1-第七章 数学物理方法

分析：
1 力学问题：位移u(x,t)是根本量 2 遵循牛顿第二定律
u C A
T2
θ2
3 弦是柔软的：张力沿弦的切线方向
θ1 T1 x
B
4 轻弦：重力是张力的几万分之一， 不考虑 5 只在横向有位移，纵向没有位移
x+dx
x
2 根据物理规律，以算式表达这个作用
T2 cos 2 T1 cos 1 0
x 2 u
2

u
2
y 2 u
2
x
2
y
2

u
2
z
2
u tt a 2 u
2
f ( x, y, t)

二维波动方程
例1 弦在阻尼介质中微小横振动， 单位长度的弦所受的阻力为F= Rut，推导弦的振动方程。
解：如图 选坐标系以dx段为研 究对象，弦无纵向振动
X 方向：T2 cos 2 T1 cos 1 0
u
T1
α1
B
α2
T2
x
x+dx
x
Y 方向：T1 sin 1 T2 sin 2 Rut ds ds
第二篇
数学物理方程
第七章 数学物理定解问题
一 数学物理方程
数学物理方程是从物理问题中导出的反映客观物理量 在各个地点、各个时刻之间相互制约关系的数学方程。 换言之，是物理过程的数学表达。如牛顿定律、热传 导定律、热量守恒定律、电荷守恒定律、高斯定律、 电磁感应定律、胡克定律。 本篇介绍物理学中常见的三类偏微分方程及 有关的定解问题和这些问题的几种常见解法。 数学物理方程本身（不包含定解条件）叫泛定方程
YSux |x
由牛二定律得
YSux |x dx
Y ( Su x | x dx Su x | x ) Sdxutt
Y x ( Su x ) Sutt
2
Y
( Su x ) |x dx ( Su x ) |x dx
S
2
x
utt
S
a
2 2
x
r ( xtg )
§7.1 数学物理方程的导出
导出步骤：
1 确定物理量，从所研究的系统中划出一小部分，分析邻近 部分与它的相互作用。 2 根据物理规律，以算式表达这个作用。 3 化简、整理。
一
均匀弦的微小横振动
细长而柔软的弦线，紧绷于 A、B两点之间，作振幅极微 小的横振动，求其运动规律
1 确定物理量，从所研究的系统中划出一小部分，分析邻近部分与 它的相互作用。
X 方向：
T ( u x | x dx u x | x ) dxu tt Ru t dx
u
2
T
x
2
d x ( u tt R u t ) d x
u
2
T
x
2
u tt R u t
u tt
R

u t a u xx 0
2
(a
T

)
二
研究均匀杆上各点沿杆长方向的纵向位 移u(x,t)所遵从的方程。 x+dx 解：如图选坐标系，选dx段为研 x 究对象,dx段两边受拉力分别为
若膜均匀，则
u u
2
u
2
x
2

u
2
y
2

u
2
z
2
u
拉普拉斯（Laplace）方程
2
utt a 2u 0 (a T / )
2
如果在位移方向上还受外力 的作用，设单位面积所上受 的外力为f(x,y,t), 则
2u 3u
u
2
T2 sin 2 T1 sin 1 ds u
2
(7.1.1)
(7.1.2) ρ：弦的线密度
3 化简、整理
t
u
2
在微小振动近似下：
cos 2 cos 1 1
sin 1 tg 1 sin 2 tg 2 u x u x |x |x dx
u
2
t
2
由于微振动，则有
sin 1 tg 1 u x |x
cos 1 cos 2 1
sin 2 tg 2
u x
| x dx
ds
( dx ) ( du ) dx
2 2
T1 T2 T
Tu x | x dx Tu x | x dxu tt Ru t dx
2
T2 θ2 θ1 T1 x x+dx B
ds
( dx ) ( du ) dx
2
x
于是由(7.1.1)有：
T2 T1
弦中各点的张力相等
由(7.1.2) T
u
2
x
2
dx T [
u x
x dx

u x
x
] dx
u
2
t
2
(7 .1 .4 )
T
由于B是任选的， 故方程适用于弦 上各处，称为弦 的振动方程
2
2
Y
x
( x u x ) x utt
2
u tt

x x
(x ux) 0
a
Y

三 均匀薄膜的微小横振动
u
仰角 α
T1
T2 张力
xy平面
分析：
1 力学问题：位移u(x,y,t)是根本量 2 膜是柔软的：张力在切平面
T的切方向：
T 2 cosα 2-T1cosα 1=0 cosα 2=cosα 1=1 T1=T2=T
均匀杆的纵振动
YS
uБайду номын сангаасx
|x
YS
u x
| x dx
u
u+du
Y：杨氏模量，S：截面积 ρ：密度 牛二定律
YS ( u x | x dx u x | x ) Sdx u tt
YS
u x | x dx u x | x dx
Su tt
u tt Yu xx 0
同理，在y方向两边张力的横向分量
x+dx
n x
Tu yy dxdy
根据牛顿第二定律：
ρ：单位面积薄膜的质量
utt dxdy Tu xx dxdy Tu yy dxdy
utt T (uxx u yy ) 0
utt T 2 u 0
utt T 2 u 0
二
边界问题
对于具体的问题，必须考虑到所研究的区域处在 什么样的环境下，即边界的区别。
体现边界状态的数学方程称为边界条件
三 历史问题
历史上的扰动对以后的状态会有很大的影响。比如：分 别用薄的物体和厚的物体敲击同一弦，研究其后的振动。
体现历史状态的数学方程称为初始条件
一个具体问题求解的一般过程：
1 根据规律列出泛定方程——客观规律 2 根据已知列出边界条件和初始条件——具体求解所必须的 3 求解——行波法、分离变量法、积分变换法、格林函数 法、保角变换法
T的横向分量
3 只在横向有位移，纵向没有位移
T sin a Ttga T
u n
取膜的小块，则x和x+dx两边上所受的张力：
T u x |x
T u x
y y+dy
n x n n
y
| x dx
则膜在两边张力的横向作用为
(Tux |x dx Tux |x )dy Tuxx dxdy
杆的纵振动方程
u tt a u xx 0
2
a Y /
2
若在位移方向上还受外力的 作用，设单位长度单位截面 积所上受的外力为f(x,t), 则
u tt a u xx f
2
例2
用匀质材料制做细圆锥杆，试推导它的纵振动方程。
α x x s1 x+dx s2 u(x,t)
解：如图选坐标系，选dx段为研 究对象,dx段两边受拉力分别为
u tt Tu xx
u tt a u xx 0
2
令 a

若在位移方向上还受外力的作用，设单位长度上受的外力为f (7.1.4)式变为
T u
2
x
2
d x fd x d x
2
u
2
t
2
utt a uxx f
f/ρ单位质量所受 外力，力密度
质点的位移是以t为自变量的函数，其运动 是以t为自变量的常微分方程 弦的位移是以x, t的函数，其运动方程是以 x, t为自变量的偏微分方程 utt项反映弦在各个时刻的运动之间的联系 uxx项反映弦上的各个质点彼此相联