[数学物理方法与仿真(第3版)][杨华军 (6)[68页]

（2）倒数映射w 1 也可将圆周映射成圆周． z
事实上，设 z 平面上的圆周C 的方程为
A x2 y 2 Bx Cy D 0
向量 b ．
整式线性映射是不改变图形形状的相似变换，它 在整个复平面上处处是保角的、一一对应的。因而该
映射能把 z 平面上的圆周映射成w 平面上的圆周，这
一性质称为整式线性映射的保圆周性．
1． 倒数映射（或反演映射）
定义 6.2.3 倒数映射： 我们把映射w 1 称为 z
倒数映射（或反演映射）.
第六章 保角变换
6.1 保角映射的概念
我们在讨论解析函数导数的几何意义时 已经提到了保角映射这一概念．
6.1.1 保角映射的概念
定义 6.1.1 保角映射 凡具有保角性和伸缩率不变性
的映射称为保角映射．
凡具有保角性（角度相同，旋转方向相同）和伸缩率不
变性的映射称为第一类保角映射． 凡 具有保角 性 (角度 相同但旋 转方向 相反 )和伸 缩率不变
性的映射称为第二类保角映射． 我们将主要讨论第一类保角映射，根据前面的讨论，我
们有下面的结论：
定理 6.1.1 若函数w f z 在区域D 内解析，且对任意的 z0 D ，有 f z0 0 ， 那么w f z 必是区域 D 内的一个保角映射．
6.1.2 保角映射所解决的两个基本问题 根据实际问题的需要，对于保角映射我们提出 需要研究的两个基本问题：
域的变换关系（映 射）．
6.2分式线性映射
6.2.1 分式线性映射的概念
定义 6.2.1 分式线性映射 我们把形如w az b ， cz d
ad bc 0 的映射称为分式线性映射，其中a,b, c, d 均
为复常数． 由于它是德国数学家莫比乌斯（ Mobius， 1790～
1868 年）首先研究的，所以也称为莫比乌斯映射．
N R
P o A PB
图 6.4
对称点的作法：
当点 B 在圆周外时，连接OB ，由点 B 作圆 的切线，切点为 N ，再由 N 作OB 的垂线 NA ， 则垂足为 A . A 点即为 B 点关于圆周的对称点
( 由 ONA ~ OBN 容 易 验 证 ：
OA OB R2 ).
当点 B 在圆周内时，由定义也可作出其在圆 外的对称点 A ．
为了用几何方法由 z 作出w 1 ，我们先 z
介绍一下关于圆周 对称点的概念．
设 C 为以原点为中心， R 为半径的圆周， 若圆内点 A 及圆外点 B 与圆心 O 在同一直线 上，且 OA OB R2 ，则称这两点 A ，B 为
关于圆周的对称点 ．
显然，圆周C 上的点的对应点就在圆周上。
例如，图 6.4 中关于圆周的一对对称点为 P, P 点．
1． 整式线性映射
定义 6.2.２ 我们把映射w kz b k 0 称为整
式线性映射．
（1）当 k 1 时，w z b ，此映射称为平移映射． 因
为 复数可用向量表示，所以平移映射可用平行四边形法则得到 （如图 6.2）．
y
z
w zb
o
x
图 6.2
v b
w zb
z
u
（2）当 b 0 时，w kz ，此映射称为旋转
关于单位圆周 z 1的对称点w1 ，然后再作出点w1 关
于实轴的对称点w 即可（如图 6.5）．
Z N
w1
O
w1
图 6.5
由于映射 w
1 可将圆周 z
z
R 外的一点 z 0 映射为圆
周w
1 R
内的一点w 0
，因此 ，如果再规定
z
与
z 0 ；w 0 与w 是两对对称点的话，那么倒数
映射w 1 在整个扩充复平面上处处是保角的． z
w
b
ad c
1 cz
d
a c
(6.2.1)
令 cz d ， 1 ，那么w A B （ A ，
B 为复常数）．
由此可见 ，一个一般形式的分式线性 映射 是由下列两种特殊 映射复合而成：
（i）w kz b ；
（ii) w 1 z
下面讨论这两种基 本的映射．
6.2.2 两种特殊的映射
（1） 已知保角映射w f z 及 z 平面上的
区域，求出w 平面上相应的区域G ．
（2） 求一保角映射，使它将 z 平面上一个已
知区域 D 映射成w 平面上一个指定区 域G ．
解决这两个基本问题的方法是：
当给出映射w f z ，只要求出 D 的边界曲线
l（取正向）的像曲线 L ，即可确定出 L 所围成的区 域 G ，总使 L 与G 按正向（即当w 沿 L 移动时， 使 G 总在左侧）相互对应；当已知 D 及G 时，可找 出 D 与 G 的正向边界的对应法则，即可找到两个区
w 0
z 0
z
把后一式代入前一 式，即可得到具有下列形式
w az b cz d
的分式线性映射. 式中
ad bc 0 ．
容易验证 可以把一般形式的分式线性映 射看成是一些简单映射的复合．
设w az b ，可以把它化为 cz d
伸缩映射．
设 k rei ， z z ei ，则w r z ei ， 所以映射w kz 可看成是先将 z 旋转角度 ，再 将 z 伸长（或缩短） r 倍所得，如图 6.3．
y
z
w zb
o
x
图 6.3
v
o
w kz
z
u
因此，映射w kz b k 0 就是先将 z 旋转
角度 ，再将 z 伸长（或缩短）r 倍，最后平移一个
现在来讨论映射w 1 的几何意义． z
为了便于分析，可将映射w 1 分解为下面两个映射： z
（ i） w
w1
；（ ii） w1
1 z
．
如果设
z
rei
，则w1
1 z
1 rei
由于
z
w1
r1 r
1，所以 z
与w1 是关于单位圆
周 z 1的一对对称点；而w 与 w1 又是关于实轴互相
对称的． 因此，要由点证：分式线性映射的逆映射 z dw b ， cw a
(a)(d) bc 0 也是分式线性映射，因此，我们通常也
把分式线性映射称为双线性映射．
由于分式线性映射的导数 dw dz
ad bc
cz d 2
0 ，因
而，分式线性映射是保角映射．
容易验证 ：两个分式线性映射的复合仍是一个 分式线性映射．事 实上，设