3.7 非正弦交流电路

例 周期性方波的分解
u t
u U0 Akmsi n( k ω t ψk )
k 1

U m 2U m 1 1 (sin ω t sin3 ω t sin5ω t ) 2 π 3 5
u
O
直流分量
u
O
三次谐波
t
t u
五次谐波
u
基波
t
O O
t
七次谐波等
4
忽略
u
直流分量+基波 直流分量
19
例2: 有一RC并联电路，
+ 已知： R 1kΩ 、 C 50 μ F
i
iC
R
i 1.5 0.707 2sin6280 t mA u C
求：各支路中的电流和两端电压。 解：(1) 直流分量 I0 作用
iR
-
I 0 1.5mA
i
U0
U 0 RI 0 1 1.5 1.5V
U 0 I 0 U k I k cos k

U0 I0 U1I1 cos 1 U2 I 2 cos 2
结果表明，非正弦周期电流电路只有同频率（同一次谐 波）的电压和电流才能构成有功功率。
24
k 1
结论： P P0 P1 P2 ...... 平均功率＝直流分量的功率＋各次谐波的平均功率
u
Um
O T/2 T
t
1 等效电源 + - u3 + u 5 -
+ U 0 + u
11
代入已知数据： Um 80V , T 0.02S 得
Um 80 40V 直流分量 U 0 2 2 2U m 2 80 基波最大值 U 1m 51 V π 3.14 1 三次谐波最大值 U 3m U 1m 17V 3 1 五次谐波最大值 U 5m U 1m 10.2V 5 2π 2 3.14 角频率 ω 314rad/s T 0.02
f（t）=A0+A1msin（t+φ 1）+ A2msin（2t+φ 2）+… = A0+∑Akmsin（kt+φ k）
2.基波与谐波的有关概念
基波:与原函数同频率的分量,称之为基波,即当 k=1时的分量。基波频率为。 谐波：当k＞1的所有分量，统称为谐波。
2
u
3. 电工中常见波形的傅氏级数
t
基波
u
直流分量+基波+ 三次谐波+五次谐波
t
五次谐波 三次谐波
5
3.7.2 非正弦量的有效值
1.有效值的定义 2.有效值的计算
1 I T


T
0
i 2 dt
2
1 I T

T
0
I 0 I km sin k t k dt k 1
1 T 1 2 2 I dt I sin (k t k )dt 0 km T 0 k 1 T
u1 51sin314 tV
L 0.05H C 22.5f ω 314rad / s
+
126 - 85.3 Ω
I1m U1m 51 0.4A Z1 126
16
(3) 三次谐波作用
i
R
L C
51 u3 sin3 314 t V 3
u3 u3
1 Z 3 R j(3ω L ) 3ωC 141 [10 j(3 15.7 )] 3 10 0Ω
U0 I 0

U
k 1

k 1
k 1
km km
I sin(kt ku )sin(kt ki )
k 1
U 0 I km sin(kt ki ) I 0 U km sin(kt ku )

U km I qm sin(kt ku )sin(qt qi ) k q23
1.瞬时功率 u U 0 U km sin(kt ku )
i I 0 I km sin(kt ki )
瞬时功率为:
k 1

i + u －
无 源 网 络
k 1
p ui
[U 0 U km sin(kt ku )] [ I 0 I km sin(kt ki )]
k 1 q 1

k 1
2.平均功率
1 P T

T
0
pdt
把前面 p的公式代入上式，由于三角函数的正交性，只有第一 项和第二项积分不为零，其余积分均为零，即
1 T P [U 0 I 0 U km I km sin(kt ku ) sin(kt ki )]dt T 0 k 1
已知：R 10Ω、L 0.05H 、 C 22.5μF
Um
O T/2 T
t
u
-
+
Um 80V、 T 0.02S 求电流 i 。 u
i
R
L
C
10
解： 第一步：将激励信号展开为傅里叶级数
u U 0 Akmsin(kω t k )
k 1

1 U m 2U m 1 (sin ω t sin3 ω t sin5 ω t ) 5 2 π 3
51 sin3 314 t V 3
+
I 3m
U 3m 17 1.7A Z3 10
17
(4) 五次谐波作用
i
R
L C
51 u5 sin5 314 t V 5
1 Z 5 R j(5 ω L ) 5ωC 141 [10 j(5 15.7 )] 5 51.2 78.8Ω
（1）矩形波
0
t
f（t）
4U m
（2）三角波 Um 1 1 f（t） 8 t 25 sin 5t ） 2（sin t 9 sin 3
1 1 （ sin t sin 3 t t ） 3 5 sin 5
f（t）
（3）锯齿波
Um 2
1 （sin t 1 sin 2 t t ） 2 3 sin 3 Um
(1) 直流分量 U0 作用： U 0 40V 对直流，电容相当于断路； 电感相当于短路。所以输出的 直流分量为：
I0 0 U 0 40V
+ U0 -
I0
U0作用的等效电路
15
(2) 基波作用
i
R
L C
u1 u1 51sin314 tV
1 1 6 ω C 314 22.5 10 141Ω ω L 314 0.05 15.7 Ω 1 Z1 R j(ω L ) ωC 10 j(15.7 141)
3.7
非正弦波交流电路
前面介绍的交流量都是按正弦规律变化的，但在不少的 实际应用中的量却是如下的规律变化 u t 0 u
矩形波
u t
0
u 0
三角波
u t
t
t
全波整流波
0
半波整流波
0
锯齿波
这些统称非正弦波，它们的变化规律不同，但它们都 1 是周期量。
3.7.1
非正弦周期量的傅里叶级数
1.傅里叶级数的三角级数式
ik Zk U k
i
=
i1
+
i2 +
…
+
ik
7
非正弦电路计算的方法是正弦电路稳态分析的相量法
2.谐波电抗及计算 （1）基波电抗
对应基波频率时的电抗，用XL 、XC表示
X L L
（2）谐波电抗
谐波电抗的计算
1 XC C
对应谐波频率k的电抗，用XLk 、XCk表示
kX L X Lk kL k
例3: 试计算例1电路中的平均功率
解:根据例1电路已计算出电压和电流为:
u 40 51si n ω t 17si n 3 ωt 10.2si n 5 ωt V
i 0.4sin( ω t 85.3) 1.7sin3 ω t 0.2sin(5 ω t 78.8) A
X Ck
XC k k C k
1
8
3. 电压、电流的计算
用相量法求解各次谐波的电压电流相量，其步骤是
1）求得各次谐波电抗，画出各次谐波电路； 2）由谐波电路列方程求解；（正弦电路的分析方法） 3）写出各次谐波的函数表达式，并按支路电压、电流 叠加。
9
例1: 方波信号激励的RLC串联电路中
21
在电容上的交流压降可以忽略不计 所以UC 1 U0
i(mA)
=
I0(mA)
+
i(mA)
t
+
C i R U1 0 - 1
22
C
R
=
U 0C
因此在这里电容对直流相当于开路，对交流起 到了旁路的作用。这一作用在交流放大电路中我们 将得到应用。
+
i
t
t
-
R I0
+
3.7.4 非正弦交流电路的功率
-
+
R
I0
20
(2) 基波 作用 +
i1
i1 Байду номын сангаас 0.707 2sin6280 t mA
1 1 C R u XC1 1 6 i1 iR 0 ω1C 6280 50 10 3Ω 所以交流分量 i1 基本不通过电 因为 XC 1 R
阻R这条支路。
UC 1 X C 1 I 1 3 0.707 2.12mV
25
u
Um
I0 0
O T/2 T
t
i1 0.4sin( ω t 85.3) i3 1.7sin3 ω t i 5 0.2sin(5 ω t 78.8) A
i I 0 i1 i 3 i 5
+ U 40V - 0 tV + u1 51sin314 u 等效电源 + u3 17sin3 314t V 1 + u 10.2sin5 314t V R L C
u5
13
u
Um
O T/2 T
t
i I 0 i1 i 3 i 5
+ U 40V - 0 u1 51sin314 tV + u 等效电源 1 + u3 17sin3 314t V + u 10.2sin5 314t V R L C
-
5
+
14
第二步 对各种频率的谐波分量单独计算
12
电压源各频率的谐波分量为
U 0 40V
u1 51sin314 tV
51 u3 sin3 314 t V 3
51 u5 si n5 314t V 5
10.2sin5 314t V
u3
17sin3 314t V
U0 u1
u 40 51si n ω t 17si n 3 ωt 10.2si n ω 5 t V
（4）半波整流波
（5）全波整流波
m 2 2 f（t） U （ 1 sin t cos 2 t ） 2 3 35 cos4t
f（t）
2U m
2 2 2 （ 1 cos 2 t cos 4 t ） 3 35 57 cos6t 3
-
5
平均功率为:
P P0 P1 P3 P5 ?
+
26
平均功率为: P P0 P1 P3 P5
51 0.4 P1 U 1 I 1cos85.3 cos85.3 0.8W 2 17 1.7 P3 U 3 I 3cos0 14.45W 2 10.2 0.2 P5 U 5 I 5cos78.8 cos78.8 0.2W 2
u5 -
51 u5 sin5 314 t V 5
+
I 5m
U 5m 10.2 0.2A Z5 51.2
18
第三步 各谐波分量计算结果瞬时值叠加
I0 0
0.4 85.3 I A 1m
1.7 0 A I 3m
0.2 78.8 I A 5m
i I 0 i1 i3 i5 0.4sin( ω t 85.3) 1.7sin3 ω t 0.2sin(5 ω t 78.8) A

I I
2 0 k 1

2 k
I I I I
2 0 2 1 2 2 2 3
6
3.7.3 非正弦电路的分析
1.非正弦电路计算的原理及方法
非正弦电路计算的原理是叠加原理 u1
u（t） 负 载
u2 u3
…… uk
i 负 载
i1
i2 Z1 +
U 1
=
U 2
… … Z2 +… +
P0 U 0 I 0 0
所以 : P P0 P1 P3 P5 0 0.8 14.45 0.2 15.45W
27
#
28