5.3多维非稳态对流扩散问题

c(unj
un j1
)
(c at x)
修正的偏微分方程(MPDE)
• 迎风格式的泰勒展开
ut
aux
t 2
utt
ax 2
uxx
t 2 6
uttt
ax2 6
uxxx
• MPDE
自循环消元过程
ut
aux
ax 2
(1
c)uxx
ax2 6
(2c
1)(c
1)uxxx
虚wenku.baidu.com的流向扩散
• MPDE中的二阶空间导数代表扩散作用(粘 性效应)，相当在原始方程中增加了扩散作 用(人工粘性作用)，这引入了原始方程中没 有的一种虚假扩散。
最终表达式
aPP aEE aWW aNN aSS b
aE De A(Pe ) De A Pe Fe , 0 aW DwB(Pw) Dw A Pw Fw , 0
aN Dn A(Pn ) Dn A Pn Fn , 0
aS DsB(Ps ) Ds A Ps Fs , 0
5.4 对流扩散方程离散格式的 虚假扩散问题
1. 人工粘性引起流向扩散 2. 网格取向引起交叉扩散 3. 非常数源项带来的虚假扩散
5.4.1人工粘性所引起的 流向扩散
修正的偏微分方程(MPDE)
• 一维对流方程(波动方程)
u a u 0 (a 0) t x
• 一阶迎风格式
un1 j
unj
• 流向扩散(streamwise diffusion): 只要求解 函数顺流向存在不为零的一阶导数时，它 使方程的真解被光滑，导致数值计算误差
5.4.2 网格取向效应引起的 交叉扩散
由于网格线和流线之间并非平行或垂直 ，而是有一定角度的交叉而导致的扩散
虚假扩散逐渐抹平阶梯分布
0
0
来流与网格线平行和交叉时 迎风格式计算结果
考虑非常数源项时的数值结果
评述
• 这种虚假扩散现象是一种特殊情况，但可 能在不同的离散格式、不同源项分布情况 下出现。
• 如何减少这种虚假扩散，还有待深入研究 ，但对流项采用高阶精度离散格式，对减 轻相应的影响显然是有益的
虚假扩散无处不在， 无孔不入！！
采用高阶的对流项差分格式 总是有一定好处的
Fx u, Fy v
用通量表示的控制方程
• 控制方程：
() J x J y S
t x y
• 连续方程
( ) Fx Fy 0
t x y
2．控制容积积分离散
• 非稳态项：假设沿空间为均匀分布
n s
e w
t t t
()dtdxdy
t
()P
( )0P
xy
• 对流、扩散通量项：时间积分取隐式，空 间取均匀分布
P W
P W S 2
对策
• 尽量减小流线与网格线间的倾斜和交叉。采用自 适应网格，如“旋转坐标”技术。
• 改进对流项格式设计方案,采用高阶精度迎风格式
• 对一阶精度迎风格式加入适量的逆耗散，以减小 扩散系数
• 离散格式中包含更多邻节点个数
5.4.3 非常数源项引起的 虚假扩散
这是一种特殊情况，但在许 多计算热物理问题中出现
• 根据采用的三点离散格式不同，选定A(|P|) 函数形式不同，参见前一节的表格
5.3.2 三维非稳态对流扩散方程
• 离散结果 aPP aEE aWW aNN aSS aTT aBB b
• 系数表达式见课本
5.3.3 多维对流扩散问题的 边界条件处理
几种可能的边界条件
• 以有回流的突扩通道为例
5.3 多维非稳态对流扩散问题
5.3.1 二维非稳态对流扩散 方程的离散
1．直角坐标系下的对流扩散 方程和连续方程
• 控制方程
()
t
(u)
x
(v)
y
x
x
y
y
S
• 连续方程
(u) (v) 0
t x y
引入通量密度
• 对流扩散总通量密度：
Jx
u
,
x
Jy
v
y
• 质量通量密度：
入口边界
• 一般规定入口边界上的函数值 和
流速 u 和 v 的分布
对称边界
• 由对称性，有 v 0, u 0, 0
y y
固壁边界
• 对粘性流体，壁面无渗透，其壁面速度为 零，即 u v 0
• 对于 ，可提1、2、3类边界条件。
出口边界
• 难点：除非实测，不可能获得出口截面信息
• 出口截面局部坐标单向化：假定出口截面节 点对它近邻的内节点无影响，从而令边界节 点对内节点的影响系数为零
积分结果
()P ()0P
t
xy
(Je
Jw)
(Jn
Js)
(SC
SPP )xy
• 连续方程积分结果
P
0 P
t
xy
( Fe
Fw )
( Fn
Fs )
0
两式相减合并
0 P
(P
t
P0
)
xy
(Je
FeP
)
(Jw
FwP
)
(Jn
FnP
)
(Js
FsP
)
(SC SPP )xy
• 需要注意：一定要跟连续方程联立，才能 得到正确的结果，才能适用于可压和不可 压的情况
tt t
n s
e w
J x x
dxdydt
J
x
e
J
x
w
yt
(Je
J
w
)t
tt t
n s
e w
J y y
dxdydt
Jy
n
Jy
s xt (Jn J s )t
源项
• 线化为
S SC SP (SP 0)
• 时间、空间均取均匀分布
n e tt
s w t Sdtdxdy (SC SP)xyt