浅谈中学中的反证法

摘要
数学命题的证明方法分直接证法和间接证法两种．在间接证法中，最常见的就是反证法．虽然平时我们接触了相关方面的知识，但是比较零散，对其定义、步骤、使用范围等没有系统的认识，并且由于数学命题的多样性、复杂性，哪些命题适宜用反证法很难给出确切的回答.本课题通过查阅资料和自己在学习数学过程中的发现就中学数学中反证法的定义、反证法的逻辑依据、步骤以及种类，解题过程中怎样由假设出发寻找矛盾、以及那些类型的问题适宜从反证法出发进行证明的问题进行了归纳。

这有利于帮助学生系统的学习反证法，提高学生利用反证法进行解题的技巧从而达到预期效果。

关键词反证法；假设；矛盾；结论
Abstract
The mathematical proof points directly proofs proposition and indirect proof two. In indirect proof, the most common is required. Although peacetime we contact with the related knowledge, but is scattered, of the concept, application procedures, the scope of use of not understanding of the system, and the mathematical proposition the diversity and complexity, which is suitable for proposition is very difficult to give the exact with reduction to answer. This subject will be required in the middle school mathematics concept, apagoge is logical basis, steps and types, problem solving process of how a hypothesis of contradictions, and looking for what types of questions appropriate counter-evidence method from the proof of the set out on the induction. this will help the students to learn the required system, improve the students use to problem solving skills required to achieve the expected effect
Keywords Counter-evidence method ; hypothesis; contradiction; conclusion
目录
摘要 (I)
Abstract (II)
1绪论 (1)
2反证法的定义、逻辑依据、步骤及种类 (2)
2.1反证法的定义 (2)
2.2反证法的逻辑依据 (2)
2.3反证法的步骤、种类 (2)
3反证法的适用范围 (4)
3.1基本命题 (4)
3.2否定式命题 (4)
3.3限定式命题 (5)
3.4唯一性命题 (6)
3.5肯定性命题 (6)
3.6不等式命题 (7)
3.7无限性命题 (8)
3.8本章小结 (8)
结论 (9)
参考文献 (10)
致谢 (11)
1 绪论
随着表征数学史第一次危机“2”的问题的出现,人类思维出现一个死结—无限思维，而反证法这种思维方式的出现，无非就是为了解决这一死结。

在西方数学中，人们极其注重证明过程中逻辑的严密性、准确性。

因此第一次数学危机和第二次数学危机的出现都与无限有关，即无理数(无限不循环小数)问题和极限问题。

西方数学家不能对无理数和极限给出准确的定义，也不能解释出与之有关的两个悖论。

因此借助逻辑中介也就是反证法将无限化为有限去处理无限问题，再去完成其证明。

我们知道，利用边数增加可以使圆内结成正多边形逼近圆，当边数增加到无穷时,我们就可认为这个多边形的就和圆重合，但这种处理方法并非始于刘徽。

而是在公元前5世纪由安提丰首先提出，而后安提丰的方法经欧克托斯改造，在处理割圆问题时，欧克托斯借助反证法将一个潜无限问题，化为一个对圆的有限次分割的问题。

中国古代的传统(计算)数学里，本身对演绎的证明就不太重视；再加上中国传统逻辑学的不完备，尽管中国的先民们认识到一些逻辑规律，但对于反证法的运用却是凤毛麟角。

由于中国古代数学太重于实际的传统，限制了对理论问题做更深层次的探讨。

在数学中，即使是刘徽这位在理论与逻辑方面都很擅长的数学大师，只是用到了反驳(如:举反例)。

反证法是数学中的一种重要的解题方法，我们在解决数学问题时，一般是从正面入手，这就是所谓的正向思维，但往往也会遇到从正面入手困难，或出现一些逻辑上的困境的情形，这时就要从辩证思维的观点出发，通过运用逆向思维克服思维定势的消极面的方法，从习惯思路的反方向去分析问题，运用反证法解决问题。

本文主要从反证法的适用范围进行系统的研究，从而使学生们更清晰的掌握反证法。

2 反证法的定义、逻辑依据、步骤及种类
2.1 反证法的定义
定义：反证法是从反面的角度思考问题的证明方法，属于“间接证明”的一类，即肯定题设而否定结论，从而导出矛盾，推理而得。

例1：求证：如果直线a、直线b都与第三条直线c平行，那么这两条直线也平行。

证明：假设，则可设两条直线a、b相交与点A，那么过点A就有两条直线与直线c平行，这与“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”相矛盾，则假设不成立。

2.2 反证法的逻辑依据
反证法的理论依据是形式逻辑中的两个基本规律——矛盾律和排中律。

所谓“矛盾律”是说：在同一论证过程中的两个互相反对或互相否定的论断，其中至少有一个是假的。

而所谓“排中律”则是说：任何一个判断或者是真或是假，二者必居其一。

也就是说结论“p真”与“非p真”中有且只有一个是正确的。

从逻辑角度看，命题“若p则q”的否定，是“p且非q”，由此进行推理，如果发生矛盾，那么“p且非q”为假，因此可知“若p则q”为真。

像这样证明“若p 则q”为真的证明方法，叫做反证法。

2.3 反证法的步骤、种类
反证法的模式：设待证的命题为“若A则B”，其中A是题设，B是结论，A、B 本身也都是数学判断，从否定结论开始，经过正确的推理而证明出与逻辑矛盾，从而达到新的否定，可以认为反证法的基本思路就是“否定之否定”。

应用反证法证明的主要三个步骤是：否定结论→推导出矛盾→结论成立。

解题的具体步骤：
（1）反设：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；
（2）归谬：从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
（3）结论：由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。

即提出假设--推出矛盾。

【注】1. 其中“归谬”是反证法的核心，其含义是：从命题结论的假设（即把反设
作为一个新的已知条件）及原命题的条件出发，引用一系列论据进行正确推理，推出与已知条件、定义、定理、公理等相矛盾的结果。

2. 在应用反证法证明例题时，一定要用到“反设”进行推理，否则就不是反证法。

反证法的种类：
（1）简单归谬法：用反证法证题时，如果想要证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“简单归谬法”。

例如：若x,y,z均为实数，且a=2x-2y+π/3,b=2y-2z+π/3，c =2z-2x+π/3，则a，b，c中至少有一个大于零？它的反面就是a,b,c都不大于0。

（2）穷举归谬法：如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举归谬法”。

3 反证法的适用范围
因为数学问题的多样性，解题方法也有很多种，我们的惯性思维是从正面直接证明，,但有的问题直接证明难度较大,而用反证法证明,却能轻而易举。

因此,应当重视反证法的学习。

下面我们就结合实例归纳几种常使用反证法的命题。

3.1 基本命题
即学科中的起始性命题，此类命题由于已知条件及能够应用的定理、公式、法则较少，或由题设条件所能推出的结论很少，因而直接证明入手比较难，此时应用反证法更容易。

如：平面几何、立体几何等，在按照公理化方法建立起它的科学体系时，最初只是提出少量的定义、公理。

因此，起始阶段的一些性质和定理很难直接推证，它们多数宜用反证法来证明。

例2：求证 两条直线如果有公共点，最多只有一个。

证明：假设它们有两个公共点A ，B ，这两条直线分别是a ，b 。

那么A ，B 都属于a ，A ，B 也都属于b ，
即由A ，B 两点确定两条直线a,b 与已知公理“两点只确定一条直线”相矛盾， 所以原命题正确，公共点最多只有一个。

3.2 否定式命题
即结论中含有“不能”、“不是”、“不存在”等词语的命题。

此类命题的反面比较具体，证明较易，适于应用反证法。

例3：求证：抛物线不存在渐近线。

我们分析，结论是“不存在”，呈“否定性”，考虑使用反证法，即假设“存在”后再导出矛盾后，再肯定“不存在”。

证明：设抛物线的方程是px y 22=(0≠p )。

假设抛物有渐近线，渐近线的方程是b ax y +=，易知a 、b 都不为0。

因为渐近线与抛物线相切于无穷远点，于是方程组
⎩⎨⎧+==b
ax y px y 22 )2()1( 的两组解的倒数都是0。

将(2)代入(1)，得
0)(2222=+-+b x p ab x a （3）
设1x 、2x 是（3）的两个根，由韦达定理，可知
221)(2a p ab x x --=+，22
21a
b x x =⋅ 则
0)(2112212121=--=+=+b
p ab x x x x x x ， （4） 011122
2121===⋅b
a x x x x ， （5） 由（4）、（5），可推得0=p ，
这于假设0≠p 矛盾。

所以，抛物线没有渐近线。

【注】否定性的问题常用反证法。

例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾。

3.3 限定式命题
即结论中含有“至少”、“最多”等词语的命题。

“至少”、“至多”问题经常从反面考虑，有可能使情况变得简单，适用应用反证法。

例4：求证：若下列方程：x 2＋4ax －4a ＋3＝0， x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0, x 2
＋2ax －2a ＝0至少有一个方程有实根。

试求实数a 的取值范围。

【分析】 三个方程至少有一个方程有实根的反面情况仅有一种：三个方程均没有实根。

先求出反面情况时a 的范围，再所得范围的补集就是正面情况的答案。

证明：设三个方程均无实根，则有： △△△122222
2164430140
4420=--+<=--<=--<⎧⎨⎪⎩⎪a a a a a a ()()(), 解得
-<<<->-<<⎧⎨⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪321211320a a a a 或,即－32<a<－1。

所以当a ≥－1或a ≤－
32
时，三个方程至少有一个方程有实根。

例5：已知R b a ∈,，若1>+b a ，则b a ,中至少有一个不小于
21。

证明：假设b a ,都小于21，即2
1,21<<b a ，则1<+b a ，这与1>+b a 矛盾，故原命题成立。

3.4 唯一性命题
即结果指定唯一的命题，关于这类问题，多存在于几何中的三角，代数等学科中。

这类题目用直接证法证明相当困难，因此一般情况下都采用间接证法。

而反证法证明相对方便。

例6求证方程 22+x=6 仅有唯一实根 2。

证明：假设方程 22+x=6 有一个非 2 的实根α 。

则有 2a + α =6 ，与 22+2=6 相减，得 2a -22=2- α 。

∵α≠ 2 ，故α＞ 2 或α＜ 2。

当α＞ 2 时， 2a -22 ＞ 0 ，而 2- α＜ 0 ，相矛盾 。

当α＜ 2 时， 2a -22 ＜ 0 ，而 2- α＞ 0 ，也矛盾 。

∴假设方程有一个非 2 的实根是错误的 。

3.5 肯定性命题
结论以“……总是……” ，“……全……” ，“……都……”等出现的，都是肯定性命题，遇到肯定性命题时，往往我们已知条件较少，对于证明例题就有一定的限制。

这时我们就应考虑运用反证法，将结论反设，这样已知条件便会增加，然后可以通过多个已知条件，推出否定结论，找到推理思路。

例7：求证:无论n 是什么自然数，214143
n n ++总是既约分数. 证明：假设3
14421++n n 不是既约分数，令 214n ka += (1)
_a _ D _ C
_ B 143n kb += (2)
（,,,1k a b N k ∈ ），且a b 为既约，由(2)×3-(2)×2得132132kb ka b a k -=⇒-=， 因32b a -为整数，1k 为分数，则132b a k
-=不成立， 故假设不成立. 214143
n n ++总是既约分数. 3.6 不等式命题
在不等式命题中，当直接证明较复杂时，这种情况下，我们可以考虑反证法但当结论反面有无穷多种情况时，一般不宜用反证法.
例8已知：如图示△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D
求证：AD+BC>AC+AB
证明 假设AD+BC<AC+AB ，令AB=c ，AC=b ，BC=a ，AD=h
则有0<h+a<b+c
两边同时平方得：
222222h ah a b bc c ++<++ (1)
因为2 ABC S ∆=ah=bc 且在△ABC 中，∠A ＝90°，所以222a b c =+
则(1)式变为：
22222h ah a a ah ++<+ (2)
由(2)得：20h <，矛盾，故假设错误，所以AD+BC>AB+AC
3.7 无限性命题
即求证的命题中含有“无穷”、“无限”等概念, 对于这类命题，从正面去讨论一个无限对象具有某种性质，其工程量太过于庞大，以至于不能实施。

而采用反证法，就可以把无限转化为有限，把复杂转化为简化，而论证有限性命题相对就容易的多。

例9 :求证在0 与1 之间有无穷个有理数。

证明:假设在0 与1 之间的有理数只有(有限的) n个:
a1 ,a2 , ⋯,an - 1 ,an 。

根据有理数之积仍为有理数,于是得到一个与a1 ,a2 , ⋯,an - 1 ,an 都不相同的有理数p = a1·a2·⋯·an - 1·an
因为a1 ,a2 , ⋯,an - 1 ,an 都为小于1 的正有理数,
所以0 < p < 1. 故在0 与1 之间至少有n + 1个有理数。

这与假设只有限个有理数相矛盾, 所以原命题成立。

3.8 本章小结
反证法它在中学数学中有着广泛的应用，是中学数学常用的一种重要的证题方法，适用命题范围较广，以上我们主要总结了七类命题，对于这几类命题，反证法一般较为有效而简便。

但我们必须清楚：对于不同题目，要具体问题具体分析，熟练掌握反证法的求解步骤，牢记“正难则反”的规律，遇到问题学会反面思考，我相信再遇到类似的题目定能迎刃而解。

结论
反证法这种方法思路非常清晰，即对所证命题得结论给出否定假设经过一系列得逻辑推理，推出一个与已知条件（或已知定理）相矛盾的结果从而说明假设是错误的，则原命题正确。

反证法是数学中一种重要的解题方法，牛顿曾经说过“反证法是数学中最精良武器之一”，它的运用在许多方面有不可替代的作用，反证法以它独特的思维方式和证明方法对培养我们创造思维能力和逻辑思维能力有着重大的意义。

反证法在数学中不但可以单独使用也可以与其它解题思想综合使用，并且可以在一道题里面多次使用，但往往学生对反证法的认识不深刻，对其运用不熟练，本文系统的介绍了他的成立条件和适用范围。

而反证法的作用不止于数学应用和解题研究，它在生活中，在别的领域中也有十分广泛的应用，例如“抽屉原理”，“鸽笼原理”，某些物理，化学研究等等，这就需要我们进一步去研究考察。

参考文献
[1]段耀勇、杨朝明.《武警学院学报》[J].2003年第19卷第4期
[2]蔡上鹤.高中数学新教材第一章教学问答（二）[M] .2000年第8期
[3]王玉文、鲍曼.数学逻辑基础[M] .黑龙江教育出版社.2003年
[4]阎平连.《吕梁高等专科学校学报》[J].2002年
[5]霍玉红.《数理化学习·初中版》[J].2013年第08期
[6]徐加生，纪健.浅谈用反证法证题的常见题型[J].江苏:数学通报.2007,第46卷
[7]邓传斌.反证法漫谈.中学数学杂志[M] .1996年第2期.
[8]龙朝阳.反证法的理论基础与适用范围[J].安顺师专学报.1999（2）：40-46.
[9].
[10]严镇军、陈吉范.从反面考虑问题[M] .中国科学技术大学出版社.2000年
致谢
衷心感谢指导教师讲师对我的精心指导，她的言传身教将使我终身受益。

本论文在朱慧媛讲师的悉心指导和严格要求下也已完成，从课题的选择，开题报告的修改到具体的设计都凝聚着朱慧媛讲师的心血和汗水。

本课题能够顺利地完成，也归功于各任课老师的认真负责，使我能够掌握很好的专业知识，并在设计中得以体现。

在此，我感谢数学学院全体的老师和同学们对我的关心和支持。

在这里请接受我诚挚的谢意！。