2020届高中数学分册同步讲义(必修1) 初中、高中衔接课 第2课时

当 x＝－2ba时，y 取得最小值4ac4－a b2. 3.二次函数的三种表达方式：
y＝ax2＋bx＋c； y＝a(x－x1)(x－x2)； y＝a(x－h)2＋k.
4.对称轴 x＝－2ba(图象关于 x＝－2ba对称).
5.(1)当 x1<x2≤－2ba时，则 y1>y2.
(2)当 x2>x1≥－2ba时，则 y1<y2.
第 2 课时 二次函数、二次方程及简单的一元二次不等式
学习目标 理解和掌握二次函数的图象和性质，理解和掌握一元二次方程的相关知识并能熟 练解出一元二次方程，借助于二次函数的图象会解简单一元二次不等式.
知识点一 一元二次方程的根的判别式
一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，用配方法将其变形为x＋2ba2＝b2－4a42ac.
当
a≠0
时，则a＜0， Δ＜0，
即a＜0， a2＋4a＜0，
解得－4＜a＜0，
综上可知－4＜a≤0 时，对任意实数 x 都有 y<0. 二、填空题
6.二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的联系列表如下：
判别式 Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
二次函数 y＝ax2＋bx ＋c(a>0)的图象
一元二次方程 ax2＋bx ＋c＝0(a≠0)的根
有相异两实根 x1,2＝
－b± b2－4ac
2a
(x1<x2)
有相等两实根 x1＝x2 ＝－2ba
ax2＋bx＋c>0 的解
(3)x31＋x23＝(x1＋x2)(x21－x1x2＋x22) ＝(x1＋x2)[(x1＋x2)2－3x1x2]
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＝－52×－522－3×－23＝－2185.
突破二 二次函数的图象与性质 例 2 已知函数 y＝x2，－2≤x≤a，其中 a≥－2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数 取最大值和最小值时所对应的自变量 x 的值. 解 (1)当 a＝－2 时，函数 y＝x2 的图象仅仅对应着一个点(－2,4)，所以，函数的最大值和最 小值都是 4，此时 x＝－2； (2)当－2<a<0 时，由图①可知，当 x＝－2 时，函数取最大值 4；当 x＝a 时，函数取最小值 a2； (3)当 0≤a<2 时，由图②可知，当 x＝－2 时，函数取最大值 4；当 x＝0 时，函数取最小值 0； (4)当 a≥2 时，由图③可知，当 x＝a 时，函数取最大值 a2；当 x＝0 时，函数取最小值 0.
答案 3
解析 令 y＝3，则 x2－2x＝3，解得 x＝－1 或 3.由图可知，t 的最大值为 3.
4.方程 x2－ax＋1＝0 的两根为 x1，x2，若|x1－x2|＝ 5.则 a＝________. 答案 ±3 解析 依题意x1＋x2＝a，
x1·x2＝1， 又|x1－x2|＝ 5，所以(x1－x2)2＝5，所以(x1＋x2)2－4x1x2＝5，即 a2－4＝5，解得 a＝±3. 5.不等式 ax2＋bx＋1>0 的解为－12<x<13，则 a＋b＝________. 答案 －7
C.它的顶点坐标是(－2,1)
D.当 x＝0 时，y 有最大值是 2
答案 B
解析 ∵二次函数 y＝－2x2＋1，a＝－2，∴该函数图象开口向下，故选项 A 错误，当 x＜0
时，y 随 x 的增大而增大，故选项 B 正确，它的顶点坐标为(0,1)，故选项 C 错误，当 x＝0 时，
y 有最大值 1，故选项 D 错误，故选 B.
(1)∵|x1－x2|2＝x21＋x22－2x1x2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝－522－4×－32
＝245＋6＝449， ∴|x1－x2|＝72. (2)x121＋x122＝xx2121＋·xx2222＝(x1＋(xx21)x2－2)22x1x2
－522－－232×2－32＝2454＋ 9 3＝397.
解析
依题意－12，13是方程 ax2＋bx＋1＝0 的两根且 a<0，所以
－ba＝－12＋31，
a1＝－12×13，
解得 a＝－6，b＝－1 所以 a＋b＝－7.
一、选择题
1.若关于 x 的方程(a＋1)x2－3x－2＝0 是一元二次方程，则 a 的取值范围是( )
A.a≠0
B.a≠－1
C.a＞－1
A.－12＜x＜1
B.x＞1
C.x＜1 或 x＞2
D.x＜－12或 x＞1
答案 D
解析 ∵2x2－x－1＝(2x＋1)(x－1)，∴由 2x2－x－1＞0 得(2x＋1wenku.baidu.com(x－1)＞0，解得 x＞1 或 x
＜－12.
5.关于二次函数 y＝－2x2＋1，下列说法中正确的是( )
A.它的开口方向是向上
B.当 x＜－1 时，y 随 x 的增大而增大
x>x2 或 x<x1
x∈R 且 x≠－2ba
ax2＋bx＋c<0 的解
x1<x<x2
无解
Δ<0
没有实根 x∈R 无解
1.方程 ax2＋bx＋c＝0 如果有实数根，则 Δ＝b2－4ac≥0.( × ) 2.二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在 x＝－2ba时取得最值.( √ ) 3.一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等实数根，则 ax2＋bx＋c>0 的范围为 x>x2 或 x<x1.( × )
(1)当
b2－4ac>0
时，右端是正数.因此，方程有两个不相等的实数根：x1,2＝－b±
b2－4ac； 2a
(2)当 b2－4ac＝0 时，右端是零.因此，方程有两个相等的实数根：x1,2＝－2ba； (3)当 b2－4ac<0 时，右端是负数.因此，方程没有实数根. 由于可以用 b2－4ac 的取值情况来判定一元二次方程的根的情况.因此，把 b2－4ac 叫做一元 二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式，表示为 Δ＝b2－4ac. 知识点二 一元二次方程的根与系数的关系
所以方程 4x2－4x＋1＝0 的解是 x1＝x2＝12，
所以原不等式的解为
x<12或
1 x>2.
反思感悟 (1)在求解一个一般形式的一元二次不等式的过程中，要密切结合一元二次方程的
根的情况以及二次函数的图象.
(2)当所给不等式是非一般形式的不等式时，应先化为一般形式.
跟踪训练 3 求不等式－3x2＋6x>2 的解.
D.a＜－1
答案 B
解析 根据题意，得 a＋1≠0，解得 a≠－1.故选 B.
2.若一元二次方程 x2－2x＋1－a＝0 无实根，则 a 的取值范围是( )
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A.a＜0
B.a＞0
C.a＜34
D.a＞34
答案 A
解析 ∵一元二次方程 x2－2x＋1－a＝0 无实根，∴Δ＝(－2)2－4×1×(1－a)＜0，解得 a＜0，
反思感悟 在本例中，利用了分类讨论的方法，对 a 的所有可能情形进行讨论.此外，本例中 所研究的二次函数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实数来研究，在解决这一 类问题时，通常需要借助于函数图象来直观地解决问题. 跟踪训练 2 求二次函数 y＝－3x2－6x＋1 图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值(或 最小值)，并指出当 x 取何值时，y 随 x 的增大而增大(或减小)？画出该函数的图象，并指出 y>0 时 x 的取值范围. 解 ∵y＝－3x2－6x＋1 ＝－3(x＋1)2＋4， ∴函数图象的开口向下； 对称轴是直线 x＝－1； 顶点坐标为(－1,4)； 当 x＝－1 时，函数取最大值 y＝4，无最小值； 当 x<－1 时，y 随着 x 的增大而增大；当 x>－1 时，y 随着 x 的增大而减小；
突破一 一元二次方程的相关知识的应用 例 1 已知关于 x 的方程 x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0 有两个实数根，并且这两个实数根的平方 和比两个根的积大 21，求 m 的值.
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解 设 x1，x2 是方程的两根，由根与系数的关系， 得 x1＋x2＝－2(m－2)，x1·x2＝m2＋4. ∵x12＋x22－x1·x2＝21， ∴(x1＋x2)2－3x1·x2＝21， 即[－2(m－2)]2－3(m2＋4)＝21， 化简得，m2－16m－17＝0， 解得 m＝－1，或 m＝17. 当 m＝－1 时，方程为 x2＋6x＋5＝0，Δ>0，满足题意； 当 m＝17 时，方程为 x2＋30x＋293＝0，Δ＝302－4×1×293<0，不合题意，舍去. 综上，m＝－1. 反思感悟 (1)在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的 m 的范 围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大于 21”求出 m 的值，取满足条件的 m 的值即可. (2)在今后的解题过程中，如果仅仅由根与系数的关系解题时，还要考虑到根的判别式 Δ 是否 大于或等于零.因为，根与系数的关系成立的前提是一元二次方程有实数根. 跟踪训练 1 若 x1 和 x2 分别是一元二次方程 2x2＋5x－3＝0 的两根， (1)求|x1－x2|的值； (2)求x112＋x122的值； (3)x31＋x23. 解 ∵x1 和 x2 是一元二次方程 2x2＋5x－3＝0 的两根， ∴x1＋x2＝－52，x1x2＝－32.
∴关于 x 的方程 x2＋mx＝7 可化为 x2－6x－7＝0，
即(x＋1)(x－7)＝0，
解得 x1＝－1，x2＝7.
故选 D.
7.y＝ax2＋ax－1 对于任意实数 x 都满足 y＜0，则 a 的取值范围是( )
A.a≤0
B.a＜－4
C.－4＜a＜0
D.－4＜a≤0
答案 D
解析 当 a＝0 时，y＝－1＜0 成立.
采用描点法画图，选顶点 A(－1,4)，与 x 轴交于点 B2 33－3，0和 C－2 33－3，0，与 y
轴的交点为 D(0,1)，过这四点画出图象(如图所示).
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由图象可知，y>0
时
x
的取值范围为－2
3－3 2 3 <x<
3－3 3.
突破三 一元二次不等式的解法
例 3 求不等式 4x2－4x＋1>0 的解. 解 因为 Δ＝(－4)2－4×4×1＝0，
6.若二次函数 y＝x2－mx 的对称轴是 x＝－3，则关于 x 的方程 x2＋mx＝7 的解是( )
A.x1＝0，x2＝6
B.x1＝1，x2＝7
C.x1＝1，x2＝－7
D.x1＝－1，x2＝7
答案 D
解析 ∵二次函数 y＝x2－mx 的对称轴是 x＝－3，
∴－－2m＝－3，解得 m＝－6，
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“韦达定理”.
定理：如果一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根为 x1，x2，那么 x1＋x2＝－ba，x1x2＝ac. 知识点三 二次函数的图象与性质
仅讨论 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的情况： 1.x 的取值范围为一切实数.
2.y 的取值范围为4ac4－a b2，＋∞
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故选 A.
3.若 m，n 是一元二次方程 x2＋x－2＝0 的两个根，则 m＋n－mn 的值是( )
A.－3 B.3 C.－1 D.1
答案 D
解析 ∵m，n 是一元二次方程 x2＋x－2＝0 的两个根，∴m＋n＝－1，mn＝－2，则 m＋n－
mn＝－1－(－2)＝1，故选 D.
4.不等式 2x2－x－1>0 的解是( )
2.不等式－4x2＋4x<－15 的解为( )
A.－32<x<52
B.－52<x<32
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C.x>52或 x<－32
D.x>32或 x<－52
答案 C
解析 原不等式可化为 4x2－4x－15>0，即(2x－5)(2x＋3)>0，解得 x>52或 x<－32，故选 C.
3.函数 y＝x2－2x，当－1≤x≤t 时，该函数的最大值为 3，则 t 的最大值为__________.
一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根为
x1＝－b＋ 2ba2－4ac，x2＝－b－ 2ab2－4ac，
所以：x1＋x2＝－b＋
2ba2－4ac＋－b－
b2－4ac 2a
＝－ba，x1x2＝－b＋
b2－4ac －b－
2a
·
b2－4ac 2a
＝(－b)2－((2ab)22－4ac)2＝44aac2＝ac. 一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为
解 不等式可化为 3x2－6x＋2<0，
∵Δ＝(－6)2－4×3×2＝12>0，
∴x1＝1－ 33，x2＝1＋ 33， ∴不等式－3x2＋6x>2 的解为
1－
33<x<1＋
3 3.
1.不等式 9x2－6x＋1≤0 的解为( )
A.全体实数
B.无解
C.x≠13
D.x＝13
答案 D
解析 原不等式可化为(3x－1)2≤0，所以 3x－1＝0，所以 x＝13，故选 D.