2017-2018学年宁波市九校联考高二(上)期末数学试卷解析

若 PG xPA yPB zPC ， x ， y ， z R ，则 x y z
， PG
．
答案：
1
，
5 3
16．已知 a ，b 为空间两条互相垂直的直线，等边 △ABC 的边 AC 所在直线与 a ，b 都垂直，边 AB 以直线
AC 为旋转轴旋转．有下列四个命题： ①直线 AB 与 a 所成角的最小值为 30 ； ②直线 AB 与 a 所成角的最大值为 60 ； ③当直线 AB 与 a 成 60 角时， AB 与 b 成 45 角； ④当直线 AB 与 a 成 60 角时， AB 与 b 成 60 角；
D．
10 4
答案：D
9．已知椭圆
x2 4

y2
1 的右顶点为
A
，直线 l
：x
2 上有两点
P
， Q 关于
x
轴对称 (P 在 Q 下方），直线
AP 与椭圆相交于点 B(B 异于 A) ．若直线 BQ 经过坐标原点，则直线 AP 的斜率为
A．
6 2
B．
6 3
C． 2
D．
2 2
答案：D
10．如图，水平放置的正四棱台形玻璃容器的高 OO1 为 30cm ，两底面边长 EF ， E1F1 的长分别为10cm 和
由于 △ PAD ， △ PBC 均为等边三角形，则 PE 3 ， PF 2 3 ，
又四边形 ABCD 为等腰梯形，则 EF 15 ，
从而 PE2 PF2 EF2 ，故 PE PF . 又由 PE AD ， AD ∥ BC ，∴ P E B C ， ∴ PE 平面 P B C ，又 PE 平面 PAD ， 故平面 PAD 平面 P B C ； (Ⅱ)延长 C D ， BA 交于点 G ，连接 PG ，则平面 PBA 平面 PCD PG ，
其中为真命题的是
．(填写所有真命题的编号)
答案：①③
17．已知双曲线 x2 y2 1的左、右焦点分别为 F1 ， F2 ，点 P 在双曲线上，且位于第一象限，过点 F1 作
直线 PF1 的垂线 l1 ，过点 F2 作直线 PF2 的垂线 l2 ．若直线 l1 ， l2 的交点 Q 在双曲线上，则点 P 的坐标
在 △BHC 中，由余弦定理得， PG 2 7 ， BH CH 4 3 ， 7
∴ cos BHC

BH 2 CH 2 BC2 2BH CH
答案：A
4．设 ， 是两个不同的平面， l ， m 是两条不同的直线，且 l ，下列说法正确的是
A．若 m l ，则 m C．若 l ，则
B．若 m∥ l ，则 m∥ D．若 ∥ l ，则 ∥
答案：C
5．已知双曲线
x2 a2

y2 b2

且 AB BC CD 4 ， AD 2 ．
(Ⅰ)若△PBC 为等边三角形，证明：平面 PAD 平面 PBC ； (Ⅱ)若 PBA PCD 30，求平面 PBA 与平面 PCD 所成钝二面角的余弦值．
解析：(Ⅰ)取 AD 中点 E ， B C 中点 F ，连接 PE ， PF ， EF ，
(Ⅰ)求抛物线 C 的标准方程及其准线方程，并求出点 Q 的坐标；
(Ⅱ)求证： R 为线段 MN 的中点．
解析：(Ⅰ)∵抛物线 y 2 2 px 过点 P 1, 2 ，∴ p 2 ，
∴抛物线方程为 y 2 4 x ，准线方程为 x 1 .
设切线 PQ 的方程为 x 1 m y 2 ，
2 2
，1
，解得
m

8
；
4分
当 0 m 4 时，焦点在 y 轴上，e c a
1

b2 a2

1

m 4


2 2
，1
，解得
0

m

2
；
综上可得， m 的取值范围是 0 m 2 或 m 8 ．
(Ⅱ)由于命题 p 和 q 中至少有一个为假命题，则有三种情况： p 真 q 假， p 假 q 真， p 假 q 假；
70cm ．在容器中注入水，水深为 8cm ．现有一根金属棒 l ，其长度为 30cm ．(容器厚度、金属棒粗细
均忽略不计)将 l 放在容器中， l 的一端置于点 E 处，另一端在棱台的侧面上移动，则移动过程中 l 浸
入水中部分的长度的最大值为
A．18 2
B． 24
C．12 2
D．15
答案：B
二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分．
9分
设平面ABB1 A1 的一个法向量 n x, y, z ，
则
AABA1nn00，，
即
2x 0，

y

az

0，
取
z
1
，得
n

0, a,1
，
12 分

∴ sin30
OA1 n OA1 n

a
a 2
1
，∴
a
1，
．
答案：
8 3
，
8

4
2
14．已知椭圆
x2 4

y2 m
1 与双曲线 x2

y2 n
1 的离心率分别为 e1 ，e2 ，且有公共的焦点 F1 ，F2
，则 4e12
e22

，若 P 为两曲线的一个交点，则 PF1 PF2
．
答案： 0 ， 3

15．已知空 间向量 PA， PB， PC 的模分别为1 ， 2 ， 3 ，且两两夹角均为 60，点 G 为△ABC 的重心．
在△PBA 中，由正弦定理得， BPA 90 ， PB 2 3 ，
同理 CPD 90 ， PC 2 3 . 在底面 ABCD 中，易得 C G B G 8 ，又 PBA PCD 30 ， 故△ PBG △ PCG . 作 CH PG 于 H ，连接 BH ，则 BH PG ， 故 BH C 为二面角 B PG C 的平面角，
(Ⅱ)若直线 A1O 与平面 ABB1 A1 所成角为 30 ，求线段 A1E 的长．
解析：(Ⅰ)取 B1D1 中点 O1 ，连结 CO1 ， A1O1 ，
∵ ABCD A1B1C1D1 为四棱柱，
∴ A1O1 ∥ CD ， A1O1 CO ，
∴四边形 A1OCO1 为平行四边形，
∴ A1O∥ O1C ，
11．已知复数
z

3 1

i i
，则共轭复数
z

．
答案： 2+i
12．抛物线 x2 y 的焦点 F 的坐标为
，若该抛物线上有一点
P
满足
|
PF
|
5 4
，且
P
在第一象限，
则点 P 的坐标为
．
答案：

0,
1 4

，
1,1
13．某四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为
，表面积为
故线段 A1E 的长为 1．
15 分
20．(本题满分 15 分)已知抛物线 C ： y 2 2 px 过点 P 1, 2 ，在 P 处的切线交 y 轴于点 Q ，过 Q 作直线 l 与
抛物线 C 交于不同的两点 A ， B ，直线 OA， OB ， OP 分别与抛物线的准线交于点 M ， N， R ，其 中 O为坐标原点．
(Ⅰ)若命题 p 为真命题，求 m 的取值范围；
(Ⅱ)若命题 p 和 q 中至少有一个为假命题，求 m 的取值范围．
解析：(Ⅰ)由于椭圆方程为
x2 m

y2 4
1 ，则 m > 0 ，且 m ¹ 4 ．
2分
当 m 4 时，焦点在 x 轴上， e c a
1

b2 a2

1

4 m


为
．
答案：

6 2
，2 2

三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．(本题满分
14
分)已知命题
p
：椭圆
x2 m

y2 4

1
的离心率
e


2 2
，1
，命题
q
：复数
z


m

1

i
的模
| z | 10 ， m R ．
14 分
19．(本题满分 15 分)由四棱柱 ABCD A1B1C1D1 截去三棱锥 C1 B1CD1 后得到的几何体如图所示，四边形
ABCD是边长为 2的正方形， O为 AC 与 BD 的交点， E 为 AD 的中点， A1E 平面 ABCD．
(Ⅰ)证明： A1O ∥ 平面 B1CD1 ；
4分
又 O1C 平面 B1CD1 ， A1O 平面 B1CD1 ，
∴ A1O∥ 平面 B1CD1 ．
7分
(Ⅱ)如图，建立空间直角坐标系，设 A1E a ，
则
A0 ,
0,
0

，
B

2, 0, 0


，
O
1,1,
0
，
A1
0 , 1,
a

，
∴ OA1 1, 0,1 ， AB 2, 0, 0 ， AA1 0,1, a ，
A． i1 i
B． i2 1 i
C． i 1 i2
D． 2 3 ， 2
D． i2 1 i2
答案：D
3．设 m ， n 是两个非零的空间向量，则“存在正数 λ ，使得 m λn ”是“ m n 0 ”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
1
a

0,
b

0

，四点
P1

2,1
，
P2
1,
0

，
P3

2,
3 2

，
P4

2,
3 2

中恰有三点在
双曲线上，则该双曲线的离心率为
A．
5 2
B．
5 4
C． 5
D． 5
答案：A
6．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长
2017-2018 学年宁波市九校联考高二(上)期末数学试卷解析
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求．
1．椭圆
x2 4

y2 3
1 的长轴长、焦距分别为
A． 2 ，1
B． 4 ， 2
C． 3 ，1
答案：B
2．已知 i 为虚数单位，则下列各式的运算结果为纯虚数的是
联立
x 1 m y

y
2

4x，

2，消去
x得
y2

4my

Fra Baidu bibliotek8m

4

0
，
由 0 ，得16m2 48m 4 0 ，得 m 1 ，
故直线 PQ 方程为 y x 1， Q(0,1) .
(Ⅱ)设直线 l 的方程为 x t y 1 ，
设直线 l 与抛物线 C 的交点为 A x1 , y1 ， B x2 , y2 ，
由

x y
t 2
y 1，消去
4x，
x得
y2

4ty

4t

0
，
则 y1 y2 4t ， y1 y2 4t ，
∵ P 1, 2 ，∴ R 1, 2 ，
3分 6分 7分
11 分
又直线 OA 的方程为
y

y1 x1
x
，结合
y12

4 x1
，得直线 OA ：
y
为 1，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是三角形，则这些三角形的面积之和为
A．1
B．
3 2
C．
1
2
3
D．
3
2
3
答案：C
7．已知双曲线
x2 a2

y2 b2
1a

0, b

0 的右支与焦点为 F
的抛物线
y2

2 px p
0
交于
A，B
两点．
若 AF BF 3 OF ，则该双曲线的渐近线方程为

4 y1
x
，
∴M

1,

4 y1

，同理
N

1,

4 y2

，
∵
4 y1

4 y2

4( y1 y2 ) y1 y2


4
4t 4t
4
2 (2) ，
故 R 为线段 M N 的中点．
15 分
21．(本题满分 15 分)如图，在四棱锥 P ABCD中，△PAD为等边三角形，四边形 ABCD为等腰梯形，
A．
y


1 2
x
B． y 2x
C． y
2 2x
D． y 2x
答案：B
8．已知直三棱柱 ABC A1B1C1 中， ABC 120 ， AB 1 ， BC CC1 2 ，则异面直线 AB1 与 BC1 所成角
的余弦值为
A．
10 5
B．
15 5
C．
6 4
考虑其反面，即 p 真 q 真；
6分
7分 9分
若 q 真时，复数 z m 1 i 的模 | z | 10 ，
∴ (m 1)2 12 10 ，解得 m 2 或 m 4 .
11 分
∴当命题 p 、 q均为真命题时， m的取值范围是 m 8 ；
13 分
故所求 m的取值范围是 m 8 ．