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二次函数解决实际问题归纳及练习

一、应用二次函数解决实际问题的基本思路和步骤：

1、基本思路：理解问题→分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系→用函数关系式表示它们 的关系→用数学方法求解→检验结果的合理性；

2、基本步骤： 审题→建模 (建立二次函数模型 ) →解模 (求解 ) →回答 (用生活语言回答，即问什么

答什么 )。

二、利用二次函数解决实际问题的类型 1、用二次函数解决几类典型问题

叙述

具体方法 代数问题 在日常生活、生产中，常遇到求什么情况 根据题意或几何图形特

下时间最少、费用最低、效率最高等，其 点求出二次函数表达式，

中一些问题可归结为求二次函数的最大 再通过配方配成顶点式

值（或最小值） 或利用顶点坐标公式求 几何问题 何时面积最大、周长最长等几何问题，可 出二次函数的顶点坐标，

借助二次函数求最大（小） 其纵标即为函数的最大

值或最小值 牢记 b 4ac b 2

2 2 （1）二次函数 y=ax +bx+c (a ≠0) 可化为 y= a(x+

2a ) + ，

4a 当 x=- b 2a 时， y 有最大值或最小值，即

y 最大（小）值 = 4ac b 2 ； 4a

（2）若顶点的横坐标不在自变量的取值范围之内，就不能用抛物线的顶点坐标求出图形的最

大值或最小值，应根据实际情况进行确定；（3）求函数的最值时不要忽视了自变量的取值范

围；

（4）关于营销方面的几个公式：①销售额 =销售单价×销售量；②利润

=销售额 - 成本 =单件利润×销售量；③单件利润 =销售单价 - 成本单 价

实际问题要解决，正确建模是关键；根据题意的函数，提取配方定顶点；

抛物线有对称轴，增减特性可看图；线轴交点是顶点，顶点纵标最

值出。

解决最值问题应用题思路区别于一般应用题有两点： ①设未知数在“当某某为何值时， 什么最大（最小、最省）”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；②问的求解依靠配方法或 最值公式而不是解方程。 （1）利用二次函数解决利润最大问题

此类问题围绕 总利润 =单件利润×销售总量， 设未知数时，总利润必然是因变量 y ，而自变量有两

种情况：①自变量 x 是所涨价多少或降价多少；②自变量 x 是最终销售价格。

例：商场销售 M 型服装时，标价 75 元 / 件，按 8 折销售仍可获利 50%，现搞促销活动，每件在 8 折 的基础上再降价 x 元，已知每天销售数量 y （件）与降价 x （元）之间的函数关系式为 y=20+4x(x

﹥ 0)

①求 M 型服装的进价

②求促销期间每天销售 M 型服装所获得的利润 W 的最大值。

（ 2）利用二次函数解决面积最

值精心整理

例：已知正方形 ABCD边长为 8， E、 F、 P 分别是 AB、 CD、AD上的点（不与正方形顶点重

合），且PE⊥PF，PE=PF

问当 AE为多长时，五边形 EBCFP面积最小，最小面积多少？

2、用二次函数解抛物线形问题

常见情形具体方法

抛物线几种常见的抛物线形建筑（ 1）建立适当的平面直角坐标系，将抛物

形建筑物有拱形桥洞、涵洞、隧线形状的图形放到坐标系之中；

物问题道洞口、拱形门窗等（ 2）从已知和图象中获得求二次函数表达

式所需条件；

运动路运动员空中跳跃轨迹、球

（3）利用待定系数法求出抛物线的表达

线（轨类飞行轨迹、喷头喷出水

式；

迹）问的轨迹等

（ 4）运用已求出抛物线的表达式去解决相

题

关问题。

牢记（1）解决这类问题的关键首先在于建立二次函数模型，将实际问题转

化为数学问题，其次是充分运用已知的条件利用待定系数法求出抛物

线的表达式；

（2）把哪一点当作原点建立坐标系，将会直接关系到解题的难易程度

或是否可解；

（3）一般把抛物线形的顶点作为坐标系的原点建立坐标系，这样得出

的二次函数的表达式最为简单。

巧记实际问题要解决，正确建模是关键；根据题意的函数，提取配方定顶

点；

抛物线有对称轴，增减特性可看图；线轴交点是顶点，顶点纵标最值

出。

练习

1：某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，测得水面宽 1．6m，涵洞顶点 O到水面的距离为2．4m，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？

2：某工厂大门是一抛物线形的水泥建筑物，大门底部宽AB=4m，顶部 C离地面的高度为4.4m，现有载满货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面 2.7m，装货宽度为 2.4m。这辆汽车能否顺利通过大门 ?若能，请你通过计算加以说明；若不能，请简要说明理由.

3、某商品的进价为每件40 元，售价为每件50 元，每个月可卖出210 件；如果每件商品的售价每

上涨 1 元，则每个月少卖10 件（每件售价不能高于65 元）．设每件商品的售价上涨x 元（ x 为正

整数），每个月的销售利润为y 元．

（ 1）求 y 与x的函数关系式并直接写出自变量x 的取值范围；

（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？

（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200 元？根据以上结论，请你直接写出售

价在什么范围时，每个月的利润不低于2200 元？

4、某公司试销某种“上海世博会”纪念品, 每件按 30 元销售，可获利 50％，设每件纪念品的成本

为 a 元。（ 1）试求 a 的值；

（2）公司在试销过程中进行了市场调查，发现试销量y（件）与每件售价 x（元）满足关系式 y=

–10x+800. 设每天销售利润为 W(元) ，求每天销售利润 W(元) 与每件售价 x（元）之间的函数关系式；当每件售价为多少时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？

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