焦距相等10. 定义在R 上的函数)(x f ,如果存在函数b kx x g +=)((k ,b 为常数),使得)()(x g x f ≥ 对一切实数x 都成立,则称)(x g 为函数)(x f 的一个承托函数.现有如下命题: ①对给定的函数)(x f ,其承托函数可能不存在,也可能有无数个. ②函数x x g 2)(=为函数xx f 2)(=的一个承托函数. ③定义域和值域都是R 的函数)(x f 不存在承托函数. 其中正确命题的序号是A .①③B .①C .①②D .②③ 二、填空题:本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20分. (一)必做题(11-13题)11.已知{}n a 为等差数列,若π=++951a a a ,则28cos()a a +的值为_______.12.阅读如图所示的程序框图,若输入5i =,则输出的k 值为______________.13.已知点),(y x P 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤1,1,y y x x y 则目标函数2zx y =-的最大值为_______.FECB A(二)选做题( 14、15小题,考生只能从中选做一个小题) 14.(几何证明选做题)如图,ABC 中,6BC =, 以BC 为直径的半圆交,AB AC 于点,E F ,若2AC AE =, 则EF = .15.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,点2,6π⎛⎫⎪⎝⎭到直线sin 16πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭的距离是 .三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16. (本小题满分12分)已知函数()sin 12f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. (1) 求4f π⎛⎫-⎪⎝⎭的值; (2) 若4cos 5θ=,0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,求23f πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭.17. (本小题满分12分)某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动.为了了解本次竞赛学生成绩情况,从中抽取了部分学生的分数(得分取正整数,满分为100分)作为样本(样本容量为n )进行统计.按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的分组作出频率分布直方图,并作出部分样本分数的茎叶图(图中仅列出了得分在[50,60),[90,100]的数据).频率分布直方图 茎叶图(1)求样本容量n 和频率分布直方图中x 、y 的值;(2)在选取的样本中,从竞赛成绩是80分以上(含80分)的同学中随机抽取2名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动,求所抽取的2名同学来自不同组的概率.18.(本小题满分14分)如图,三棱柱111ABC A B C -的底面是正三角形,⊥1AA 底面ABC ,M 为11B A 的中点. (1)求证:C B 1∥平面1AMC ;(2)若15BB =,且沿侧棱1BB 展开三棱柱的侧面,得到的侧面展开图的对角线长为13,求三棱锥11B AMC -的体积.19. (本小题满分14分)已知数列{}n a 的前n 项和22n n n S n N *+=∈,.(1)求1a ; (2)求数列{}n a 的通项公式;(3)设()21n n a n n b a =+-,求数列{}n b 的前2n 项的和2n T .20.(本小题满分14分)如图,动圆2221:C x y t +=,1<t<3,与椭圆2C :22221x y a b+=相交于A ,B ,C ,D 四点,点12,A A 分别为2C 的左,右顶点。

广州市数学高二下期末经典测试卷(含答案解析)

广州市数学高二下期末经典测试卷(含答案解析)

一、选择题1.直线l :210mx y m +--=与圆C :22(2)4x y +-=交于A ,B 两点,则当弦AB 最短时直线l 的方程为 A .2430x y -+= B .430x y -+= C .2430x y ++= D .2410x y ++=2.已知sin cos 1sin cos 2αααα-=+,则cos2α的值为( )A .45-B .35 C .35D .45 3.若函数sin()(0,||)y x ωϕωϕπ=-><的部分图象如图所示,则,ωϕ的值分别是()A .52,125πωϕ==B .5,126πωϕ==C .122,55πωϕ==D .12,56πωϕ== 4.将函数sin()cos()22y x x ϕϕ=++的图象沿x 轴向右平移8π个单位后,得到一个偶函数的图象,则ϕ的取值不可能是( )A .54π-B .4π-C .4π D .34π 5.已知函数()()π2sin 06f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的周期为π,则下列选项正确的是 A .函数()f x 的图象关于点π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 B .函数()f x 的图象关于点π,012⎛⎫-⎪⎝⎭对称C .函数()f x 的图象关于直线π3x =对称 D .函数()f x 的图象关于直线π12x =-对称 6.已知π(,π)2α∈,π1tan()47α+=,则sin cos αα+= ( ) A .17-B .25-C .15-D .157.已知角α的终边过点()4,3(0)P m m m -<,则2sin cos αα+的值是 A .1B .25C .25-D .-18.O 为平面上的定点,A ,B ,C 是平面上不共线的三点,若()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=,则ABC ∆是( )A .以AB 为底面的等腰三角形 B .以BC 为底面的等腰三角形 C .以AB 为斜边的直角三角形D .以BC 为斜边的直角三角形9.在锐角ABC 中,4sin 3cos 5,4cos 3sin A B A B +=+=C 等于( )A .150B .120C .60D .3010.在ABC ∆中,已知sin 2sin()cos C B C B =+,那么ABC ∆一定是( )A .等腰直角三角形B .直角三角形C .等腰三角形D .等边三角形11.已知复数1cos 2()z x f x i =+,)2cos z x x i =++,x ∈R .在复平面上,设复数1z ,2z 对应的点分别为1Z ,2Z ,若1290Z OZ ∠=︒,其中O 是坐标原点,则函数()f x 的最大值为() A .14-B .14C .12-D .1212.已知函数()2sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<,若将函数()f x 的图象向右平移6π个单位后关于y 轴对称,则下列结论中不正确...的是 A .56πϕ=B .(,0)12π是()f x 图象的一个对称中心C .()2f ϕ=-D .6x π=-是()f x 图象的一条对称轴13.已知4sin 5α,并且α是第二象限的角,那么tan()απ+的值等于A .43-B .34-C .34D .4314.已知f (x )=A sin(ωx+θ)(ω>0),若两个不等的实数x 1,x 2∈()2A x f x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭,且|x 1-x 2|min =π,则f (x )的最小正周期是( ) A .3πB .2πC .πD .π215.已知函数()sin(2)3f x x π=+,将其图象向右平移(0)ϕϕ>个单位长度后得到函数()g x 的图象,若函数()g x 为偶函数,则ϕ的最小值为( )A .12πB .512π C .6π D .56π 二、填空题16.已知(,)2πθπ∈,且3cos()45πθ-=,则tan()4πθ+=_________________. 17.已知函数()sin()(,0,0,0)2f x A x x R A πωϕωϕ=+∈>><<的图象与x 轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为2π,且图象上一个最低点为2(,2)3M π-.则()f x 的解析式为________.18.已知C 是以AB 为直径的半圆弧上的动点,O 为圆心,P 为OC 中点,若4AB =,则()PA PB PC +⋅=__________.19.在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别边,,a b c ,若224a b ab ++=,2c =,则2a b +的取值范围是_____.20+_________.21.已知角α的终边上一点)1A-,则()sin tan 2παπα⎛⎫-++= ⎪⎝⎭__________.22.在平面上,12OB OB ⊥,122MB MB ==12OP OB OB =+.若1MP <,则OM 的取值范围是_______.23.函数2sin 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调增区间是________. 24.若()1sin 3πα-=,且2παπ≤≤,则cos α的值为__________. 25.设G 是ABC ∆的重心(即三条中线的交点),AB a =,AC b =,试用a 、b 表示AG =________. 三、解答题26.已知函数f (x )2=sin2x +cos 2x . (1)求函数f (x )的最小正周期和最大值; (2)求函数f (x )的单调递增区间. 27.已知函数f(x)=sin(ωx +φ)(其中ω>0,0<φ<2π3)的最小正周期为π(1)求当f(x)为偶函数时φ的值; (2)若f(x)的图像过点(π6,√32),求f(x)的单调递增区间 28.已知向量32a i j b i j =-=+,,其中,i j 是互相垂直的单位向量. (1) 求向量a 在向量b 方向上的投影;(2) 设向量,m a b n a b λ=-=+,若m n ⊥,求实数λ的值. 29.已知a ,b ,c 是同一平面内的三个向量,其中()1,2a =. (1)若25c =,且//c a ,求c 的坐标;(2)若()1,1b =,a 与a b λ+的夹角为锐角,求实数λ的取值范围.30.平面内有向量(1,7)OA =,(5,1)OB =,(2,1)OC =(其中O 为坐标原点),点P 是直线OC 上的一个动点. (1)若//PA PB ,求OP 的坐标;(2)当PA PB ⋅取最小值时,求cos APB ∠的值.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1.A 2.A 3.C 4.C5.B6.C7.C8.B9.D10.C11.B12.C13.A14.A15.B二、填空题16.【解析】试题分析:因为所以所以所以即解得所以=考点:1同角三角形函数间的基本关系;2两角和与差的正切公式【方法点睛】根据已知单角或复角的三角函数值求和角(或差角或单角)的三角函数通常将结论角利用条件17.【解析】【分析】根据函数周期为求出再由图象的最低点得到振幅及【详解】因为图象与两个交点之间的距离为所以所以由于图象的最低点则所以当时因为所以故填:【点睛】本题考查正弦型函数的图象与性质考查数形结合思18.【解析】【分析】先用中点公式的向量式求出再用数量积的定义求出的值【详解】【点睛】本题主要考查向量中的中点公式应用以及数量积的定义19.【解析】【分析】先根据余弦定理求C再根据正弦定理化为角的函数关系式最后根据正弦函数性质求结果【详解】又因此故答案为【点睛】本题考查余弦定理正弦定理以及正弦函数性质考查综合分析求解能力属中档题20.【解析】原式因为所以且所以原式21.【解析】分析:先根据三角函数定义得再根据诱导公式化简求值详解:因为角的终边上一点所以因此点睛:本题考查三角函数定义以及诱导公式考查基本求解能力22.【解析】【分析】本题可以通过建立平面直角坐标系将给的向量条件坐标化然后把所求的也用坐标表示出来最后根据式子采用适当的方法得出结果【详解】设则有因为所以①②③因为所以①+②得即由①②可知带入③中可知综23.【解析】即单调增区间是【点睛】函数的性质(1)(2)周期(3)由求对称轴(4)由求增区间;由求减区间;24.【解析】由题意得25.【解析】【分析】延长交于点利用重心的性质得出以及中线向量可求出的表达式【详解】延长交于点则点为线段的中点由平面向量加法的平行四边形法则可知则为的重心因此故答案为【点睛】本题考查向量的基底分解解题的关三、解答题26.27.28.29.30.2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1.A解析:A【解析】【分析】先求出直线经过的定点,再求出弦AB最短时直线l的方程.【详解】由题得1210(21)(1)0,,2101x x m x y y y ⎧-==⎧⎪-+-=∴∴⎨⎨-=⎩⎪=⎩,所以直线l 过定点P 112(,). 当CP ⊥l 时,弦AB 最短. 由题得2112,1202CP l k k -==-∴=-, 所以112,24m m -=∴=-. 所以直线l 的方程为2430x y -+=.故选:A 【点睛】本题主要考查直线过定点问题,考查直线方程的求法,考查直线和圆的位置关系,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2.A解析:A 【解析】 ∵sin cos 1sin cos 2αααα-=+,∴tan α11tan α3tan α12-==+,.∴cos2α=222222cos sin 1tan 4cos sin 1tan 5αααααα--==-++ 故选A3.C解析:C 【解析】 【分析】给出三角函数图像,求相关系数,可以通过读取周期,某些特殊值来求解. 【详解】 由图可以读取5=066T ππ,(,)为五点作图的第一点2512==65T ππωω⇒⇒=1222()2565k k Z k ππϕπϕπ⨯-=∈⇒=+,||ϕπ<25πϕ⇒=选择C. 【点睛】由三角函数sin()y A x ωϕ=+图像,获取相应参数的值一般遵循先定A ,然后根据周期定ω,最后通过带值定ϕ. 4.C【解析】试题分析:()1sin()cos()sin 2222y x x x ϕϕϕ=++=+将其向右平移8π个单位后得到:11sin 2sin 22824y x x ππϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,若为偶函数必有:()42k k Z ππϕπ-=+∈,解得:()34k k Z πϕπ=+∈,当0k =时,D 正确,1k =-时,B 正确,当2k =-时,A 正确,综上,C 错误. 考点:1.函数的图像变换;2.函数的奇偶性.5.B解析:B 【解析】 【分析】根据函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的周期为π,求解ω可得解析式,对各选项逐一考察即可. 【详解】函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π,则 即22T ππωω=∴==, ,则()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,由对称轴方程:262x k k Z πππ+=+∈,()得:126x k ππ=+,(k∈Z) 经考查C ,D 选项不对.由对称中心的横坐标:26x k k Z ππ+=∈,(),得:1212x k k Z ππ=-∈,() 当k=0时,可得图象的对称中心坐标为,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选B . 【点睛】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用,求出解析式是解决本题的关键.属于中档题.6.C【解析】 【分析】由两角和的正切公式得出3sin cos 4αα=-,结合平方关系求出43cos ,sin 55αα=-=,即可得出sin cos αα+的值. 【详解】1tan 1tan 41tan 7πααα+⎛⎫+== ⎪-⎝⎭3tan 4α∴=-,即3sin cos 4αα=-由平方关系得出223cos cos 14αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭,解得:43cos ,sin 55αα=-=341sin cos 555αα+=-=- 故选:C 【点睛】本题主要考查了两角和的正切公式,平方关系,属于中档题.7.C解析:C 【解析】因为角α的终边过点()4,3(0)P m m m -<,所以sin α=35-,4cos 5α=,所以2sin cos αα+=642555-+=-,故选C.8.B解析:B 【解析】试题分析:根据题意,涉及了向量的加减法运算,以及数量积运算. 因此可知2()()OB OC OA OB OA OC OA AB AC +-=-+-=+OB OC CB -=,所以(2)OB OC OA +-⋅()0OB OC -=可知为故有||AB AC =,因此可知b=c ,说明了是一个以BC 为底边的等腰三角形,故选B. 考点:本试题主要考查了向量的数量积的运用.点评:解决该试题的关键是利用向量的加减法灵活的变形,得到长度b=c ,然后分析得到形状,注意多个变量,向一组基向量的变形技巧,属于中档题.9.D【解析】 【分析】由题:()()224sin 3cos 25,4cos 3sin 12A B A B +=+=,两式相加即可求出sin()A B +,进而求出A B +,角C 得解.【详解】由题:()()224sin 3cos 25,4cos 3sin 12A B A B +=+=,2216sin 24sin cos 9cos 25A A B B ++=,2216cos 24cos sin 9sin 12A A B B ++=,两式相加得:()1624sin cos cos sin 937A B A B +++=,1sin()2A B +=,所以1sin sin(())2C A B π=-+=,且C 为锐角, 所以30C =. 故选:D 【点睛】此题考查同角三角函数基本关系与三角恒等变换综合应用,考查对基本公式的掌握和常见问题的处理方法.10.C解析:C 【解析】 【分析】根据三角形内角和及两角和的正弦公式化简,利用三角函数性质求解. 【详解】在ABC ∆中,由()sin 2sin cos C B C B =+可得sin()2sin cos A B A B +=,化简sin cos cos sin 2sin cos A B A B A B +=,即in 0()s A B -=,由0,0A B ππ<<<<知A B ππ-<-<,所以0A B -=,故选C.【点睛】本题考查了三角形中内角和定理及两角和差的正弦公式的应用,属于中档题.解题的关键是对三角恒等式的变形.11.B解析:B 【解析】 【分析】根据向量垂直关系的坐标运算和三角函数的最值求解. 【详解】据条件,()1cos ,2()Z x f x ,)2cos ,1Z x x +,且12OZ OZ ⊥,所以,)cos cos 2()0x x x f x ⋅++=,化简得,11()sin 2264f x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭,当sin 216x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时,11()sin 2264f x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭取得最大值为14. 【点睛】本题考查向量的数量积运算和三角函数的最值,属于基础题.12.C解析:C 【解析】函数()()2sin 2f x x ϕ=+的图象向右平移6π个单位,可得()2sin 23g x x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,() 2sin 23g x x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称,所以32k ππϕπ-+=+, 0k =时可得5=6πϕ,故5()2sin(2)6f x x π=+,555()=2sin()2sin 2362f πππϕ+==,()2f ϕ=-不正确,故选C. 13.A解析:A 【解析】 【分析】由诱导公式可得()tan tan παα+=,由角的正弦值和角所在的象限,求出角的余弦值,然后,正弦值除以余弦值得正切值.即可得到答案 【详解】 ∵4sin 5α=,并且α是第二象限的角,,35cos α∴-= , ∴tanα=43-,则么()4tan tan 3παα+==-. 故选A . 【点睛】本题考查给值求值问题.掌握同角三角函数的基本关系式和诱导公式,并会运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明.14.A解析:A 【解析】 【分析】 由题意可得123ππω⨯=,求得ω的值,可得()f x 的最小正周期是2πω的值由题意可得()1sin 2x ωθ+=的解为两个不等的实数1x ,2x 且123ππω⨯=,求得23ω= 故()f x 的最小正周期是23ππω=故选A 【点睛】本题主要考查了的是三角函数的周期性及其图象,解题的关键根据正弦函数的图象求出ω的值,属于基础题15.B解析:B 【解析】 【分析】由平移变换得到()sin(22)3g x x πϕ=-+,由偶函数的性质得到sin(22)13x πϕ-+=±,从而求min 512πϕ=. 【详解】由题意得:()sin[2())]sin(22)33g x x x ππϕϕ=-+=-+, 因为()g x 为偶函数,所以函数()g x 的图象关于0x =对称,所以当0x =时,函数()g x 取得最大值或最小值,所以sin(2)13πϕ-+=±,所以2,32k k Z ππϕπ-+=+∈,解得:1,22k k Z ππϕ=--∈, 因为0ϕ>,所以当1k =-时,min 512πϕ=,故选B. 【点睛】平移变换、伸缩变换都是针对自变量x 而言的,所以函数()f x 向右平移(0)ϕϕ>个单位长度后得到函数()g x ,不能错误地得到()sin (2)3g x x x πϕ=+-.二、填空题16.【解析】试题分析:因为所以所以所以即解得所以=考点:1同角三角形函数间的基本关系;2两角和与差的正切公式【方法点睛】根据已知单角或复角的三角函数值求和角(或差角或单角)的三角函数通常将结论角利用条件解析:34-试题分析:因为(,)2πθπ∈,所以3(,)424πππθ-∈,所以4sin()45πθ-=,所以4tan()43πθ-=,即tan tan4431tan tan 4πθπθ-=+,解得tan 7θ=-,所以tan()4πθ+=tan tan71341741tan tan 4πθπθ+-+==-+-. 考点:1、同角三角形函数间的基本关系;2、两角和与差的正切公式.【方法点睛】根据已知单角或复角的三角函数值求和角(或差角或单角)的三角函数,通常将结论角利用条件角来表示,利用同角三角函数基本关系化为相关角的三角函数后,再利用两角和与差的三角函数公式可求解.17.【解析】【分析】根据函数周期为求出再由图象的最低点得到振幅及【详解】因为图象与两个交点之间的距离为所以所以由于图象的最低点则所以当时因为所以故填:【点睛】本题考查正弦型函数的图象与性质考查数形结合思解析:()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】根据函数周期为π,求出2ω=,再由图象的最低点2(,2)3M π-,得到振幅2A =,及6π=ϕ.【详解】因为图象与x 两个交点之间的距离为2π,所以222T T ππππω=⇒=⇒=, 所以2ω=,由于图象的最低点2(,2)3M π-,则2A =, 所以()()2sin 2f x x ϕ=+,当23x π=时,4sin 13πϕ⎛⎫+=-⎪⎝⎭, 因为02πϕ<<,所以6π=ϕ,故填:()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查正弦型函数的图象与性质,考查数形结合思想的应用,注意02πϕ<<这一条件限制,从面得到ϕ值的唯一性.18.【解析】【分析】先用中点公式的向量式求出再用数量积的定义求出的值【详解】【点睛】本题主要考查向量中的中点公式应用以及数量积的定义 解析:2-【解析】 【分析】先用中点公式的向量式求出PA PB +,再用数量积的定义求出()PA PB PC +⋅的值. 【详解】2PA PB PO +=,()2211cos1802PA PB PC PO PC ο∴+⋅=⋅=⨯⨯⨯=-【点睛】本题主要考查向量中的中点公式应用以及数量积的定义.19.【解析】【分析】先根据余弦定理求C 再根据正弦定理化为角的函数关系式最后根据正弦函数性质求结果【详解】又因此故答案为【点睛】本题考查余弦定理正弦定理以及正弦函数性质考查综合分析求解能力属中档题 解析:(2,4)【解析】 【分析】先根据余弦定理求C,再根据正弦定理化2a b +为角的函数关系式,最后根据正弦函数性质求结果. 【详解】224a b ab ++=,2c =,222a b ab c ∴++=,∴ 222122a b c ab +-=-,1cos 2C ∴=-,又0C π<<,23C π∴=,因此)sin sin 222sin sin sin sin 3c A c B a b A B C C +=⨯+=+2sin sin ?4sin 36A A A ππ⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 03A π<<,∴662A πππ<+<,∴1sin 126A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭, 224a b <+< 故答案为()2,4. 【点睛】本题考查余弦定理、正弦定理以及正弦函数性质,考查综合分析求解能力,属中档题.20.【解析】原式因为所以且所以原式 解析:2sin 4-【解析】原式2cos42sin4cos4==+-,因为53442ππ<<,所以cos40<,且sin4cos4<,所以原式()2cos42sin4cos42sin4=---=-.21.【解析】分析:先根据三角函数定义得再根据诱导公式化简求值详解:因为角的终边上一点所以因此点睛:本题考查三角函数定义以及诱导公式考查基本求解能力【解析】分析:先根据三角函数定义得cos ,tan αα,再根据诱导公式化简求值.详解:因为角α的终边上一点)1A -,,所以cos tanαα===, 因此()sin tan 2παπα⎛⎫-++⎪⎝⎭cos tanαα=+== 点睛:本题考查三角函数定义以及诱导公式,考查基本求解能力.22.【解析】【分析】本题可以通过建立平面直角坐标系将给的向量条件坐标化然后把所求的也用坐标表示出来最后根据式子采用适当的方法得出结果【详解】设则有因为所以①②③因为所以①+②得即由①②可知带入③中可知综解析:2⎤⎦【解析】 【分析】本题可以通过建立平面直角坐标系,将给的向量条件坐标化,然后把所求的也用坐标表示出来,最后根据式子采用适当的方法得出结果. 【详解】设()()()120b 0B B a M x y ,,,,,,则有()P a b , 因为()()()12,,P b y MB x b y MB a x y M a x =--=--=--,,, 所以2222122MB x y by b =+-+= ①2222222MB x y ax a =+-+= ②22222P 221M x y ax a by b =+-+-+< ③因为222222by b y ax a y ,≤+≤+所以①+②得222222224x y by b x y ax a +-+++-+= 即224x y +≤由①②可知2222222222by x y b ax x y a =++-=++-,带入③中可知223x y +> 综上可得2234x y <+≤所以,OM 的取值范围是2⎤⎦.【点睛】在做向量类的题目的时候,可以通过构造直角坐标系,用点的坐标来表示向量以及向量之间的关系,借此来得出答案.23.【解析】即单调增区间是【点睛】函数的性质(1)(2)周期(3)由求对称轴(4)由求增区间;由求减区间;解析:()37,88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ 【解析】πππ3π2sin(2)2π22π()4242y x k x k k =--∴+≤-≤+∈Z3π7πππ()88k x k k +≤≤+∈Z ,即单调增区间是()37,88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ 【点睛】函数sin()(0,0)y A x B A ωϕω=++>>的性质 (1)max min =+y A B y A B =-,. (2)周期2π.T ω=(3)由 ππ()2x k k ωϕ+=+∈Z 求对称轴 (4)由ππ2π2π()22k x k k ωϕ-+≤+≤+∈Z 求增区间; 由π3π2π2π()22k x k k ωϕ+≤+≤+∈Z 求减区间; 24.【解析】由题意得解析:3-【解析】由题意得()1sin sin ,[,],cos 323ππαααπα-==∈∴==- 25.【解析】【分析】延长交于点利用重心的性质得出以及中线向量可求出的表达式【详解】延长交于点则点为线段的中点由平面向量加法的平行四边形法则可知则为的重心因此故答案为【点睛】本题考查向量的基底分解解题的关解析:1133a b +. 【解析】 【分析】延长AG 交BC 于点D ,利用重心的性质得出23AG AD =以及中线向量 ()12AD AB AC =+可求出AG 的表达式. 【详解】 延长AG 交BC 于点D ,则点D 为线段BC 的中点,由平面向量加法的平行四边形法则可知2AD AB AC a b =+=+,则1122AD a b =+, G 为ABC ∆的重心,因此,221111332233AG AD a b a b ⎛⎫==⨯+=+ ⎪⎝⎭, 故答案为1133a b +. 【点睛】本题考查向量的基底分解,解题的关键就是三角形重心的性质和中线向量的应用,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.三、解答题 26.(1)T =π,最大值32(2),,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】利用降次公式和辅助角公式化简()f x 表达式, (1)根据()f x 表达式求得()f x 的最小正周期和最大值. (2)根据三角函数单调区间的求法,求得()f x 的单调递增区间. 【详解】21cos 2()2cos 22xf x x x x +=+=+1112cos 2sin 22262x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭ (1)所以()f x 的最小正周期22T ππ==,最大值为13122+=.(2)令222262k x k πππππ-+≤+≤+,解得,36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈,所以()f x 的单调递增区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.【点睛】本小题主要考查三角函数降次公式、辅助角公式,考查三角函数最小正周期、最值和单调区间的求法,属于基础题.27.(1)φ=π2;(2)单调递增区间为[kπ−5π12,kπ+π12],k ∈Z . 【解析】试题分析:(1)由最小正周期为π,可求出ω=2,由于函数为偶函数,结合三角函数的知识,得φ=π2.(2)将点(π6,√32)代入f(x)=sin(2x +φ),得sin(π3+φ)=√32,故φ=π3,f(x)=sin(2x +π3),将2x +π3代入区间[2kπ−π2,2kπ+π2](k ∈Z),可求得函数的增区间为[kπ−5π12,kπ+π12](k ∈Z).试题解析:∵f(x)的最小正周期为π,∴T =2πω=π,∴ω=2.∴f(x)=sin(2x +φ).(1)当f(x)为偶函数时,f(−x)=f(x),∴sin(2x +φ)=sin(−2x +φ),将上式展开整理得sin2xcosφ=0,由已知上式对∀x ∈R 都成立,∴cosφ=0,∵0<φ<2π3,∴φ=π2.(2)由f(x)的图像过点(π6,√32),得sin(2×π6+φ)=√32,即sin(π3+φ)=√32. 又∵0<φ<2π3,∴π3<π3+φ<π,∴π3+φ=2π3,φ=π3,∴f(x)=sin(2x +π3).令2kπ−π2≤2x +π3≤2kπ+π2,k ∈Z ,得kπ−5π12≤x ≤kπ+π12,k ∈Z , ∴f(x)的单调递增区间为[kπ−5π12,kπ+π12],k ∈Z .28.(12)0λ= 【解析】 【分析】(1)根据题中条件,结合向量投影的概念,即可得出结果; (2)根据m n ⊥,得到()()0a b a b λ-⋅+=,得出220λλ+⋅-⋅-=aa b a b b ,进而求解,即可得出结果. 【详解】(1)因为32,=-=+a i j b i j ,,i j 是互相垂直的单位向量, 所以()()32615⋅=-+=-=a b i ji j ,()23391===--+a i j i j ()2224=+=+=+=b i j i j所以向量a 在向量b 方向上的投影为5cos ,5⋅<>===a ba ab b (2)因为,m a b n a b λ=-=+,m n ⊥, 则()()0a b a b λ-⋅+=,即220λλ+⋅-⋅-=a a b a b b ,即105550λλ+--=,解得0λ=. 【点睛】本题主要考查求向量的投影,以及由向量垂直求参数,熟记向量数量积的运算法则即可,属于常考题型.29.(1)()2,4c =或()2,4-- (2)()5,00,3λ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】(1)由向量共线的坐标运算及模的运算即可得解;(2)由向量数量积的坐标运算即可,特别要注意向量a 与a λb +不能共线. 【详解】解:(1)因为()1,2a =,且//c a , 则(,2)c a λλλ==,又25c =,所以22(2)20λλ+=,即2λ=±,故2,4c或()2,4--;(2)由()1,1b =,则()1,2a λb λλ+=++, 由()1(1)2(2)0a a λb λλ⋅+=⨯++⨯+>,解得53λ>-, 又a 与a λb +不共线,则1(2)2(1)λλ⨯+≠⨯+,解得0λ≠, 故a 与a λb +的夹角为锐角时,实数λ的取值范围为:()5,00,3⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了向量共线的坐标运算及数量积的坐标运算,重点考查了运算能力,属基础题.30.(1)481717,⎛⎫⎪⎝⎭(2)17- 【解析】【分析】先由题意,设(2,)=OP x x ,得到(12,7)=--PA x x ,(52,1)=--PB x x ,(1)根据//PA PB ,得到(12)(1)(7)(52)0-----=x x x x ,求出x ,即可得出结果; (2)先由题意,得到25(2)8⋅=--PA PB x ,得到当2x =时,PA PB ⋅取最小值,求出(3,5)=-PA ,(1,1)=-PB ,再由向量夹角公式,即可求出结果.【详解】因为点P 是直线OC 上的一个动点,(2,1)OC =, 所以可设(2,)=OP x x ,因为(1,7)OA =,(5,1)OB =,所以(12,7)=-=--PA OA OP x x ,(52,1)=-=--PB OB OP x x , (1)因为//PA PB ,所以(12)(1)(7)(52)0-----=x x x x , 解得178=x ,所以1717,48⎛⎫= ⎪⎝⎭OP ; (2)因为(12,7)=--PA x x ,(52,1)=--PB x x ,所以22(12)(52)(7)(1)520125(2)8⋅=--+--=-+=--PA PB x x x x x x x , 显然,当2x =时,PA PB ⋅取最小值, 此时(3,5)=-PA ,(1,1)=-PB ,所以cos 9⋅∠===⋅PA PB APB PA PB【点睛】本题主要考查由向量共线求参数的问题,以及求向量的夹角的问题,熟记向量共线的坐标表示,以及向量数量积的运算与夹角公式即可,属于常考题型.。

2020年广东省广州市数学高二(下)期末综合测试试题含解析

2020年广东省广州市数学高二(下)期末综合测试试题含解析

2020年广东省广州市数学高二(下)期末综合测试试题一、单选题(本题包括12个小题,每小题35,共60分.每小题只有一个选项符合题意) 1.l m n ,,为直线,,,αβγ为平面,则下列命题中为真命题的是( ) A .若//m α,//n β,则//αβ B .则m α⊥,n α⊥,则//m n C .若αγ⊥,βγ⊥,则αβ⊥ D .则αβ⊥,l α⊆,则l β⊥【答案】B 【解析】 【分析】根据空间中平面和直线平行和垂直的位置关系可依次通过反例排除,,A C D ,从而得到结果. 【详解】A 选项:若//m n ,则α与β未必平行,A 错误B 选项:垂直于同一平面的两条直线互相平行,B 正确C 选项:垂直于同一平面的两个平面可能相交也可能平行,C 错误D 选项:l 可能与β平行或相交,D 错误本题正确选项:B 【点睛】本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的相关命题的判定,通常通过反例,采用排除法的方式来得到结果,属于基础题.2.曲线cos ax y e x =在0x =处的切线与直线20x y +=垂直,则a =( ) A .-2 B .2 C .-1 D .1【答案】B 【解析】分析:先求导,然后根据切线斜率的求法得出切线斜率表达式,再结合斜率垂直关系列等式求解即可.详解:由题可知:'cos sin x axy ae x e x =-⇒切线的斜率为:,k a =由切线与直线20x y +=垂直,故1()122a a ⋅-=-⇒=,故选B.点睛:考查切线斜率的求法,直线垂直关系的应用,正确求导是解题关键,注意此题导数求解时是复合函数求导,属于中档题.3.设()(),f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,且()(),f x g x ''分别是()(),f x g x 的导数,当0x <时,()()()()0f x g x f x g x ''+>且()60g =,则不等式()()0f x g x <的解集是( )A .(6,0)(6,)-+∞UB .(6,0)(0,6)-UC .(,6)(0,6)-∞-UD .(,6)(6,)-∞-+∞U【答案】C 【解析】 【分析】构造函数()()()h x f x g x =,判断函数的单调性和奇偶性,脱离f 即可求得相关解集. 【详解】根据题意,可设()()()h x f x g x =,则()h x 为奇函数,又当0x <时()()()()0f x g x f x g x ''+>,所以()h x 在R 上为增函数,且()60h -=,()()0f x g x <转化为()0h x <,当0x <时,则6x <-,当0x >,则()(6)h x h <,则06x <<,故解集是(,6)(0,6)-∞-U ,故选C. 【点睛】本题主要考查利用抽象函数的相关性质解不等式,意在考查学生的分析能力和转化能力,难度中等. 4.下列叙述正确的是( ) A .若命题“”为假命题,则命题“”是真命题B .命题“若,则”的否命题为“若,则”C .命题“,”的否定是“,”D .“”是“”的充分不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】结合命题知识对四个选项逐个分析,即可选出正确答案. 【详解】 对于选项A ,“”为假命题,则,两个命题至少一个为假命题,若,两个命题都是假命题,则命题“”是假命题,故选项A 错误;对于选项B ,“若,则”的否命题为“若,则”,符合否命题的定义,为正确选项; 对于选项C ,命题“,”的否定是“,”,故选项C 错误;对于选项D ,若,则,故“”不是“”的充分不必要条件.【点睛】本题考查了命题的真假的判断,考查了学生对基础知识的掌握情况.5.已知82a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中常数项为1120,则实数a 的值是( ) A .1- B .1C .1-或1D .不确定【答案】C 【解析】 【分析】列出二项展开式的通项公式,可知当4r =时为常数项,代入通项公式构造方程求得结果. 【详解】82a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为:()88218822rr r r r r r a T C x a C x x --+⎛⎫=⋅⋅-=- ⎪⎝⎭ 令820r -=,解得:4r =()485421120T C a ∴=-=,解得:1a =±本题正确选项:C 【点睛】本题考查根据二项展开式指定项的系数求解参数值的问题,属于基础题.6.已知()22i z i -=(i 为虚单位),则复数z 在复平面上所对应的点在( ) A .第一象限 B .第二象限C .第三象限D .第四象限【答案】B 【解析】 【分析】由()22i z i -=得22iz i=-,再利用复数的除法法则将复数z 表示为一般形式,即可得出复数z 所表示的点所在的象限. 【详解】由()22i z i -=得()()()22224224222555i i i i i z i i i i ++====-+--+, 因此,复数z 在复平面上对应的点在第二象限,故选B. 【点睛】本题考查复数的几何意义,考查复数对应的点所在的象限,解题的关键就是利用复数的四则运算将复数表示为一般形式,考查计算能力,属于基础题.7.函数()x f x xe -=在[0,4]x ∈上的极大值为( )A .1eB .0C .44eD .22e【答案】A 【解析】 【分析】先算出1()x xf x e-'=,然后求出()f x 的单调性即可【详解】 由()xf x xe-=可得1()x xf x e-'=当(]0,1x ∈时()0f x '>,()f x 单调递增 当(]1,4x ∈时()0f x '<,()f x 单调递减 所以函数()xf x xe -=在[0,4]x ∈上的极大值为()11f e=故选:A 【点睛】本题考查的是利用导数求函数的极值,较简单.8.在正方体1111ABCD A B C D -中,1BB 与平面1ACD 所成角的正弦值为( )A .2B .3C .35D .25【答案】B 【解析】 【分析】证明1BB 与平面1ACD 所成角为1DD O ∠,再利用边的关系得到正弦值. 【详解】如图所示:连接BD 与AC 交于点O ,连接1D O ,过点D 作1DE D O ⊥1BB 与平面1ACD 所成角等于1DD 与平面1ACD 所成角正方体11111,ABCD A B C D AC DB AC DD AC -⇒⊥⊥⇒⊥平面1DD O AC DE ⇒⊥1DE D O DE ⊥⇒⊥平面1ACD1DD 与平面1ACD 所成角为1DD O ∠设正方体边长为1在1Rt DD O ∆中11232sin 362DO DD O D O ∠=== 故答案选B【点睛】本题考查了线面夹角,判断1BB 与平面1ACD 所成角为1DD O ∠是解得的关键,意在考查学生的计算能力和空间想象能力.9.已知三棱锥A BCD -的每个顶点都在球O 的球面上,AB ⊥平面BCD ,4AB =,5AD =,2BC CD ==O 的体积为( )A .105πB .205π3C .5πD .105π3【答案】B 【解析】 【分析】根据所给关系可证明BC CD ⊥,即可将三棱锥A BCD -可补形成长方体,即可求得长方体的外接球半径,即为三棱锥A BCD -的外接球半径,即可得球O 的体积. 【详解】因为AB ⊥平面BCD ,所以AB BD ⊥,又AB=4,5AD =, 所以2BD =,又2BC CD ==所以222BC CD BD +=,则BC CD ⊥.由此可得三棱锥A BCD -可补形成长方体如下图所示:设长方体的外接球半径为R , 则()()222222425R =++=,所以球O 的体积为3344205ππ5π33V R ===, 故选:B. 【点睛】本题考查了三棱锥外接球体积的求法,将三棱锥补全为棱柱是常用方法,属于中档题. 10.函数()321212f x x x x =+-+的极大值为( ) A .3 B .52C 2D .2【答案】B 【解析】 【分析】求得函数的导数()(1)(32)f x x x '=+-,得出函数的单调性,再根据集合的定义,即可求解. 【详解】由题意,函数()321212f x x x x =+-+,则()232(1)(32)f x x x x x '=+-=+-, 令()0f x '>,即(1)(32)0x x +->,解得1x <-或23x >, 令()0f x '<,即(1)(32)0x x +-<,解得213x -<<, 即函数在2(,1),(,)3-∞-+∞上函数()f x 单调递增,在2(1,)3-上函数()f x 单调递减,所以当1x =-时,函数()f x 取得极大值,极大值()512f -=,故选B.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性,以及求解函数的极值问题,其中解答中熟记导数与原函数的单调性之间的关系,以及极值的概念是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题. 11.《九章算术》中,将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”,已知某“堑堵”的三视图如图所示,则该“堑堵”的体积为( )A .2B .4C .442+D .642+【答案】A 【解析】 【分析】根据三视图的特点可以分析该物体是一个直三棱柱,即可求得体积. 【详解】由三视图可得该物体是一个以侧视图为底面的直三棱柱, 所以其体积为121222⨯⨯⨯=. 故选:A 【点睛】此题考查三视图的认识,根据三视图求几何体的体积,关键在于准确识别三视图的特征.12.已知x 与y 之间的一组数据:则y 与x 的线性回归方程为y=bx+a 必过( ) x 0 1 2 3 y1357A .(1.5,4)点B .(1.5,0)点C .(1,2)点D .(2,2)点【答案】A 【解析】 由题意:012313571.5,444x y ++++++==== ,回归方程过样本中心点,即回归方程过点()1.5,4 .本题选择A 选项.二、填空题(本题包括4个小题,每小题5分,共20分)13.已知复数z 满足||||2z i z a ++-=,若z 在复平面上对应点的轨迹是椭圆,则实数a 的取值范围是______;【答案】(3,3)- 【解析】 【分析】由复数模的几何意义及椭圆的定义列出不等式求解。

广东省广州市高二下学期期末考试(数学)

广东省广州市高二下学期期末考试(数学)

秘密★启用前2011 - 2012学年度广州市高中二年级学生学业水平测试数学本试卷共4页.满分150分.考试用时120分钟. 注意事项:1 •答卷前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和准考证号填写在答题卡指定的位置上2 •选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能答在试卷上 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答, 答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液 •不按以上要求作答的答案无效•4. 本次考试不允许使用计算器5.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将试卷和答题卡一并交回、选择题:本大题共 10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合 题目要求的. 已知集合A —1,2?, —1,0,1?,则A B 等于A .-3,1D. H ,-3Z 〔1,=4.已知直线 l 1 :2x • y -2 =0,12 : ax • 4y • 1 =0,若 l 1 〃12,则 a 的值为1.2. 3.A .4 B.匚1,0,2 / C.「-1,0,1,21D...COS120的值是.3 A .21B.21 C.-2D.2不等式x 2 -2x -3 .0的解集是B. -1,3B. 2C.D. -2I5.函数y二sin2x是A .最小正周期为2二的偶函数C.最小正周期为二的偶函数 B.最小正周期为2二的奇函数D.最小正周期为的奇函数6.在等比数列 0』中,若as^ =9, a2a4a5 =27,则a?的值为B. 3C. 4D. 9Iy 叮, 7.如果实数x 、y 满足条件 2x - y -1岂0,则2x y 的最大值为x y -1 _ 0.5A . 1 B.-3 C. 2D. 38.已知某几何体的三视图如图1所示,其中俯视图是腰长为2的等腰梯形,则该几何体的体积为 A .4.3 B. 8 3 C. 12 ,3D. 24.39.已知向量a h]1,n , b =:[n,1 ,其中n =二1,则下列 结论中正确的是 A . a b // a b B.a b // b a -b _ a bC.D .a b _ b10. 已知函数f x = \ 2x - x 2 • 1,则对任意实数 为、x 2,且0 :::为:::x 2 ::: 2,都有A. x/(X2 )C X2f (为)B. X1f (X2 )>X2f (为)C. 为 f X 1: x 2 f x 2二、填空题:本大题共 4小题,每小题5分,满分20分. 11. 函数y =ln 2x -1的定义域是 __________________ .12. 在空间直角坐标系 Oxyz 中,点1, -2,3关于原点O 的对称点的坐标为 __________________ 13. 某公司生产 A 、B 、C 三种不同型号的轿车,产量之比依次为2:3:4,为了检验该公司的产品质量,用分层抽样的方法抽取一个容量为 n 的样本,样本中 A 种型号的轿车比B 种型号的轿车少8辆,那么n =.14. 已知函数y =a 1^(a • 0且a=1)的图象恒过点A . 若点A 在直线mx • ny -1=0 mn • 01 2上,则的最小值为 ______________m n三、解答题:本大题共 6小题,满分80分•解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程 .15. (本小题满分12分)编号分别为 A, 4,民,…,人2的12名篮球运动员在某次篮球比赛中的得分记录如下 :运动员编号A 1 A 2AA A 5 A A A A A 10 A 11 A 12D. 为 f 为 I ,x 2 f x 2俯视图(1) 完成如下的频率分布表:(2)从得分在区间10,20内的运动员中随机抽取2人,求这2人得分之和大于25的概率.16 .(本小题满分12分)1 在厶ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知a = 3, b = 2, cos A3(1)求sin B的值;(2)求c的值.17. (本小题满分14分)如图2,在三棱锥P-ABC中,AB =5, BC =4, AC =3,点D是线段PB的中点,平面PAC —平面ABC .(1)在线段AB上是否存在点E ,使得DE //平面PAC ?若存在,指出点E的位置,并加以证明;若不存在,请说明理由(2)求证:PA _ BC .18. (本小题满分14分)已知等差数列:a* 的前n项和为S n,且a i a3 = 10, S4 = 24 .(1)求数列fa n ?的通项公式;111 3(2)令T n,求证:T n.S1 S2 S n419. (本小题满分14分)已知圆C的圆心坐标为(1,2),直线l:x + y—1=0与圆C相交于M、N两点,’MN=2.(1) 求圆C的方程;(2) 若t式1,过点A(t,0 )作圆C的切线,切点为B,记=| AB,点A到直线l的距离为d2,求d -1的取值范围.d220. (本小题满分14分)若函数f x二ax2 - 2x在1,3〕上的最大值为M a ,最小值为N a ,令g a j=M a -N a .(1 )求g a的表达式;(2)若关于a的方程g a -t =0有解,求实数t的取值范围2011学年度广州市高中二年级学生学业水平测试数学试题参考答案及评分标准、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算•共10小题,每小题5分,满分50 分.要考查基本知识和基本运算•共 4小题,每小题5分,满分20分.三、解答题:本大题共 6小题,共80分•解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程 15 .本小题主要考查统计与概率等基础知识,考查数据处理能力.满分 12分.(1)解:频率分布表:”, 4分⑵解:得分在区间10,20内的运动员的编号为 A , A , A , A , A M .从中随机抽取2人,所有可能的抽取结 果有:%,A 3二 人入二地人?,地,外匚人人二入,人「人,41二,A 二、A 4, f ,'A s , A 「,共10种•,,, 7分“从得分在区间10,20内的运动员中随机抽取 2人,这2人得分之和大于25 ”(记为事件B )的所有可能 结果有:%,九「%,人1二认,九1入,乓二人,A J,%,A8?,:A 4 , A 11 J A 8 , A 11 共 8 种•,,, 10 分8所以 P B -0.8.10答:从得分在区间10,20内的运动员中随机抽取 2人,这2人得分之和大于25的概率为题:本大 二、填空12.-1,2, -313.7214. 3 2.20.8 ,,, 12 分16 •本小题主要考查解三角形、三角恒等变换等基础知识,考查运算求解能力•满分12 分.1(1)解:••• 0 ::: A :::二,cos A317•本小题主要考查直线与平面的位置关系的基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能 力•满分14分.(1)解:在线段 AB 上存在点E ,使得DE //平面PAC ,点E 是线段AB 的中点.,2分下面证明DE //平面PAC : 取线段AB 的中点E ,连接DE , •••点D 是线段PB 的中点,••• DE 是厶PAB 的中位线. ••• DE // PA .•/ PA 二平面 PAC , DE 二平面 PAC• DE // 平面 PAC .(2)证明:T AB = 5, BC = 4, AC = 3,2 2 2•- AB -BC AC .• AC _ BC .,” 10 分•••平面PAC —平面ABC ,且平面PAC 平面ABC = AC , BC 平面ABC ,••• BC _ 平面 PAC . ,,, 12 分•/ PA 二平面 PAC ,• PA_BC .,,, 14 分18 .本小题主要考查等差数列、数列求和、不等式等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能力.满分由正弦定理得:2^2 3a b sin A sin B1⑵解:",山3必盲b 2c 2 -a 22bc影2 小22 c -3 2 2c解得c =3.2分4分6分8分12分4分 6分8分14分.(1)解:设等差数列 的公差为d ,12 / 11a a 3 =10, S 4 = 24,2a , 2d =10,12分3 八 . ,,,14 分419 •本小题主要考查直线与圆的方程、不等式等基础知识,考查运算求解能力及推理论证能力•满分14分.(1)解:设圆C 的半径为r ,圆C 的圆心1,2到直线l 的距离d,,, 2 分MN =2, ••• 2汀2-d 2=2.,,, 3 分 ••• 2」2- 2 =2 .,,, 4 分 解得r 一 '、3.,,,5 分r 丄恥3 4a i Td = 24.解得 q =3, d =2.a n = 3 2 n -1 = 2n 1.(2)证明:由(1)得 S n = n a 1 - a n n 3 2n 1n n 2 ,S S21 32 43 5 nn2丄一丄1丄 n -1 n 1n n 210分1 n +2」|1[2_1 12 12S n6分2 2所求的圆C 的方程为X -1 y -2=3.22f —⑵解:•••圆C : X -1 y -23的圆心C 1,2 ,半径r —、3••• a =| AB = J|AC |2 —r 2 = J(t —1 2 +(o —2 , —(73 ) = J (t —1)2 +1 .,” 8分• 0 :: — 1. m +1• 日的取值范围是(o, ).d 220 •本小题主要考查二次函数的最值、方程等基础知识,考查运算求解能力,以及分类讨论的数学思想方 法.满分14分.(1)解:1 a <1, 31 • 13.a• 0 ::: 113分• o —1..2.又点A t,0到直线l 的距离d 2二t+0-1 t-1一 12 12 二.24 -1 d 22t -11-1210分11分12分14分t _1 = J m 2 _1 ,•/ m 1, • m 1 2. 2f x =ax -2xa j6分11①当12,即 a 乞1时,则x = 3时,函数f x 取得最大值 a 2值.• M a = f 3 = 9a -6 ,N(a)」1\.a 丿1x 时,函数f x 取得最小 a1• g a ;=M a ;-N a ;=9a6. a11 1②当23,即 a 时,则x =1时, a 3 2值.• M (a )=f (1 )=a —2,N (a )= f l a 丿••• g a 二 M a :;-N a 二 a(2)解:任取a 1,a^ i 1,1[3 2丿 a i a 2•2詁2)且…2 ,二 a _a 2 :: 0,a 1a 2 0,a 1a 2 -1 0 .• g a 1g a 2 .任取 a 3,a^2,1,且 a s a 4,1a 2,a 综上,得g a 二9a 1 -6a1 a 3 1 a21:2'_1.函数f x 取得最大值;x-丄时,函数f x 取得最小a;宀】< a 1 ><a2J0,即 g c -g a ?0.•函数 —,—丿上单调递减 _3 2,且a 〔叮 a ?,a i耳比-1 g C - g a ?二f \ ft」 1 1g(a3)—g(aj= 9a3^——6 — 9a^-6a 3,a 4 ■ 2,i ,且 ::: 34 ,二 a 3 -a 4 :: 0,a 3a 40,9a 3a 4 -1 0.•- g a 3 :: g a 4 .•••函数g a 在*,1上单调递增•1f l 、 1当a 时,g a 取得最小值,其值为g,•函数g a 的值域为 1,4 .•••关于a 的方程g a ];「t =0有解等价于t = g a有解,•实数t 的取值范围为函数 g a 的值域.•实数t 的取值范围为}4-a 3-a 4 9a 3a t -1a 3a 40,即 g a s -g a 4:: 0.10分11分12分13分14分。

2023-2024学年广东省广州市番禺区高二(下)期末数学试卷(含解析)

2023-2024学年广东省广州市番禺区高二(下)期末数学试卷(含解析)

2023-2024学年广东省广州市番禺区高二(下)期末数学试卷一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。

在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={1,−1},B={1,0,−1},则集合C={a+b|a∈A,b∈B}中元素的个数为( )A. 2B. 3C. 4D. 52.已知复数z=2−ii,则z的虚部为( )A. 2B. 2iC. −2D. −2i3.“a=1”是“函数f(x)=2x−a2x+1为奇函数”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.一组数据按从小到大的顺序排列为1,4,m,12,14,21,若该组数据的中位数是极差的25,则该组数据的第45百分位数是( )A. 4B. 6C. 8D. 125.过坐标原点O向圆C:x2+y2−4x−2y+4=0作两条切线,切点分别为M,N,则tan∠MON=( )A. 34B. 43C. 3D. 126.菱形ABCD中,AC=2,BD=4,点E在线段CD上,则AB⋅AE的取值范围是( )A. [2,3]B. [0,1]C. [0,2]D. [−3,2]7.为了预测某地的经济增长情况,某经济学专家根据该地2023年1~6月的GDP的数据y(单位:百亿元)建立了线性回归模型,得到的经验回归方程为y=0.4x+a,其中自变量x指的是1~6月的编号,其中部分数据如表所示:时间1月2月3月4月5月6月编号x123456y百亿元y1y2y311.1y5y6参考数据:∑6i=1y2i=796,∑6i=1(y i−−y)2=70.则下列说法不正确的是( )A. 经验回归直线经过点(3.5,11)B. a=9.6C. 根据该模型,该地2023年12月的GDP的预测值为14.4百亿元D. 相应于点(x4,y4)的残差为0.18.油纸伞是中国传统工艺品,至今已有1000多年的历史,为宣传和推广这一传统工艺,北京市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中将油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上,如图所示,该伞的伞沿是一个半径为2的圆,圆心到伞柄底端距离为2,阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子(春分时,北京的阳光与地面夹角为60°),若伞柄底端正好位于该椭圆的焦点位置,则该椭圆的离心率为( )A. 2−3B. 2−1C. 3−1D. 22二、多选题:本题共3小题,共18分。

广东省广州市高二下学期数学期末考试试卷

广东省广州市高二下学期数学期末考试试卷

广东省广州市高二下学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共4题;共8分)1. (2分) (2018高一下·河南月考) 用系统抽样(等距)的方法从含有120个个体的总体中抽取容量为10的样本,将总体编号为1-120,若编号为114的个体被抽到,则以下编号未被抽到的是()A . 30B . 40C . 66D . 902. (2分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E , F分别为棱AB , CC1的中点,则在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线()A . 不存在B . 有1条C . 有2条D . 有无数条3. (2分)如图,四边形ABCD中,AB=AD=CD=1,,.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体,使平面平面BCD,则下列结论正确的是A .B .C . 与平面所成的角为D . 四面体的体积为4. (2分)一个圆柱的轴截面是正方形,其侧面积与一个球的表面积相等,那么这个圆柱的体积与这个球的体积之比为()A . 3:2B . 3:1C . 2:3D . 4:3二、填空题 (共12题;共13分)5. (1分) (2018高二下·溧水期末) 函数的定义域为________.6. (1分) (2019高二下·虹口期末) 有个元素的集合的3元子集共有20个,则 = ________.7. (1分) (2018高二下·惠东月考) 的展开式中的系数为________.(用数字填写答案)8. (1分) (2016高三上·辽宁期中) 连接球面上两点的线段称为球的弦,半径为4的球的两条弦AB,CD的长度分别为2 和4 ,M,N分别是AB,CD的中点,两条弦的两端都在球面上运动,有下面四个命题:①弦AB,CD可能相交于点M;②弦AB,CD可能相交于点N;③MN的最大值是5;④MN的最小值是1;其中所有正确命题的序号为________.9. (1分)设函数y=f(x)的反函数是y=f﹣1(x),且函数y=f(x)过点P(2,﹣1),则f﹣1(﹣1)=________ .10. (1分) (2018高一上·深圳月考) 如图是某几何体的三视图,其中正视图是腰长为2的等腰三角形,俯视图是半径为1的半圆,则该几何体的体积是________.11. (2分) (2016高二上·青海期中) 圆台的较小底面半径为1,母线长为2,一条母线和较大底面的一条半径相交且成60°角,则圆台的侧面积为________.12. (1分) (2015高二下·福州期中) 函数f(x)= 的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为________.13. (1分)期初考试,某班数学优秀率为70%,语文优秀率为25%,则语文、数学两门都优秀的百分率至少为________.14. (1分)(2013·新课标Ⅱ卷理) 已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则 =________.15. (1分) (2018高二下·孝感期中) 已知空间三点,,,则以,为邻边的平行四边形的面积为________.16. (1分) (2020高三上·青浦期末) 已知对于任意给定的正实数,函数的图像都关于直线成轴对称图形,则 ________三、解答题 (共5题;共65分)17. (15分)解下列方程或不等式.(1);(2) .18. (10分)(2017·宁波模拟) 如图,在四棱锥P﹣ABCD中,△PAD为正三角形,四边形ABCD为直角梯形,CD∥AB,BC⊥AB,平面PAD⊥平面ABCD,点E、F分别为AD、CP的中点,AD=AB=2CD=2.(Ⅰ)证明:直线EF∥平面PAB;(Ⅱ)求直线EF与平面PBC所成角的正弦值.19. (10分) (2017高二下·正定期末) 选修4-5:不等式选讲已知函数 .(1)当时,求不等式的解集;(2)设函数 . , ,求的取值范围.20. (15分)(2017·福建模拟) 如图,已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为4的正三角形,B,E,F 分别是AA1 , CC1的中点,且BE⊥B1F.(1)求证:B1F⊥EC1;(2)求二面角C1﹣BE﹣C的余弦值.21. (15分) (2017高三上·涪城开学考) 已知p:|1﹣|≤2,q:x2﹣2x+1﹣m2≤0(m>0),若¬p 是¬q的充分而不必要条件,求实数m的取值范围.参考答案一、单选题 (共4题;共8分)1-1、2-1、3-1、4-1、二、填空题 (共12题;共13分)5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共5题;共65分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、。

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