李瀚荪电路分析基础第五章电容元件与电感元件
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电路分析基础教案(第5章) 2
§5-2 电容的VCR 例题：电路如图所示，电压源电压为三角波形， 求电容电流i（t）。
0 0.5 1 1.5 -100 解：在关联参考方向时，i=C（du/dt）， 在0≤t≤0.25ms期间， i=1×10-6×[(100-0)/(0.25×10-3-0)=0.4A；
35
i(t) + C= u(t) 1 μ F -
100
u/V t/ms
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
§5-2 电容的VCR u/V
100 0 -100
t/ms 0.5 1 1.5
在0.25≤t≤0.75ms期间， i=1×10-6×[(-100-100)/(0.75×10-30.25×10-3)] =-0.4A；
36
§5-2 电容的VCR
100 0 -100
0.4
u/V
§5-1 电容元件
3、电容元件特点 线性电容有如下特点： （1）双向性 库伏特性是以原点对称，如图所示，因此与 端钮接法无关。 斜率为C q/C C u/V
0
18
§5-1 电容元件 （2）动态性 若电容两端的电压是直流电压U，则极板上的 电荷是稳定的，没有电流，即：I=0。
电容相当于断 路（开路），所 以电容有隔断直 流作用。
8
第五章 电容元件与电感元件 电阻电路在任意时刻t的响应只与同一时刻的 激励有关，与过去的激励无关。 因此，电阻电路是“无记忆”，或是说“即 时的”。 与电阻电路不同，动态电路在任意时刻t的响 应与激励的全部过去历史有关。 因此，动态电路是“有记忆”的。
9
第五章 电容元件与电感元件
本章主要内容： 动态元件的定义； 动态元件的VCR； 动态电路的等效电路； 动态电路的记忆、状态等概念。
第五章(电容元件与电感元件)
例题
(续 )
5-9
（4） t ≥ 0时的等效电路
i1(t) u1(t)
+
i1/A
+
+
4F
3
u(t)
0.5V
-
-
0
1
2
t/s
i1(t) — i(t)在t≥0时的部分；t≤0的部分已不必再考虑。
第二节
电感元件
电感元件是实际电感器的理想化模型。它只具有产生磁通、 从而存储磁场能量的作用。 储能元件
1、定义：一个二端元件，如果在任一时刻t，它的磁
例题
q(t) i(t) + u(t) i/A
已知电容C=4F，对所有t、i(t)波形如图所示， 电容电压u(t)与i(t)参考方向关联。 C -
试求：(1) u(0)； (2) u(t)、t≥0； (3) u(1)和u (－ 0.5)； (4) 作出t≥0时该电容的等效电路。
3 2 1 -1 0 1 2 3
线性化
i
iL
u
L
iL (t 0 ) I 0
4、电感元件的能量
1）瞬时功率
pL ui
电流和电压取一致参考方向时：
当pL>0时，电感吸收功率；当pL<0时，电感发出功率。
电感的储能过程： （1）当pL>0时，wL增加，外电路供给电感能量； （3）当pL=0时，wL为常数，电感元件储能保持不变， 与外电路间无能量交换
t t0
一个初始电压为U0的电容，可等效为一个初始电压为 0的电容与电压源U0相串联的电路。 线性化
a
+ u (t) b i (t ) c + u c (t) - u c ( t 0 ) U0 a i(t) + uc( t ) + b
电路分析基础第五章李瀚荪 ppt课件
dt
+ u(t) _
0.5 2 ( 10 )e 10 t 10 e 10 t
例2：已知 L=1H，求 u(t)
i(A)
t+1
1
解： i (t ) = 1
-t+3
-1 0 1 2 3 t(s)
u(V) 1
u(t)
Ldi(t) dt
=
1V 0 -1V
-1 0 1 2 3 t(s)
-1～0 0～2 2～3
3. 若u和i参考方向不一致， i(t) C du dt
电压的积分形式：
u(t)1 t i()d
C
u(t)u(t0)C 1t0ti()d
含义
1、u(t)取决于i(t)从到t的积分， 电容电压与电流过去历史有关， 说明电容电压有记忆。
2、或者说u(t)取决于初始值u(t0)和 t0到t的电压增量。
电容器的几种电路模型
电感器的几种电路模型
第二部分
动态电路的时域分析
第五章 电容元件与电感元件
动态电路：含有电容、电感元件的电路。 本章主要内容：
1、电容、电感元件定义及伏安关系 2、电容、电感元件性质 3、电容、电感元件的储能 4、电路的对偶性
§5 1 电容元件
1.电容器：聚集电荷、存储电场能量的元件。
2.定义： 若一个二端元件在任一时刻，
i(t) C + u(t) _
p(t)u(t)i(t)u(t)Cdu dt
意义：P＞0 吸收；P＜0 产生
2 、电容的能量：
从初始时刻t0到任意时刻t 时间内得到的能量为
W(t0,t)
t p()dC t u()dud
t0
t0
d
C uu((tt0))udu12C[u2(t)u2(t0)]
+ u(t) _
0.5 2 ( 10 )e 10 t 10 e 10 t
例2：已知 L=1H，求 u(t)
i(A)
t+1
1
解： i (t ) = 1
-t+3
-1 0 1 2 3 t(s)
u(V) 1
u(t)
Ldi(t) dt
=
1V 0 -1V
-1 0 1 2 3 t(s)
-1～0 0～2 2～3
3. 若u和i参考方向不一致， i(t) C du dt
电压的积分形式：
u(t)1 t i()d
C
u(t)u(t0)C 1t0ti()d
含义
1、u(t)取决于i(t)从到t的积分， 电容电压与电流过去历史有关， 说明电容电压有记忆。
2、或者说u(t)取决于初始值u(t0)和 t0到t的电压增量。
电容器的几种电路模型
电感器的几种电路模型
第二部分
动态电路的时域分析
第五章 电容元件与电感元件
动态电路：含有电容、电感元件的电路。 本章主要内容：
1、电容、电感元件定义及伏安关系 2、电容、电感元件性质 3、电容、电感元件的储能 4、电路的对偶性
§5 1 电容元件
1.电容器：聚集电荷、存储电场能量的元件。
2.定义： 若一个二端元件在任一时刻，
i(t) C + u(t) _
p(t)u(t)i(t)u(t)Cdu dt
意义：P＞0 吸收；P＜0 产生
2 、电容的能量：
从初始时刻t0到任意时刻t 时间内得到的能量为
W(t0,t)
t p()dC t u()dud
t0
t0
d
C uu((tt0))udu12C[u2(t)u2(t0)]
序言(电路分析基础)
第五章 电容元件 与 电感元件
7
第六章 一阶电路
序言
第三篇 动态电路的相量分析法和s域分析法
8
第八章
阻抗和导纳
第九章
正弦稳态功率和能量 三相电路
第十章
频率响应 多频正弦稳态电路
序言
七、课程任务
• 学习电路分析所需要的基本原理
叠加、分解、变换域
三大基本方法
KCL、KVL 和 VCR
两类约束
集总电路
一个假设
序言
八、学习上的几点建议
(a) 注意分清电路分析中的内因和外因
“内因是变化的根据，外因是变化的条件”。 对电路来说，内因只有电阻电路和动态电路之分； 外因却是多种多样。电路分析方法因内因而不同。
(b) 注意掌握电路分析课程的基本结构
即掌握课程的有关定义、定理、基本分析方法 之间的联系，形成对电路分析方法的整体认识。
序言
六、课程内容
第一篇 总论和电阻电路的分析 第二篇 动态电路的时域分析
第三篇 动态电路的相量分析法 和s域分析法
序言
第一篇 总论和电阻电路的分析
第一章
集总参数电路 中电压、电流 的约束关系
第二章
网孔分析 和 节点分析
第三章
叠加方法 与 网络函数
第四章
分解方法 及 单口网络
序言
第二篇 动态电路的时域分析
强电类（能量，电力）：电能的产生、传输、分配和使用
三、电子技术领域内的三个基本成分：
信号是运载信息的工具
电路是对信号进行加工、处理的具体结构 系统是信号通过的全部电路和设备的总和
序言
四、电路的研究方法
电磁场理论的方法：在三维空间中研究电与磁的电磁现象。 电路理论的方法：特定条件下仅研究电压、电流、功率和能量。
7
第六章 一阶电路
序言
第三篇 动态电路的相量分析法和s域分析法
8
第八章
阻抗和导纳
第九章
正弦稳态功率和能量 三相电路
第十章
频率响应 多频正弦稳态电路
序言
七、课程任务
• 学习电路分析所需要的基本原理
叠加、分解、变换域
三大基本方法
KCL、KVL 和 VCR
两类约束
集总电路
一个假设
序言
八、学习上的几点建议
(a) 注意分清电路分析中的内因和外因
“内因是变化的根据，外因是变化的条件”。 对电路来说，内因只有电阻电路和动态电路之分； 外因却是多种多样。电路分析方法因内因而不同。
(b) 注意掌握电路分析课程的基本结构
即掌握课程的有关定义、定理、基本分析方法 之间的联系，形成对电路分析方法的整体认识。
序言
六、课程内容
第一篇 总论和电阻电路的分析 第二篇 动态电路的时域分析
第三篇 动态电路的相量分析法 和s域分析法
序言
第一篇 总论和电阻电路的分析
第一章
集总参数电路 中电压、电流 的约束关系
第二章
网孔分析 和 节点分析
第三章
叠加方法 与 网络函数
第四章
分解方法 及 单口网络
序言
第二篇 动态电路的时域分析
强电类（能量，电力）：电能的产生、传输、分配和使用
三、电子技术领域内的三个基本成分：
信号是运载信息的工具
电路是对信号进行加工、处理的具体结构 系统是信号通过的全部电路和设备的总和
序言
四、电路的研究方法
电磁场理论的方法：在三维空间中研究电与磁的电磁现象。 电路理论的方法：特定条件下仅研究电压、电流、功率和能量。
《电路原理》第5章 电容元件与电感元件
t
t0
u ( ) d
*电感可储能，不耗能，是无源元件。其储能公式为
1 2 wL (t ) L i (t ) 2
电感元件的串、并联：
*串联 n个电感相串联的电路，流过各电感的电流为同 一电流 i。
根据电感的伏安关系，第k个（k=1,2,3,…,n)电感
的端电压 u k Lk di 和KVL，可求得n个电感相
i (t )
1 L i 2 ( t ) i 2 ( t0 ) 2
i ( t0 )
L i di
若取尚未建立磁场时刻为初始时刻，可得 t 时 刻电感的储能为：
1 wL (t ) L i 2 (t ) 2
例：已知电感两端电压波形
如图所示，i(0)=0，求 电感的电流及功率 。
i(t) + 1mH
+
du ( t ) i (t ) C dt
可视作开路。
8Ω 2Ω 10V
C
u(t) -
*具有隔直流作用，在直流稳态电路中，电容
C
8Ω 2Ω 10V
*电容电压具有连续性和记忆性。
1 u ( t ) u ( t0 ) C
t
t0
i ( ) d
*电容可储能，不耗能，是无源元件。其储能公式为
i (t ) i (0) 10
3
3
t
0
1d 103 t A
3
0 t 1m s 1m s t 3m s 3m s t 5m s 5m s t 7m s 7m s t 8m s
i (t ) i (10 ) 10
3
t
10 3 3
北理电路分析基础 第五章
Mq
q dq du (t ) i (t ) C i dt dt
d u dt u
Li q Cu
u Ri
i
§5-3 ， §5-5， §5-12
(t ) 1 t i (t ) u ( )d L L
1 t0 1 t i (t ) u ( )d u ( )d L L t0 1 t i (t0 ) u ( )d t t0 L t0
(5-18)
(5-19)
电感电流和电感上所加的电压全部历史有 关，采用初始电流i(t0)来反映t0以前所加电压的 所有情况。
t t0
t t0
1 t u (t ) u (t0 ) i ( ) d C t0 1 t i (t ) i (t0 ) u ( )d L t
0
1 2 wC (t ) Cu (t ) 2
1 2 wL (t ) Li (t ) 2
根据对偶性可得电感电流具有连续性和 记忆性。若电感电压u(t)在闭区间[ta, tb]内有界， 则电感电流iL(t)在开区间(ta, tb)内为连续的。特 别对任何时间t且ta< t < tb，有
电容元件的定义 一个二端元件，如果在任一时刻t， 它的电荷q(t)同它的端电压u(t)之间的 关系可以用u－q平面上的一条曲线来 确定，则此二端元件称为电容器。 i(t)
q(t) u(t)
图5-1 电容元件的符号
如果u－q平面上的特性曲线是一条通过原 点的直线。且不随时间而变，则此电容元件称 为线性非时变电容元件，亦即
u /V
100
wc (t )
o 0.25 0.5
0.75
1
1.25 1.5
电路分析基础第5版第1章 集总参数电路中电压、电流的约束关系
第三章 叠加方法与网络函数
第四章 分解方法及单、双口网络
第二篇 动态电路的时域分析
第五章 电容元件和电感元件
第六章 一阶电路 第七章 二阶电路
第三篇 动态电路的相量分析法和s域分析法
第八章 交流动态电路 相量法 第九章 正弦稳态功率和能量 三相电路 第十章 频率响应 多频正弦稳态电路 第十一章 耦合电感和理想变压器 第十二章 拉普拉斯变换在电路分析中的应用
(b) 注意掌握电路分析课程的基本结构
即掌握课程的有关定义、定理、基本分析方法 之间的联系，形成对电路分析方法的整体认识。
(c) “讲之功有限，习之功无已”
无已就是无限的意思。注意听课，更要注意自学、做题。
第一篇 总论和电阻电路的分析
第一章 集总参数电路中电压、电流的约束关系 第二章 网孔分析和节点分析
§1-2 电路变量--电流，电压及功率
电荷q和能量w是描述电现象的基本物理量，为便于 分析、测量电路的性能，常用由此引入的下列物理量。
（1） 电流
（2） 电压
（3） 功率
（1） 电流 i (current):
i dq
dt
每单位时间内通过导体横截面的电荷量定义为电流i。
假定的电流方向、即参考方向（reference direction） 以箭头表示。
在自然辩证法中，模型是与原型相对应的，是 原型（实际存在的客体）的替代物。以研究模型来 揭示客体的特征、本质和形态是普遍适用的科学方 法。模型是替代物而不是等效物，等效在电路理论 中，另有定义（ 第四章）。
（2）研究电路问题，也可以采用模型化方法。
例如
理想化
理想电阻元件 （模型）
实际电阻器既有阻碍电流流动、消耗电能的主要作 用，也因电流而伴有磁场等次要作用。理想电阻元件 只含电阻器的主要作用，略去了一切次要作用，称为 “集总参数元件（lumped parameter element）”，其 参数为电阻R，以后简称为“电阻元件”或“电阻”。
第四章 分解方法及单、双口网络
第二篇 动态电路的时域分析
第五章 电容元件和电感元件
第六章 一阶电路 第七章 二阶电路
第三篇 动态电路的相量分析法和s域分析法
第八章 交流动态电路 相量法 第九章 正弦稳态功率和能量 三相电路 第十章 频率响应 多频正弦稳态电路 第十一章 耦合电感和理想变压器 第十二章 拉普拉斯变换在电路分析中的应用
(b) 注意掌握电路分析课程的基本结构
即掌握课程的有关定义、定理、基本分析方法 之间的联系，形成对电路分析方法的整体认识。
(c) “讲之功有限，习之功无已”
无已就是无限的意思。注意听课，更要注意自学、做题。
第一篇 总论和电阻电路的分析
第一章 集总参数电路中电压、电流的约束关系 第二章 网孔分析和节点分析
§1-2 电路变量--电流，电压及功率
电荷q和能量w是描述电现象的基本物理量，为便于 分析、测量电路的性能，常用由此引入的下列物理量。
（1） 电流
（2） 电压
（3） 功率
（1） 电流 i (current):
i dq
dt
每单位时间内通过导体横截面的电荷量定义为电流i。
假定的电流方向、即参考方向（reference direction） 以箭头表示。
在自然辩证法中，模型是与原型相对应的，是 原型（实际存在的客体）的替代物。以研究模型来 揭示客体的特征、本质和形态是普遍适用的科学方 法。模型是替代物而不是等效物，等效在电路理论 中，另有定义（ 第四章）。
（2）研究电路问题，也可以采用模型化方法。
例如
理想化
理想电阻元件 （模型）
实际电阻器既有阻碍电流流动、消耗电能的主要作 用，也因电流而伴有磁场等次要作用。理想电阻元件 只含电阻器的主要作用，略去了一切次要作用，称为 “集总参数元件（lumped parameter element）”，其 参数为电阻R，以后简称为“电阻元件”或“电阻”。
李瀚荪《电路分析基础》(第4版)章节题库-第5章 电容元件与电感元件【圣才出品】
uC1（0＋）＝（2/3）×3 V＝2 V，uC2（0＋）＝（1/3）×3 V＝1 V。
3．如图 5-5 所示电路中，U1＝200 V，U2＝100 V，R1＝25Ω，R2＝15Ω，L＝10 H，电路原来已经稳定，在 t＝0 时合上开关 S，则开关闭合后的 iL 的表达式为______。
【答案】iL＝（4－6.5e－2.5t）A
图 5-4 【答案】2；1 【解析】（1）在 t＝0 时电路中的电容电压将发生有限跳变，用电荷守恒求电容电压的 初始值。（2）利用电容电压的分压关系求初始值。 解答一 换路瞬间电容电压发生跳变，根据电荷守恒可得
–C1uC1（0_）＋C2uC2（0_）＝–C1uC1*（0＋）＋C2uC2（0＋） 根据 KVL 可得
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台
iL（0_）＝0.2 A，uC（0_）＝6 V。根据换路定律有 uC（0＋）＝ uC（0_）＝6
V，iC（0＋）＝iL（0_）＝0.2 A。将电容用电压源替代，电感用电流源替代，得到 t＝0＋
时的等效电路如图 5-3 所示，可求得 iC（0＋）＝0，uL（0＋）＝2 V。
，注意 i1 和 i2 在 t＝0 时都
代入已知数据得
（磁链守恒定律）
2i1（0＋）＝i2（0＋） 再根据换路后的 KCL 可得
i1（0＋）＋i2（0＋）＝6 解得 i1（0＋）＝2 A，i2（0＋）＝4 A，u（0＋）＝3i2（0＋）＝12 V。 解答二
当电感电流在换路时产生有限跳变时，电感电压中应含有冲激成分，因此可忽略与电
图 5-1 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解析】根据电容元件的电压―电流关系
＝2V
(课件)第5章电容元件和电感元件
M Mii22 L2i2
互感M：取决于L1和L2及ψ其2相1 对ψ位2置2
M前的符号：自感与互感磁链方向一致取“+”，否则取负号
（取决于线圈相对绕向）
5．3 耦合电感
三、互感元件的符号与同名端
1. 符号
将互感线圈抽象成互感元件模型时，无法看出线圈
相对绕向，可以根据电流进、出同名端来判断互感磁链
的+（或 -）
若端口u、i为关联方向，取“+”号
互感若电互压(b感分)电量压：与u1施感电L1 流ddit1相对M星dd标it2 方向
一致，取“+”号
u2
M
di1 dt
L2
di2 dt
五、储能
5．3 耦合电感
关联，输入的功率： p u1i1 u2i2
(L1
di1 dt
M
di2 dt
)i1
(L2
di2 dt
5．2 电感元件
电感线圈
电感元件
电感元件的电磁特性用Ψ-i 关系表征
电感元件的电路符号：
固
定
电
L
感
(a)
可
L
调 电
感
(b)
5．2 电感元件
本节研究内容：二端线性电感元件（磁链与电流成正比） 设二端线性电感L的电压u和电流i取关联参考方向， 磁链与电流参考方向符合右手定则，则：
1、 Ψ-i 关系（电磁特性）：
5．3 耦合电感
ψ11
i1 + u1 -
ψ12
变i1 → 变ψ11 → 自感电压u11
↓
自感磁链
变ψ21 → 互感电压u21
i2 + 变i2 u2
→ 变ψ22
电路分析基础第5章课件.ppt
L 586μH , C 200pF ，RS 180 kΩ , RL 180 kΩ .
试求：电路发生谐振时的阻抗、阻抗上端电压U0及电
路的品质因数。
【解】
1
IC
IL
IL f0 2 LC
IS
U RS
C
L
RL
1
2 3.14 586106 2001012
456kHz
谐振阻抗 Z0 RS // RL 180 //180 k 90k
1.谐振阻抗、谐振电流、谐振电压与品质因数
R
jL
U
U R
U L U C
1
jC
谐振阻抗 Z 0 R jX R 最小
谐振电流
I0
U R
最大
电感和电容上的电压
U L U C
R
jL
U L jLI j0 LI0
U
U R
U L U C
1 jC
U C
1
jC
I j 1
0C
I0
当L 1 R时，有 C
3.谐振时 B 0 ，流过电感和电容的电流分别为
IL
1 U
jL
j
1
0 L
U
0
IC jCU j0CU 0
电流谐振
若 BC BL G
则 I C I L IS
4.品质因数 谐振时电感电流或电容电流与电流源 电流的比值。
Q I L (0 ) 1 C
IS
GL
通频带 BW 0
Q
5. 实际RLC并联谐振电路
电路是什么原理？应该满足什么条件？
5.1 网路函数与频率特性
5.1.1 网络函数
在线性正弦稳态网络中，当只有一个独立激励源作 用时，网络中某一处的响应（电压或电流）与网络输入
试求：电路发生谐振时的阻抗、阻抗上端电压U0及电
路的品质因数。
【解】
1
IC
IL
IL f0 2 LC
IS
U RS
C
L
RL
1
2 3.14 586106 2001012
456kHz
谐振阻抗 Z0 RS // RL 180 //180 k 90k
1.谐振阻抗、谐振电流、谐振电压与品质因数
R
jL
U
U R
U L U C
1
jC
谐振阻抗 Z 0 R jX R 最小
谐振电流
I0
U R
最大
电感和电容上的电压
U L U C
R
jL
U L jLI j0 LI0
U
U R
U L U C
1 jC
U C
1
jC
I j 1
0C
I0
当L 1 R时，有 C
3.谐振时 B 0 ，流过电感和电容的电流分别为
IL
1 U
jL
j
1
0 L
U
0
IC jCU j0CU 0
电流谐振
若 BC BL G
则 I C I L IS
4.品质因数 谐振时电感电流或电容电流与电流源 电流的比值。
Q I L (0 ) 1 C
IS
GL
通频带 BW 0
Q
5. 实际RLC并联谐振电路
电路是什么原理？应该满足什么条件？
5.1 网路函数与频率特性
5.1.1 网络函数
在线性正弦稳态网络中，当只有一个独立激励源作 用时，网络中某一处的响应（电压或电流）与网络输入
李瀚荪《电路分析基础》笔记和典型题(含考研真题)详解(电容元件与电感元件)
图 5-3 具有初始电压 U0 的电容及其在 t≥t0 时的等效电路
四、电容的储能
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1.瞬时功率
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（1）定义
瞬时功率是指每一瞬间的功率，可由该元件两端电压 M 和流过的电流 i 的乘积来计算，
即
（2）功率波形图 功率波形图是把同一瞬间的电压和电流相乘，然后逐点绘出功率随时间变化的曲线所得 的图形。 ①功率为正时，电容吸收功率； ②功率为负时，电容放出功率。 2.电容储能 （1）储能公式 电容 C 在某一时刻 t 的储能只不该时刻 t 的电压有关，即
u 和 i 波形相同，但最大值、最小值并丌同时发生。
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5-2 考虑漏电现象，电容器可以用一个电容 C 不漏电阻 R 并联的电路作为模型。若某 电容器的模型中 C=0.1μF，R=150kΩ，外施电压如图 5-1 所示，试绘出电容器电流的波形。
（2）注意事项 ①电容的储能本质使电容电压具有记忆性质； ②电容电流在有界的条件下储能丌能跃变使电容电压具有连续性质。
五、电感元件 1.概念 （1）定义 电感元件是指在任意时刻，电流 i（t）同它的磁链 （t）乊间的关系可以用 i－ 平
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七、电容不电感的对偶性 状态变量 1．对偶性. （1）对偶性含义 对偶性是指如果把电容 VCR 式中的 i 换以 u，u 换以 i，C 换以 L 就可得到电感的 VCR 式；反乊亦然。 （2）对偶性推论 根据对偶性，可知电感电流具有连续性质和记忆性质，即若电感电压 u（t）在[tq，tb] 内为有界的，则对任何时刻 t，ta＜t＜tb
电路分析-电容电感元件
2
2
= 1.6 10−6 J = 1.6μJ
i(mA) 4 2
0 2 4 6 t(ms) (b)
u(V)
0.2
0 2 4 6 t(ms) − 0.4
(c)
例：若2H电感的电压波形如图(a) u(V)
所示，试画出电流的波形 。
1
解：
t, (0 t 1)
u(t )
=
− 1,
1, (1 (2 t
u( )d
−
=
1 L
0 u( )d + 1
−
L
t
u( )d
0
令：
iL (0) =
1 L
0
u( )d
−
初始电流
则：
iL
(t)
=
iL
(0)
+
1 L
t
u( )d
0
记忆元件
iL (t)
=
iL (t0 )
+
1 L
t
u( )d
t0
3．磁场能量
pL吸
=
ui L
=
LiL
diL dt
iL L ψL +u -
pL吸可正可负， pL吸为正——电感从外电路吸收能量；
定，则此二端元件称为电容元件。
i +q C -q
+ uC 电路符号
非时变线性电容元件 q = CuC
q
其QVR为通过原点的一条直线 C----电容元件的电容
uC 0
单位：法(拉)F 常用辅助单位：μF─10-6F；nF─10-9F；pF─10-12F
2. 电容元件的VAR uC 、i取关联方向:
电路分析基础 李瀚荪版 配套课件 第五章
=
(1 C1
+
1 C2
)
t i(ξ )dξ
-¥
=
1 C
t i(ξ )dξ
-¥
i
+
+
+
C1 u
u_1 +
等效
u
_ C2
u_2
_
i C
C = C1 + C2
C
=
C1C2 C1 + C2
电容的并联
等效电容
i1 = C1
u t
i i1 i2
=C
u t
i2
=
C2
du dt
C1
C2
u t
1
2
i
i1 i2
u
C1 C2
线，且不随时间变化，则称之为线性时不变电
感元件。
y
L
t it
O
i
单位：H (亨利), 常用mH，mH等表示。 1H=103mH， 1mH =103mH
电感的
(关联参考方向)
微分形式：u(t )
=
dy dt
=
dLi dt
=
L
di dt
积分形式：
it
=
1 L
t ux
-¥
dx
=
1 L
t0 u x
-¥
dx
L
di dt
i(t) =
1 L
t u(x )dx
-¥
=
i(t0
)
+
1 L
t u(x )dx
t0
t ³ t0
wL
(t)
=
1 2
Li2 (t)
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5-7
i/A
试求：(1) u(0)； (2) u(t)、t≥0；
3
(3) u(1)和u (－ 0.5)；
2
(4) 作出t≥0时该电容的等效电路。
1
解 （1）根据已知条件，t≤0时
仅在－1≤t≤0时，i(t)=2A。 -1 0 1 2 3 t/s
u0102d t20.5V
41
4
u(0)记忆了t=0以前所有电流的充电作用。
u-c C
2ic
-
答案
P 12A 21 4 W P 22 V 2/2 2 W
习题4 答案
5-21
解
iC
CdC u2sin 2tA
dt
uR uC u 2cos2t2iC 2cos2t22sin2t
17cos2t 76 V
iS iC iR
2sin2t cos2t 4sin2tA 2sin2t cos2tA
C a
i b
- u+
A. u41 tid
C0
C. u41 tid
C0
B. u41 tid
C0
D. u41 tid
C0
答案
习题1 答案
5-13
解 与教案中例题不同，此处u(0)的成因不详， 也无需且不可能追究。其极性已如图中所示，
其值为4V，已成定局。但t≥0时，i、u的参考
方向为非关联的，故应选B项。
2dt0.25V
4 1
例题 (续)
（4） t ≥ 0时的等效电路
u1(t)+-
+
0.5V-
i1(t) 4F +
u(t)
-
i1/A 3
012
5-9
t/s
i1(t) — i(t)在t≥0时的部分；t≤0的部分已不必再考虑。
WCt12CuC2t
§2 电容的储能 状态变量
5-10
电容是储（电场）能元件。其储能为 wCt12CuC2t
§3 电容与电感的对偶性（duality） 5-11
对偶关系
C
L
uC
iL
iC
uL
iC
C duC dt
uC
uC
0
1 C
t
0 iCd
wC
1 2
CuC2
uC为状态变量
uL
L diL dt
iL
iL
0
1 L
t
0 uLd
wL
1 2
LiL2
iL为 状 态 变 量
习题课
5-12
习题1 已知u(0)=4V，则该电容t≥0时的VCR为
5cos2t 63.4 A
供教师参考的意见
5-22
1.教案只含电容部分，教案仅指出电感与电容的对偶关系，电 感部分由学生自学。
2.教案对电容的处理思路：两个公式，两个性质，一个重点，一 个根源。由VCR微分形成→uc连续性质;由VCR积分形式→uc 记忆性 质→含初始电压源的等效电路(重点)。根源为储能本性。
2V 电 压 源 2V 功 3A 率 6W 消 ： 6耗 W
功率平衡关系：
提供功率 8W+4W=12W
功率平衡。
消耗功率 6W+2W+4W=12W
习题课
5-20
习题4 已知uc(t)=2cos(2t)V、C=1F、R=1Ω， 受控源电压u(t)=2ic(t)，求uR(t)、is(t)。
R
iS
+ ic + uR- +
由
u
1 C
q
得 u(t)1 t i()d
C
②
上式表明：某时刻t的电容电压与从-∞到该时刻所有
电流有关—电容电压的记忆性质（memory property）
更实用的形式：
设初始时刻为t=0
u(t)10i()d1ti()d
C
C0
即 u(t)u(0)C 10 ti()d t0
③
u(0)累计了t=0以前所有时刻i的作用,称为电容的初始电压。
连续性质通过例子表明，可用电流为有界来说明。严格证明见教 材。如把这一性质之为换路（switching）“定律”似觉过份。
uc(0)的数值不能仅从连续性质的角度来考虑，还应从记忆性质 角度来理解它的成因。通常动态电路习题的命题方式：给定初始条 件和电路图，要求某一响应。学生困惑之处：初始条件为何如此？ 从何而来？是否从给定电路可以求得该条件？……（参看教材习题 6-42）。本教案§5-1（3）的例题，建议充分利用！
C、L均可如此处理。题4旨在使学生初步接触动态电
路分析问题，认识到两类约束仍是分析的依据。
END
2H
1Ω
2Ω
+
+
2A
2V
1F
-
4V
-
答案
P 12A 21 4 W P 22 V 2/2 2 W
习题3 答案
5-17
解 电路在直流电源长久作用下，电感看作短路， 电容看作开路，如图所示。
1Ω
2Ω
- 2A
+
+
+
2V-
4V
-
1Ω电阻的功率： P 12A 21 Ω 4W
2Ω电阻的功率：P 22 V 2/2 Ω 2 W
例题 (续)
5-8
（2） t ≥ 0时
u t u 0 1 40 t3 d t0 .5 0 .7t5 V
t≥0时，不能忽略初始电压u(0)， 它反映了t≤0电流对t ≥ 0时u（t）的影响。
（3） t1s属 t0,故 得
u10.50.75 1V1.25 V
t 0.5s属t 0,故得
u0.51
0.5
习题3 答案（续1）
5-18
解
电感储存能量：W L1 2L2i1 22H 2A 24J
电容储存能量：W C1 2C2u 1 21F4V 28J
电路总共储存能量为4J+8J=12J。该项能量 是电源接入时，由电源提供的。在电源持续作用 下，这能量始终储存在电路内，其值不变，故PL 和PC均为零。
习题3 答案（续2）
③式可写为 u (t) u (0 ) u 1 (t) t 0 5-6
设u(0)=U0 ,t≥0时电容的等效电路为
a i(t)
+
u-(t)
b
c u(0)=U0
a i(t)
+
uc(t) +
- U0-
b
+
-
u1(t) u1(0)=0
例题
已知电容C=4F，对所有t、i(t)波形如图所示，
电容电压u(t)与i(t)参考方向关联。
t/s
答案
习题2 答案
5-15
解
利用
u L di dt
分段作出波形图：
0 1s, u t 6 V ; 1s 2 s, u t 0; 2 s 3 s , u t 10 V ; 3s 5s, u t 0; t 5s, u t 5 V
习题课
5-16
习题3 与直流电源接通已久的电路如图所示， 试求每一电阻所消耗的功率；电路所储存的 能量；每一电源所提供的功率并校核电路的 功率平衡关系。
（3）电容（元件）VCR形式二
（2）电容（元件）VCR形式一
5-3
由于
i dq dt
而 q = cu
故得 i C du
①
dt
u、i 应为关联参考方向。
电容（元件）的VCR之一，以u表示i。
例 1F的电容，若u如图（a），则i如图（b） 5-4Байду номын сангаас
u/V 图(a)
1
i/A
图(b)
2
0
0.5
t/S
本例表明：
5-19
解 电 流 源 两 2V 端 2A 电 1Ω 压 4V为
电 流 源 4功 V 2A 率 8： W 提8W 供
4 V 电 压4 源 V 2 V 电 /2 Ω 1 A 流 为
4 V 电 压 源 4 V 1 A 功 4 W 率 提 4 W ： 供
流2过 V 电 压 源 1A 电 2A 流 3A ， 为
0
0.5
t/S
（a）u、i 波形不同。特别是当u为直流电压时i =0。
波形不同，除正弦波等少数例外，为动态元件一般规律。
（b）尽管电流是不连续的，但电容电压却是连续的—— 电容电压的连续性质（con。tinuity property）
即uC (t-)uC (t)
（3）电容（元件）VCR形式二
5-5
某一时刻t 的电容电压反映同时刻储能状况，电容电压 的连续性和记忆性均来自电容的储能本性。
电容电压属动态电路分析中的状态（state）变量。 它满足： （a）给定初始状态[即uc(0)]和所有t≥0的输入[即i(t)]就能 确定在t≥0时的状态[即uc(t)]。见VCR的积分形式，即③式。
（b）由状态变量可确定电路中任一变量。见下章。作为 状态变量，uc是分析含电容动态电路时的主要对象。
§1 电容元件的VCR
§2 电容的储能 状态变量
§3 电容与电感的对偶性（duality）
习题课
供教师参考的意见
§1 电容元件的VCR
5-2
（1）电容元件是实际电容器(real capacitor) 的模型。
它只具有存储电荷、从而存储电场能量的作用。 其参数为电容C：
Cq u
（2）电容（元件）VCR形式一
一个重点是指电容的等效电路！不仅在上述例题中发挥了作用， 在下章还将起重要作用。
供教师参考的意见（续） 5-23
3. 习题课准备了四题。题1属于无法追究u(0)来源的 情况，这一情况与上述例题情况不同。学生可能会选 A项。题2为有关L的题目，由于L是自学部分，可检 查学习情况。题3体现直流稳态情况下，对L和C的处 理方法。以后教材是用开关或阶跃函数，表明研究换 路后非稳态时的电路问题。注意防止本题可能对第六 章的负面影响，即误认为直流电源的动态电路问题中