数学建模案例――最佳捕鱼方案.(优选)

最佳捕鱼方案

摘要：

本文解决的是一个最佳捕鱼方案设计的单目标线性规划问题，目的是制定每天的捕鱼策略，使得总收益最大。根据题设条件，结合实际情况，我们设计了成本与损失率随天数的增加成反比变化的函数曲线（见图三所示），并导出总收益的表达式： 212121

111i i i i i i i i W w p s q m =====⨯-⨯∑∑∑。

由于价格是关于供应量的分段函数（见图一所示），我们引入“0－1”变量法编写程序（程序见附录一），并用数学软件LINGO 求解，得到最大收益(W)为441291.4元，分21天捕捞完毕。其中第1～16天，日捕捞量在1030～1070公斤之间，第17～21天的日捕捞量为1610～1670公斤之间（具体数值见正文）。由结果分析，我们对模型提出了优化方向，例如人工放水来降低成本。

关键词：“0-1”整数规划，单目标线性规划，离散型分布。

一． 问题重述

一个水库，由个人承包，为了提高经济效益，保证优质鱼类有良好的生活环境，必须对水库里的杂鱼做一次彻底清理，因此放水清库。水库现有水位平均为15米，自然放水每天水位降低0.5米，经与当地协商水库水位最低降至5米，这样预计需要二十天时间，水位可达到目标。据估计水库内尚有草鱼二万五千余公斤，鲜活草鱼在当地市场上，若日供应量在500公斤以下，其价格为30元/公斤；日供应量在500—1000公斤，其价格降至25元/公斤，日供应量超过1000公斤时，价格降至20元/公斤以下，日供应量到1500公斤处于饱和。捕捞草鱼的成本水位于15米时，每公斤6元；当水位降至5米时，为3元/公斤。同时随着水位的下降草鱼死亡和捕捞造成损失增加，至最低水位5米时损失率为10%。 承包人提出了这样一个问题：如何捕捞鲜活草鱼投放市场，效益最佳？

二． 模型假设

1．池塘中草鱼的生长处于稳定状态，不考虑种群繁殖以及其体重增减，即在捕

捞过程中草鱼总量保持在25，000公斤不变。

2．第一天捕捞时水位为15m ，每天都在当天的初始水位捕捞草鱼，水库水位每

天按自然放水0.5m 逐渐降低，20天后刚好达到最低要求水位5m 。

3．在水库自然放水的21内将草鱼捕完。

4．在草鱼日供应量未达饱和的之前，市场供应量等于销售量。

5．每天草鱼的捕捞成本随着每天水位的降低呈等差数列递增分布。

6．随着水库水位的下降，草鱼的种群密度逐渐变大，存在着对空间、食物、氧

气的竞争，种群死亡率逐渐升高。题设中给定草鱼死亡及捕捞损失率随着水位的降低而升高，在这里我们假设草鱼损失率是一个统计学概念，即已经综合了因自然死亡和捕捞等其他原因共同造成的损失。

7．草鱼损失率与水库水位成反比关系，每天捕捞量的损失率与当天池塘总鱼量

的损失率是一致的，以每次捕捞时池塘总鱼数为当次基数。

8．捕捞上的草鱼中的死鱼将另行处理，不会放回水库也不会与活鱼一起出售。

9．日供应量在1000---1500公斤时，我们假定草鱼价格为20元每公斤这一常数。

总体价格随供应量变化关系，如图五所示：

图一

三． 问题的分析

1. 在符合题意并且与实际情况较吻合的情况下，我们应寻求对最优解的精确求

解以及依据草鱼捕捞的可行性方案来捕捞使得承包人获益(W)最大。=p ⨯-⨯收益(W)销售额(s )成本(q m)

2. 我们在追求收益最大的同时，需要求出草鱼捕捞的天数以及每天的捕鱼量，

这是一个单目标线性规划问题，原题中给定的草鱼日供应量不同的情况下草鱼的单价也不一样，这样每天的草鱼出售价格均取决于当日的草鱼供应量，于是在模型求解过程中我们采用“0-1整数规划”来解决这个问题，并运用数学软件LINGO 来求解，最后对所得的解进行讨论和分析。

四． 模型的建立及求解

1. 符号的说明：

i l ——第i 天水库水位（米）； i s ——第i 天供应量（公斤）；

i r ——第i 天草鱼的损失率； i m ——第i 天草鱼捕捞成本(元/公斤）； i w ——第i 天草鱼销售收益（元)； W ——捕捞期内草鱼销售总收益（元）； i q ——第i 天的捕捞量（公斤）； i p ——第i 天的售价(元）；

2. 模型的建立

根据假设5，随着水位自然地下降，草鱼的捕捞成本呈等差数列递减分布，第一天捕捞时水位仍然维持在15m ，共需21天。故每公斤草鱼捕捞成本为:

60.15(1);(121,)i m i i i N =-⨯-≤≤∈

根据假设7，损失率与水位成反比： 212110%50.5i i r l c

c r l ⨯==⨯=⨯=

第i 天草鱼的损失率为（如图三散点图所示）： []0.5/15(1)0.5i r i =--⨯

图二

图三

第i 天的捕捞量与供应量之间的关系式是： (1)i i i s q r =⨯-

收益=销售额-成本

即我们的目标函数： 212121

111i i i i i i i i W w p s q m =====⨯-⨯∑∑∑

又根据已知条件可得以下5个约束条件：

A) 总的捕鱼量不大于总鱼量 21

125000i i q =≤∑

B) 由日供应量到1500公斤达到饱和则 1500i s ≤

C) 再根据题意的三个在不同的供应量之间的价格的不同可得到如下关系

式：

50030

100025150020

i i i i i i s p s p s p ≤≤=≤≤=≤≤=当0时，当500时，当1000时， 3. 模型的求解

根据上述解题思路，我们用数学软件LINGO 对模型进行求解，根据模型的约束条件和软件的特点，我们采用引入0－1变量的方法编写解题程序：

1050025001000310001500i i i q j q q ≤≤⎧⎪=<≤⎨⎪<≤⎩

——————

ij y ——0,1变量引入，使得 3

1

1,01ij ij j y y ===∑或.

上述式子需改动为: 2121321311111(1)

ij ij i i ij ij ij ij ij i

i i j i j s q r W w y p s y q m ======⨯-==⨯⨯-⨯⨯∑∑∑∑∑

约束条件：

213

11

3

1

1233

1

12325000

1500

05005001000

100015001,0130,25,20ij ij i j ij ij j i i i ij ij j i i i q y s y s s s y y p p p ====⎧⨯≤⎪⎪⎪⨯≤⎪⎪⎪≤<⎪⎪≤≤⎨⎪<≤⎪⎪==⎪⎪⎪===⎪⎪⎩

∑∑∑∑或 由程序运行结果得到，21天内草鱼捕捞总收益W =441291.4元.