高数 对面积的曲面积分讲解

如 : z z( x, y) ，则
dS
1

z
2 x

z
2 y
dxdy
“三投影”认清 在 二重积分是在区域上
xoy 平面上的投影区域 Dxy 进行的。
Dxy ，
10
2)如果曲面方程为 x x( y, z), ( y, z) Dyz
或 y y( x, z), ( x, z) Dxz
21
例5 设 : x2 y2 z2 a2
z 1
计算 I f ( x, y, z)dS
解 锥面 z x2 y2 与上半球面 z
x o Dx y y
a2 x2 y2 的
交线为
设 1为上半球面夹于锥面间的部分,它在 xoy 面上的
投影域为 Dx y ( x, y)

1


x x2
y2
2


y x2
y2
2
O

dxdy

a
2a x
2dxdy
I ( xy y x2 y2 x x2 y2 ) 2dxdy
Dxy
20
y
0 2 x x2 y2dxdy
Dxy

2a cos

2
两片, 则计算较繁。 解 取曲面面积元素
则
I

0H
2
R2
R dz z2
2 arctan H
R
H
z dz
o
y
x
28
例11 求椭圆柱面
位于xoy面上方及平面
z = y 下方那部分柱面 的侧面积 S 。
解 S dS
取d S zds
L zds L yds
0
d


2
0
sin

cos

d
2 R2
26
例9 计算 解 取球面坐标系, 则
: x2 y2 z2 R2.
2
d
0


0

R2 sin R cos
d


2

R
d(

R cos
)
0 R cos
27
例10 计算
其中是介于平面
之间的圆柱面
分析 若将曲面分为前后(或左右) z
( k )x y (k ,k , k )
f ( x, y,
)
Dx y
证明 由定义知
n
lim
0 k 1 8
而
1 zx2( x, y) zy2( x, y)dxd y
( k )x y

1

z
2 x
(
k
,
k
)

z
y
2
(k
,
k
)
(
k
)
可有类似的公式.此时投影区域分别为Dyz和Dzx
3)若曲面为参数方程, 只要求出在参数意义下dS
的表达式,也可将对面积的曲面积分转化为对参数的 二重积分。
如：球面、柱面的面积元素
dS R2 sindd ,
dS Rddz
dS h( x, y)ds 11
回顾 球面坐标下的体积元素
为了把三重积分中的变量从直角坐标变换为球
f (x, y, Dx y
)
1

z
2 x
(
x,
y)

z
2 y
(
x,
y)d
xd
y
9
说明 1）计算方法可概括为“一代、二换、三投影，
曲面积分化为二重积分”。 “一代”将 z z( x, y) 代入被积函数 f ( x, y, z)，
得 f ( x, y, z( x, y)) ；
“二换”将dS换成相应的曲面面积元素的表达式：
31
备用题2 已知曲面壳
的面密度
求此曲面壳在平面 z＝1以上部分的
质量 M 。
解 在xoy面上的投影为 Dx y : x2 y2 2 ,故
y
1 0 (1)2dxdy 2dxdy,
故 ( x y z)dS
o 5x
2 ( x y 5 y)dxdy 2 (5 x)dxdy
Dxy
Dxy
2
5
20 d0 (5 r cos )rdr 125 2.
（或直接由对称性）

若
(
x,
y,
z
)=
，则：
0
xdS
x
dS

ydS
y
dS

zdS
z
dS

而其中分母 dS A为积分曲面面积。 7
对面积的曲面积分的计算法 定理 设有光滑曲面
z

f ( x, y, z)在 上连续, 则曲面积分
o
y
存在, 且有
x Dxy
0
y
x
1 1
x

3
1 0
x
d
x
1 0
x
y( 1

x

y
)d
y

3 120
19
例4 计算 ( xy yz zx )dS，其中 ：z x2 y2

被柱面 x2 y2 2ax(a 0) 割下的有限部分。
y
解 dS
1

z 2x

z
2 y
dxdy
据此定义, 曲面形构件的质量为
M ( x, y, z)d S
曲面面积为
S d S 4
• 积分的存在性:
在光滑曲面 上连续,
则对面积的曲面积分存在。
5
对面积的曲面积分的性质 ------与对弧长的曲线积分性质类似 （1）关于被积函数的线性性质 （2）关于积分曲面的可加性 （3）关于被积函数的不等式性质 （4）估值定理 （5）积分中值定理
z
2 x
z2y
dxd y
(曲面的其他两种情况类似)
• 注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性、重心公式 简化计算的技巧.
30
备用题1
一卦限中的部分, 则有( C )。
1为 在第
(B) ydS 41 xdS ; (C) zdS 41 xdS ;
( 2000 考研 )
z dr d
这就是球面坐标系中的体积元素。rsin r
O
r sind r d d
θ
y
x
dθ
12
例1 计算曲面积分
其中是球面
被平面
截出的顶部.
解
Dx y : x2 y2 a2 h2
1

z
2 x

z 2y
z
h
o Dxy a y
x



dS z
Dx y a2
h o
y x h

14
奇偶函数在对称曲面上的积分性质
1、若 积分曲面 是关于zox面是对称的,则
f ( x, y, z)dS

0



2

1
f
( x,
y, z)dS
f 关于y是奇函数 f 关于y是偶函数
其中1是的右半部分
15
2、若 积分曲面 是关于yoz面是对称的,则
9.3 曲面积分
9.3.1 对面积的曲面积分（第一类曲面积分） 9.3.2 对坐标的曲面积分（第二类曲面积分） 9.3.3 两类曲面积分之间的联系
1
9.3.1 对面积的曲面积分（第一类曲面积分）
引例: 设曲面形构件具有连续面密度 求质量 M.
类似求曲线形构件质量的思想, 采用 z
“分割，近似，求和，取极限”
x o Dx y y
计算结果如何 ?
23
例6 求 ( x y z)dS, : ( x a)2 y2 z2 a2 (a 0)

解 Σ 关于xOy平面对称，所以
zdS 0

Σ 关于zOx平面对称，所以
ydS 0

_
xdS x A a 4 a2
(k ,k , k )
的方法, 可得
n
M
k 1

o
y
其中, 表示 n 小块曲面的直径的 x
最大值 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).
2
定义9.3.1 设为光滑曲面, f ( x, y, z) 是定义在 上的一 个有界函数, 若对 做任意分割和局部区域任意取点, “乘积和式极限”

所以 I 4a3
利用重心公式
x xd S Ad S
24
例7 计算
z2 2( x y z).
其中是球面 x2 y2
解 显然球心为(1,1,1), 半径为 3
利用对称性可知

I

2 3
( x2

y2

z2)d
S

4 3


(
x

y

z) d
S
xd S yd S zd S 利用重心公式

3

0
5 4cos2 t dcos t
z oz y
L ds x
29
内容小结
1. 定义:
n