基本不等式的综合应用

基本不等式的综合应用

基本不等式是人教版高中数学必修5第三章第四节的内容，在高考中占有很重要的比重。而同学们在使用基本不等式的过程中往往会遇到各种各样的题型而觉得无从入手。现结合教学中实际遇到的问题，浅谈利用基本不等式求最值的各类题型的处理方法。

题型一：直接利用基本不等式求最值

理论依据：（1）当0,0a b >>且=p a b +时，2

224a b p ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭

，当且仅当a b =时等号成立，简记为“和定积最大”

（2）当0,0a b >>且ab p =

时，a b +≥

=a b =时等号成立，简记为“积定和最小”

例1 ①0,236,x y o x y x y

>>+=且求的最大值 解：∵0x >,0y >且236x y +=

∴623x y =+≥，即32

xy ≤ ∴xy 的最大值为32，当且仅当23236x y x y =⎧⎨+=⎩即321x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩

时等号成立 230,2,xy x y o x y

>>+=②且求的最小值 解： ∵0x >,0y >且232x y

+=

∴232x y =+≥，即6xy ≥ ∴xy 的最小值为6，当且仅当23232x y x y

⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩即23

x y =⎧⎨=⎩时等号成立

题型二：配凑法

例2 42

x x x -①已知>2,求+

的最小值 解： 20x x ∴->∵>2

44222622x x x x ∴+=-++≥=--

当且仅当422

x x -=

-时等号成立 ∴当4x =时，42

x x +-取得最小值6 3,y 4(32)2

x x x =-②已知0<<求的最大值 解：302

x <<∵ 023x ∴<< 320x -> ∴2232922(32)2()22

x x y x x +-=∙∙-≤∙= 当且仅当232x x =-，即34

x =时等号成立 ∴当34x =时，4(32)y x x =-取得最大值92

2

2

0,01,4b a b a >>+=③且求 解：2

2

14b a +=∵ 2244a b ∴+=

221141522224a b a ++∴∙≤∙=

当且仅当22244

a a

b ⎧=⎪⎨+=⎪⎩ ∴

当4a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

时，54

2④求

错解：22=∵2≥

241x +=，显然不成立。

正解：令t

∴1

y t t

=+ （2t ≥）

又1y t t

=+在（1，+∞）上单调递增 ∴1y t t =+在2t ≥时的最小值为52 ∴2

为52 题型三：“1”的代换

例3 ①0,0x y >>且12=12x y x y

++，求的最小值

解：∵1

2222(2)()1459x y x y x y x y y x +=+∙+=+++≥+ 当且仅当22x y y x

=，即x y =时，等号成立 又12=1x y

+ ∴3,3x y == ∴ 2x y +的最小值为9

②0,0x y >>且2x y +=2，8x y xy

+求的最小值 解：∵881812116()(82)22x y x y y x xy x y x y x y

++=+=+∙=∙+++

1(1092≥+= 当且仅当16y x x y

=，即4x y =时等号成立 又 2x y +=2, ∴41,33x y =

= ∴8x y xy

+的最小值为9 ③0,0x y >>22,2x y xy x y +=+且求的最小值

解：∵22x y xy +=

∴1112x y

+=

∴111592(2)()22222

x y x y x y x y y x +=+∙+=+++≥+ 当且仅当x y y x

=，即x y =时，等号成立 又22x y xy +=， ∴32x y ==

∴2x y +的最小值为92

题型四：整体思想构造不等式

例4 ①0,0x y >>且x+y-3xy+5=0,求xy 的最小值

解：∵0,0x y >>

∴x y +≥

∴35x y xy +=-≥

∴350xy -≥

∴5)1)0∙≥

53

≥

∴259

xy ≥，当且仅当x y =时等号成立 ∴又x+y-3xy+5=0 ∴53

x y == ∴xy 的最小值为259 ②0,0x y >>且x y xy x y +3+=9,求+3的最小值

解：∵0,0x y >>，x y xy +3+=9

∴21139(3)(3)()332x y x y xy x y +-+==

∙≤ ∴2(3)12(3)1080x y x y +++-≥

∴(318)(36)0x y x y ++∙+-≥

∴36x y +≥，当且仅当3x y =时等号成立

又x y xy +3+=9 ∴3,1x y ==

∴x y +3的最小值为6

③0,0x y >>且223y xy x y ++=+x ，求的最小值

解：∵0,0x y >>，223y xy ++=x

∴2(=3+x y xy +）

∴22(3(

)2x y x y xy ++-=≤） ∴23(34

x y +≤） ∴2(4x y +≤）

∴2x y +≤，当且仅当x y =时等号成立

又223x y xy ++= ∴x y ==1

∴x y +的最小值为2

小结：在应用基本不等式求最值时，一定要准确把握“一正，二定，三相等”这个条件，同时，解题过程中，一般只使用一次基本不等式，若多次使用不等式，则须保证各个不等式的等号能够同时成立。