基于本征正交分解和代理模型的流场预测方法_邱亚松

Φ
（ ） ｉ
＝
ｊ＝１
∑ｖ
（ ） ｉ ｊ
ຫໍສະໝຸດ Baidu
Ｕｊ
（）
（ ） ３
特征值的大小表 征 了 该 特 征 值 对 应 的 Ｐ Ｏ Ｄ 基所
（） ｋ 包含快照集合 ｛ Ｕ ｉ ｝ｉ ＝１ 的特征的多少 。 前 ｎ 个 Ｐ Ｏ Ｄ 基所包含 快 照 集 合 特 征 的 多 少 可 通 过 它 们 ９］ ， 所包含的广义 “ 能” 来 表 征［ 所谓的广义“ 能” 定
义为
ｎ ｋ
（ ） ｉ
Ｅ＝
１ 本征正交分解
（） ｋ 令线性无关向量集合 ｛ Ｕ ｉ ｝ｉ ＝１ 中的每一个 ｎ 元 素均为ｎ 维空间Ω ∈ Ｒ 中的一个向量 ， 称之为
ｉ＝１
∑λ
ｊ＝１
∑λ
（ ） ｊ
（ ） ４
（ （ １） ２） ｋ） ， …， 一般情况下 ， 特 征 值 序 列 λ（ λ ， λ 衰
） 代理模 型 （ 是一种比原始 Ｓ ｕ ｒ ｒ ｏ ａ ｔ ｅ Ｍ ｏ ｄ ｅ ｌ ｇ 计算周期短且能提供精度不显著 模型计算量小 、 降低结果的近似 模 型 ， 近几十年来被广泛应用于
］ ３ ６ － 。但 一 般 的 代 理 模 型 只 能 建 立 输 入 各个领域 ［
参数与单目标或 少 数 目 标 间 的 近 似 关 系 ， 例如建 立气动外形的几何参数与升力系数或阻力系数等 气动参数之间的函数关系 。 很多情况下仅知道某 个气动参数并不 能 满 足 工 程 实 际 的 需 求 ， 而是需 要知道整个构型的流场 。 但对于任何一个构型的 绕流流场来说 ， 描述它的参数的数量为流场网格
航 空 学 报 Ａ ｃ ｔ ａ Ａ ｅ ｒ ｏ ｎ ａ ｕ ｔ ｉ ｃ ａ ｅ ｔ Ａ ｓ ｔ ｒ ｏ ｎ ａ ｕ ｔ ｉ ｃ ａ Ｓ ｉ ｎ ｉ ｃ ａ ： ｈ ｔ ｔ ／ ／ ｈ ｋ ｘ ｂ ． ｂ ｕ ａ ａ ． ｅ ｄ ｕ ． ｃ ｎ ｋ ｘ ｂ ｕ ａ ａ ． ｅ ｄ ｕ ． ｃ ｎ ｈ ＠ｂ ｐ ： ／ ｄ ｏ ｉ １ ０ ． ７ ５ ２ ７ Ｓ １ ０ ０ ０ ６ ８ ９ ３ ． ２ ０ １ ３ ． ０ ２ ２ ９ －
可以通过定义一个核函数及该核函数与所求基之 间的算子来 求 解
（ ） ｉ ［ ８］
。 两 种 方 法 的 共 同 思 路 如 下：
（） ｋ ｋ 既然 ｛ Ｕ ｉ ｝ｉ Φ ｝ｉ＝１ 是向量集合 ｛ ＝１ 张成空间 的一组规范正交 基 ， 那么这组基中的任何一个都
即 可以用原始向量之间的线性叠加来表示 ，
ｋ
Φ
（ ） ｊ
＝
ｉ＝１
∑ａ
（ ） ｊ ｉ
Ｕ
（ ） ｉ
（ ） ２
（ ） ｊ 显然 ， 求得诸系 数 ａ 即可求得需要的规范正交 ｉ
基 。 通过前述的两种方法 可 以 证 明 ： 第ｊ 个 Ｐ Ｏ Ｄ 基的第ｉ个系数即为快照间协方差矩阵Ｒｋ×ｋ 的第 ｊ 个特征值对应特 征 向 量 的 第ｉ 个 元 素 。 用 数 学
摘 要 ：为了实现流场的快速求解 ， 基于本征正交分解 （ 与代理模型提出了一种全新的流场预测方法。其基本原 Ｐ Ｏ Ｄ） 理为 ： 首先采用本征正交分解将一定数量的样本流场分解为同等数量的基模态流场 ； 然后用少数包含了绝大 部 分 样 本 流 场特征的基模态流场拟合所有的样本流场 ； 最后用代理模型 建 立 起 决 定 样 本 流 场 的 输 入 参 数 与 拟 合 系 数 之 间 的 近 似 函 数关系 。 针对几何外形不同的二维翼型定常流场预 测 结 果 表 明 ： 在 亚 声 速 情 况 下， 预测误差收敛的模态数量不超过２ ０ 个， 继续增加模态的使用数量不能明显提高预测精度 ； 在跨 声 速 情 况 下 ， 预测误差收敛的模态数量为２ 当使用的模 ６个， 态数量达到前 １ 继续增加模态的 使 用 数 量 能 提 高 绝 大 部 分 流 场 区 域 的 预 测 精 度 ， 但同时会在激波附近引入“ 噪 ０ 个时 ， 声” 激波特征而降低该区域的局部预测精度 。 在这两种情况下 ， 预测流场所需时间均不到高精度 计 算 流 体 力 学 （ 方 Ｃ Ｆ Ｄ） ／ 法的 １ ２ ０ ０。 关键词 ：流场 ；预测 ；本征正交分解 ；代理模型 ；“ 噪声 ” 激波特征 ；计算流体力学 （ ） 中图分类号 ：Ｖ ２ １ １ ． ３ 文献标识码 ：Ａ 文章编号 ： １ ０ ０ ０ ６ ８ ９ ３ ２ ０ １ ３ ０ ６ １ ２ ４ ９ １ ２ － － －
Ｊ ｕ ｎ ． ２ ５ ２ ０ １ ３Ｖ ｏ ｌ ． ３ ４Ｎ ｏ ． ６ １ ２ ４ ９ １ ２ ６ ０ － ／ Ｉ Ｓ Ｓ Ｎ １ ０ ０ ０ ６ ８ ９ ３ Ｎ １ １ １ ９ ２ ９ Ｖ － Ｃ －
基于本征正交分解和代理模型的流场预测方法
２ 邱亚松１，白俊强１，＊ ，华俊１，
１．西北工业大学 航空学院 ，陕西 西安 ７ １ ０ ０ ７ ２ ２．中国航空研究院 ，北京 １ ０ ０ ０ １ ２
减很快 ， 往往 前 几 个 Ｐ Ｏ Ｄ 基就能包含９ ０％ 甚 至 。 所以 ， 能” 对于复杂系统 ， 从中 ９ ９％ 以上的广义 “ 抽取一定数量快 照 进 行 本 征 正 交 分 解 ， 分析少数 能” 比重较 大 的 Ｐ 广义 “ Ｏ Ｄ 基就能得到系统的主 导特征 。
） 。Ｐ 快照 （ Ｓ ｎ ａ ｓ ｈ ｏ ｔ Ｏ Ｄ 的目的就是找出这些快 ｐ 照所 张 成 的 空 间 Ψ 中 的 一 组 规 范 正 交 基 （ ） （） ｉ ｋ ｋ ， 使得集合 ｛ Ｐ Ｏ Ｄ 基） Ｕ ｉ ｝ｉ Φ ｝ｉ＝１ （ ＝１ 中 的 ｛ 元素在这组基上的投影最大 。 用数学公式表述为 １ （） ２ 烄 ｍ ａ ｘ ∑ （ Ｕｉ ， Φ） Φ ｋ ｉ＝１ 烅 （ ） １ ＝１ Φ， Φ） 烆（ ·， ·）表 示 内 积 运 算 ， 式中 ：（ 理论上任何内积形 但如 果 需 要 将 原 始 系 统 的 控 制 方 程 式都可采用 ， 投影到求得的规 范 正 交 基 上 ， 则内积运算中必须 此时一般采用平 体现控制方程求 解 的 物 理 区 域 ， 方可积空间上定义的内积 ； · 为所采用内积诱 ） 导的范数 。 通常情况下 ， 式（ 所描述的带约束求 １
ｋ ｋ × 按从大到小排列的ｋ 个 互 异 特 征 值 ， 其中 Ｒ 的 （ ） （ ） （ ） ｉ ｉ ｊ 第 ｉ Ｕ ， Ｕ ）。 Ｖ ＝ ｊ 个 元 素 为 （ （ ） （ ） （ ） Ｔ （ ） ｉ ｉ ｉ ｉ … 。 为 对 应 的 特 征 向 量 ｖ ｖ ｖ ［１ ２ ｋ ］ λ
（ （ １） ２） ｋ） ｋｋ ， …， 语言可描述为 ： 令λ（ λ ， λ 为矩阵 Ｒ × 的
关系可以写为 （ ） Ｘ） Ｘ） ５ ＋ｚ（ ｙ ＝ ｆ（ 式 中： 是 一 个 确 定 性 部 分； Ｘ）为 回 归 模 型 ， ｆ（
２ ， 其均值为 ０， 方差为σ 协方 ｚ（ Ｘ）为一随机过程 ，
［ １］
（ ， ， 这也是该方法在 Ｒ ｅ ｄ ｕ ｃ ｅ ｄ Ｏ ｒ ｄ ｅ ｒ Ｍ ｏ ｄ ｅ ｌ Ｒ ＯＭ） 气动 方 程 求 解 领 域 中 的 主 要 应 用 。 例 如 Ｂ ｕ ｒ －
［］ ｋ ａ ｒ ｄ ｔ等 ２ 用该方法得到了 Ｎ ａ ｖ ｉ ｅ ｒ Ｓ ｔ ｏ ｋ ｅ ｓ方程的 － 降阶模型 。
当前与空气动力学相关的很多问题都涉及到 例如 ： 与气动性能相关的优化问 大量流场的计算 ， 湍流结构演化问题以及气动弹性耦合问题等 。 题、 高精度的 流 场 求 解 器 能 提 供 较 为 准 确 的 流 场 信 息， 但求解所需时间较长 ， 尤其是所需要求解的流 需要耗费的时间往往在工程中不 场数目庞大时 ， 能被接受 。 本征 正 交 分 解 （ Ｐ ｒ ｏ ｅ ｒ Ｏ ｒ ｔ ｈ ｏ ｏ ｎ ａ ｌ Ｄ ｅ ｃ ｏ ｍ － ｐ ｇ ， 是一种将复 杂 系 统 分 解 为 若 干 基 ｏ ｓ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ Ｐ Ｏ Ｄ） ｐ 本模态的方法 。 逐个分析这些基本模态就能知道 原始 复 杂 系 统 的 主 要 特 征 与 次 要 特 征 。 例 如 ， Ｈ ｏ ｌ ｍ ｅ ｓ等
７］ 。也 最大值问题可采用拉格朗日乘子法来求解 ［
２ 代理模型
代理模型的基 本 思 想 是 ： 利用原始高精度模 然后采用一定方法从这组样本 型获得一组样本 ， 中提取输入参数与输出参数之间的近似关系进而 建立一个模拟原始高精度模型的模型 。 所以代理
［ ４］ 。 比较常用的几 模型的模型 ” 模型又被称之为 “ ［ ９］ 种代 理 模 型 有 ： Ｋ ｒ ｉ ｉ ｎ Ｒ Ｂ Ｆ（ Ｒ ａ ｄ ｉ ａ ｌ ｇ ｇ代理模型 、 １ ０］ 、 神 经 网 络［ Ｂ ａ ｓ ｉ ｓ Ｆ ｕ ｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ） Ｂ Ｐ（ Ｂ ａ ｃ ｋ Ｐ ｒ ｏ ａ ａ － ｐ ｇ ［ ［ １ １］ １ ２］ ） 神经网络 和 高 斯 过 程 等 。 本 文 采 用 了 ｔ ｉ ｏ ｎ
将该 方 法 用 于 湍 流 结 构 的 研 究 。 如
果用一定的投影方法将原始系统的控制方程投影 到少数主要模态上就能得到原始系统的降阶模型
；退修日期 ： ；录用日期 ： ；网络出版时间 ： ： 收稿日期 ： ２ ０ １ ２ ０ ７ ０ ２ ２ ０ １ ２ ０ ７ ２ ６ ２ ０ １ ２ ０ ８ １ ６ ２ ０ １ ２ ０ ８ ３ ０ １ ４ ２ ７ － － － － － － － － ／ ／ ／ 网络出版地址 ： ｗ ｗ ｗ． ｃ ｎ ｋ ｉ ． ｎ ｅ ｔ ｋ ｃ ｍ ｓ ｄ ｅ ｔ ａ ｉ ｌ １ １ ． １ ９ ２ ９ ． Ｖ． ２ ０ １ ２ ０ ８ ３ ０ ． １ ４ ２ ７ ． ０ １ ２ ． ｈ ｔ ｍ ｌ ： ： ｕ ｎ ｉ ａ ｎ Ｔ ｅ ｌ ． ０ ２ ９ ８ ８ ４ ９ ２ １ ７ ４ ａ ｉ ｌ ｗ ｕ ． ｅ ｄ ｕ ． ｃ ｎ － Ｅ －ｍ ＠ｎ ｊ ｑ ｇ ｐ ＊ 通讯作者 ．
引用格式 ： Ｑ ｉ ｕ Ｙ Ｓ， Ｂ ａ ｉ Ｊ Ｑ， Ｈ ｕ ａ Ｊ ． Ｆ ｌ ｏ ｗ ｆ ｉ ｅ ｌ ｄ ｅ ｓ ｔ ｉ ｍ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｍ ｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｂ ａ ｓ ｅ ｄ ｏ ｎ ｒ ｏ ｅ ｒ ｏ ｒ ｔ ｈ ｏ ｏ ｎ ａ ｌ ｄ ｅ ｃ ｏ ｍ ｏ ｓ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｎ ｄ ｓ ｕ ｒ ｒ ｏ ａ ｔ ｅ ｍ ｏ ｄ ｅ ｌ ．Ａ ｃ ｔ ａ ｐ ｐ ｇ ｐ ｇ ： 白俊强 ， 华俊 ． 基于 本 征 正 交 分 解 和 代 理 模 型 的 流 场 预 ｅ ｔ Ａ ｓ ｔ ｒ ｏ ｎ ａ ｕ ｔ ｉ ｃ ａ Ｓ ｉ ｎ ｉ ｃ ａ， ２ ０ １ ３， ３ ４（ ６） １ ２ ４ ９１ ６ ０．邱亚松 ， Ａ ｅ ｒ ｏ ｎ ａ ｕ ｔ ｉ ｃ ａ －２ ： 测方法 ． 航空学报 ， ２ ０ １ ３， ３ ４（ ６） １ ２ ４ ９１ ６ ０． －２
ｋ
构建过程较为复杂的 Ｋ ｒ ｉ ｉ ｎ ｇ ｇ代理模型及构建过 程非常简单的 Ｒ Ｂ Ｆ 精确插值两种代理模型 。 ２ ． １ Ｋ ｒ ｉ ｉ ｎ ｇ ｇ 代理模型
（） ｎ 给定 ｎ 个 输 入 参 数 样 本 点 ｛ 其中 Ｘ ｉ ｝ｉ ＝１ ， （ ） （） ｉ 即设计变量的个数为 ｍ 。 Ｘ 为 ｍ 维向量 ， Ｘｉ 对 ） ｉ 。 所有 ｎ 个输出值组 应的原始系统输出值为 ｙ（ （ （ （ １） ２） ｎ） Ｔ 成输出向量Ｙ ＝ ［ ｒ ｉ － ｇ ｙ ｙ … ｙ ］ 。Ｋ ｉ ｎ ｇ 模型假设目标函 数 值 与 设 计 变 量 之 间 的 真 实
１ ２ ５ ０
航 空 学 报
ｋ
Ｊ ｕ ｎ ． ２ ５ ２ ０ １ ３Ｖ ｏ ｌ ． ３ ４Ｎ ｏ ． ６
单元数与流 场 变 量 个 数 的 乘 积 。 显 然 ， 直接建立 输入参数与所有这些流场参数之间的近似关系代 理模型的计算开销是相当大的 。 本文 介 绍 了 Ｐ Ｏ Ｄ 与代理模型的原理及各自 特点 ， 根据两者的 特 点 提 出 了 一 种 全 新 的 流 场 快 速预测方法 。 针对二维翼型的计算结果证明了该 方法的可行性 ， 同时对计算结果的分析得到了一 些有意义的结论 。