大学物理下磁场部分总结

0
S
(4) H
L

d
l


S



d
S


S
D t

d
S
麦克斯韦电磁理论的基本思想有两点：
除静止电荷产生无旋电场外，变化的磁场产生涡旋电场； 除传导电流激发磁场外，变化的电场（位移电流）也激发涡旋磁场。
3. 电磁波
变化的电场、变化的磁场相互激发，相互转化；以一定的速度由近及远地向周围空 间传播电磁波。
（2）圆电流的磁场


Idl
r
I R0
dB^ dB dB//
dB
/
dB /
^
轴线上任一点P的磁场
圆电流中心的磁场
½ 圆电流的中心的
x
B

0
2
R2I
(R2

x
2
)
3 2
B

0
2
R2I
(R2

x2
3
)2
B 0I
2R B 1 0I
2 2R
1/n 圆电流的中心的
B 1 0I
n 2R
(2)磁场强度矢量 (是辅助物理量)
H B M μ0
对均匀 各向同性磁介质 H B B
r μ0
3.基本定理 (1)对于介质中的总场B； 高斯定理仍然成立
B dS 0
S
(2)有磁介质时的安 培环路定理
LH dl Ii i
稳恒磁场小结
一.基本概念
1. 磁感强度大小
磁场部分知识点总结
知识框架
稳恒磁场 真空中的稳恒磁场
磁场中的磁介质
磁场 的描述
基本规律
磁场的性质
1.磁感应强度B
B是描写磁场本身性质的物理量 B的大小 B Fm ax q0v
B的方向沿（Fm v）的方向
2.几何描述： 磁感应 线：(1) B线上某点的 切线方向是该点B的方向；(2) 磁感应线愈密的地方磁场愈强。
磁通量 m BdS cos B dS
S
S
毕奥—萨伐尔定律
1.电流激发磁场的规律
dB
0 4
Idl r r3
2.对于有限长的载流导线
B dB
0 Idl r 4 r3
由毕奥—萨伐尔定律可得到
运动电荷激发的磁场
dB
0 4
qv r r3
r< R
B 0I r > R 2r
(2) 载流螺绕环内任一 点处
B 0 NI 2r
(3)无限大载流平面外 一点(电流密度为i)
B 0i 2
1.三种磁介质
抗磁质( r 1 ) ； 顺磁质( r 1) ； 铁磁质( r 1 ) .
2.有关物理量 (1)磁化强度
M pm V 在各向同性磁介质中 M xmH
l
IL
2）互感 Φ21 M I1
Φ12 M I2
互感电动势:
12
M
dI 2 dt
21

M
dI1 dt
互感的计算方法:
先设某一线圈中通以电流 I
线圈的磁通量 Φ M
求出另一
3.自感磁能
Wm

1 2
LI 2
磁场能量密度
wm

B2
2

1 2
H 2

1 2
BH
磁场能量
Wm
0 4 107 H m1,为真空磁导率。dB的方向沿Idl r方向。
I

dB
P
r
Idl
解题步骤：
a.根据载流导线的形状或磁场分布的特点，选择适当的坐标系。
b.将电流分成电流元 I d l 然后，从毕奥－萨伐尔定律解出dB的大小与方向;
c.按坐标轴方向分解，求得 dBx ,dBy ,dBz
B Fmax qv
方向：小磁针N极在此所 指方向
2. 载流线圈磁矩


Pm ISn
3. 载流线圈的磁力矩 M Pm B
pm n
I
4.磁通量 m B dS BdS cos
1、毕奥-萨伐尔定律 真空中一个电流元Idl ，在相对于该电流元位矢为r的位置
所产生的磁感应强度dB为dB 0 Idl r 4 r3

V wmdV

B2 dV
V 2
电磁场与电磁波小结
1.位移电流 为了使安培环路定理具有更普遍的意义,麦克斯韦提
出位移电流假设。
2. 麦克斯韦方程组
(1) D

d
S


q



dV
S
(3) E
L

d
l


S
V B t

d
S
(2) B

d
S

例2： 在半径为R的圆柱形空间中存在着均匀磁场，B 的方向与柱的轴线平
行。如图所示，有一长为l 的金属棒放在磁场中，设B随时间的变化率
为常量。试证：棒上感应电动势的大小为

B
dB l R2 l 2
dt 2
2
Ro

Ek d l
L Ek d l
S

2. 安培环路定理
B dl
L

μ0
I
I
注意
L
电流 I 正负的规定 ： I 与 L 成右螺旋 时，I 为正；反之为负。
明确几点
(1) 电流正负规定：电流方向与环路方向满足
右手定则时电流
I取正；反之取负。
(2) B 是指环路上一点的磁感应强度，不是任
意点的，它是空间所有电流共同产生的。
B

0 2
nI (c os 2

cos1)
安培定律 1.任意形状的载流导线上的电 流元在外磁场中受的安培力
dF Idl B
2.若导线为有限长
F LdF Idl B
L
载流平面线圈在均匀磁场B 中受到磁力矩的作用
M Pm B
式中 Pm NISn 为线圈的磁矩
运动电荷在外磁场中受 到的磁力： f qv B
(3) 环路定理适用于闭合稳恒电流的磁场。而 有限电流（如一段不闭合的载流导线）不适用 环路定理，只能用毕奥—萨伐尔定律。
(4) 安培环路定理说明磁场性质—— 磁场是非保守场，是涡旋场。
稳恒磁场是有旋、无源场
利用安培环路定理求磁感应强度的关健：根据磁场 分布的对称性，选取合适的闭合环路。
选取环路原则：
P
d. Bx d Bx , By d By , Bz d Bz;

I dl

r
B Bx2 By2 Bz2
或者用矢量式表示
指明 B 的方向。 B Bxi By j Bzk
I
注意：直接对dB 积分是常见的错误， 一般 B dB
几种典型电流的磁场分布如下：
大拇指的指向。
注意：
计算一段有限长载流导线在磁
场中受到的安培力时，应先将其 分割成无限多电流元，将所有电 流元受到的安培力矢量求和—矢 量积分。

dF
B

Idl

B

Idl L

F LdF
LIdl B
三.稳恒磁场的基本性质：
1.磁场的高斯定理： m B dS 0
例1. 两平行长直导线相距40×10-2m，每条导线载有电流20A，如 图2所示，则通过图中矩形面积abcd的磁通量ф=___________.
解：
磁通量计算公式 : m B dS
s
对于长直导线：B 0I 2 r
由电流I1产生的通过在矩形abcd的磁通量：
1
电磁感应
一.电磁感应的基本规律： 1. 法拉第电磁感应定律 ①计算步骤
ε dΦ dt
（1）首先选定回路L的绕行方向.
（2）按照右手螺旋关系确定出回路的正法线方向.

（3）确定通过回路的磁通量的正负.
n
（4）确定磁通量的时间变化率的正负.
L
（5）最后确定感应电动势的正负.
ε 0 与回路 L绕向相反； ε 0 与回路 L绕向相同。
（3）载流密绕直螺线管内部的磁场
B

0
2
nI (cos
2
cos
1)
若为无限长载流螺线管 B 0nI
（4）运动电荷所激发的磁场为
B
0 4
qv r0
r2
2、安培定律
dF Idl B
大小： dF IdlB sinθ


方向：从 Id l右旋到 B，
P
Q
l
证1：取 闭合回路OPQ 由法拉第电磁感应定律，有


L Ek
dl
S
B d S t
B
Ro
OP、QO段，因为Ek（涡旋电场）的方向与径 向垂直，与 dl 矢量点积为0。
P
Q
l
PQ


d dt

S
dB dt

dB dt
l 2
R2


l
2
2
在半径为R的圆柱形空间中存在着均匀磁场，B 的方向与柱的轴线平 行。如图所示，有一长为l 的金属棒放在磁场中，设B随时间的变化率 为常量。试证：棒上感应电动势的大小为
几种典型载流导线所产生的磁感应强度
（1）一段载流直导线外一点的磁感应强度
无限长时 B 0I
B

0 4 a
(sin
2

sin
1)
2a
（2）载流圆线圈轴线上一点的磁感应强度
圆心处 B 0 I
B

0IR 2 2（R2 x2）3/ 2
2R
（3）载流直螺线管的磁场 无限长时 B 0nI
d
x
L
L
cos R2 (l / 2)2 r

l
0
r 2
dB dt
R2 (l / 2)2 dx
dB l
rຫໍສະໝຸດ Baidu
dt 2
R2 (l / 2)2
例3： 如图所示，一长为，质量为m的导体棒CD，其电阻为R，沿两条平 行的导电轨道无摩擦地滑下，轨道的电阻可忽略不计，轨道与导体 构成一闭合回路。轨道所在的平面与水平面成 角，整个装置放在 均匀磁场中，磁感应强度B的方向为竖直向上。求：（1）导体在下 滑时速度随时间的变化规律；（2）导体棒CD的最大速度vm。
2.感生电动势：B变，回路不变 非静电力：感生电场力 （涡旋电场力
i

l
E感.d l

B .ds s t
E感与 B 构成左手螺旋关系
t
三.自感、互感和磁场能量
1）自感 L Φ I
自感电动势
L

L
dI dt
计算自感L：通电流I，计算B，求 Φ ：
NΦ NBS N N IS L n2V
(1)环路要经过所求的场点。
(2)闭合环路的形状尽可能简单，总长度容易求。
(3) 环目路的上是各将点:BL大B小 d相l 等 ，μ0方向I平写行成于线B元 dμl0d。l I 或 B的方向与环路方向垂直，


B ^ dl , cos θ 0 B dl 0
电磁感应小结
dB l
R2


l
2
dt 2
2

Ek d l
B
证2：在r＜R 区域，感生电场强度的大小 R
o

rdB
Ek 2d t
P
设PQ上线元 dx 处，Ek的方向如图所示，
则金属杆PQ上的电动势为
r Ek

o d x
Qx
l
EPQ


EK

d
x


EK
cos
②感应电流 I ε 1 dΦ dq R R dt dt
③若为N匝 ε N dΦ d( NΦ) dΨ
dt
dt
dt
2.楞次定律：用于判断感应电流的方向
二.动生电动势和感生电动势
1.动生电动势：B不变，回路变 非静电力：洛仑兹力

ε (v B) dl
电磁场对运动电荷的作用力
f qE qv B
1.磁场的高斯定理
B dS 0
S
2.安培环路定理
B L
dl

0
Ii
说明；安培环路i定理中
的电流是闭合恒定电流.
由安培环路定理求 几种典型载流体的 磁感应强度分布
(1) 无限长均匀载流圆 柱体(半径为R)
B

0 Ir 2R 2
B dS 0I1dS
S
s 2 r
R 0I1dS r 2 r
R 0I1ldr r 2 r

0 Il 2
ln
R ln r
R r

ln 3106Wb
由右手螺旋法则，电流I1、I2在矩形部分产生的磁场
方向都是垂直纸面向外
总 2 2 ln 3106Wb 2.2 106Wb
mg
sin

FA
cos

ma

m
dv dt
(2)
将式（l）代入式（2），并令
H B2l 2 cos2
mR
则有 g sin Hv dv
感应电流所受安培力的方向？
B
vB
Idl B
v

如图所示，导体棒在下滑过程中除受重力P和导轨支持力FN外， 还受到一个与下滑速度有关的安培力FA ，这个力是阻碍导体 棒下滑的。根据安培定律，该力的大小为
FA

BIl

Bl

R

B2l 2 R
v
cos
(1)
导体棒沿轨道方向的动力学方程为
（1）载流直导线的磁场：
I
Idl
l
r 2 dB
1
aP
B

0 I 4 a
sin
2

sin

1

角增加的方向与电流方向相同，则为正， 反之，则为负。
※长直电流的磁场
1


2
,
2


2
半长直电流的磁场 1

0,
2


2
B 0I 2 a
B 1 0I 2 2 a