“泛函分析”课程教学大纲

“泛函分析”课程教学大纲

（本教学大纲按适用专业分（A）、（B）两类）

“泛函分析”课程教学大纲（A）

课程编号00834250

课程名称泛函分析

英文名称Functional Analysis

课程学分 4

课程学时数64

开课学期春季

适用专业数理学基地班, 数学与应用数学

先修课程数学分析，高等代数，实变函数

一、基本教学目的和任务

泛函分析是20世纪初从变分法、微分方程、积分方程、函数论、量子物理等研究中发展起来的数学分支学科，它综合函数论、几何和代数的观点与方法研究解决数学中提出的重要问题。泛函分析是大学数学系的一门重要的专业主干基础课。

本课程主要讲述线性泛函分析。使学生了解和掌握空间、线性算子以及线性算子空间、线性算子谱理论的基本概念和基本理论。本课程的基本目的是使学生把具体的分析、代数、几何中的问题抽象到一种更加纯粹的形式中加以研究，使学会综合运用分析、代数、几何手段处理问题的方法。本课程在数学系的课程体系中具有承上启下的作用，可以使学生从全新的视点审视和处理数学基础课程的内容和问题，为学生进一步学习近代数学、近代物理、从事数学和应用数学研究打下基础。

二、课程内容与建议学时

本课程的内容包括以下几个部分: 绪论、距离空间、赋范空间、内积空间与Hilbert空间、有界线性算子、共轭空间和共轭算子以及线性算子的谱理论。

绪论从有限维空间元素的分解、对称矩阵按照特征值对角化等实例出发，采用类比、归纳等方法引入无穷维空间、线性算子、谱理论这样一些抽象概念；通过数学分析、线性代数、微分方程中一些熟悉的例子，研究和探讨如何类比地建立起无穷维空间框架，把有限维空间的数学方法自然地推广到无穷维空间。

内容的前三章侧重于泛函分析中的空间理论,特别是Hilbert空间的几何特征。第四章介绍了有界线性算子以及有界线性算子空间的概念，系统地讲述Banach空间中的基本定理和它们的应用，即：一致有界原理，开映像定理和闭图像定理。第五章介绍了Hahn-Banach定理，以及共轭空间。特别在Hilbert空间中，从Riesz表示定理出发，介绍了Hilbert空间的共轭空间和共轭算子。第六章是线性算子的谱理论，重点讲述有界自共轭算子、紧算子的谱理论。

建议学时分配表

课程内容建议学时

绪论 4

距离空间10

赋范空间8

内积空间与Hilbert空间10

有界线性算子12

共轭空间和共轭算子10

线性算子的谱理论10

课程主要内容

绪论：从分析和代数中的若干问题出发，运用类比、联想、化归等方法，引入泛函分析中的一些基本概念和研究方法，诠释数学研究的基本思想。

内容：前言(C)，从分析、代数中的问题到泛函分析(A)。

第一章距离空间

§1 距离空间的基本概念

内容：距离空间的定义(A),距离空间的例(A),距离空间中的收敛性(A)。

§2 开集和连续映射

内容：开球、闭球(A),内点、开集和邻域(B),等价的距离(A),连续映射(A) 。

§3 闭集、可分性、列紧性

内容：闭集(A),闭集的结构(B),可分的距离空间(B),距离空间中的列紧集(A) 。

§4 完备的距离空间

内容：Cauchy列(A),完备的距离空间(A),完备与不完备距离空间的例(A),距离空间的完备化(C) 。

§5 完备距离空间的性质和一些应用

内容：闭球套定理(B),压缩映射原理(A),压缩映射原理的应用(A)。

第二章赋范空间

§1 赋范空间的基本概念

内容：赋范空间和Banach空间的定义(A),范数的连续性(A),范数与距离的关系(A) 。

§2 完备的赋范空间

内容：连续函数上定义的不同范数(A),赋范空间的完备化(B),p L空间, L空间,p l空间(A) 。

§3 赋范空间的几何结构

内容：凸集(A),子空间(A),Riesz引理(A) 。

§4有限维赋范空间

内容：等价的范数(A),有限维空间(A),有限维赋范空间的几何特征(A) 。

§5 赋范空间的进一步性质

内容：赋范空间中的级数(B),赋范空间中的商空间(C).

第三章内积空间与 Hilbert 空间

§1 内积空间的基本性质

内容：内积空间的定义(A),由内积生成的范数(A),内积和相应范数的关系(A),完备的内积空间(A) 。

§2 正交与正交分解

内容：正交的定义(A),正交补集(A),最佳逼近(A),Hilbert空间的正交分解(A) 。

§3 正交系和正交投影

内容：内积空间中的正交系(A),正交投影(A),Fourier级数(A),Bessel不等式和Fourier级数的收敛性(A) 。

§4正交基和正交列的完备性

内容：正交基(A),正交列的完备性(A),标准正交基的例(A) 。

§5 可分的 Hilbert 空间

内容：线性无关组的正交化算法(B),可分的Hilbert空间与2l等距同构(B)。

第四章有界线性算子

§1 有界线性算子与有界线性泛函

内容：有界线性算子与有界线性泛函的定义(A),有界线性算子组成的赋范空间(A),有界线性算子的例(A),有界线性算子范数的计算(A) 。

§2 有界线性算子空间的收敛与完备性

内容：有界线性算子空间的收敛性(A), 有界线性算子空间的完备性(A) 。

§3 一致有界原则

内容：Baire纲定理(B),一致有界原则(A),强收敛意义下的完备性(A),共鸣定理的应用(A) 。

§4 开映像定理与逆算子定理

内容：逆算子(A),开映射定理(A),逆算子定理(A) 。

§5 闭算子与闭图像定理

内容：闭算子的定义(A),闭算子的例(A),闭图像定理(A) 。

第五章共轭空间和共轭算子

§1 Hahn-Banach定理

内容：Hahn-Banach定理(B), Hahn-Banach定理的推论(B),线性泛函和闭集分离(B) 。

§2 共轭空间

内容：共轭空间的概念(A),]

L p的共轭空间(∞

a

[b

,

1)(B) 。

<

§3 Hilbert空间的共轭空间、共轭算子

内容：Riesz表示定理(A),Hilbert空间的共轭空间(A),Hilbert空间上的共轭算子(A) 。

§4 自共轭的有界线性算子

内容：有界自共轭算子的定义、例(A),自共轭算子的性质(A),Cartesian分解(C) 。

§5 Banch空间上的共轭算子、弱收敛

内容：Banach空间上的共轭算子(B), 自反性(B),弱收敛(C),一些具体空间中的弱收敛性(C) 。

第六章线性算子的谱理论

§1 谱集和正则点集

内容：线性代数和微分方程中的特征值问题(A),谱点和正则点的定义(A),特征值和特征元素(A),闭线性算子的正则点(A),存在不是特征值的谱点(A) 。

§2 有界线性算子的谱集

内容：有界线性算子的谱集是有界集(A), 有界线性算子的谱集是闭集(A), 有界线性算子的谱集非空(A), 有界线性算子的谱半径(A) 。

§3 有界自共轭线性算子的谱

内容：有界自共轭线性算子的剩余谱集是空集(A), 有界自共轭线性算子谱集的性质(A), 有界自共轭线性算子谱的分布(A) 。

§4 紧线性算子的谱

内容：紧线性算子的定义和例(A), 紧线性算子的特征值(A), 紧线性算子的剩余谱和连续谱(A),Fredholm抉择定理(A) 。

注：A表示教师应作深入而充分的讲授和辅导，学生应完成足够的练习，最后达