线性规划中目标函数的几种类型
线性规划目标函数
线性规划目标函数
线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的目标最大化或最小化问题。
线性规划的目标函数是一个线性方程，它表示了需要优化的目标的数学模型。
目标函数的形式如下：
max/min Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn
其中，Z表示需要最大化或最小化的目标函数值，x1, x2, ...,
xn表示决策变量，c1, c2, ..., cn表示这些变量的系数。
线性规划目标函数的含义取决于具体问题的需求。
有时，我们希望最大化某个指标，比如产量、利润、销售额等；有时，我们希望最小化某个指标，比如成本、风险、距离等。
例如，如果我们想要最大化一个公司的利润，目标函数可以表示为：
maximize Z = p1x1 + p2x2 + ... + pnxn
其中，pi表示第i个产品的售价，xi表示第i个产品的数量。
另外，线性规划目标函数还可以包含一些约束条件，如不等式约束、等式约束等。
在确定目标函数时，我们需要考虑这些约束条件，并根据具体情况进行调整。
线性规划目标函数的确定是线性规划问题的关键步骤之一。
在确定目标函数时，我们需要考虑如何平衡不同决策变量之间的权重关系，以及如何根据约束条件的要求进行调整。
通过合理
选择目标函数，我们可以在满足约束条件的前提下，以最有效的方式实现我们的目标。
线性规划中目标函数的几种类型及解法
线性规划中目标函数的几种类型及解法作者：陈雄飞来源：《新课程学习·中》2013年第04期教学目标：1.知识目标：进一步掌握线性规划的基本概念和图解方法.2.能力目标：提高学生灵活运用线性规划的知识分析和解决相关问题；进一步培养学生的数形结合、化归与转化思想.3.情感目标：通过相同约束条件一题多变，激发学生的学习热情，增强创新意识，培养他们的探究精神，进一步提高知识迁移能力.教学重点：用图解法解决线性规划中目标函数的几种典型问题.教学难点：分析辨别线性规划中目标函数的几种类型.教学手段：多媒体辅助教学.教学方法：启发探究式.教学过程：一、知识复习，引入课题线性规划是指在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题.解决问题的基本思想是数形结合思想，即在约束条件所对应的可行域内根据目标函数的几何意义找出目标函数的最优解.下面我们回顾一下线性规划问题的一些基本概念：（1）线性约束条件：由x，y的一次不等式（或方程）组成的不等式组.（2）目标函数：关于x，y的解析式，如z=x-y，z=x2+y2等.（3）可行解：满足线性约束条件的解（x，y）叫做可行解.（4）可行域：所有可行解组成的集合叫做可行域.（5）最优解：使目标函数达到最大值或最小值的可行解.（6）用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：①根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）；②设z=0，画出直线l0；③观察、分析、平移直线l0，从而找到最优解；④求得目标函数的最大值或最小值.今天我们复习的课题是线性规划中目标函数的几种类型及解法.二、例题讲授，合作探究下面我们结合一些例题，谈谈线性规划中目标函数的几种类型及解法.三、迁移训练，巩固提高四、课堂小结本节课我们复习了线性规划问题的基本概念，并利用图解法解决了线性规划中目标函数的四种典型问题——截距型、斜率型、距离型、面积型.再次体验了数形结合思想、化归与转化思想在解决一些复杂数学问题中的运用.五、课后作业，深入思考（作者单位湖北省孝感市第一高级中学）。
浅谈线性规划问题中目标函数的几何意义
２０ ０ ８年
《 田师 范专科 学校 学报 》（ 和 汉文综合版 ）
Ｊ１ ０ ８第 ２ ｕ． ０ ２ ８卷第 四期
总第 ５ 期 ４
浅谈线性规划问题中目标函数的几何意义
贾玉美
（ 和田地区二中 新疆和田 ８ ８０ ） ４ ００
Ｌ 安Ｊ 捅 本文主 要介绍了 解决线 性规划问 题的方 其关键是 法， 确定目
＝
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面我们就 ｂ 的取值分两种情况来看看： ）与定点Ｍ（，ｂ ａ ）连线的斜率。： —— ：ｘ ａ可以变形为： － ： （） ＝ 且 ａ 。 １ ｂＯ ≠０ 此时 目标 函数 可化 为ｘ： ， ｚ 它表 示 以 ｚ为 ｙ 横截距，垂直于 Ｘ轴的直线。ｚ是一个与横截距相关的量，它的最 值由 ａ的符号，及直线 ｘ Ｏ ＝ 在线性区域内自左向右平行移动最先及 最后经过的点确定。由横截距取值情况知，当ａ ＞Ｏ时，将垂直于 Ｘ 轴的直线在线性区域内自左向右平行移动最先经过的点确定的是最 小值，最后经过的点确定的是最大值：当 ａ 时， ＜Ｏ 将垂直于 Ｘ 轴的 直线在线性区域内自左向右平行移动最先经过的点确定的是最大 值 ，最 后经过的点确定 的是最小值 。
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（）ｂ ２ ≠０（∈Ｒ） 此时目 ａ 。 标函数可化为Ｙ 一 ÷ 尺， ＝÷＋∈
它示 一为率以为截的线ｚ一与截 相 例 ： 知ｆ －ｓ 表 以詈斜 ，三纵距直 。 个横距 关 ｂ 是 ２已 ｛ｘ＋ｙ＋４＞Ｏ且 。 －， ｚ取 范 。 ４。 ｐ 求 的 值 围 ２ ２
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６
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的几何意义是线性区域内的点 Ｐ（ ， ）与定点Ｍ（，ｂ 连线的斜 ｘｙ ａ ） 率的倒数。
线性规划问题中目标函数常见类型梳理
线性规划问题中目标函数常见类型梳理山东 张吉林线性规划问题中目标函数的求解是线性规划问题的重点也是难点，对于目标函数的含义学生往往理解的不深不透，只靠死记硬背，生搬硬套，导致思路混乱，解答出错。
本文将有关线性规划问题中目标函数的常见类型梳理如下，以期对大家起到一定的帮助。
一 基本类型——直线的截距型（或截距的相反数）例1.已知实数x 、y 满足约束条件0503x y x y x +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则24z x y =+的最小值为（ ）A ．5B ．-6C ．10D ．-10 分析：将目标函数变形可得124z y x =-+，所求的目标函数的最小值即一组平行直线12y x b =-+在经过可行域时在y 轴上的截距的最小值的4倍。
解析：由实数x 、y 满足的约束条件，作可行域如图所示：当一组平行直线L 经过图中可行域三角形ABC 区域的点C 时，在y 轴上的截距最小，又(3,3)C -，故24z x y =+的最小值为min 234(3)6z =⨯+⨯-=-，答案选B 。
点评：深刻地理解目标函数的含义，正确地将其转化为直线的斜率是解决本题的关键。
二 直线的斜率型例2.已知实数x 、y 满足不等式组2240x y x ⎧+≤⎨≥⎩,求函数31y z x +=+的值域. 解析：所给的不等式组表示圆224x y +=的右半圆(含边界)，31y z x +=+可理解为过定点(1,3)P --，斜率为z 的直线族．则问题的几何意义为：求过半圆域224(0)x y x +≤≥上任一点与点(1,3)P --的直线斜率的最大、最小值．由图知，过点P 和点(0,2)A 的直线斜率最大，max 2(3)50(1)z --==--．过点P 所作半圆的切线的斜率最小．设切点为(,)B a b ，则过B 点的切线方程为4ax by +=．又B 在半圆周上，P 在切线上，则有22434a b a b ⎧+=⎨--=⎩解得a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩因此m i n 33z =。
线性规划的定义及解题方法
线性规划的定义及解题方法线性规划是一种数学建模技术，旨在解决在约束条件下，寻求最优解的问题。
它的实际应用十分广泛，例如管理学、经济学、物流学等领域。
线性规划可以分为单目标和多目标两种，但其中比较常见的是单目标线性规划。
本文将从线性规划的定义、模型建立、求解方法等方面阐述其原理与应用。
一、线性规划的定义线性规划的定义是：在有限约束条件下，目标函数为线性的最优化问题。
它通过数学模型的建立，将涉及到的变量、约束条件与目标函数转化为线性等式或不等式的形式，从而寻找最优解。
通常，线性规划的目标是最大化或最小化某个变量，可以用以下的形式去表示：$$Z=C_1X_1+C_2X_2+……+C_nX_n $$其中，$Z$为目标函数值，$X_1, X_2,……,X_n$为待求变量，$C_1, C_2,……,C_n$为相应的系数。
在线性规划中，会涉及到许多变量，这些变量需要受到一些限制。
这些限制可以用不等式或等式来表示，这些方程式被称为约束条件。
例如：$$A_1X_1+A_2X_2+……+A_nX_n≤B$$$$X_i≥0, i=1,2,……, n $$这两个方程就代表了一些约束条件，例如目标函数系数的和不能超过某个值，若$X_i$为生产的产品数量，则需保证产量不能小于零等。
这些约束条件用于限制变量的取值范围，而目标函数则用于求解最优解。
二、线性规划的模型建立在建立线性规划模型时，需要考虑几个要素：1. 决策变量：它是模型求解的关键。
决策变量是指在模型中未知的数量，也就是需要我们寻找最优解的那些变量。
2. 目标函数：确定目标函数，既要知道最大化还是最小化，还要知道哪些变量是影响目标函数的。
3. 约束条件：约束条件通常是一组等式或不等式，代表问题的限制。
例如在一个工厂中最大的生产量、原材料的数量限制、人工的数量等等，这些都是约束条件。
4. 模型的参数：模型参数是指约束条件的系数和模型中的常数。
它们是从现实问题中提取出来的，由于模型的解法通常是数学的，因此需要具体的数值。
线性规划中目标函数的几种类型及解法
图 １
盈圆
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课 例 交流
２ ０ １ ３年 ４月 １ ８日
囊 秘 万 富 凡 乌
文 例 、 兵
摘 要： 杜甫咏马之作为大家展 示 了大唐 帝国的兴衰成败 ， 犹如一座 挖不完的宝藏 ， 以其独特 的风格在诗歌史上保持 了恒 久不变 的 魅力 。 关键词 ： 杜甫； 人民性 ； 特色； 形象
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线性规划的十种类型
线性规划的十种类型
1、标准型线性规划：目标是最大化或最小化一个线性函数的值，约束条件也是线性的。
2、有约束的线性规划：目标是最大化或最小化一个线性函数的值，约束条件是线性或非线性的。
3、整数规划：变量必须是整数值。
4、0-1整数规划：其变量只能是0或1值。
5、二次约束规划：有二次式约束条件。
6、模型规划：模型规划是一种解决方案，用来解决一类问题。
7、受约束的多目标规划：有多个目标函数和各种约束条件，然后通过系统的优化来选择最优的结果。
8、混合整数规划：其中的变量可以是整数也可以是实数。
9、多项式规划：目标函数和约束条件都是多项式的。
10、动态规划：动态规划通常是用来解决某个未来状态要被满足时，对于当前要采取的策略最佳化的问题。
线性规划类型及策略
时，目标函数z＝ax－y取最小值，则实数a的取值范
围是.
解析当直线y＝ax－z（a＜0）过点（，），且不与直线AC，BC重合时,－z取得最大值，从而z取得最小值.
kAC＝＝－，kBC＝＝－.
所以，实数a的取值范围是（－，－）.
作者简介：冀红波男中学一级教师
当圆x2＋y2＝z过点B（2，3）时，取得最大值，从而z取得最大值zmax＝22＋32＝13；
当圆x2＋y2＝z与直线AC：2x＋y－2＝0相切时，取得最小值，从而z取得最小值.
设切点坐标为（x0，y0），则
解得x0＝，y0＝.
因此，zmin＝＋＝.
故，当x＝2，y＝3时，x2＋y2取得最大值13；当x＝，y＝时，x2＋y2取得最小值.
3．截距问题
例4不等式组 表示的平面区域面积为81，则 的最小值为_____
解析令 ，则此式变形为 ，z可看作是动
抛物线 在y轴上的截距，当此抛物线与 相切
时，z最小，故答案为
4．.向量问题
例5已知点P的坐标（x，y）满足： 及A（2，0），则 的最大值是.
解析 =| |·cos∠AOP即为 在 上的投影长
解析如图作出可行域，目标函数 表示直线 在y轴上的截距，可见当直线过A（1，0）时，截距值最大 ，当直线过点O（0，0）时，截距值最小 。
二,非线性目标函数问题的解法
当目标函数时非线性函数时，一般要借助目标函数的几何意义，然后根据其几何意义，数形结合，来求其最优解。近年来，在高考中出现了求目标函数是非线性函数的范围问题.这些问题主要考察的是等价转化思想和数形结合思想,出题形式越来越灵活,对考生的能力要求越来越高.常见的有以下几种：
运筹学--第2节(线性规划-标准型)
分析和表述问题
目 例1 美佳公司计划制造I，II两种家电产品。已知各制造标一件时
分别占用的设备A、B的台时、调试时间及A、B设备和调试工
序每天可用于这两种家电的能力、各售出一件时的获利：情况如 表 的I利—润l所为示最。大问。该公司应制造A、B两种家电各多少件，利使获取
minZ= 2x11 + x12+3x13+2x21 +2x22 +4x23 +3x31 +4x32 +2x33
x11 +x12+x13 50 x21+x22+x23 30 x31+x32+x33 10
x11 +x21+x31 = 40 x12 +x22+x32 = 15 x13 +x23+x33 = 35
假设：利润——Z
家电I的数量——x1
家电II的数量——x2
分析和表述问题
例1 美佳公司计划制造I，II两种家电产品。已知各制造一件时 分别占用的设备A、B的台时、调试时间及A、B设备和调试工 序每天可用于这两种家电的能力、各售出一件时的获利情况如 表I—l所示。问该公司每天应制造I、II两种家电各多少件，使 获取的利润为最大。
x1 , x2 , x4 , … , x7 0
练习
补充作业、运输问题
从仓库到工厂运送单位原材料的成本，工厂对原
材料的需求量，仓库目前库存分别如表所示，求成本 最低的运输方案。
工厂 仓库
1 2 3 需求
1 2 3 库存
213
50
224
线性规划知识点总结
线性规划知识点总结一、概述线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
它的目标是找到一组决策变量的值，使得目标函数达到最大或者最小值。
线性规划广泛应用于经济学、管理学、工程学等领域，可以匡助决策者做出最优的决策。
二、基本概念1. 决策变量：线性规划中需要决策的变量，通常用x1、x2、x3等表示。
2. 目标函数：线性规划的优化目标，可以是最大化或者最小化一个线性函数。
3. 约束条件：对决策变量的限制条件，通常是一组线性不等式或者等式。
4. 可行解：满足所有约束条件的决策变量的取值组合。
5. 最优解：使得目标函数达到最大或者最小值的可行解。
三、标准形式线性规划问题可以通过将其转化为标准形式来求解，标准形式包含以下要素：1. 目标函数：通常是最大化或者最小化一个线性函数。
2. 约束条件：一组线性不等式或者等式。
3. 非负约束条件：决策变量的取值必须大于等于零。
四、线性规划的求解方法线性规划可以使用多种方法进行求解，常见的方法有：1. 图形法：适合于二维线性规划问题，通过绘制等式和不等式的图形来确定最优解。
2. 单纯形法：适合于多维线性规划问题，通过迭代计算来寻觅最优解。
3. 内点法：适合于大规模线性规划问题，通过迭代计算来寻觅最优解。
4. 整数规划法：适合于决策变量为整数的线性规划问题，通过搜索算法来寻觅最优解。
五、线性规划的应用线性规划在实际应用中有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：1. 生产计划：确定最优的生产数量和产品组合，以最大化利润或者满足需求。
2. 运输问题：确定最优的运输方案，以最小化运输成本或者最大化运输效率。
3. 资源分配：确定最优的资源分配方案，以最大化资源利用率或者满足需求。
4. 投资组合：确定最优的投资组合，以最大化收益或者最小化风险。
5. 作业调度：确定最优的作业调度方案，以最小化作业完成时偶尔最大化资源利用率。
六、线性规划的局限性线性规划虽然在许多问题中有广泛的应用，但也存在一些局限性：1. 线性假设：线性规划假设目标函数和约束条件都是线性的，不适合于非线性问题。
《运筹学》试题及答案(二)
《运筹学》试题及答案19、简述线性规划模型主要参数（p11）（1）、价值系数：目标函数中决策变量前的系数为价值系数（2）、技术系数：约束条件中决策变量前的系数（3）、约束条件右边常数项15、简述线性规划解几种可能的结果（情形）（ppt第二章39或89页）（1）.有唯一最优解 (单纯形法中在求最大目标函数的问题时，对于某个基本可行解，所有δj≤0)（2）.无可行解，即可行域为空域，不存在满足约束条件的解，也就不存在最优解了。
（3）.无界解，即可行域的范围延伸到无穷远，目标函数值可以无穷大或无穷小，一般来说，这说明模型有错，忽略了一些必要的约束条件（4）.无穷多个最优解，则线段上的所有点都代表了最优解（5）退化问题，基变量有时存在两个以上相同的最小比值，这样在下一次迭代中就有一个或几个基变量等于零，用图解法无退化解1、简述单纯形法的基本思路（p70）从可行域中某一个顶点开始，判断此顶点是否是最优解，如不是,则再找另一个使得其目标函数值更优的顶点，称之为迭代，再判断此点是否是最优解。
直到找到一个顶点为其最优解，就是使得其目标函数值最优的解，或者能判断出线性规划问题无最优解为止。
17、简述线性规划中添加人工变量的前提（p85）在系数矩阵中直接找不到初始可行解，进而通过添加人工变量的方法来构造初始可行基，得出初始基本可行解10、简述线性规划对偶问题的基本性质（p122）（1）对称性（2）弱对偶性（3）强对偶性（4）最优性（5）互补松弛型原函数与对偶问题的关系1）求目标函数最大值的线性规划问题中有n 个变量 m个约束条件，它的约束条件都是小于等于不等式。
而其对偶则是求目标函数为最小值的线性规划问题，有m个变量n个约束条件，其约束条件都为大于等于不等式。
2）原问题的目标函数中的价值系数为对偶问题中的约束条件的右边常数项，并且原问题的目标函数中的第i个价值系数就等于对偶问题中的第i个约束条件的右边常数项。
3）原问题的约束条件的右边常数项为对偶问题的目标函数中价值系数。
目标函数的几种类型
目标函数的几种类型目标函数是数学优化问题中的一个重要概念，目的是通过数学表达式来描述优化问题的目标。
目标函数主要分为以下几种类型：1. 线性目标函数线性目标函数是最简单也是最常见的一种目标函数形式，其数学表达式为：f(x) = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn其中，x1, x2, ..., xn为决策变量，c1, c2, ..., cn为常数系数。
线性目标函数的优化问题称为线性规划问题，其特点是目标函数和约束条件均为线性。
线性规划问题在供应链管理、运输调度等领域有广泛的应用。
2. 非线性目标函数非线性目标函数是目标函数中存在非线性项的情况，其数学表达式为：f(x) = h(x) + Σ g(x)其中，h(x)为非线性项，g(x)为线性或非线性项。
非线性目标函数的优化问题被称为非线性规划问题。
非线性规划问题在经济学、管理学等领域中常用于描述复杂的现实问题。
3. 凸函数目标函数凸函数目标函数是指目标函数满足凸性质的函数形式。
凸性质是指函数的图像位于函数的上方，即图像上任意两点之间的连线均位于函数图像的上方。
凸函数在优化问题中具有较好的性质，可以保证全局最优解的存在和唯一性，是一类重要的目标函数类型。
4. 二次型目标函数二次型目标函数是一种特殊的非线性目标函数形式，其数学表达式为：f(x) = x^T Ax + b^T x + c其中，x是n维向量，A为一个n×n的矩阵，b和c为常向量。
二次型目标函数在数学建模和最优化问题中应用广泛，例如，在物流领域中可以用于描述最小化运输成本的问题。
5. 目标函数约束目标函数约束是指在目标函数中添加一些约束条件来限制决策变量的取值范围，使其满足一定的约束条件。
例如，可以在目标函数中添加等式约束、不等式约束、非线性约束等。
目标函数约束广泛应用于各个领域的最优化问题中，可以用于调整优化问题的解空间。
综上所述，目标函数具有不同的类型，包括线性目标函数、非线性目标函数、凸函数目标函数、二次型目标函数以及目标函数约束等。
线性规划知识点
线性规划知识点一、概述线性规划是数学规划的一种重要方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
它的基本思想是在一组线性约束条件下，找到使目标函数达到最大或者最小值的变量取值。
二、基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或者最小化一个线性函数，称为目标函数。
通常用字母 Z 表示。
2. 约束条件：线性规划的变量需要满足一组线性不等式或者等式，称为约束条件。
通常用字母 Ai 表示。
3. 变量：线性规划的问题中，需要确定的变量称为决策变量。
通常用字母 Xi表示。
三、标准形式线性规划问题通常可以转化为标准形式，以便于求解。
标准形式的线性规划问题包括以下要素：1. 目标函数：目标函数是一个线性函数，需要最大化或者最小化。
2. 约束条件：约束条件是一组线性不等式或者等式。
3. 变量的非负性：变量需要满足非负性约束，即变量的取值不能为负数。
四、线性规划求解方法线性规划问题可以通过以下方法求解：1. 图形法：对于二维线性规划问题，可以通过绘制约束条件的直线和目标函数的等高线，找到最优解的位置。
2. 单纯形法：单纯形法是一种常用的求解线性规划问题的算法。
它通过迭代计算，逐步接近最优解。
3. 整数规划法：当决策变量需要取整数值时，可以使用整数规划方法求解。
整数规划问题相对于线性规划问题更加复杂，通常需要使用分支定界等方法求解。
五、线性规划的应用线性规划在实际问题中有广泛的应用，包括但不限于以下领域：1. 生产计划：线性规划可以匡助确定最优的生产计划，使得生产成本最低或者产量最高。
2. 运输问题：线性规划可以用于解决货物运输的最优路径问题，以降低运输成本。
3. 金融投资：线性规划可以用于确定最优的投资组合，以最大化收益或者最小化风险。
4. 资源分配：线性规划可以匡助确定资源的最优分配方案，以满足需求并最大化效益。
5. 排产问题：线性规划可以用于解决生产设备的排产问题，以最大化生产效率。
六、线性规划的局限性尽管线性规划具有广泛的应用领域，但它也有一些局限性：1. 线性假设：线性规划假设目标函数和约束条件都是线性的，但实际问题中往往存在非线性关系。
第五章 线性规划
第五章线性规划线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
在这一章中，我们将深入探讨线性规划的定义、基本概念、解法和应用。
一、线性规划的定义和基本概念线性规划是指在一组线性约束条件下，寻找使目标函数达到最大或最小值的决策变量的值。
线性规划的基本要素包括决策变量、目标函数、约束条件和可行域。
1. 决策变量：线性规划中需要决策的变量，通常用x1, x2, ..., xn表示。
2. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，通常用Z表示，可以是最大化利润、最小化成本等。
3. 约束条件：线性规划中的约束条件是一组线性等式或不等式，用来限制决策变量的取值范围。
4. 可行域：满足所有约束条件的决策变量值构成的区域，称为可行域。
二、线性规划的解法线性规划的解法主要有图形法、单纯形法和内点法等。
下面分别介绍这些解法。
1. 图形法：适用于二维或三维的线性规划问题。
通过绘制目标函数和约束条件的图形，找到目标函数在可行域上的最优解。
2. 单纯形法：适用于多维的线性规划问题。
通过构造初始可行解，不断迭代寻找可行域内的最优解。
3. 内点法：适用于大规模线性规划问题。
通过迭代逼近可行域内的最优解，避免了对整个可行域的遍历。
三、线性规划的应用线性规划在实际问题中有广泛的应用，如生产计划、资源分配、运输问题等。
下面以生产计划为例，介绍线性规划的应用过程。
假设某公司生产两种产品A和B，每单位产品A的利润为10元，每单位产品B的利润为15元。
公司有两个生产车间，分别能生产产品A和产品B的数量分别为x1和x2。
每个车间的生产时间有限，车间1每天能生产产品A的数量不超过20个，车间2每天能生产产品B的数量不超过30个。
另外，公司还有一个销售部门，每天能销售的产品数量不超过25个。
根据以上信息，我们可以建立如下线性规划模型：目标函数：Z = 10x1 + 15x2（最大化利润）约束条件：1. x1 ≤ 20（车间1的生产能力）2. x2 ≤ 30（车间2的生产能力）3. x1 + x2 ≤ 25（销售部门的销售能力）可行域：x1 ≥ 0，x2 ≥ 0通过求解以上线性规划模型，我们可以得到最优解，即使得利润最大化的生产计划。
线性规划目标函数及基本不等式常见类型梳理之欧阳歌谷创编
授课提纲欧阳歌谷（2021.02.01）一、线性规划问题中目标函数常见类型梳理 1、基本类型——直线的截距型（或截距的相反数） 2、直线的斜率型3、平面内两点间的距离型（或距离的平方型）4、点到直线的距离型5、变换问题研究目标函数 二、基本不等式1、（1）基本不等式若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）(2)若*,R b a ∈，则ab ba ≥+2 (2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”）2、利用基本不等式求值技巧 授课主要内容：一 基本类型——直线的截距型（或截距的相反数）例1.已知实数x 、y 满足约束条件0503x y x y x +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则24z x y =+的最小值为（ ）A ．5B ．-6C ．10D ．-10变式练习一：若x ,y 满足约束条件20210220x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩,则z =3x +y 的最大值为．变式练习二：设x ，y 满足约束条件13,10,x x y ≤≤⎧⎨-≤-≤⎩则z ＝2x －y 的最大值为______． 二直线的斜率型⎤⎥⎣⎦例2.已知实数x 、y 满足不等式组2240x y x ⎧+≤⎨≥⎩,求函数31y z x +=+的值域. 变式练习一：若x ，y 满足约束条件10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则y x的最大值为.变式练习二：11.若实数y x ,满足00042{≥≥≤-+y x y x ，则12-+=x y z 的取值范围为（）三 平面内两点间的距离型（或距离的平方型）例3. 已知实数x 、y 满足10101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩，则22448w x y x y =+--+的最值为___________.解析：目标函数2222448(2)(2)w x y x y x y =+--+=-+-，点(2,2)到点B 的距离为其到可行域内点的最大值，22max (22)(12)25w =--+--=；点(2,2)到直线x+y-1=0的距离为其到可行域内点的最小值，min 2w ==。
线性规划知识点总结
线性规划知识点总结一、引言线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
它在工程、经济、管理等领域具有广泛的应用。
本文将对线性规划的基本概念、模型建立、求解方法和应用进行详细总结。
二、基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，称为目标函数。
通常用Z表示。
2. 约束条件：线性规划的决策变量必须满足一系列线性等式或不等式，称为约束条件。
常用的约束条件有等式约束和不等式约束。
3. 决策变量：线性规划中需要决策的变量，通常用X1、X2、...、Xn表示。
4. 线性性质：线性规划的目标函数和约束条件必须是线性的，即变量的系数只能是常数。
三、模型建立1. 确定决策变量：根据问题的实际情况，确定需要决策的变量。
2. 建立目标函数：根据问题的要求，建立一个线性函数来描述目标。
3. 建立约束条件：根据问题的限制条件，建立一系列线性等式或不等式来限制决策变量的取值范围。
4. 定义变量的取值范围：根据问题的实际情况，确定变量的取值范围。
四、求解方法1. 图形法：对于二维线性规划问题，可以利用图形法求解。
首先画出目标函数和约束条件的图形，在可行域内找到最优解点。
2. 单纯形法：对于多维线性规划问题，可以利用单纯形法求解。
该方法通过迭代计算，逐步靠近最优解点，直到找到最优解。
3. 整数规划法：当决策变量必须为整数时，可以使用整数规划法求解。
该方法在单纯形法的基础上增加了整数变量的限制条件。
4. 网络流法：对于线性规划问题中涉及到网络流的情况，可以使用网络流法求解。
该方法通过建立网络模型，求解最大流或最小费用流问题。
五、应用领域1. 生产计划：线性规划可以用于确定生产计划中各种资源的最优分配，以达到最大化利润或最小化成本的目标。
2. 运输问题：线性规划可以用于确定运输问题中各个地点之间的最优运输方案，以最小化总运输成本。
3. 投资组合：线性规划可以用于确定投资组合中各种资产的最优配置，以达到最大化收益或最小化风险的目标。
高三数学线性规划知识点
高三数学线性规划知识点线性规划是数学中的一个重要分支，广泛应用于经济、管理、工程等领域。
它通过建立数学模型，寻找一组最佳决策方案，以实现特定的目标。
在高三数学学习中，线性规划是一个重要的知识点，本文将介绍线性规划的基本概念、常见问题类型以及解题方法。
一、线性规划的基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是在一组约束条件下，最大化或最小化一个线性函数，这个线性函数就是目标函数。
通常用Z表示目标函数的值。
2. 变量：目标函数中的每个变量都代表一个决策变量，这些变量的取值将影响目标函数的计算结果。
3. 约束条件：线性规划的一个重要特点是存在一组约束条件，这些约束条件限制了决策变量的取值范围。
约束条件通常是由一组线性不等式或等式表示。
4. 可行解：满足所有约束条件的解称为可行解。
5. 最优解：在所有可行解中，使得目标函数达到最大值或最小值的解称为最优解。
二、线性规划的问题类型1. 单纯形法：单纯形法是一种常用的线性规划求解方法。
它通过不断优化目标函数的值，逐步接近最优解。
单纯形法通过迭代计算一系列基础可行解，直到找到最优解为止。
2. 对偶性定理：线性规划中的对偶性定理是指对于一个标准型的线性规划问题，它与其对偶问题具有相同的最优解。
3. 整数线性规划：当决策变量要求为整数时，这就是一个整数线性规划问题。
整数线性规划的求解更加困难，常常需要借助于分支定界等特殊算法。
4. 网络流线性规划：网络流线性规划是线性规划与图论相结合的一种问题类型。
它通常用于解决最小费用流、最大流等网络优化问题。
三、线性规划的解题方法1. 图形法：对于二维线性规划问题，可以使用图形法进行求解。
首先绘制出约束条件所构成的区域，然后绘制目标函数的等高线，并找到最优解所在的点。
2. 单纯形法：对于高维的线性规划问题，可以使用单纯形法进行求解。
单纯形法通过迭代计算一系列基础可行解，直到找到最优解为止。
3. 对偶问题：通过建立原始问题与对偶问题之间的关系，可以将原始问题的求解转化为对偶问题的求解。
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乙— s in x
则原函数可看成 由函数
y=
/ 4 、 . 。，_
一i t十丁少十乙Tw
t = 2- sinx复合而成，
': sinx E 〔一1，1] ，…t= 2一sinx E [ 1,3] ，结 合图 2 可以看出当 t = 2 时，yma二二一2，当t= 1
时，y二一3，当 t = 3 时，y =
以上 4 种 目标 函数类型的处理方法对于限 制条件为非一次不等式 时 ，原则上也是可行 的 ， 只要能画出(x , y) 满足的可行域.
求值域
护 一4x + 5
例 5 求函数 y = log!' x 一 2 的值域 .
解:原函数可以变形为 y =
log,
护 一4x +
x 一2
5
(x 一2) 2+ 1
. 二， _ 、 . 1 ，
= logy, x 一 2
109 2 LCx 一 G) 十 丁一一7 j ， J— 乙
则原函 可以看成由 y = 1og2 t 与 t = u十
求 z = Ix + 2y- 4 1的最大值.
解 :先 画 出满足 条
件的可行域，如图 4 阴
，理
况分、节岭
少.洲 训么
影部 分. 将 目标 函数
,, ,
黝一倒
z= Ix + 2y- 4 1转化为
z= 万 · }x + 2y- 4 }
12+ 22
问题 化归 为求 可行 域
图4
内的点(x ,y) 到直线 x + 2y - 4 = 0 距离者倍的 最大值，观察知 c 点到直线x + 2y - 4= 0 距离
x 一2y + 4 = _，得 A ( 2 , 3 ) ，所 以
3x 一y - 3 = 0
(x2+ y2)ma. = }OA 12二13 .
(x2+ y2)mi。二原点0 到直线 2x + y - 2= 0
的距离 ，为 r 1- 21 2_ 生 L ,/ 22+ 1 」 5 ’ 评注:在线性规划中，对于形如 z = (x - a ) 2
学教学通讯，2005. 6
4 0 IlE s
上海中学数学 ·2006 年第 6 期
型的目标函数 ，可先变形为 y = 一牛x + 李. 李看做
0
0
0
直线在 y 轴上的截距 问题就化归为求纵截距范围或 极值的问题.
类型 2— 形如 二一a井b型的目标函数 c 工 州卜 “
x - y- 2< 0
设实“二，满足{ 例 2
+ (y- b) 2 型的目标函数(或可以化成此类型的 目标函数) ，均可归化为求可行域内的点( x , y) 与点(a , b) 间距离的最值问题 ，然后适当计算便
可求解.
类型 4— 形如 z = IAx + By + C l 型的 目
标 函数
x 一Y+ 2) O
例‘”实“x,y“足{x+ y一4) 0 2x 一y 一5簇0
生，、一x-
￡复合而成 上x 2一4x + 4 ，田 - 一一一一一一石- 一一‘-.:"
_ 。 、_
u ，川 为J
.艺 — 乙
x> 2，根据一次函数图像可知 u = x - 2> 0 ，结
1 J L ~ * 一 ‘_
1 ~ 、 。 人_ .
甘 t = u 十 一 四 团 保 ，叫 翔 t = u 十 一 多 乙，枯 甘 x7
,r.-.l l x , y) 7 .7l 1一c ，一万少庄玫科竿UV丁I-PRV
范 围 、最值 等 ，问题便 可迅速得解.
类 型 3— 形如 z = ( x 一a ) 2+ ( y 一b) 2 型
的 目标 函数
例 3 已知实 数 x, y 满 足
2x + y 一2) 0
x 一2y十4) 0，求
3x 一y 一3镇0
z= x2+ 少 的最大
值、最小值.
丫A
_.、/一/ !鹭
一“.y““一’.月渝J诱""}ej7\
V’‘’
\ 7.ti州. }., 。
解 : 先 画 出满
图3
足不等式组 的可行 域 ，如 图 3 阴影 部 分 ，将 目标
函 z = x- 少 化为 z= (x - 0) 2+ (y - 0) 2，问
题归结为求可行域内的点(x , 刃与原点 0 (0, 0) 距离的平方的最值. 显然，原点到 A 点的距离 最大; 原点到直线 2x 十y - 2= 。的距离最小.
八j
一夕
-( n ︺
( y } = ry- 0] 二 \ x ，max Lx 一0 J max
目
-，. 占
-n
)
甘
2’
因此
评注:在线性规划 中，对于形如
z=
ay+
cx +
b
d
(ac:A 0) 型的 目标 函数，可先变形为
z
a =二—
.
c
的形式 ，将问题化为求可行域 内的
卜， 、二 二 / d
b 、“ ，、“. 一 ，. a 二 ，。
解法探微
犷 3夕
残性规划 中 目标 A -9 的几种 类型
542700 广西富川县民族中学 曾庆宝
线性规划初步是高中教材新增 内容，这类 伺题的典型提法是: 一个 目标，若干条件; 典型 解法是代数几何并用. 下面笔者将结合一些例 题 ，谈谈 目标函数的几种类型及解法.
类型 1--一 形如 ti = ax + by 型的目标函数 例 1 已 知 点 P ( X, y ) 在 不 等 式 组
x 一y 十2 = 0
最 大 ，由
_可 得 C ( 7 , 9 ) ，所 以
2x 一y 一5 = 0
二 }7+ 2 X 9 一4 1
zmax一““’一- 一万一-一一Gl.
评注 : 在线性 规 划 中 ，对 于形 如 z = IAx +
By + Cl型的目标函数，可先化为 z = ,/ A2+ Bl
数 函 数 y = logz t 的 图 像 可 知 y = logy
x2 一4x +
x 一2
5(
log2 2=
-
1，所以原函数的值域为
( 一0 ，一1] . 当然 ，求 函数值域问题是一个综合问题 ，单
纯利用以上方法要求解所有函数的值域问题显
然是不可能的，但利用上面方法 可以解决高中
阶段大多数的函数求值域问题. 通过复合函数
观点求值域，我认为更重要的是为求值域的教 学提出了一种新思路 ，并在很大 程度上 降低 了
学生学习值域 的门槛 ，而且 由于解题 过程 中始
终渗透了化归思想，可以极好地锻炼学生 的数
学思 维.
参考 文献
‘王迪从探究，一志 型函数的值域谈起数
学教学，2005. 3 2. 陈历强. 求函数值域的“通法”和“特法”. 中学数 学教与学，2001. 3 3. 徐 敏. 求函数值域时尤应注意定义域. 中学数 学研究 . 2001. 1 4. 王洪江. 函数值域求法综述. 中学数学研究，2001. 1 5. 熊齐国. 新 旧新材在求 函 值域问题 上的对 比.
距 一2 的范 围. 由图 1
图1
观察知 一z 的范围为
[ - 2, 1] ，则 z 的范围为[ - 1, 2] .
评注:在线性规划中，对于形如 z= ax + 勿
解: 原函数可以变形为 y =
sinx
十s
i
n
4 -
一
2
尸，_ . 、
4 ，. _
一 L ( Z 一 s i n x ) 十 二- 气- - 」十 L , ? t = 2 一 s in x ,
，所以 ymin=
- 3，即y=- (t+令)+2E[- 3,- 2]，所以原
函数的值域为[ 一3，一幻. 本题求最小值通常可以采用基本不等式法
求解 ，但求最大值及利用基本 不等式求最小值 当等号取不到时，必然要用到函数图像结合单 调性进行求解 ，说明上述方法的适用范围要 比
基本不等式来得更广泛.
5. 可以化归为指数(对数) 函数的复合函数
}Ax+ By+ Cl 二、 、.，。，，。，。二* 二二。
. — 一下二二二二二二事- 一JJi = V e ' ICJ ' M M S 'K, r a / `J -U'- " J '1j i 9
,/ A z + B l'
内的点( x , y) 到直线 Ax 十By + C = o 距离 的
-,/ AZ+ B2倍的最值.
x + 2y 一4) 0 求y
2y - 3镇0
的最大值.
解 :先画出满足不等
式组的可行域，如图 2 阴
影部分，将xy化为yx- 0'
问题 化归为求可行域 内
”{/
的点 M ( x , y ) 与 原 点
图2
0 (0 ,0) 连线斜率的最大
值. 由 x + 2y 一4 = 0 得 交 点 尸
2y - 3 = 0
x - 2簇0 ， y 一1< 0 ， 表示 的平面区域上运动 ， x + 2y 一2) 0
求 z= x - y 的取值范围.
解: 先画出约束条
件限定的可行域( 如图
1 阴影部分) ，将 z = x
4-f7: ,)
- y 化为 l ’y = x - z