全等三角形的判定条件

AC=AC （公共边）
∠3＝∠4 （已证）
∴ △ABC≌△CDA（ASA）
∴ AB=CD BC=AD（全等三角形对应边相等）
知识要点：
(1) 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 . 简写成“ 角边角”或“ASA”.
(2) 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 . 简写成“ 角角边”或“AAS”.
? A? ? A (公共角)
? ? ABE ? ? ACD ( ASA )
? AE ? AD (全等三角形对应边相等)
? AB? AC (全等三角形对应边相等)
? AB? AD ? AC ? AE (等式的性质)
? BD ? CE
（2）已知? ABC中，BE ? AD于E，CF ? AD于F，
且BE ? CF，那么BD与DC相等吗？ A
B
EC
F
∴△ABC ≌△DEF（ ASSAAS ）
想一想：
如图，O是AB的中点，
∠A=∠B，△AOC与△BOD
全等吗？为什么？
我的思考过程 C
如下：两角与 夹边对应相等 A
O
B
D
∴△AOC≌△BOD
补充练习：
A
1、在△ABC中，AB=AC，
AD是边∠BACC上的的角中平线分，线证。明：
∠求B证A：DB=D∠＝CCAD。
两角和其中一角的对边对 应相等的两个三角形全等， 简写成“角角边”或“AAS”。
A
D
B
C
E
F
三角形全等的判定公理2：∵∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F
∴ΔABC≌DEF（ASA）
A
D
B
C
E
F
三角形全等的判定公理3：∵ ∠B=∠E ，∠C=∠F，AC=DF ∴Δ ABC≌DEF （AAS）
练一练：
1、完成下列推理过程：
在△ABC和△DCB中，A
?∠∠A3＝B∠C=4∠DCB 3
∵ B∠C2=＝C∠B（1 公共边 ）
C∠B2＝=B∠C1
B1
D
4
O 2C
∴△ABC≌△DCB（AASAS）
2、请在下列空格中填上适当的 条件，使△ABC≌△DEF。
在△ABC和△DEF中
A
D
?∠ABA=D∠ED
∵ ∠BABACB=C=∠EDBFE=D∠EF ∠ABCBAC=C=D∠EBF=D∠EF
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
(2)已知? ABE和 ? ACD 中,? B = ? C ,AB=AC. A
求证: (1) ? ABE ? ? ACD
(2) AE=AD
(3) AB=AC (4) BD=CE
证明: ?在? ABE和? ACD中,
D
E
O
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? B ? ? C (已知)
B
C
AB? AC (已知)
证明：? BE ? AD，CF ? AD
? ? BED ? ? CFD ? 90? (垂直的定义）
? 在? BDE和? CDF中
F
? BED ? ? CFD （已证） B
D
C
E
? BDE ? ? CDF（对顶角相等）
BE ? CF（已知）
? ? BDE ? ? CDF（AAS）
? BD ? CD（全等三角形对应边相 等）
∴△ABD≌△ACE（AASAAS ）
若△ABC中，∠A＝30°，∠B＝70°， AC＝5cm,△DEF中∠D＝70°∠F＝ 80°，DF＝5cm，那么△ABC与△DEF 全等吗？为什么？
如图,小明不慎将一块三角形模具打碎 为两块,他是否可以只带其中的一块碎 片到商店去 ,就能配一块与原来一样的 三角形模具吗 ? 如果可以,带哪块去 合适?你能说明其中理由吗 ?
4cm
60°
80°
60°
80°
你画的三角形与同伴画的一 定全等吗?
2、角.角.边
若三角形的两个内角分别是60° 和40°，且40°所对的边为4cm， 你能画出这个三角形吗?
60°
40°
分析：
这里的条件与1中的条件有什 么相同点与不同点？你能将它 转化为1中的条件吗？
60°
80°
两角和它们的夹边对应相 等的两个三角形全等，简写 成“角边角”或“ASA”。
(3) 如图，AC、BD交
于点 ,AC=BD,AB=CD.
求证：(1)? C ? ? B
D
C
(2)OA? OD
O
A
B
再创辉煌：
1、如图∠ACB=∠DFE， BC=EF，根据ASA或AAS，那么应补 充一个直接条件 --∠---B-=--∠--E--或---∠---A-=--∠---D--，（写出一个即可）， 才能使△ABC≌△ DEF
探索三角形全等的条件
(二)
我们知道:如果给出一个三角 形三条边的长度,那么因此得到 的三角形都是全等.如果已知一 个三角形的两角及一边,那么有 几种可能的情况呢?
1、角.边.角 2、角.角.边
每种情况下得到的三角形都 全等吗?
做一做1、角.边.角
若三角形的两个内角分别是 60°和80°它们所夹的边为4cm, 你能画出这个三角形吗?
△ABC≌△ADE （AAS）
? ?
AB＝AD（已知）
如图：已A知EA＝BA＝DA，C∠，B∠＝B∠＝C∠，C， △ABD与△ACE全等吗？为什么？ A
解：全等。
在? ABD和? ACE中
E
D
?? B＝?∠CB（＝已∠知C）
B
C
?
? ?
AB＝A∠CA（＝已∠知A）
? ?
?
A＝?AAD（＝公AE共角）
B DC
证明：∵AD是B∠CB边AC上的的角中平线分线（已知）
∴B∠DB＝ADCD＝（∠三CA角D形（中角线平的分定线义的）定义）
∵在∠AB△ABAD＝B＝DAC和∠（C△A已ADC知（D）中已证???）BADB
? ?
AC(已知) CD(已证 )
∴∴∴∴AB△△∠DDABA＝＝BABDACDDD≌D=≌（（∠△△全公CAAAC等共CBDD三边（（（角）全SS形??等ASAS三对SD）)角应?形边A对D相应(公等角共）相边等)）
A
A
F
E
B
C
D
E
1
2
D
B
C
2、如图，BE=CD，∠1=∠2，则AB=AC吗？为
什么？
五、思考题
如图， AB ∥CD，AD∥BC，那么 AB=CD 吗？为什么？ AD与BC呢？
证明：∵ AB∥CD，AD∥BC（已知 ）
D
3 1
A
C
2 4
B
∴ ∠1＝∠2 ∠3＝∠4 （两直线平行，内错角相等）
∴在△ABC与△CDA中 ∠1＝∠2 （已证）
A 2
1 BD
E 如图，已知 ∠C＝∠E，∠1＝∠2， AB＝AD，△ABC和 C △ADE全等吗？为什么？
解： △ABC和△ADE全等。 ∵∠1＝∠2（已知） ∴∠1＋∠DAC＝∠2＋∠DAC
即∠BAC＝∠DAE 在△ABC和△ADC 中
??
? ?
?
C＝? E（已知）
∴
BAC＝? DAE（已证）