41 截面的几何参数解析
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附录A 平面图形的几何性质 §4.1 §4.2 §4.3 §4.4 截面的形心位置和面积矩 惯性矩、极惯性矩、惯性积 平行移轴公式 形心主惯性轴、形心主惯性矩
目录
教学内容：
面积矩和形心、惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径、 主惯性轴和主惯性矩。
教学要求：
1、理解面积矩和形心、惯性矩、极惯性矩、主轴、主惯 性矩、形心主轴、形心主惯性矩、惯性半径的定义； 2、掌握面积矩和形心、惯性矩的计算，惯性矩平行移轴 公式的计算，组合图形惯性矩的计算，有对称轴截面图 形的形心主惯性矩的计算。
x
ydL
例：已知圆弧AB半径R，圆 心角2α。求：AB圆弧段的 重心。
R
sin
例题
2
如图所示将截面任意分为两部分A1与A2，证明这两部分 面积对整个截面形心轴xc的面积矩绝对值相等。
设： A1，A2对xc轴的静矩分别Sxc1和Sxc2
S xc S xc1 S xc2 S xc A y c A 0 0
由对称性可知
Iz I y
2
πd 32
4
二、（轴）惯性矩：(与转动惯量类似） 是面积与它到轴的距离的平方之积。
y
z
I y z 2 dA
A
——图形对 y 轴的惯性矩
dA
A
O
r
I z y 2 dA
A
y
z
——图形对 z轴的惯性矩
大于零 量纲[L4]-(m4)
y
z
I y z 2 dA
A
I z y 2 dA
例3 求图示阴影部分的面积对y轴的静矩。
h 2
a
y
h 2
b
h ( 2 a) h a 解： S y b ( a) 2 2
2 b h 2 a 2 4
§4.2 惯性矩、极惯性矩、惯性积
一、极惯性矩：是面积对极点的二次矩。
0
R4 (sin ) 2 d 4
R4 1 1 ( sin 2 ) 4 2 4
2 0
D 4
64
圆对直径的惯性矩求法二：
y
I y z dA
2 A
I z y dA
2 A
z
dA
y
I
dA A
2
A
(y A
2
z ) dA
2
O
2 2 y dA z z dA I z I y A
i 1
Ai zci zc A y Ai yci c A
(正负面积法公式)
四. 确定匀质物体重心（形心）的几种方法 1.对称性法 匀质物体的重心一定在其对称面、对称轴或对称中心上
c
c
c
c
c
c
c c c
2.组合法
（1）分割法
适用于形状较复杂的物体 例1：试求匀质槽形钢板的 形心。 解：由对称性可知 xc 0
S z ydA
A
S yc z A
A
ydA A
zc
Sy A
A
zdA A
zc
Sy A
A
zdA A
Sz yc A
A
ydA A
当截面由若干简单图形组成(等厚均质板的重心与形心 重合。) n n
S y Ai z ci
i 1
S z Ai yci
10cm
A
20cm y
10cm
A
30cm
y
A
o
2
y y
10cm
x
A1 A2 10 30 300cm
A3 10 20 200cm2
y1=y2=15cm
y3 5cm
300 15 2 200 5 yc =12.5cm 300 2 200 A i
A
dA
A
O
ρ
y
I 2 dA
A
z
I I y Iz
例5、求圆对直径的惯性矩
dA dd
I y Z dA
2
D
z sin
( sin ) 2 dA
2 R
2 ( sin ) dd 0 0 2 R 3 2 (sin ) dd 0 0 2
i 1 3 i ci i 1
Ay
3
（2）负面积法 解：由对称性可知
10cm
20cm y
A
10cm
30cm
A y
y
xc 0
A1 40 30 1Fra Baidu bibliotek00 cm2
A2 20 20 400cm2
yc
10cm
o x
y1=15cm
y2 20cm
Ay
i 1 3 i
3
ci
A
i 1
i
120015 (400) 20 =12.5cm 1200 (400)
3.积分法 适用于形状规则的物体。
y A R
解： 由对称性可知
dL
B
x 0
dL=Rdθ
y
θ α α
o
dθ
y=Rcosθ
R cos Rd y dL Rd
L L
重点：面积矩和形心，惯性矩，形心主惯性矩。 难点：惯性矩的移轴公式 学时安排：2学时(44页后的讨论题由学生课后完成)
§ 4.1
一、静矩的概念
截面的形心位置和面积矩
S y zdA
A
y z dA
——图形对于 y 轴的静矩
y
O z
S z ydA
A
——图形对于 z 轴的静矩
可正、可负、也可为零 量纲[L3]-(m3)
I 2 dA
A
y
——图形对 O 点的极惯性矩
dA
A
O
ρ z
I dA
2 A
＞0
量纲[L4]-(m4)
例题4
y dA dρ ρ
C
已知：圆截面直径d,求：
解：取圆环微元面积
dA 2π d
I
d /2 0
z
dA
2
d
d /2
0
2 π d
二、 重心及形心的概念 （1）重心： 物体各部分所受重力的合力 的作用点称为物体的重心。
•（2）形心：物体的几何中心，即为不考 虑物体的厚度和密度时物体的重心。
三、静矩、形心及其相互关系 y
z
y
zC
dA
y
C
z O
yC
A
O
z
分力之矩之和
S y zdA
A
合力之矩
S y AzC
S z AyC
A1
0 S xc1 S xc2
C
xc
S xc1 S xc2
证毕
A2
1、 截面图形的静矩是对某一坐标轴定义的，因 此静矩与坐标轴有关 2、已知静矩，可以确定图形的形心坐标；已知图 形的形心坐标，可以确定静矩 3、截面对形心轴的静矩为零 4、若截面对某轴的静矩为零，则该轴必为形心轴
目录
教学内容：
面积矩和形心、惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径、 主惯性轴和主惯性矩。
教学要求：
1、理解面积矩和形心、惯性矩、极惯性矩、主轴、主惯 性矩、形心主轴、形心主惯性矩、惯性半径的定义； 2、掌握面积矩和形心、惯性矩的计算，惯性矩平行移轴 公式的计算，组合图形惯性矩的计算，有对称轴截面图 形的形心主惯性矩的计算。
x
ydL
例：已知圆弧AB半径R，圆 心角2α。求：AB圆弧段的 重心。
R
sin
例题
2
如图所示将截面任意分为两部分A1与A2，证明这两部分 面积对整个截面形心轴xc的面积矩绝对值相等。
设： A1，A2对xc轴的静矩分别Sxc1和Sxc2
S xc S xc1 S xc2 S xc A y c A 0 0
由对称性可知
Iz I y
2
πd 32
4
二、（轴）惯性矩：(与转动惯量类似） 是面积与它到轴的距离的平方之积。
y
z
I y z 2 dA
A
——图形对 y 轴的惯性矩
dA
A
O
r
I z y 2 dA
A
y
z
——图形对 z轴的惯性矩
大于零 量纲[L4]-(m4)
y
z
I y z 2 dA
A
I z y 2 dA
例3 求图示阴影部分的面积对y轴的静矩。
h 2
a
y
h 2
b
h ( 2 a) h a 解： S y b ( a) 2 2
2 b h 2 a 2 4
§4.2 惯性矩、极惯性矩、惯性积
一、极惯性矩：是面积对极点的二次矩。
0
R4 (sin ) 2 d 4
R4 1 1 ( sin 2 ) 4 2 4
2 0
D 4
64
圆对直径的惯性矩求法二：
y
I y z dA
2 A
I z y dA
2 A
z
dA
y
I
dA A
2
A
(y A
2
z ) dA
2
O
2 2 y dA z z dA I z I y A
i 1
Ai zci zc A y Ai yci c A
(正负面积法公式)
四. 确定匀质物体重心（形心）的几种方法 1.对称性法 匀质物体的重心一定在其对称面、对称轴或对称中心上
c
c
c
c
c
c
c c c
2.组合法
（1）分割法
适用于形状较复杂的物体 例1：试求匀质槽形钢板的 形心。 解：由对称性可知 xc 0
S z ydA
A
S yc z A
A
ydA A
zc
Sy A
A
zdA A
zc
Sy A
A
zdA A
Sz yc A
A
ydA A
当截面由若干简单图形组成(等厚均质板的重心与形心 重合。) n n
S y Ai z ci
i 1
S z Ai yci
10cm
A
20cm y
10cm
A
30cm
y
A
o
2
y y
10cm
x
A1 A2 10 30 300cm
A3 10 20 200cm2
y1=y2=15cm
y3 5cm
300 15 2 200 5 yc =12.5cm 300 2 200 A i
A
dA
A
O
ρ
y
I 2 dA
A
z
I I y Iz
例5、求圆对直径的惯性矩
dA dd
I y Z dA
2
D
z sin
( sin ) 2 dA
2 R
2 ( sin ) dd 0 0 2 R 3 2 (sin ) dd 0 0 2
i 1 3 i ci i 1
Ay
3
（2）负面积法 解：由对称性可知
10cm
20cm y
A
10cm
30cm
A y
y
xc 0
A1 40 30 1Fra Baidu bibliotek00 cm2
A2 20 20 400cm2
yc
10cm
o x
y1=15cm
y2 20cm
Ay
i 1 3 i
3
ci
A
i 1
i
120015 (400) 20 =12.5cm 1200 (400)
3.积分法 适用于形状规则的物体。
y A R
解： 由对称性可知
dL
B
x 0
dL=Rdθ
y
θ α α
o
dθ
y=Rcosθ
R cos Rd y dL Rd
L L
重点：面积矩和形心，惯性矩，形心主惯性矩。 难点：惯性矩的移轴公式 学时安排：2学时(44页后的讨论题由学生课后完成)
§ 4.1
一、静矩的概念
截面的形心位置和面积矩
S y zdA
A
y z dA
——图形对于 y 轴的静矩
y
O z
S z ydA
A
——图形对于 z 轴的静矩
可正、可负、也可为零 量纲[L3]-(m3)
I 2 dA
A
y
——图形对 O 点的极惯性矩
dA
A
O
ρ z
I dA
2 A
＞0
量纲[L4]-(m4)
例题4
y dA dρ ρ
C
已知：圆截面直径d,求：
解：取圆环微元面积
dA 2π d
I
d /2 0
z
dA
2
d
d /2
0
2 π d
二、 重心及形心的概念 （1）重心： 物体各部分所受重力的合力 的作用点称为物体的重心。
•（2）形心：物体的几何中心，即为不考 虑物体的厚度和密度时物体的重心。
三、静矩、形心及其相互关系 y
z
y
zC
dA
y
C
z O
yC
A
O
z
分力之矩之和
S y zdA
A
合力之矩
S y AzC
S z AyC
A1
0 S xc1 S xc2
C
xc
S xc1 S xc2
证毕
A2
1、 截面图形的静矩是对某一坐标轴定义的，因 此静矩与坐标轴有关 2、已知静矩，可以确定图形的形心坐标；已知图 形的形心坐标，可以确定静矩 3、截面对形心轴的静矩为零 4、若截面对某轴的静矩为零，则该轴必为形心轴