天津市九年级上学期期中数学试卷
天津市部分区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题
天津市部分区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________．．．．A ．123y y y <<B ．213y y y <<C ．312y y y <<D ．132y y y <<9．已知二次函数25y x x m =-+（m 为常数）的图象与x 轴的一个交点为()10，，则关于x 的一元二次方程250x x m -+=的两个实数根是（）A ．11x =，21x =-B ．11x =，24x =C ．11x =，20x =D ．11x =，25x =10．如图，将ABC 绕点C 顺时针旋转，点B 的对应点为点E ，点A 的对应点为点D ，当点E 恰好落在AC 边上时，连接AD ，若30ACB ∠=︒，则DAC ∠的度数是（）A ．60︒B ．65︒C ．70︒D ．75︒11．某超市经销一种水果，每千克盈利10元，每天销售500千克，经市场调查反映：若每千克涨价1元，每天销售量减少20千克，设每千克涨价x （单位：元），且025x ≤≤，每天售出商品的利润为y （单位：元），则y 与x 的函数关系式是（）A ．50020y x =-B ．(50020)(10)y x x =-+C ．(50010)(10)y x x =+-D ．(50010)(10)y x x =-+12．二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，下列结论：①0abc >；②20a b +=；③0a b c -+>；④m 为任意实数，则2a b am bm +≥+．其中正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（1）旋转角的大小为（2）点P 的坐标是三、计算题19．解下列关于x 的方程．(1)2(21)90x --=；(2)25210x x +-=．四、作图题20．在平面直角坐标系中，ABC 各顶点的坐标分别为(2,4)A --，(0,4)B -，(1,1)C -．(1)请在图中画出ABC 绕点O 逆时针旋转90°后的图形A B C ''' ；(2)写出A B C ''' 各顶点的坐标．五、计算题21．已知关于x 的一元二次方程22(21)20x m x m m +-++-=有两个不相等的实数根1x ，2x ．(1)求m 的取值范围；(2)若12125x x x x ++=，求m 的值．六、问答题22．已知抛物线()212y x m x m =+-+-的对称轴为直线1x =，请你解答下列问题：(1)求m 的值及顶点坐标；(2)求抛物线与x 轴的交点坐标，并画出函数图像；(3)当1x <时，y 随x 的增大而___________（填“增大”或“减小”）；(4)当0y <时，x 的取值范围是______________．七、解答题23．在ABC 中，120ACB ∠=︒，将ABC 绕点C 顺时针旋转，得EDC △，D ，E 分别是点B ，A 的对应点．记旋转角为α．（1）如图①，连接AD ，若6BC =，8AC =，30α=︒，求AD 的长；（2）如图②，连接BD ，若60α=︒，求证：BD AC ∥．24．学校要围一个矩形花圃，花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为36米的篱笆恰好围成（如图所示），设矩形的一边AB 的长为x 米（要求AB ＜AD ），矩形ABCD 的面积为S 平方米．（1）求S 与x 之间的函数关系式，并直接写出自变量x 的取值范围；（2）要想使花圃的面积最大，AB 边的长应为多少米？最大面积为多少平方米?八、问答题25．已知抛物线25y ax bx =++（a b ，为常数，0a ≠）与x 轴交于点()50A -，，()10B -，，顶点为D ，且过点()4C m -，．(1)求抛物线解析式和点C D ，的坐标；(2)若点P 在直线BC 下方的抛物线上（与点B C ，不重合）运动时，且满足PBC 的面积最大时，求点P 坐标及PBC 面积的最大值．。
2022-2023学年天津市东丽区九年级上学期数学期中考试卷及答案
2022-2023学年天津市东丽区九年级上学期数学期中考试卷及答案一、选择题（本大题共12小题，共36.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 下列给出的方程中，属于一元二次方程的是（）A. x（x﹣1）＝6B. x2＝0C. （x﹣3）（x﹣2）＝x2D. ax2+bx+c ＝0【答案】A【解析】【分析】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．【详解】A. 该方程化简为选x2-x-6=0符合一元二次方程的定义，所以它是一元二次方程，故本选项正确；B. 该方程不是整式方程，故本选项错误；C. 该方程中化简未知数x的最高次数是1，所以它不是一元二次方程，故本选项错误；D. 该方程中要规定a≠0，所以它不是一元二次方程，故本选项错误；故答案选：A.【点睛】本题考查的知识点是一元二次方程的定义，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程的定义.2. 下列图形中，是中心对称图形的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据中心对称图形的定义，进行判断即可．【详解】解：A 、不是中心对称图形，不符合题意；B 、不是中心对称图形，不符合题意；C 、不是中心对称图形，不符合题意；D 、中心对称图形，符合题意；故选D ．【点睛】本题考查中心对称图形的识别．熟练掌握中心对称图形的定义：一个平面图形，绕一点旋转，与自身完全重合，是解题的关键．180︒3. 将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的22y x =表达式是（ ）A.B. 22(2)3y x =++22(2)-3y x =+C.D. 22(-2)-3y x =22(-2)3y x =+【答案】C【解析】【分析】根据平移的规律进行求解即可得答案.【详解】将二次函数的图象向右平移2个单位，可得：22y x =22(2)y x =-再向下平移3个单位，可得：22(-2)-3y x =故答案为：C.【点睛】本题考查了平移的规律：上加下减，最加右减，注意上下平移动括号外的，左右平移动括号里的.4. 若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ） x ()22110a x x a +++-=0a A.B. C. D.11-1±0【答案】A【解析】 【分析】把代入方程，得出，然后解关于a 的方0x =()22110a x x a +++-=210a -=程后利用一元二次方程的定义确定满足条件的a 的值．【详解】解：把代入方程 0x =()22110a x x a +++-=得，解得，，210a -=11a =21a =-而，10a +≠所以．1a =故选：A ．【点睛】本题考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．5. 抛物线的顶点坐标是 221y x =+()A.B. C. D.()2,1()0,1()1,0()1,2【答案】B【解析】【详解】∵y=2x 2+1=2（x-0）2+1，∴抛物线的顶点坐标为（0，1），故选B ．6. 如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转度得ABC ∆2AB ==3.6BC =60B ∠ ABC ∆A 到，当点的对应点恰好落在边上时，则的长为（ ） ADE ∆B D BC CDA. 1.6B. 1.8C. 2D. 2.6【答案】A【解析】 【分析】由将△ABC 绕点A 按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B 的对应点D 恰好落在BC 边上，可得AD=AB ，又由∠B=60°，可证得△ABD 是等边三角形，继而可得BD=AB=2，则可求得答案．【详解】由旋转的性质可知，，AD AB =∵，，60B ∠= AD AB =∴为等边三角形，ADB ∆∴，2BD AB ==∴，1.6CD CB BD =-=故选A ．【点睛】此题考查旋转的性质，解题关键在于利用旋转的性质得出AD=AB7. 二次函数y=2x 2－8x+1的最小值是( )A. 7B. －7C. 9D. －9 【答案】B【解析】【分析】直接利用配方法求出二次函数最值进而得出答案．【详解】2222y 2x 8x 12(x 4x)+1 =2(x 2)412(x-27－）=+=-⎡⎤--+=-⎣⎦∴当x=2时，y 有最小值-7故选B8. 受新冠肺炎疫情影响，某企业生产总值从元月份的300万元，连续两个月降至260万元，设平均降低率为x ，则可列方程（ ）A. 300(1-x)2＝260B. 300(1-x 2)＝260 C . 300(1-2x)＝260D. 300(1＋x)2＝260【答案】A【解析】【分析】根据该企业元月份及经过两个月降低后的生产总值，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．【详解】解：由题意可得，元月份为300万元，2月份为300（1-x ），3月份为300（1-x ）2=260．故选：A ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．9. 一元二次方程配方后可化为（ ）2410x x --=A. B. C. D. ()225x +=()223x +=()225x -=()223x -=【答案】C【解析】【分析】先把-1移到方程的右边，然后方程两边都加4，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式．【详解】解：2410x x --=241x x -=24414x x -+=+()225x -=故选C ．【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成(n≥0)的2()x m n +=形式，这种解一元二次方程的方法叫配方法．10. 如图，以某网格线所在直线建立平面直角坐标系，将△ABC 绕点P 旋转180°得到△DEF，已知点A （2，-1），点P 的坐标为（ ）A. （-2，2）B. （2，-2）C. （1，-3）D. （-3，1）【答案】C【解析】 【分析】先根据点A 作标，利用平移找到坐标原点，建立平面直角坐标系，确定点D 的坐标，然后根据旋转性质，点P 为AD 的中点，利用中点坐标公式求解即可．【详解】根据点A （2，-1）先作平移两个单位，再向上平移一个单位得坐标原点，建立如图平面直角坐标系，点D （0，-5），点P 是旋转中心，∴P 是AD 连线的中点，∴P 点的横坐标为，纵坐标为， 0+2=12--=-5132∴点P 坐标为（1，-3）．故选择C ．【点睛】本题考查图形与坐标，平移性质，旋转性质，掌握图形与坐标，平移性质，旋转性质是解题关键，本题难度不大是常考题．11. 若，，为二次函数的图像上的三点，则()12,A y -()21,B y -()32,C y 222=++y x x 的大小关系是（ ）123、、y y yA. B. C. D. 123y y y ＜＜132y y y ＜＜213y y y ＜＜312y y y ＜＜【答案】C【解析】【分析】先计算抛物线的对称轴，在计算各点与对称轴的水平距离，根据抛物线开口向上，距离越大，函数值也越大比较即可．【详解】解：∵，222=++y x x ∴对称轴为直线，且， 2121x =-=-⨯a 10=＞∵，，，()12,A y -()21,B y -()32,C y ∴点A 到对称轴直线的距离为，=1x -()121A d =---=点B 到对称轴直线的距离为，=1x -()110B d =---=点C 到对称轴直线的距离为，=1x -()213C d =--=∵，013＜＜∴，B AC d d d ＜＜根据抛物线开口向上，离对称轴越近，函数值越小，∴．213y y y ＜＜故选：C ．【点睛】本题考查了抛物线的增减性，熟练掌握抛物线开口向上，离对称轴越近，函数值越小是解题的关键．12. 如图，抛物线与轴交于点和，与轴交于点．下2(0)y ax bx c a =++≠x (1,0)A -B y C 列结论：①；②；③；④，其中正确的结论个<0abc 20a b +<420a b c -+>30a c +>数为（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 【答案】B【解析】【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，进而判断①；根据对称轴<1求出2a 与b 的关系，进而判断②；根据x=﹣2时，y ＞0可判断③；由x=-1和2a 与b 的关系可判断④．【详解】∵抛物线开口向上，∴a>0，∵对称轴在y 轴右边，∴，即b<0 ， 02b a->∵抛物线与轴的交点在轴的下方，y x ∴，0c <∴，故①错误；0abc >对称轴在1左侧，∴ 12b a-<∴-b<2a，即2a+b>0，故②错误；当x=-2时，y=4a-2b+c>0，故③正确；当x=-1时，抛物线过x 轴，即a-b+c=0，∴b=a+c，又2a+b>0，∴2a+a+c>0，即3a+c>0，故④正确；故答案选：B ．【点睛】此题考查二次函数图像位置与系数的关系，数形结合是关键．二、填空题（本大题共6小题，共18．0分）13. 方程x 2＝4的解是_____．【答案】2x =±【解析】【分析】直接运用开平方法解答即可．【详解】解：∵x 2＝4∴x＝=．2±故答案为x=．2±【点睛】本题主要考查了运用开平方法求解一元二次方程，牢记运用开平方法求的平方根而不是算术平方根是解答本题的关键，也是解答本题的易错点．14. 若关于x 的一元二次方程（k﹣1）x 2+3x﹣1=0有实数根，则k 的取值范围是_____．【答案】且 54k -≥1k ≠【解析】【详解】试题解析：由题意知，1.k ≠∵方程有实数根，()234(1)1540k k ∴∆=-⨯-⨯-=+≥，∴且 54k -≥ 1.k ≠故答案为且 54k -≥ 1.k ≠15. 有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了______个人．【答案】12【解析】【分析】设平均一人传染了x 人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有169人患了流感，列方程求解【详解】解：设平均一人传染了x 人，x+1+（x+1）x=169解得：x=12或x=-14（舍去）．∴平均一人传染12人．故答案为：12．【点睛】本题考查理解题意的能力，关键是看到两轮传染，从而可列方程求解．16. 如图，抛物线的对称轴为，点P ，点Q 是抛物线与x 轴的两个交2y ax bx c =++1x =点，若点P 的坐标为（4，0），则点Q 的坐标为__________．【答案】（，0）2-【详解】∵抛物线的对称轴为，点P ，点Q 是抛物线与x 轴的两个交2y ax bx c =++1x =点，∴点P 和点Q 关于直线对称，1x =又∵点P 的坐标为（4，0），∴点Q 的坐标为（-2，0）．故答案为（-2，0）．17. 如图，平面直角坐标系中，点B 在第一象限，点A 在x 轴的正半轴上，，，将绕点O 逆时针旋转90°，点B 的对应点的坐30AOB B ∠=∠=︒2OA =AOB B '标是______【答案】()【解析】【分析】作轴于H ，由题可得，即可求出和B H y '⊥260OA A B B A H '''''==∠=︒，B H '，由第二象限点的特征横坐标为负数纵坐标为正数即可 OH 【详解】解：如图，作轴于H ．B H y '⊥由题意：，260OA A B B A H '''''==∠=︒，∴，30A B H ''∠=︒∴， ， 112AH A B '''==B H '=∴，3OH =∴ ． ()B '【点睛】本题考查旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的18. 如图，把抛物线y=x 2平移得到抛物线m ，抛物线m 经过点A （﹣6，0）和原点O （0，120），它的顶点为P ，它的对称轴与抛物线y=x 2交于点Q ，则图中阴影部分的面积为12______．【答案】 272【解析】【分析】根据点O 与点A 的坐标求出平移后的抛物线的对称轴，然后求出点P 的坐标，过点P 作PM⊥y 轴于点M ，根据抛物线的对称性可知阴影部分的面积等于四边形NPMO 的面积，然后求解即可．【详解】过点P 作PM⊥y 轴于点M ，设PQ 交x 轴于点N ，∵抛物线平移后经过原点O 和点A （﹣6，0），∴平移后的抛物线对称轴为x=﹣3．∴平移后的二次函数解析式为：y=（x+3）2+h ，12将（﹣6，0）代入得出：0=（﹣6+3）2+h ，解得：h=﹣． 1292∴点P 的坐标是（－3，﹣）． 92根据抛物线的对称性可知，阴影部分的面积等于矩形NPMO 的面积，∴S=， 9273=22⨯-故答案为：272【点睛】本题考查了二次函数的问题，根据二次函数的性质求出平移后的抛物线的对称轴的解析式，并对阴影部分的面积进行转换是解题的关键．三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19. 解下列方程：（1）x 2+2x﹣4＝0（配方法）；（2）3x 2﹣6x﹣2＝0（公式法）．【答案】（1）， 11x =21x =-（2） 1x =2x =【解析】【分析】（1）先把常数项移到等号的另一边，配方后利用直接开平方法求解；（2）先确定二次项、一次项系数及常数项，代入求根公式即可．【小问1详解】解：移项，得x 2+2x ＝4，配方，得x 2+2x+1＝5，∴（x+1）2=5，∴，1x +=∴，．11x =-21x =-【小问2详解】解：∵a＝3，b ＝﹣6，c ＝﹣2，∴，2Δ43624600b ac =-=+=>∴方程有两个不相等的实数根，∴， x ===∴，． 1x =2x =【点睛】本题考查解一元二次方程，熟记求根公式及配方法的技巧，掌握配方法及公式法解一元二次方程的步骤是解题关键．20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，ABC ()1,3A ()2,5B（每个方格的边长均为1个单位长度）()4,2C（1）将平移，使点A 移动到点，请画出；ABC 1A 111A B C △（2）作出关于O 点成中心对称的，并直接写出，，的坐标．ABC 222A B C △2A 2B 2C 【答案】（1）作图见解析部分;（2）作图见解析部分; ()()()2221,32542A B C ------，，，，【解析】【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出B ，C 的对应点，即可；1B 1C （2）利用中心对称变换的性质分别作出A ，B ，C 的对应点，， ，便可得坐标．2A 2B 2C 【小问1详解】如图，为所作．111A B C 【小问2详解】如图，为所作， 222A B C ()()()2221,32542A B C ------，，，，【点睛】本题考查作图-平移变换，中心对称变换等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，中心对称变换的性质．21. 已知关于的方程．x 224490x mx m -+-=（1）求证：该方程有两个不相等的实数根；（2）若该方程有一个根-1，求的值．m 【答案】（1）见解析；（2）1或-2【解析】【分析】（1）根据根的判别式即可证明；（2）把方程的根代入原方程即可求解．【详解】（1）证明： ()()2244149=36m m ∆=--⨯⨯-0∴∆>所以方程有两个不相等的实数根．（2）把代入原方程，得=1x -24480m m +-=解得．121,2m m ∴==-【点睛】此题主要考查根的判别式与方程的根，解题的关键是熟知一元二次方程根的判别式特点及应用．22. 已知二次函数的图象经过点（0，﹣3），且顶点坐标为（﹣1，﹣4）．（1）求该二次函数的解析式；（2）设该二次函数的图象与x 轴的交点为A 、B ，与y 轴的交点为C ，求△ABC 的面积．【答案】（1）y=（x+1）2﹣4或y=x 2+2x﹣3；（2）6【解析】【分析】（1）先设所求函数解析式是y=a （x+1）2﹣4，再把（0，﹣3）代入，即可求a ，进而可得函数解析式；（2）令函数等于0，解关于x 一元二次方程，即可求A 、B 两点的坐标；从而可得△ABC 的面积等于AB×OC 的一半．【详解】解：（1）设y=a （x+1）2﹣4，把点（0，﹣3）代入得：a=1，∴函数解析式y=（x+1）2﹣4或y=x 2+2x﹣3；（2）∵x 2+2x﹣3=0，解得x 1=1，x 2=﹣3，∴A（﹣3，0），B （1，0），C （0，﹣3），∴△ABC 的面积=． 143=62´´23. 如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园ABCD ，（1）在墙的长度不限的条件下，当AB 边长为多少米时，菜园的面积最大为多少？（2）在墙的长度为14米的条件下，当AB 边长为多少米时，菜园的面积最大为多少？【答案】（1）当AB 边长为15米时，菜园的面积最大为平方米；（2）当AB 边长为142252米时，菜园的面积最大为112平方米【解析】【分析】（1）设AB 边的长为x 米，菜园的面积为y 平方米，则BC 边的长为（30−x ）米，12根据矩形的面积公式即可找出y 关于x 的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题；（2）根据（1）的结论结合二次函数的性质可得出，在0≤x≤14中，y 值随x 值的增大而增大，代入x ＝14即可求出y 的最大值．【详解】解：（1）设AB 边的长为x 米，菜园的面积为y 平方米，则BC 边的长为（30－12x ）米，根据题意得：y ＝（30－x ）x ＝－x 2＋15x ＝－（x －15）2＋， 1212122252∵a＝－＜0，12∴当x ＝15时，y 取最大值，最大值为． 2252答：当AB 边长为15米时，菜园的面积最大为平方米． 2252（2）∵在0≤x≤14中，y 值随x 值的增大而增大，∴当x ＝14时，y 取最大值，最大值为112．答：当AB 边长为14米时，菜园的面积最大为112平方米．【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征以及矩形的面积，解题的关键是：（1）根据矩形的面积公式找出y 关于x 的函数关系式；（2）根据二次函数的性质找出：在0≤x≤14中，y 值随x 值的增大而增大．24. 如图，点O 是等边三角形ABC 内的一点，∠BOC＝150°，将△BOC 绕点C 按顺时针方向旋转一定的角度，得到△ADC，连接OD ，OA ．（1）求∠ODC 的度数；（2）试判断AD 与OD 的位置关系，并说明理由；（3）若OB ＝2，OC ＝3，求AO 的长（直接写出结果）．【答案】（1）60° （2），见解析AD OD ⊥（3）AO =【解析】【分析】（1）根据旋转的性质得到三角形ODC 为等边三角形即可求解；（2）将△BOC 绕点C 按顺时针方向旋转一定的角度，得到△ADC，可知∠ADC=∠BOC=150°，即得∠ADO=∠ADC-∠ODC=90°，故AD⊥OD；（3）在Rt△AOD 中，由勾股定理即可求得AO 的长．【小问1详解】由旋转的性质得：，．CD CO =OCB DCA ∠=∠∴，即．ACO OCB ACO DCA ∠+∠=∠+∠ACB DCO ∠=∠∵为等边三角形，∴．ABC 60ACB ∠=︒∴．∴为等边三角形，．60DCO ∠=︒OCD 60ODC ∠=︒【小问2详解】．AD OD ⊥由旋转的性质得，．150BOC ADC ∠=∠=︒∵，∴．60ODC ∠=︒90ADO ADC ODC ∠=∠-∠=︒即．AD OD ⊥【小问3详解】由旋转的性质得，AD=OB=2，∵△OCD 为等边三角形，∴OD=OC=3，在Rt△AOD 中，由勾股定理得：【点睛】本题考查等边三角形中的旋转变换，涉及直角三角形判定、勾股定理等知识，解题的关键是掌握旋转的性质，旋转不改变图形的大小和形状．25. 已知，如图抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，()230y ax ax c a =++>y C x A B 点在点左侧，点的坐标为，．A B B ()1,03OC OB =（1）求抛物线的解析式；（2）若点横坐标为，且是抛物线上的点，求四边形面积；D 2-ABCD （3）若点在轴上，点在抛物线上，是否存在以，，，为顶点且以为E x P A C E P AC 一边的平行四边形？若存在，写出点的坐标；若不存在，请说明理由． P 【答案】（1） 239344y x x =+-（2）13.5（3）存在1233,3(),3P P P ⎫⎫⎪⎪⎪⎪⎭-⎭-，【解析】【分析】（1）根据，，求出点坐标，把点，的坐标代入3OC OB =()1,0B C ()0,3-B C ，待定系数法求解析式即可求解；23y ax ax c =++（2）过点作轴分别交线段于点．根据题意得出的坐标，把D DE y ∥AC E ,D E ABCD S 四边形分解为，分别进行计算即可求解；ABC ACD S S + （3）①过点作轴交抛物线于点，过点作交轴于点，此时C 1CP x ∥1P 1P 11PEAC ∥x 1E 四边形为平行四边形．②平移直线交轴于点，交轴上方的抛物线于点11ACPE AC x E x ，由题意可知点的纵坐标为，从而可求得其横坐标．23P P ，23P P 、3【小问1详解】解：的坐标为，B ()1,0，点在轴下方，33OC OB == C x ．()0,3C ∴-将，代入抛物线的解析式得：()1,0B ()0,3C -，解得：， 403a c c +=⎧⎨=-⎩343a c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩抛物线的解析式为． ∴y =342x +943x -【小问2详解】解：如图1所示：过点D 作，交AC 于点E ． DE y∥，， x =- 2b a =9343224-=-⨯()1,0B ．()4,0A ∴-．5AB ∴=．∴ABC S = 12AB OC ⨯=12537.5⨯⨯=设的解析式为．AC y kx b =+将、代入得：()4,0A -()0,3C -，解得：， 403k b b -+=⎧⎨=-⎩343k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩直线的解析式为． ∴AC y =-343x -的横坐标为，则D 2-()2, 4.5D --,()2, 1.5E --的面积．ADC ∴=12DE AO ⨯=12346⨯⨯=，7.5613.5ABC ACD ABCD S S S ∴=+=+=四边形 四边形的面积的为．∴ABCD 13.5【小问3详解】解：存在．①如图2，过点作轴交抛物线于点，过点作交轴于点，此C 1CP x ∥1P 1P 11PEAC ∥x 1E 时四边形为平行四边形．11ACPE，令， (0,3)C - 342x +9433x -=-．1203x x ∴==-，．1(3,3)P ∴--②平移直线交轴于点，交轴上方的抛物线于点，AC x 23E E ，x 23P P ，当时，四边形为平行四边形，22AC P E =22ACE P 当时，四边形为平行四边形．33AC P E =33ACE P ，()0,3C - 的纵坐标均为．23P P ∴，3令得： ， 3y =342x +9433x -=解得；，． 1x =2x =．∴23,P P ⎫⎫⎪⎪⎪⎭⎭⎪综上所述，存在个点符合题意，坐标分别是：3．1233,3(),3P P P ⎫⎫⎪⎪⎪⎪⎭-⎭-，【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及待定系数法求二次函数的解析式，二次函数求最值，平行四边形的判定与性质等知识，根据题意作出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键，在解答（3）要注意进行分类讨论．。
天津市和平区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题(含解析)
． ．． ．．若，是一元二次方程的两个根，则的值为（．．二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为（αβαβ+4-3-(5y x =-A ．C ．8．如图，是A ．9．如图，是，则A ．B ()(204306x --()(206304x --AB O 43DEC ABC 12DCB ∠=︒AFD ∠33︒．．．．A ．C ．12．已知抛物线①图象的对称轴为直线2AB BC=ACB BOC ∠=∠2y a bx =+x15．飞机着陆后滑行的距离滑行米才能停下来．16．若方程x2－408444117．如图，在四边形18．如图，在每个小正方形的边长为AB（Ⅰ）线段的长等于；（Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，在圆上画出点迹）三、解答题（本大题共(1)在位置①处，当时，(2)有一个计时点的计时装置出现了故障，编号可能是______；(3)利用函数图象推测当此滑雪者滑行距离为(4)求s 与t 的函数关系式，并求出滑雪者在故障位置的滑行距离．(1)求的大小；0=t BDC ∠(2)如图②，连接并延长交的延长线于点，若，求的大小．23．2023年杭州亚运会胜利闭幕．本次亚运会中国代表团共获得383枚奖牌，位居奖牌榜第一，创造了新的历史．在亚运会期间，买一件印有亚运会元素的T 恤去看比赛，成为了体育迷们的“仪式感”．某商店以每件40元的价格购进一批这样的T 恤，以每件60元的价格出售．经统计，4月份的销售量为192件，6月份的销售量为300件．(1)求该款T 恤4月份到6月份销售量的月平均增长率；(2)从7月份起，商场决定采用降价促销回馈顾客，销售利润不超过30%．经试验，发现该款T 恤在6月份销售量的基础上，每降价1元，月销售量就会增加20件．如何定价才能使利润最大？并求出最大利润是多少元？24．已知矩形，，，将矩形绕A 顺时针旋转，得到矩形，点B 的对应点是点E ，点C 的对应点是点F ，点D 的对应点是点G ．(1)如图①；当时，连接，求的长；(2)如图②，当边经过点D 时，延长交于点P ，求的长；(3)连接，点M 是的中点，连接，在旋转过程中，线段的最大值______．25．已知抛物线（，，是常数，）的顶点为，与轴相交于，两点（点在点的左侧），与轴相交于点．(1)若点，求点和点的坐标；(2)将点绕点逆时针方向旋转，点的对应点为，若，两点关于点中心对称，求点的坐标和抛物线解析式：(3)在（1）的条件下，点为直线下方抛物线上的一个动点，过点作轴，与相交于点，过点作轴，与轴相交于点，求的最大值及此时点的坐标．DC AB P 10CAB ∠=︒P ∠ABCD 3AB =5BC =ABCD ()0180αα︒<<︒AEFG 90α=︒CF CF 'EF FE BC EP CF CF BM BM 2y ax bx c =++a b c 0a ≠()1,4M -x A B A B y C ()0,3C -A B A B 90︒A 1A A 1A M 1A P BC P PD x ∥BC D P PE y x E PD PE +P由作图可知：垂直平分∵，∴，∴∵，∵，∴∵∴CD 4AB =11124OM OB AB ===22CM OC OM =-=CD OB ⊥45ACB ∠=︒12DCB ∠=︒45ACD ACB DCB ∠=∠-∠=DMF AMC∠=∠D AFD A ACD ∠+∠=∠+∠∵，∴，∴ ，∴，∵，2AOB BOC ∠=∠ 2AB BC= AD BDBC ==AD BD BC ==AB AD BD <+∵，∴，∴，∵，∴，∴点F 在以为直径的半圆上运动，∴当点F 运动到与的交点90ABC BAD ∠=∠=︒AD BC ∥DAE AEB ∠=∠ADF BAE =∠∠90DFA ABE ==︒∠∠AD OB O F【点睛】本题考查的是勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，垂径定理的应用，三角形的外接圆的圆心的确定，熟练的利用垂径定理应用于作图是解本题的关键．19．（Ⅰ），；（Ⅱ【分析】（Ⅰ）利用公式法解一元二次方程即可解题；（Ⅱ）①根据一元二次方程根的判别式求解即可；11x =215x =-②由题可得，，当选择①时，，解得：或（舍去）；当选择②时，，解得：；当选择③时，则，即，解得：；【点睛】本题考查一元二次方程的解法，根的判别式，根与系数的关系，，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的情况的关系，以及根与系数关系并能灵活运用是解答的关键．20．(1)(2)平滑曲线见详解，③(3)(4)（），【分析】（1）将，代入函数解析式，即可求解；（2）画出图象，观察图象即可求解；（3）根据图象可找出当时，对应的近似值，即可求解；（4）图象经过，，可求，验证，是否在抛物线上，从而可以确定s 与t 的函数关系式，再当即可求解．【详解】（1）解：当时，，，，故答案：．（2）解：画图如下，观察图象可知，除了③号点，其它各点都在同一个抛物线上，故这个计时点的位置编号可能是③．故答案为：③；（3）解：如图，1221x x k +=+2121x x k =+212k +=1k =1k =-213k +=1k =()2121x x -=()()()2221212421411x x x x k k +-=+-+=1k =03.122.52s t t =+0t ≥10.625m0=t 0s =30s =t ()1,4.5()2,1422.52s t t =+()3,28.5()4,481.5t =0=t 0s =∴000c ++=0c ∴=0由图象得：当此滑雪者滑行距离为30m 时，用时约为，故答案：．（4）解：由题意得，图象经过，，则有，解得：，，当时，当时，，，在抛物线上，s 与t 的函数关系式（），当时，（），答：s 与t 的函数关系式（），滑雪者在故障位置的滑行距离．【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合是解题的关键．21．(1)(2)【分析】（1）直接利用圆周角定理得出的度数，再利用等弧所对的圆周角相等得到求出答案；（2）连接，，首先求出的度数，得到为等边三角形，再根据等边三角形的性质求出答案．【详解】（1）∵四边形内接于，∴，3.1s 3.1()1,4.5()2,144.54214a b a b +=⎧⎨+=⎩2.52a b =⎧⎨=⎩∴22.52s t t =+3t =22.532328.5s =⨯+⨯=4t =22.542448s =⨯+⨯=()3,28.5∴()4,4822.52s t t =+∴22.52s t t =+0t ≥1.5t =22.5 1.52 1.5s =⨯+⨯10.625=m 22.52s t t =+0t ≥10.625m 30︒3DCB ∠DCB DBC ∠=∠OB OC BOC ∠OBC ABCD O 180DCB BAD ∠+∠=︒【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理的推论、等边三角形的判定和性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．22．(1)，(2)．26D ∠=︒DBC ∠30P ∠=︒（2）如图，连接，由题意可知，在根据勾股定理得∵，∴，又∵，PA Rt AED ED AD =90PEA PBA ∠=∠=︒EPA BPA ∠=∠BC AD【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形中位线，勾股定理，圆的性质，掌握这些知识点灵活运用是解题关键．25．(1)，(2)，(3)取得最大值()1,0A -()3,0B ()5,8A '-()2114y x =-PD PE +498将点代入得，解得：()30A -,()214y a x =--1640a -=14a =。
天津市河西区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题
天津市河西区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________．．．．．下列结论不正确的是（．圆心也是圆的一部分．一个圆中最长的弦是直径．圆是轴对称图形．等弧所在的圆一定是等圆或同圆．二次函数2y ax bx =+）A ．00a b c >><，，00a b c ><，，C ．000a b c =，，．00a b c <<，，5．用配方法解一元二次方程，则配方后得到的方程是A ．2(3)8x +=B 2(3)1x +=6．将二次函数(6)y x =-个单位长度，再向左平移得到的新图象所表示的二次函数为A ．2y ax =B 2(3)y x =-7．如图，AB 是O 的直径，上一点．若66BOC ∠=︒，则A ．30︒B ．33︒C ．45︒D ．60︒8．以原点为中心，把点23P （，）顺时针旋转90︒，得到的点P '的坐标为（）A ．（3，2）B ．32-（，）C ．23-（，）D ．23--（，）9．抛物线22y x x --＝与x 轴的两个交点的坐标为（）A ．()3,0和()2,0B ．()3,0-和()2,0C ．()2,0或()1,0-D ．()2,0-和()1,010．一个矩形的长比宽多2，面积是80，则矩形的两边长分别为（）A ．3和5B ．5和7C ．6和8D ．8和1011．如图，在ABC 中，120BAC ∠=︒，将ABC 绕点C 逆时针旋转得到DEC ，点A ，B 的对应点分别为D ，E ，连接AD ．当点A ，D ，E 在同一条直线上时，下列结论一定正确的是()A ．ABC ADC∠=∠B ．DAC E ∠=∠C ．AD AC=D ．EA BC=12．九年级一班的同学计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来10米长的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形，等腰三角形（底边靠墙），半圆形这三种方案，最佳方案是（）A ．方案1B ．方案2C ．方案3D ．三种方案使得菜园面积一样大二、填空题三、计算题19．（1）解方程：220x x -=；（2）解方程：2430x x -+=四、问答题20．已知关于x 的方程260x x k -+=有两个相等的实数根．(1)求k 的值；(2)直接写出这两个实数根的两根之和与两根之积．(1)求OAB ∠的度数；(2)求点O 到AB 的距离．22．已知二次函数交y 轴于点C ．(1)求点C 的坐标和(2)抛物线的对称轴为(3)当15x -≤≤时，求六、应用题23．如图，要围一个矩形菜园ABCD ，其中一边AD 是墙，且AD 的长不能超过26m ，其余的三边AB BC CD 、、用篱笆，且这三边的和为40m ．(1)AB 的长度是否能有两个不同的值都满足菜园面积为2192m ？说明理由．(2)当AB 的长为多少时，围成的菜园面积最大？七、问答题24．在平面直角坐标系中，点()20A ，，点()22B ，．将AB 绕点B 顺时针旋转，得到A B '，点A 旋转后的对应点为A '，记旋转角为α．α=︒时，求点A'的坐标；(1)如图①，当45α=︒时，直接写出点A'的坐标(2)如图②，当60(3)设线段A B'的中点为M，连接OM，求线段25．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y==+(于点A对称点．过点B的直线y kx bl平行于y轴，P是直线l上一点，且PB=(1)填空：点B的坐标为；点C的坐标为(2)求线段PB的长(用含k的式子表示)；(3)点P是否一定在抛物线上？说明理由．。
天津市和平区2022年九年级上学期《数学》期中试题与参考答案
天津市和平区2022年九年级上学期《数学》期中考试卷与参考答案一、选择题1. 下列各点中，在二次函数的图象上的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B 【详解】A ．当时，，故点不在函数图象上，不符合题意；B ．当时，，故点在函数图象上，不符合题意；C ．当时，，故点不在函数图象上，不符合题意；D ．当时，，故点不在函数图象上，不符合题意；故选：B ．2. 下列四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形是（ ）A. （1）（2）B. （1）（3）C. （1）（4）D. （2）（3）【答案】B 【详解】（1）既是轴对称图形，又是中心对称图形；（2）既不是轴对称又不是中心对称图形；23y x =(1,3)-(2,12)()2,6-(3,3)1x =23133y =⨯=≠-(1,3)-2x =23212y =⨯=(2,12)2x =-23(2)126y =⨯-=≠()2,6-3x =233183y =⨯=≠(3,3)（3）既是轴对称图形，又是中心对称图形；（4）是轴对称图形，不是中心对称图形故选：B ．3. 某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了2500元，设平均每月降低的百分率为x ，根据题意列出的方程是（）A. B. C. D. 【答案】C【详解】依题意得：两次降价后售价为，故选：C ．4. 用配方法解方程，则方程可变形为（）A. B. C. D. 【答案】D【详解】，，，，故选D.的()2250013200x +=()2250013200x -=()2320012500x -=()2320012500x +=()2320012500x -=23610x x -+=21(3)3x -=21(1)33x -=2(31)1x -=22(1)3x -=23610x x -+=2123x x -=-22213x x -+=()2213x -=5. 在半径为50的中，弦的长为50，则点O 到的距离为（ ）A. 50B.C.D. 25【答案】B【详解】如图，作于C ，根据题意：，∴是等边三角形，∴，∵，∴，∴，即点O 到的距离为，故选：B ．6. 将抛物线y=x 2先向下平移3个单位，再向左平移1个单位，则新的函数解析式为（ ）A. y=（x+1）2+3B. y=（x﹣1）2+3C. y=（x﹣1）2﹣3D. y=（x+1）2﹣3【答案】D【详解】抛物线y=x 2的顶点坐标为（0，0），O e ABABOC AB ⊥50OA OB AB ===OAB V 60AOB ∠=︒OC AB ⊥30AOC ∠=︒cos30OC OA =⋅︒=AB向下平移3个单位，再向左平移1个单位后的图象的顶点坐标为（-1，-3），所以，所得图象的解析式为 y=（x+1）2﹣3，故选D ．7. 如图，四边形的外接圆为⊙，，，，则的度数为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【详解】∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，故选：C ．8. 将二次函数配方为的形式为（ ）A. B. C.D. ABCD O BC CD =35DAC ∠=︒45ACD ∠=︒ADB ∠55︒60︒65︒70︒35DAC ∠=︒35DBC ∠=︒BC CD =35CDB ∠=︒45ACD ∠=︒100ADC ∠=︒65ADB ADC CDB ∠=∠-∠=︒2=2+3y x x -()2y x h k =-+()211y x =-+()212y x =-+()223y x =--()221y x =--【答案】B【详解】，故选：B ．9. 如图，圆内接四边形的对角线，把它的四个内角分成八个角，那么以下结论不一定正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【详解】A 、∵所对的弧都是弧∴，选项正确，不符合题意；B 、∵所对的弧都是弧∴，选项正确，不符合题意；C 、∵不一定是直径∴不一定是直角∴不一定等于，符合题意；D 、∵ ∴ ，选项正确，不符合题意；故选C．()2221212y x x x =-++=-+ABCD AC BD 27∠=∠58∠=∠6190∠+∠=︒4256180∠+∠+∠+∠=︒2,7∠∠BC27∠=∠5,8∠∠DC58∠=∠BD BAD ∠61∠+∠90︒7654180∠+∠+∠+∠=︒2654180∠+∠+∠+∠=︒10. 和是等边三角形，且在一条直线上，连接交于点，则下列结论中错误的是（ ）A.B C. 可以看作是平移而成的D. 可以看作是绕点顺时针旋转而成的【答案】C【详解】A 、∵和是等边三角形，∴，∴，选项正确，不符合题意；B 、∵和是等边三角形，∴，∴，即，∴（SAS ），∴，∴，.ABC V BDE △,,A B D ,AE CD P AC BE P 60APC ∠=︒BDE △ABC V CBD △ABE V B 60︒ABC V BDE △60CAB DBE ∠=∠=︒AC BE P ABC V BDE △,,60AB BC BE BD ABC DBE ==∠=∠=︒ABC CBE DBE CBE ∠+∠=∠+∠ABE CBD ∠=∠ABE CBD V V ≌BDC AEB ∠=∠60APC EAB BDC EAB AEB EBD ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒选项正确，不符合题意；C 、∵和是等边三角形，但边长不一定相等，选项错误，符合题意；D 、∵，且，∴可以看作是绕点顺时针旋转而成，选项正确，不符合题意；故选C ．11. 在等边中，D 是边上一点，连接，将绕点B 逆时针旋转，得到，连接，若，，有下列结论：①；②；③是等边三角形；④的周长是9．其中，正确结论的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C 【详解】∵为等边三角形，∴，，∵绕点B 逆时针旋转，得到，∴，，ABC V BDE △ABE CBD V V ≌60EBD ∠=︒CBD △ABE V B 60︒ABC V AC BD BCD △60︒BAE V ED 5BC =4BD =AE BC ∥ADE BDC ∠=∠BDE V ADE △ABC V 60ABC C ∠=∠=︒5AC BC ==BCD △60︒BAE V 60BAE C ∠=∠=︒AE CD =∴，∴，①正确；∵绕点B 逆时针旋转，得到，∴，，∴为等边三角形，③正确，∴，，∵，∴，即，∴，②错误；∵，，∴的周长，④正确．故选：C ．12. 已知抛物线y=ax 2+bx+c （0＜2a≤b）与x 轴最多有一个交点．以下四个结论：①abc＞0；②该抛物线的对称轴在x=﹣1的右侧；③关于x 的方程ax 2+bx+c+1=0无实数根；④≥2．其中，正确结论的个数为（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个BAE ABC ∠=∠AE BC ∥BCD △60︒BAE V 60DBE ∠=︒4BD BE ==BDE V 60BDE ∠=︒4DE DB ==BC BD >BDC C ∠>∠60BDC ∠>︒60ADE ∠<︒AE CD =4DE DB ==ADE △549AD AE DE AD CD DE AC DE =++=++=+=+=a b c b++【详解】①∵抛物线y=ax 2+bx+c （0＜2a≤b）与x 轴最多有一个交点，∴抛物线与y 轴交于正半轴，∴c＞0，∴abc＞0，故①正确；②∵0＜2a≤b，∴＞1，∴﹣＜﹣1，∴该抛物线的对称轴在x=﹣1的左侧，故②错误；③由题意可知：对于任意的x ，都有y=ax 2+bx+c≥0，∴ax 2+bx+c+1≥1＞0，即该方程无解，故③正确；④∵抛物线y=ax 2+bx+c （0＜2a≤b）与x 轴最多有一个交点，∴当x=﹣1时，y ＞0，∴a﹣b+c＞0，∴a+b+c≥2b，∵b＞0，∴≥2，故④正确，综上所述，正确的结论有3个，故选C ．2b a2b aa b c b++13. 点关于原点O 的对称点为______．【答案】【详解】点关于原点O 的对称点为．故答案为：．14. 抛物线不经过第________象限．【答案】四【详解】抛物线 画出该抛物线图象如图所示：观察函数图象可知：抛物线不经过第四象限.故答案为四.15. 已知函数的图象与轴只有一个交点，则的值为_______．【答案】4【详解】∵函数y=x 2-4x+m 的图象与x 轴只有一个交点，∴b 2-4ac=（-4）2-4×1×m=0，解得：m=4，故答案为4()3,4()3,4--()3,4()3,4--()3,4--2y x 3x 2=++223132(,24y x x x =++=+-2y x 3x 2=++24y x x m =-+x m16. 如图，点D为AC上一点，点O为边AB上一点，AD＝DO．以O为圆心，OD长为半径作圆，交AC于另一点E，交AB于点F，G，连接EF．若∠BAC＝22°，则∠EFG＝_ ．【答案】33°【详解】∵AD=DO，∴∠DOA=∠BAC=22°，∴∠AEF=0.5∠DOA=11°，∵∠EFG=∠BAC+∠AEF，∴∠EFG=33°.故答案为33.17. 如图所示，在⊙O内有折线OABC，其中OA=8，AB=12，∠A=∠B=60°，则BC的长为__．【答案】20【分析】延长AO交BC于D，根据∠A、∠B的度数易证得△ABD是等边三角形，由此可求出OD、BD的长；过O作BC的垂线，设垂足为E；在Rt△ODE中，根据OD的长及∠ODE 的度数易求得DE的长，进而可求出BE的长；由垂径定理知BC=2BE，由此得解．【详解】延长AO交BC于D，作OE⊥BC于E；∵∠A=∠B=60°，∴∠ADB=60°；∴△ADB为等边三角形；∴BD=AD=AB=12；∴OD=4，又∵∠ADB=60°，∴DE=0.5OD=2；∴BE=10；∴BC=2BE=20；故答案为：20．18. 已知抛物线y＝x2+bx﹣3（b是常数）经过点A（﹣1，0），（1）求抛物线的解析式_____．（2）P（m，t）为抛物线上的一个动点，P关于原点的对称点为P′，当点P′落在第二象限内，P′A2取得最小值时，求m的值_____．【答案】①. y＝x2﹣2x﹣3②.【分析】（1）首先把A （﹣1，0）代入y ＝x 2+bx﹣3，得出b ＝﹣2，即抛物线的解析式为y ＝x 2﹣2x﹣3；（2）由题意可知P′（﹣m，﹣t）在第二象限，即可判定﹣m＜0，﹣t＞0，即m ＞0，t ＜0，因为抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），可得出﹣4≤t＜0，又根据P 在抛物线上，可得出t ＝m 2﹣2m﹣3，进而得出m 2﹣2m＝t+3，根据两点坐标A （﹣1，0），P′（﹣m，﹣t），即可求出P′A 2＝（﹣m+1）2+（﹣t）2＝m 2﹣2m+1+t 2＝t 2+t+4＝（t+）2+；可判定当t ＝﹣时，P′A 2有最小值，即可求出m【详解】（1）把A （﹣1，0）代入y ＝x 2+bx﹣3得：0＝1﹣b﹣3，解得：b ＝﹣2，即抛物线的解析式为y ＝x 2﹣2x﹣3，故答案为y ＝x 2﹣2x﹣3；（2）由题意可知P′（﹣m，﹣t）在第二象限，∴﹣m＜0，﹣t＞0，即m ＞0，t ＜0，∵抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），∴﹣4≤t＜0，∵P 在抛物线上，∴t＝m 2﹣2m﹣3，∴m 2﹣2m＝t+3，∵A（﹣1，0），P′（﹣m，﹣t），1215412∴P′A 2＝（﹣m+1）2+（﹣t）2＝m 2﹣2m+1+t 2＝t 2+t+4＝（t+）2+；∴当t ＝﹣时，P′A 2有最小值，∴﹣＝m 2﹣2m﹣3，解得mm，∵m＞0，不合题意，舍去，∴m三、解答题19. 解下列方程：（1）；（2）【答案】（1）（2），【小问1详解】解：，，，，，，1215412122 1.53x x +=-3(1)2(1)x x x -=-1x =2x =11x =223x =2 1.53x x +=- 23 1.50x x \++=1a ∴=3b = 1.5c =2341 1.530\D =-´´=＞则即所以，原方程的解为【小问2详解】解：，，则或，解得，，所以，原方程的解为，．20. 已知二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0）中自变量x 和函数值y 的部分对应值如表：x …1…y …0…（1）直接写出此二次函数图象的对称轴与顶点坐标．（2）求该二次函数的解析式．【答案】（1）对称轴为直线；顶点坐标为：（2）x ==1x =2x =1x =2x =31()210()x x x ---= 1320()()x x \--=10x -=320x -=11x =223x =11x =223x =32-1-12-123254-2-94-2-54-7412x =-19(,)24--22y x x =+-解（1）由表格中的值可知：和的函数值相等，关于对称轴对称，∴图象的对称轴为直线，∴顶点坐标为：；【小问2详解】设，将代入可得：，解得： ，∴二次函数的解析式为：，故二次函数的解析式为：．21. 已知⊙O 的直径为10，点A ，点B ，点C 在⊙O 上，∠CAB 的平分线交⊙O 于点D ．（Ⅰ）如图①，若BC 为⊙O 的直径，AB ＝6，求AC ，BD ，CD 的长；（Ⅱ）如图②，若∠CAB＝60°，求BD 的长．【答案】（Ⅰ）求AC＝8，BD ＝CD ＝；（Ⅱ）BD ＝5=1x -0x =12x =-19(,)24--219()24y a x =+-()0,2-19244a -=-1a =2219()224y x x x =+-=+-22y x x =+-【分析】（Ⅰ）利用圆周角定理可以判定△CAB 和△DCB 是直角三角形，利用勾股定理可以求得AC 的长度；利用圆心角、弧、弦的关系推知△DCB 也是等腰三角形，所以利用勾股定理同样得到BD ＝CD ＝；（Ⅱ）如图②，连接OB ，OD ．由圆周角定理、角平分线的性质以及等边三角形的判定推知△OBD 是等边三角形，则BD ＝OB ＝OD ＝5．【详解】（Ⅰ）如图①，∵BC 是⊙O 的直径，∴∠CAB＝∠BDC＝90°．∵在直角△CAB 中，BC ＝10，AB ＝6，∴由勾股定理得到：AC ∵AD 平分∠CAB，∴ ，∴CD＝BD ．在直角△BDC 中，BC ＝10，CD 2+BD 2＝BC 2，∴易求BD ＝CD ＝；（Ⅱ）如图②，连接OB ，OD ．∵AD 平分∠CAB，且∠CAB＝60°，∴∠DAB＝ ∠CAB＝30°，∴∠DOB＝2∠DAB＝60°．又∵OB＝OD ，∴△OBD 是等边三角形，8==»»CDBD =12∴BD＝OB ＝OD ．∵⊙O 的直径为10，则OB ＝5，∴BD＝5．22. 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？解决方案：设应邀请x 个队参赛、（1）每个队要与其他______个队各赛1场，由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共______场；（2）根据题意，列出相应方程为______；（3）解这个方程，得______；（4）检验：______；（5）答：比赛组织者应邀请______个队参赛．【答案】（1）；（2）（3）（不符合题意，舍去），（4）将代入原方程，左边＝右边（5）8()1x -()112x x -()11247x x -⨯＝17x =-28x =8x =()881284271⨯⨯⨯-===【小问1详解】解：设应邀请x 个队参赛、每个队要与其他个队各赛1场，由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共场；故答案为：；；【小问2详解】根据题意，列出相应方程为；故答案为：；【小问3详解】解这个方程，得x 1＝﹣7（不符合题意，舍去），x 2＝8；故答案为：（不符合题意，舍去），；【小问4详解】检验：将代入原方程，左边＝右边；故答案为：将代入原方程，左边＝右边；【小问5详解】答：比赛组织者应邀请8个队参赛．故答案为：8．23. 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映，如调整价格，每()1x -()112x x -()1x -()112x x -()11247x x -⨯＝()11247x x -⨯＝17x =-28x =8x =()881284271⨯⨯⨯-===8x =()881284271⨯⨯⨯-===涨价1元，每星期要少卖出10件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使每星期的利润最大？最大利润是多少？设每件商品涨价x 元，每星期的利润为y 元（1）分析：根据问题中的数量关系，用含x 的式子填表．原价每件涨价1元每件涨价2元…每件涨价x元每件利润（元）202122…______每星期销量（件）300290280…______（2）由以上分析，用含x 的式子表示y ，并求出问题的解．【答案】（1） （2）当定价为每件65使每星期的利润最大，最大利润是6250元【分析】（1）根据原价时，每件利润为20元，上涨x 元，则每件利润为元，再利用每涨价1元，每星期要少卖出10件，即可表示出实际销量；（2）利用每件利润每周销量=总利润进而得出答案．【小问1详解】分析：根据问题中的数量关系，用含x 的式子填表．原价每件涨价1元每件涨价2元…每件涨价x元每件利润（元）202122…20+x 每星期销量（件）300290280…300-10x 20300-10x x +，()20x +⨯故答案为：【小问2详解】由题意可得： ，则每件售价为：65元，答：当定价为每件65使每星期的利润最大，最大利润是6250元．24. 问题：（1）如图①，在Rt△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 边上一点（不与点B ，C 重合），将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到AE ，连接EC ，则线段BC ，DC ，EC 之间满足的等量关系式为 ；探索：（2）如图②，在Rt△ABC 与Rt△ADE 中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，将△ADE 绕点A 旋转，使点D 落在BC 边上，试探索线段AD ，BD ，CD 之间满足的等量关系，并证明你的结论；应用：（3）如图③，在四边形ABCD 中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°．若BD ＝9，CD ＝3，求AD 的长．【答案】（1）BC ＝DC ＋EC ；（2）BD 2＋CD 2＝2AD 2；（3）AD ＝6.【分析】（1）易证△BAD≌△CAE，即可得到BC ＝DC ＋EC（2）连接CE ，易证△BAD≌△CAE，再得到ED ＝AD ，然后在Rt△ECD中利用勾股定20300-10x x +，()()2030010y x x +=﹣2101006000x x ++-=()2=1056250x --+理即可求得其关系；（3）将线段AD 绕点A 顺时针旋转90°得到AE ，连接CE ，BE ，先证△ABE≌△ACD，再利用在Rt△BED 中，由勾股定理，得DE 2＝BD 2－BE 2，故2AD 2＝BD 2－CD 2，再解出AD 的长即可.【详解】(1)BC ＝DC ＋EC ．∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE.在△BAD 和△CAE 中，∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴BD＝CE ，∴BC＝BD ＋CD ＝EC ＋CD ．(2)BD 2＋CD 2＝2AD 2.证明如下：连接CE ，如解图1所示．∵∠BAC＝∠BAD＋∠DAC＝90°，AB ＝AC ，∴∠ABC＝∠ACB＝45°.AB AC BAD CAEAD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∵∠DAE＝∠CAE＋∠DAC＝90°，∴∠BAD＝∠CAE.在△BAD 和△CAE 中，∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴BD＝CE ，∠ACE＝∠ABC＝45°，∴∠BCE＝∠ACB＋∠ACE＝90°.∵∠EAD＝90°，AE ＝AD ，AD ．在Rt△ECD 中，由勾股定理，得ED 2＝CE 2＋CD 2，∴BD 2＋CD 2＝2AD 2.(3)将线段AD 绕点A 顺时针旋转90°得到AE ，连接CE ，BE ，如解图2所示，则AE ＝AD ，∠EAD＝90°，∴△EAD 是等腰直角三角形，AD ，∠AED＝45°.∵∠ABC＝∠ACB＝ADC ＝45°，AB AC BAD CAEAD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴∠BAC＝90°，AB ＝AC ．同(2)的方法，可证得△ABE≌△ACD，∴BE＝CD ，∠AEB＝∠ADC＝45°，∴∠BEC＝∠AEB＋∠AED＝90°.在Rt△BED 中，由勾股定理，得DE 2＝BD 2－BE 2，∴2AD 2＝BD 2－CD 2.∵BD＝9，CD ＝3，∴2AD 2＝92－32＝72，∴AD＝6(负值已舍去)．25. 如图，抛物线与x 轴交于，两点，与y 轴交于点C ．直线l与抛物线交于A 、D 两点，与y 轴交于点E ，点D 的坐标为．（1）求抛物线的解析式与直线l 的解析式；（2）若点P 是抛物线上的点且在直线l 上方，连接PA 、PD ，求当面积最大时点P 的坐标及该面积的最大值；（3）若点Q 是y 轴上的点，且，求点Q的坐标．2y ax bx c =++()2,0A -()6,0B ()4,3PAD V 45ADQ ∠=︒【答案】（1），； （2）△PAD 的面积最大值为，P （1，）； （3）（0，）或（0，-9）【分析】（1）利用待定系数法求解函数解析式；（2）过点P 作PE y 轴交AD 于E ，设P （n ，），则E （n ，），根据，得到PE 的值最大时，△PAD 的面积最大，求出PE 的最大值即可；（3）如图2，将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°，得到AT ，则T （-5，6），设DT 交y 轴于Q ，则∠ADQ=45°，作点T 关于AD 的对称点（1，-6），设D 交y 轴于点，则∠AD =45°，分别求出直线DT ，直线D 的解析式即可解决问题．【小问1详解】解：将点A 、B 、D 的坐标代入，，得，解得，∴抛物线的解析式为；∵直线l 经过点A ，D ，∴设直线l 的解析式y=kx+m ，2134y x x =-++112y x =+274154133∥2134n n -++112n +()132PAD D A S x x PE PE =⋅-⋅=V T 'Q 'Q 'Q 'T '2y ax bx c =++42036601643a b c a b c a b c -+=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩1413a b c ⎧=-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩2134y x x =-++，得，∴直线l 的解析式为；【小问2详解】如图1，过点P 作PE y 轴交AD 于E ，设P （n ，），则E （n ，），∵，∴PE 的值最大时，△PAD 的面积最大，∵=，∴当n=1时，PE 的值最大，最大值为，此时△PAD 的面积最大值为，P （1，）；2043k m k m -+=⎧⎨+=⎩121k m ⎧=⎪⎨⎪=⎩112y x =+∥2134n n -++112n +()132PAD D A S x x PE PE =⋅-⋅=V 2113142PE n n n ⎛⎫=-++-+ ⎪⎝⎭()219144n --+94274154【小问3详解】如图2，将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°，得到AT ，则T （-5，6），设DT 交y 轴于Q ，则∠ADQ=45°，∵D（4，3），∴直线DT 的解析式为，∴Q（0，）， 作点T 关于AD 的对称点（1，-6），则直线D 的解析式为y=3x-9，设D 交y 轴于点，则∠AD =45°，∴（0，-9），综上所述，满足条件的点Q 的坐标为（0，）或（0，-9）。
2024-2025学年天津市部分区九年级上期中数学试题(含答案)
天津市部分区2024~2025学年度第一学期期中练习九年级数学本试卷分为第I 卷(选择题) 和第Ⅱ卷(非选择题) 两部分，共120分，练习用时100分钟。
使用答题卡的地区，将答案写在答题卡上； 不使用答题卡的地区，将答案写在练习卷上。
三总分题号一二19202122232425得分第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.请将正确选项填在下表中)题号123456789101112答案1. 方程 5x²−1=4x 化成一般形式后，二次项系数，一次项系数，常数项分别是A. 5, 4, - 1B. 5, 4, 1C. 5, - 4, - 1D. 5, - 4, 12. 在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是3. 若方程 (m−2)x m2−4+3x =0是关于x 的一元二次方程，则m 的值为A. m =±2B. 0C. m =2D. m =−24. 平面直角坐标系内点P(3，-4)关于原点对称的点的坐标是A. (-3, - 4)B. (3, 4)C. (-3, 4)D. (3, - 4)部分区期中练习九年级数学 第 1 页 (共8 页)得 分 评卷人5. 用配方法解一元二次方程：x²−4x−2=0,可将方程变形为(x−2)²=n的形式，则n的值是A. 0B. 2C. 4D. 66. 若抛物线y=x²−2x+m+2与x轴只有一个公共点，则m的值是A. - 1B. - 5C. 10D. 167. 若一元二次方程：2x²−4x−5=0的两个根是x₁,x₂,则((x₁+x₂)(x₁⋅x₂)的值是A. 8B. - 5C. - 12D. 168. 若二次函数.y=x²−4x+1的图象经过A(−1,y₁),B (2, y₂),C(4,y₃)三点, 则y₁,y₂,y₃的关系是A.y₁<y₂<y₃B.y₃<y₂<y₁C.y₃<y₁<y₂D.y₂<y₃<y₁9. 将抛物线y=x²向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为A.y=(x+3)²−2B.y=(x+3)²+2C.y=(x−3)²+2D.y=(x−3)²−210. 在一次酒会上，参加酒会的人每两人碰一次杯，一共碰杯55次，共有多少人参加酒会?设有x人参加酒会，则可列方程为A.x(x−1)=55B.x(x+1)=55C.x(x−1)2=55D.x(x+1)2=5511. 如图, △COD是△AOB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形. 若点C恰好落在AB上，则∠OCD的度数是A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°部分区期中练习九年级数学第 2 页 (共8 页)12. 已知抛物线 y =ax²+bx +c 上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如下表：x -10123 y3-1m3有以下结论：①抛物线 y =ax²+bx +c 的开口向上；②抛物线 y =ax²+bx +c 的对称轴为直线x =−1；③方程 ax²+bx +c =0的根为0和m ；④当y >0时，x 的取值范围是x <0或x >2. 其中正确结论的个数是A. 0 B. 1 C. 2 D. 3第Ⅱ卷二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分.请将答案直接填在题中横线上)13. 抛物线 y =−3(x−1)²+5的顶点坐标是 .14. 写一个开口向上且过点(0，1)的抛物线的函数解析式 .15. 由于成本上涨，某商品经过两次连续涨价，每件售价由原来的60元涨到了72元.设平均每次涨价的百分率为x ，则由题意可列方程为 .16. 一元二次方程 ax²+bx +c =0(a ≠0) 的两个根为-1，5，则抛物线 y =ax²+bx +c (a ≠0)的对称轴为 .17. 已知二次函数 y =x²−4x +k 的图象都在x 轴的上方，则实数k 的取值范围是 .18. 以40m/s 的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h (单位：m)与飞行时间t (单位：s)之间具有函数关系 ℎ=20t−5t²,则小球的飞行高度最高达到 m.部分区期中练习九年级数学 第 3 页 (共8 页)得 分评卷人三、解答题(本大题共7小题，共66分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)得 分评卷人(1)x²−4x =1; (2)(x +1)²=3x +3.得 分 评卷人如图, 点O, B 的坐标分别为(0,0),(3,0), 将△OAB 绕点O 逆时针方向旋转90°得到△OA'B', A, B 的对应点分别为A', B'.(1) 画出△OA'B';(2) 写出点A'的坐标;(3) 求BB'的长.部分区期中练习九年级数学 第 4 页 (共8 页)19. 解方程(每小题4分, 共8分)20. (本题8分)得 分评卷人已知关于x 的方程. x²+2mx +m²−1=0(m 为常数) .(1) 求证：不论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根；(2) 若方程有一个根是-2，求 2023−m²+4m 的值.得 分评卷人已知二次函数 y =x²−4x +3.(1) 求二次函数图象的对称轴和顶点坐标；(2) 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标；(3)当x≤1时, y 随x 增大而 (填“增大”或“减小”) .部分区期中练习九年级数学 第 5 页 (共8 页)21. (本题10分)22. (本题10分)得分23. (本题10分)评卷人某商品经销商通过网络直播平台推销某商品，将每件进价为80元的该商品按每件100元出售，一天可售出100件. 后来经过市场调查，发现这种商品在原售价的基础上每件每降价1元，其销量可增加10件.(1) 求商场经营该商品原来一天可获利润元；(2) 设该商品每件降价x元，商场一天可获利润y元.①求y与x之间的函数关系式；②该商品每件售价多少元时，商场可获得最大利润?部分区期中练习九年级数学第 6 页 (共8 页)得分24. (本题10分)评卷人如图, 在正方形ABCD中, E为CD上一点, 把△ADE绕点A顺时针旋转至△ABF的位置，使得F，B，C三点在一条直线上.(1) 旋转角的大小为 (度)；(2) 若AB=3,∠EAD=30°,求线段EF的长.得分25. (本题10分)评卷人如图，抛物线y=ax²+bx−4(a≠0)经过A, B, C三点. 已知点B的坐标为(−1,0),且OA=4OB.(1) 求A, C两点的坐标;(2) 求抛物线的解析式；(3)若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PD⊥AC于点D，当PD的值最大时，求此时点P的坐标及PD的值.天津市部分区2024~2025学年度第一学期期中练习九年级数学试卷参考答案一、选择题：(每小题3分，共36分)题号123456789101112答案C B D C D A B D A C D C二、填空题：(每小题3分，共18分)13. (1,5); 14.y=x²+1(答案不唯一) ；15. 60(1+x)²=72;16. x=2; 17. k>4; 18. 20.三、解答题：(本大题共7 小题，共66分)19. (本题8分)(1) 解：方程变形为x²−4x+4=5, …………1分配方得((x−2)²=5, ……………2分由此可得x−2=5或x−2=−5, …3分∴x1=2+5,x2=2−5. …4分(2) 解：方程变形为(x+1)²=3(x+1), …………1分(x+1)²−3(x+1)=0(x+1)[(x+1)−3]=0,即 (x+1)(x―2)=0. …………2分∴x+1=0或x―2=0 , …………3分∴x₁=−1,x₂=2. …………4分部分区期中练习九年级数学参考答案第 1 页(共5 页)20. (本题8分)解:（1）如图所示……………………………………………………………3分（2）（-2,4）………………………………………………………5分（3）∵OB=OB',∠BOB'=90°,………………………………………6分∴BB′²=OB²+OB′²=2OB²=2×3²=18. …7分∴BB′=32. …………8分21. (本题10分)解: (1) 证明:…………………………………………………………………3分=4m²−4m²+4=4>0, ……………4分∴不论m为何值，该方程都有两个不相等的实数根.……………5分(2) ∵方程有一个根是-2,…………………………………………………………………7分∴−m²+4m=3, ……………8分∴2023−m²+4m=2026. ……………10分部分区期中练习九年级数学参考答案第 2 页 (共5 页)22. (本题10分)解：…………………………………………………………………………1分∴二次函数图象的对称轴是直线x=2，顶点坐标为(2,-1).（2）当y=0时,即分…………………………………………………4解得：分……………………………………………………………5与x 轴的交点坐标为（1,0）,（3,0）…………………………6（3）减小……………………………………………………………8分23. (本题10分)解: (1) 2000. ………………3分(2) 依题意得:y=（100-80-x ）（100+10x ）………………………………6分∴y=-10x²+100x+2000=-10……………………………………7分∵a=-10<0,∴……………………………………………………………8分此时,1095,∴售价为95元时，商店获得利润最大…………………………1024. (本题10分)解:…………………………………………………………………………2分(2) 由题意, △ADE 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABF ,…………………………………………………………………4分∴AE=AF, ∠BAF=∠DAE=30°,…………………………………………………………………6 ∴AB =AF 2−BF 2=(2BF )2−BF 2=3BF, ∵AB =3部分区期中练习九年级数学参考答案 第 3 页(共5 页)………2分………………3分∴3BF =3, 即BF=1. …8分∴AF=AE=2BF =2∴EF =AF 2+AE 2=22 …10分25. (本题10分)解: (1) ∵点B 的坐标为(-1, 0) , ………………1分∴OB=1,∵OA=4OB,∴OA=4, ∴A(4,0). ………………2分把x=0代入 y =ax²+bx−4(a ≠0)中，得 y =a ×0²+b ×0−4=−4,∴C(0,-4). ………………3分(2)把A(4,0), B(―1,0)代入. y =ax²+bx−4(a ≠0),得： {16a +4b−4=0a−b−4=0, …5分解得： {a =1b =−3,∴抛物线的解析式为： y =x²−3x−4.……………… 6分(3) 设直线 AC 的解析式为: y = kx +b将A(4,0), C(0, − 4)代入得: {−4=b 0=4k +b , 解得： {k =1b =−4,∴直线AC 的解析式为: y =x ―4. ……………7分部分区期中练习九年级数学参考答案 第 4 页(共5 页)过点 P 作y 轴的平行线交AC 于点 H ，设点 P (x ,x²−3x−4),则点 H (x ,x−4),(0<x <4) ∴PH =(x−4)−(x²−3x−4)=−x²+4x …………8分∵OA =OC =4, ∴∠OAC =∠OCA =45°,∵PH∥y 轴,∴∠PHD=∠OCA=45°,…………9分∵−22<0, 且0<x <4,∴当x =2时, PD 有最大值 22,此时点P(2,-6).部分区期中练习九年级数学参考答案 第 5 页 (共5 页)∴PD =22PH =22(−x 2+4x )=−22x 2−22x,=−22(x−2)2+22…………10分。
天津市和平区2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷
天津市和平区2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷一、单选题1．中国代表队在第33届巴黎奥运会上取得了40金27银24铜的傲人成绩，并在多个项目上取得了突破，以下奥运比赛项目图标中，是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．若1x =是方程210x mx ++=的一个解，则m 的值为（）A ．1B ．2C ．1-D ．2-3．已知O 的半径为3，平面内有一个点P ，若点P 在O 外，则在OP 的长可能为（）A ．4B ．3C ．2D ．14．风力发电机可以在风力作用下发电，如图的转子叶片图案绕中心旋转后能与原来的图案重合，则至少要旋转（）度．A ．60B ．120C ．180D ．2705．若12,x x 是方程22231x x x -+=+的两个根，则（）A ．122x x +=B ．121x x =+C ．1212x x =-D ．121x x =6．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，则下列结论不正确的是（）A ．第一轮后共有()1x +个人患了流感B ．第二轮后又增加()1x x +个人患流感C ．依题意可以列方程()11121x x x +++=D ．按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有1000人患流感7．将抛物线22y x x =+向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（）A ．()213y x =+-B ．()=+-2y x 12C ．()213y x =--D ．()212y x =--8．如图，以40m/s 的速度将小球沿与地面成30︒角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h （单位：m ）与飞行时间t （单位：s ）之间具有函数关系2205h t t =-，下列说法正确的是（）A ．小球的飞行高度为15m 时，小球飞行的时间是1sB ．小球从飞出到落地要用4sC ．小球飞行3s 时飞行高度为15m ，并将继续上升D ．小球的飞行高度可以达到25m9．在“探索二次函数()20y ax bx c a =++≠的系数a ，b ，c 与图象的关系”活动中，老师给出了坐标系中的四个点：()()()()01,21,41,32A B C D ，，，，．同学们分别画出了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，并得到对应的函数表达式2y ax bx c =++，则a b c ++的最大值等于（）A ．5-B ．23C ．2D ．510．如图，四边形ABCD 内接于O ，F 是AD 延长线上一点，以点C 为圆心，BC 长为半径作弧与AB 相交于点E ，分别以点B 和点E 为圆心，大于12BE 的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于点M ，连接CM ，若25ECM ∠=︒，则CDF ∠的度数为（）A ．50︒B ．65︒C ．70︒D ．75︒11．如图，已知ABC V 中，20CAB ∠=︒，30ABC ∠=︒，将ABC V 绕点A 逆时针旋转50°得到AB C ''△，以下结论中错误的是（）A ．CB BB '''⊥B ．BC B C ''=C ．AC C B ''D ．ABB ACC ''∠=∠12．已知二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0,1a c ≠>）的图象与x 轴的一个交点坐标为()2,0-，对称轴为直线1x =．有下列结论：①<0a b c -+；②若点()()()1233,,2,,6,y y y -均在该二次函数图象上，则132y y y <<；③方程210ax bx c ++-=的两个实数根为12,x x ，且12x x <，则1224x x -<<<；④若m 为任意实数，则29am bm c a ++≤-．其中，正确结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题13．点()5,1A 与点A '关于原点对称，则点A '的坐标是．14．已知抛物线()2211y x =++，图象的开口向，顶点坐标为，当x 时，y 随x 的增大而减小．15．关于x 的一元二次方程220x x m --=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是．16．如图，AB 是O 的直径， BCCD DE ==，35COD ∠=︒，则AOE ∠=︒．17．如图，O 是等边ABC V 内一点，6,8,10OA OB OC ===，将线段BO 以点B 为旋转中心逆时针旋转60︒得到线段BO '，连接AO '．（I ）线段AO '的长为；（II ）BOC 的面积为．18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A ，B ，C ，D ，E 均在格点上，线段DE 与圆相交于点F ．（I ）线段DE 是将线段AB 绕点C 顺时针旋转（度）得到的；（II ）请用无刻度．．．的直尺，在如图所示的网格中，在线段A 上画出点P ，使BP EF =，并简要说明点Р的位置是如何找到的（不要求证明）．三、解答题19．解下列方程：(1)22x x =﹔(2)()2458x x x-=-20．用一条长40cm 的绳子围成一个矩形．(1)若围成的矩形面积为275cm ，求该矩形的长和宽．(2)能围成一个面积为2101cm 的矩形吗？若能，求出它的长和宽．若不能，请求出能围成矩形的最大面积．21．已知AB 是O 的直径，50CAB ∠=︒，E 是AB 上一点，延长CE 交O 于点D ．(1)如图①，当点E 是弦CD 的中点时，求CDO ∠的大小；(2)如图②，当AC AE =时，求CDO ∠的大小．22．如图，四边形ABCD 内接于O ，BC 是O 的直径，OA CD ∥．(1)若65ABC ∠=︒，求BAD ∠的大小；(2)若1,4AB BC ==，求CD 的长．23．如图，一小球从斜坡O 点以一定的方向弹出球的飞行路线可以用二次函数()20y ax bx a =+<刻画，斜坡可以用一次函数14y x =刻画，小球飞行的水平距离x （米）与小球飞行的高度y （米）的变化规律如下表：x 012m 4567…y 07261528152n 72…(1)①m =______，n =______；②小球的落点是A ，求点A 的坐标．(2)小球飞行高度y （米）与飞行时间t （秒）满足关系25y t vt =-+．①小球飞行的最大高度为______米；②求v 的值．24．已知ABC V ，90,3,4C BC AC ∠=︒==，将ABC V 绕点B 旋转得到A BC ''△，点A 的对应点为A '，点C 的对应点为C '，连接AA '．(1)如图，将ABC V 绕点B 逆时针旋转90︒，求AA '的长；(2)当点C '落直线AB 上时，求AA '的长；(3)连接C C '，直线C C '与直线AA '相交于点D ，在旋转过程中，线段C D '的最大值为_____（直接写出结果即可）﹒25．抛物线23y ax bx =++（a ，b 为常数，0a >）的顶点为()2,1P --，与x 轴交于点A 和点B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，抛物线上的点M 的横坐标为m （m 是常数）．(1)求抛物线的解析式和点A 的坐标；(2)若直线()31x m m =-<<-与AC 相交于点N ，当2MN =时，求点M 的坐标；(3)若将点M 绕着原点O 顺时针旋转45︒得到点M '，点()D ，当ODM ' 面积最小时，求点M 的坐标．。
天津市静海区2022年九年级上学期《数学》期中试题与参考答案
天津市静海区2022年九年级上学期《数学》期中试卷与参考答案一、选择题1. 在下列方程中，一元二次方程是（）A. B. C. D. 【答案】C【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件即可．【详解】A 选项：若，则不是一元二次方程.B 选项：化简后，得，不成立.C 选项：整理得，是一元二次方程.D 选项：，不是一元二次方程.故选C.2. 一元二次方程4x 2﹣1=5x 的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）A. 4，﹣1，5B. 4，﹣5，﹣1C. 4，5，﹣1D. 4，﹣1，﹣5【答案】B【分析】将方程整理为一般形式，利用二次项系数、一次项系数、常数项的定义解答即可．【详解】∵一元二次方程4x 2﹣1=5x，20ax bx c ++=2(1)(1)0x x x +-+=(4)0x x -=20x x +=0a =20ax bx c ++=10=240x x -=20x x +=∴整理为：4x 2﹣5x﹣1=0，∴一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为：4，﹣5，﹣1．故选B ．3. 将抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到的抛物线的解析式为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【分析】把抛物线y=2x 2的顶点（0，0）先向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到点的坐标为（-4，1），即得到平移后抛物线的顶点坐标，然后根据顶点式写出解析式即可．【详解】抛物线y=2x 2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）先向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度得到（-4，1）所以平移后所得的抛物线的解析式y=2（x+4）2+1，故选：B ．4. 下列标志中，可以看作是中心对称图形的是（）A. B.C.D.22y x =4122(4)1y x =--22(4)1y x =++22(4)1y x =-+22(4)1y x =+-【答案】B【分析】根据中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．【详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；B、是中心对称图形，符合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；故选B．5. 已知一元二次方程x2+kx﹣5＝0有一个根为1，k的值为（ ）A. ﹣2B. 2C. ﹣4D. 4【答案】D【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x＝1代入方程得到关于k的一次方程1﹣5+k＝0，然后解一次方程即可．【详解】把x＝1代入方程得1+k﹣5＝0，解得k＝4．故选：D．6. 关于抛物线y=x2﹣4x+4，下列说法错误的是（ ）A. 开口向上B. 与x轴只有一个交点C. 对称轴是直线x=2D. 当x＞0时，y随x的增大而增大【答案】D【分析】把二次函数解析式化为顶点式，逐项判断即可得出答案．【详解】∵抛物线y=x 2﹣4x+4，∴该抛物线的开口向上，故选项A 正确，（﹣4）2﹣4×1×4=0，故该抛物线与x 轴只有一个交点，故选项B 正确，对称轴是直线，故选项C 正确，当x ＞2时，y 随x 的增大而增大，故选项D 错误，故选D ．7. 将二次函数用配方法化成的形式，下列结果中正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【分析】经观察二次函数y=x 2-6x+5的二次项系数是1，所以直接在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即同时加上(-3)2；合并同类项、整理上面的方程即可得解．【详解】∵y=x 2-6x+5，∴y+(-3)2=x 2-6x+(-3)2+5，即y=(x-3)2+5-9=(x-3)2-4．故选:C ．8. 若A （﹣3，y 1），B （﹣2，y 2），C （2，y 3）为二次函数y ＝（x+2）2+1的图象上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ）A. y 1＜y 2＜y 3B. y 1＜y 3＜y 2C. y 2＜y 1＜y 3D. y 3＜y 1＜y 210,a =>4221x =-=⨯265y x x =-+2()y x h k =-+2(6)5y x =-+2(3)5y x =-+2(3)4y x =--2(3)9y x =+-【答案】C【分析】根据函数解析式的特点，其对称轴为x ＝﹣2，利用二次函数的性质即可判断．【详解】∵二次函数y ＝（x+2）2+1，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x ＝﹣2，∴A（﹣3，y 1）关于对称轴的对称点为（﹣1，y 1），且x ＞-2时，y 随x 的增大而增大，∵﹣2＜﹣1＜2，∴y 2＜y 1＜y 3．故选：C ．9. 若关于x 的一元二次方程ax 2+x﹣1＝0有实数根，则a 的取值范围是（ ）A. a≥﹣且a≠0B. a≤﹣C. a≥﹣D. a≤﹣且a≠0【答案】A【分析】根据一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式求解即可．【详解】∵关于x 的一元二次方程ax 2+x﹣1＝0有实数根，∴，解得：且．故选A ．10. 若三角形的两边长分别是4和6，第三边的长是方程x 2-5x+6=0的一个根，则这个三角形的周长是（ ）141414142Δ41400b ac a a ⎧=-=+≥⎨≠⎩14a ≥-0a ≠C. 12或13D. 11或16【答案】A 【分析】首先利用因式分解法求得一元二次方程x 2-5x+6=0的两个根，又由三角形的两边长分别是4和6，利用三角形的三边关系，即可确定这个三角形的第三边长，然后求得周长即可．【详解】∵x 2-5x+6=0，∴（x-3）（x-2）=0，解得：x 1=3，x 2=2，∵三角形的两边长分别是4和6，当x=3时，3+4＞6，能组成三角形；当x=2时，2+4=6，不能组成三角形．∴这个三角形的第三边长是3，∴这个三角形的周长为：4+6+3=13.故选A ．11. 如图，在中，，将绕点旋转到'的位置，使得，则的大小为（）ABC ∆64CAB ∠=︒ABC ∆A AB C ''∆//CC AB 'BAB '∠C. D.【答案】B【分析】由平行线的性质可得∠C'CA＝∠CAB＝64°，由折叠的性质可得AC＝AC'，∠BAB'＝∠CAC'，可得∠ACC'＝∠C'CA＝64°，由三角形内角和定理可求解．【详解】∵CC′∥AB，∴∠C'CA＝∠CAB＝64°，∵将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，∴AC＝AC'，∠BAB'＝∠CAC'，∴∠ACC'＝∠C'CA＝64°，∴∠C'AC＝180°−2×64°＝52°，故选：B．12. 已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图象如图所示则下列结论中正确的个数是（ ）①ab＞0；②a+2b＝0；③a+b+c＜0；④方程ax2+bx+c＝﹣3有两个不相等的实数根．62︒68︒C. 2D. 1【答案】B 【详解】∵抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线，∴，，∴，∴，故①正确；∵，∴a-2b=0，故②错误；∵当时，，∴③正确，∵方程ax 2+bx+c ＝﹣3的解可以看做是抛物线y ＝ax 2+bx+c 与直线y=-3的交点的横坐标，∴由函数图像可知抛物线y ＝ax 2+bx+c 与直线y=-3有两个不同的交点，∴方程ax 2+bx+c ＝﹣3有两个不相等的实数根，故④正确，故选B ．二、填空题13. 抛物线y=2(x+1)2+3 的顶点坐标是_________________.【答案】(﹣1，3)【详解】抛物线的顶点坐标为：。
天津市南开区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题
天津市南开区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图所示的四个图形中，是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．用配方法解一元二次方程2680x x -+=，配方后得到的方程是（）A ．()2628x +=B ．()2628x -=C ．()231x +=D ．()231x -=3．如图，AB 是O 的直径，D ，C 是O 上的点，115ADC ∠=︒，则BAC ∠的度数是（）A ．25︒B ．30︒C ．35︒D ．40︒4．据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元.设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x ，依题意可列方程为（）A ．()23.21 3.7x -=B ．()23.21 3.7x +=C ．()23.71 3.2x -=D ．()23.21 3.7x +=5．已知二次函数()2323y x =---，下列说法正确的是（）A ．对称轴为2x =-B ．顶点坐标为()2,3C ．函数的最大值是－3D ．函数的最小值是－36．如图，将ABC 绕点A 逆时针旋转到ADE V ，旋转角为()0180αα︒<<︒，点B 的对A ．24︒B ．287．如图，O 是锐角三角形为,,D E F ，连接,,DE EF FD ．A ．8B ．48．在平面直角坐标系中，将二次函数向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为（A ．2(3)2y x =++B ．y 9．若一个菱形的两条对角线长分别是关于根，且其面积为11，则该菱形的边长为（A ．3B ．10．如图，已知在纸上有一点任意长r 为半径，画半圆O 径作弧，两弧交于点M ，N 心，以OC 长为半径作弧，A ．0B ．112．二次函数(2y ax bx c =++①0abc <；②方程2ax bx c ++④对于任意实数m ，都有(m am A ．1个B ．2个二、填空题13．已知抛物线y =(m －1)x 2开口向下，则14．在平面直角坐标系中，若点是．15．若3x =是关x 的方程2ax三、计算题19．计算(1)()()22213x x -=-四、证明题20．已知关于x 的一元二次方程()22210x m x m m -+++=．(1)求证：无论m 取何值时，方程都有两个不相等的实数根；(2)设该方程的两个实数根为a ，b ，若()()2220a b a b ++=，求m 的值．五、应用题21．二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）的自变量x 与函数值y 的部分n =______；(2)请在给出的平面直角坐标系中，画出二次函数(3)根据图象直接回答下列问题：①当该最值是______；②若该二次函数图象上有两点的大小，其结果是：1y ______2y ；时，则y 的取值范围是______.六、解答题22．在O 中，半径OC 垂直于弦AB ，垂足为D ，60AOC ∠=︒，E 为弦AB 所对的优弧上一点．(1)如图①，求AOB ∠和CEB ∠的大小；(2)如图②，CE 与AB 相交于点F ，EF EB =，过点E 作O 的切线，与CO 的延长线相交于点G ，若3OA =，求EG 的长．八、问答题24．在平面直角坐标系中，三角形ABO 的顶点()0,12A ，()5,0B -，()0,0O ，将ABO 绕点A 按逆时针方向旋转，得到ACD ，点B ，O 的对应点分别为C ，D ，旋转角记为α.图1图2图3(1)如图1，当点C 恰好落在x 轴上时，点C 的坐标为______（直接写出结果）；(2)如图2，当CD AB ∥时（0180α︒<<︒），设直线AC ，DC 分别与x 轴交于点E ，F ，求点E 的坐标和线段CF 的长；(3)如图3，连接OC ，取线段OC 的中点M ，连接DM ，在旋转过程中（0360α︒<<︒），直接写出线段DM 的取值范围.25．在平面直角坐标系中，已知二次函数2412y ax ax a =--（a 为常数，a<0）的图象与x 轴交于点A ，B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，点D 为线段BC 上的一动点（点D 不与B ，C 点重合）．(1)直接写出A，B两点坐标；(2)如图1，当12a=-时，求AOD△周长的最小值；(3)过动点D作DP AC∥，DP与二次函数在第一象限的图象交于点记PAD与PBD△的面积和为S，①如图2，若点C的坐标为(0,3求点P的坐标，并求出此时S的最大值；②若S的最大值为12，直接写出。
天津市滨海新区九年级上学期数学期中试题及答案
天津市滨海新区九年级上学期数学期中试题及答案一、选择题1. 二次函数y＝（x+1）2与x轴交点坐标为（ ）A. （﹣1，0）B. （1，0）C. （0，﹣1）D. （0，1）【答案】A【解析】【分析】二次函数y＝（x＋1）2图象与x轴交点横坐标就是（x＋1）2＝0的根，解方程即可．【详解】二次函数y＝（x+1）2图象与x轴交点横坐标就是（x+1）2＝0的根，解方程（x+1）2＝0，得：x1＝x2＝﹣1，∴二次函数y＝（x+1）2图象与x轴交点坐标为（﹣1，0）；故选A．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、方程的解法；明确二次函数y＝（x＋1）2图象与x轴交点横坐标就是（x＋1）2＝0的根是解题关键．2. 下列图案中是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的定义求解.【详解】解：A、是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意；B、不中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；C、是中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意；D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意.故选C.【点睛】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的定义，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心.是3. 如图，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕顶点 A 逆时针旋转 80°后得△AB′C′，则∠CAB′的度数为（）A. 45°B. 80°C. 125°D. 130°【答案】C【解析】【分析】根据等腰直角三角形的性质得到∠CAB＝45°，根据旋转的性质得到∠BAB′＝80°，结合图形计算即可．【详解】解：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠CAB＝45°，由旋转的性质可知，∠BAB′＝80°，∴∠CAB′＝∠CAB＋∠BAB′＝125°，故选C．【点睛】本题考查的是旋转变换的性质、等腰直角三角形的性质，掌握旋转前、后的图形全等是解题的关键．4. 将二次函数y=x2﹣2x+3化为y=（x﹣h）2+k的形式，结果为（）A. y=（x+1）2+4B. y=（x﹣1）2+4C. y=（x+1）2+2D. y=（x﹣1）2+2【答案】D【解析】【详解】本题是将一般式化为顶点式，由于二次项系数是1，只需加上一次项系数的一半的平方来凑成完全平方式即可得y=x2﹣2x+3=x2﹣2x+1﹣1+3=（x﹣1）2+2．故选D．5. 如图，在矩形ABCD中，AD＝4，DC＝3，将△ADC绕点A按逆时针旋转到△AEF(A、B、E 在同一直线上)，连接CF，则CF的长为( )A. 5 C. 4【答案】D 【解析】【分析】根据旋转的性质可得∠FAC＝∠BAD＝90°，AF ＝AC ，在Rt△ACD 中，利用勾股定理可求AC ，在Rt△FAC 中，利用勾股定理可求CF.【详解】解：∵△ADC 按逆时针方向绕点A 旋转到△AEF，∴∠FAC＝∠BAD＝90°，AF ＝AC ，∵在Rt△ADC 中，AC 5，∴在Rt△FAC 中，CF .故选D.【点睛】本题考查了旋转的性质以及勾股定理的运用，证明△FAC 是等腰直角三角形是解题的关键．6. 如图，AB 为O e 的直径，,C D 为O e 上两点，若40BCD а＝，则ABD Ð的大小为（ ）．A. 60°B. 50°C. 40°D. 20°【答案】B 【解析】【分析】根据题意连接AD ，再根据同弧的圆周角相等，即可计算的ABD Ð的大小.【详解】解：连接AD ，∵AB 为O e 的直径，∴90ADB Ð=°．∵40BCD Ð=°，∴40A BCD Ð=Ð=°，∴904050ABD Ð=°-°=°．故选B ．【点睛】本题主要考查圆弧的性质，同弧的圆周角相等,这是考试的重点，应当熟练掌握.7. 如图，AB 是⊙O 的弦，OC⊥AB 于点H ，若∠AOC＝60°，OH ＝1，则弦AB 的长为( )C. 2D. 4【答案】A 【解析】【分析】在Rt△AOH 中，由∠AOC＝60°，解直角三角形求得AH 解答即可.【详解】解：∵OC⊥AB 于H ，∴AH＝BH ，在Rt△AOH 中，∠AOC＝60°，OH ＝1，∴AB＝2AH ＝故选A.【点睛】本题考查了垂径定理以及解直角三角形，难度不大，掌握相关性质定理是解题关键．8. 如图，在△ABO 中，AB⊥OB，OB ，OB 在x 轴正半轴上，∠AOB＝30°，把△ABO 绕点O 顺时针旋转150°后得到△A 1B 1O ，则点A 的对应点A 1的坐标为( )A. B. (﹣1，﹣2)C. (﹣2，﹣1)D. 【答案】D 【解析】【分析】如图，作A 1E⊥x 轴于E ，解直角三角形求出OE ，EA 1即可解决问题.【详解】解：如图，作A 1E⊥x 轴于E ，在Rt△OAB中，OB30°，∴AB＝1，OA＝2AB＝2，∵∠AOA1＝150°，∴∠A1OB＝120°，∠A1OE＝60°，∴OE＝12OA1＝1，A1E∴A1，故选D.【点睛】本题考查坐标与图形的性质、旋转的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．9. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB＝AD，若∠C＝68°，则∠ABD的度数为( )A. 34°B. 56°C. 68°D. 112°【答案】A【解析】【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A，然后根据三角形内角和定理计算即可.【详解】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A＝180°﹣∠C＝112°，∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∴∠ABD＝12(180°﹣∠A)＝34°，故选A.【点睛】本题考查的圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．10. 已知二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)，函数y与自变量x的部分对应值如下表所示：x ……﹣10123……y……﹣23676……下列说法错误的是( )A. 函数图象开口向下 B. 抛物线的对称轴是直线x ＝2C. b 2﹣4ac＞0 D. 当x≥1时，y≥6【答案】D 【解析】【分析】根据表格中的数据和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确.【详解】解：由表格可得，该函数的对称轴是直线x ＝132+＝2，故选项B 正确，该函数的顶点坐标是(2，7)，有最大值，开口向下，故选项A 正确，该函数与x 轴有两个交点，故b 2﹣4ac＞0，故选项C 正确，当x≥1时，y≤7，故选项D 错误，故选D.【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．11. 如图，抛物线y=ax 2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x=1，如果关于x 的方程ax 2+bx﹣8=0（a≠0）的一个根为4，那么该方程的另一个根为（ ）A. ﹣4B. ﹣2C. 1D. 3【答案】B 【解析】【分析】抛物线()230y ax bx a =++¹与抛物线28y ax bx =+-的对称轴相同是解题的关键.【详解】解：∵关于x 的方程280ax bx +-=有一个根为4，∴抛物线28y ax bx =+-与x 轴的一个交点为（4，0），抛物线()230y axbx a =++¹的对称轴为直线1x =，\抛物线28y ax bx =+-的对称轴也是x=1，∴抛物线与x 轴的另一个交点为()20-，，∴方程的另一个根为2x =-． 故选B ．【点睛】考查抛物线与一元二次方程的关系，抛物线()20y ax bx c a =++¹的对称轴方程是：2b x a=-．12. 已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，对称轴为x=1，经过点（-1，0），有下列结论：①abc＜0；②a+c＞b ；③3a+c=0；④a+b＞m （am+b ）（其中m≠1）其中正确的结论有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C 【解析】【分析】先根据图象的开口确定a, c 的符号，利用对称轴知b 的符号（a<0，c>0，b>0 ），根据图象看出x=1，x=-1，x=m 时y 的值，从而得出答案．【详解】∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴为直线1,2bx a=-= ∴b=﹣2a＞0，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①正确；∵x=﹣1时，y=0，∴a﹣b+c=0，即a+c=b，所以②错误；把b=﹣2a代入a﹣b+c=0中得3a+c=0，所以③正确；∵抛物线的对称轴为直线x=1且m≠1，∴x=1时，函数的最大值为a+b+c，∴a+b+c＞am2+mb+c，即a+b＞m（am+b），所以④正确．故选C．【点睛】考查二次函数与系数的关系.二次项系数a决定抛物线的开口方向，,a b共同决定了对称轴的位置，常数项c决定了抛物线与y轴的交点位置.二、填空题13. 把抛物线y＝﹣2x2向左平移3个单位长度所得图象的解析式是______.【答案】y＝﹣2(x+3)2【解析】【分析】根据“左加右减，上加下减”的平移规律求解即可.【详解】解：把抛物线y＝﹣2x2向左平移3个单位长度所得图象的解析式是y＝﹣2(x+3)2，故答案为y＝﹣2(x+3)2.【点睛】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．14. 在半径为6cm的圆中，长为6cm的弦所对的圆周角的度数为______.【答案】30°或150°【解析】【分析】首先根据题意画出图形，然后在优弧上取点C，连接AC，BC，在劣弧上取点D，连接AD，BD，易得△AOB是等边三角形，再利用圆周角定理，即可求得答案.【详解】解：如图，首先在优弧上取点C，连接AC，BC，在劣弧上取点D，连接AD，BD，∵OA＝OB＝6cm，AB＝6cm，∴OA＝AB＝OB，∴△OAB是等边三角形，∴∠AOB＝60°，∠AOB＝30°，∴∠C＝12∴∠D＝180°﹣∠C＝150°，∴所对的圆周角的度数为：30°或150°.【点睛】此题考查了圆周角定理以及等边三角形判定和性质．注意根据题意画出图形，结合图形求解是关键．15. 若点(23,2)A a b +-与点(8,32)B a b -+关于原点对称，则a b +=_________.【答案】2【解析】【分析】根据关于原点对称的两个点的横、纵坐标互为相反数，可得关于a 、b 的方程组，解方程组即可求得答案.【详解】由题意得：238322a b a b +=ìí+=î，解得：24a b =-ìí=î，所以a+b=2，故答案为2.【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，二元一次方程组的解法，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键.16. 如图⊙I 是△ABC 的内切圆，与AB 、BC 、CA 分别相切于点D 、E 、F ，∠DEF=50°,则∠A=______.【答案】80°【解析】【分析】连结ID 、IF ，如图，先根据圆周角定理得到∠DIF＝2∠DEF＝100°，再根据切线的性质得ID⊥AB，IF⊥AC，则∠ADI＝∠AFI＝90°，然后根据四边形内角和计算∠A 的度数．【详解】解：连结ID 、IF ，如图，∵∠DEF＝50°，∵∠DIF＝2∠DEF＝100°，的∵⊙I是△ABC的内切圆，与AB、CA分别相切于点D、F，∴ID⊥AB，IF⊥AC，∴∠ADI＝∠AFI＝90°，∴∠A＋∠DIF＝180°，∴∠A＝180°−100°＝80°．故答案为80°.【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．17. 如图，AB是圆O的弦，AB＝，点C是圆O上的一个动点，且∠ACB＝45°，若点M、N分别是AB、BC的中点，则MN的最大值是_____．【答案】20【解析】【分析】连接OA、OB，如图，根据圆周角定理得到∠AOB＝2∠ACB＝90°，则OA AB＝20，再根据三角形中位线性质得到MN＝1AC，然后利用AC为直径时，AC的值最大可确定2MN的最大值．【详解】解：连接OA、OB，如图，∴∠AOB＝2∠ACB＝2×45°＝90°，∴△OAB为等腰直角三角形，AB＝20，∵点M、N分别是AB、BC的中点，AC，∴MN＝12当AC为直径时，AC的值最大，∴MN的最大值为20，故答案为20．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了三角形中位线性质．18. 如图，在Rt△ABC中，C 为直角顶点，∠ABC=20°，O 为斜边的中点，将 OA 绕着点 O 逆时针旋转θ°（0＜θ＜180）至 OP，当△BCP恰为轴对称图形时，θ的值为________________．【答案】40°或 100°或 70°【解析】【分析】如图1，连接AP，根据直角三角形的判定和性质得到∠APB=90°，当BC=BP时，得到∠BCP=∠BPC，推出AB垂直平分PC，求得∠ABP=∠ABC=25°，于是得到θ=2×20°=40°，当BC=PC时，如图2，连接CO并延长交PB于H，根据线段垂直平分线的性质得到CH垂直平分PB，求得∠CHB=90°，根据等腰三角形的性质得到θ=2×50°=100°，当PB=PC时，如图3，连接PO并延长交BC于G，连接OC，推出PG垂直平分BC，得到∠BGO=90°，根据三角形的内角和得到θ=∠BOG=70°．【详解】∵△BCP恰为轴对称图形，∴△BCP是等腰三角形，如图1，连接AP，∵O为斜边中点，OP=OA，∴BO=OP=OA，∴∠APB=90°，当BC=BP时，∴∠BCP=∠BPC，∴∠BCP+∠ACP=∠BPC+∠APC=90°，∴∠ACP=∠APC，∴AC=AP，∴AB垂直平分PC，∴∠ABP=∠ABC=20°，∴θ=2×20°=40°，当BC=PC时，如图2，连接CO并延长交PB于H，∵BC=CP，BO=PO，∴CH垂直平分PB，∴∠CHB=90°，∵OB=OC，∴∠BCH=∠ABC=20°，∴∠CBH=70°，∴∠OBH=50°，∴θ=2×50°=100°；当PB=PC时，如图3，连接PO并延长交BC于G，连接OC，∵∠ACB=90°，O为斜边中点，∴OB=OC，∴PG垂直平分BC，∴∠BGO=90°，∵∠ABC=20°，∴θ=∠BOG=70°，综上所述：当△BCP恰为轴对称图形时，θ的值为40°或100°或70°，故答案为40°或100°或70°．【点睛】本题主要考查了旋转的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定等知识的综合运用，熟练的运用旋转的性质和直角三角形斜边的中线等于斜边的一半这一性质是解决问题的关键．三、解答题19. 如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，C两点，与y轴交于B点，抛物线的顶点为点D，已知点A的坐标为(﹣1，0)，点B的坐标为(0，﹣3).(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标.(2)求△ACD的面积.【答案】(1)y＝x2﹣2x﹣3；D(1，-4)；(2)△ACD的面积是8.【解析】【分析】(1)利用待定系数法求函数解析式，然后将解析式化成顶点式，可得点D坐标；(2)首先求出点C坐标，然后由三角形的面积公式解答.【详解】解：(1)把(﹣1，0)，(0，﹣3)分别代入y＝x2+bx+c，得：013b c c=-+ìí=-î，解得：b＝﹣2，c＝﹣3，故该二次函数解析式为：y＝x2﹣2x﹣3=(x-1)2-4，∴点D坐标为(1，-4)；(2)令y＝x2﹣2x﹣3＝0，解得x=-1或x=3，∴C(3，0)，∴AC＝4，∴S△ACD ＝12AC•|yD|＝12×4×4＝8，即△ACD的面积是8.【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数解析式，难度不大，但需要一定的计算能力．20. 四边形ABCD是正方形，△ADF旋转一定角度后得到△ABE，如图所示，如果AF=3，AB=7，求(1)指出旋转中心和旋转角度；(2)求DE的长度；(3)BE与DF的位置关系如何？请说明理由．【答案】(1)旋转中心为点A；旋转角度为90°或270°；(2)DE= 4；(3)BE与DF是垂直关系．【解析】【分析】（1）根据旋转的性质，点A为旋转中心，对应边AB、AD的夹角为旋转角；（2）根据旋转的性质可得AE=AF，AD=AB，然后根据DE=AD-AE计算即可得解；（3）根据旋转可得△ABE和△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=DF，全等三角形对应角相等可得∠ABE=∠ADF，然后求出∠ABE+∠F=90°，判断出BE⊥DF．【详解】（1）根据正方形的性质可知：△AFD≌△AEB，即AE=AF=3，∠EAF=90°，∠EBA=∠FDA；可得旋转中心为点A；旋转角度为90°或270°；（2）∵△ADF按顺时针方向旋转一定角度后得到△ABE，∴△ADF≌△ABE，∴AE=AF=4，AD=AB=7，∴DE=AD-AE=7-4=3；（3）BE、DF的位置关系为：BE⊥DF．理由如下：延长BE交DF于G，∵△ADF按顺时针方向旋转一定角度后得到△ABE，∴△ABE≌△ADF，∴BE=DF，∠ABE=∠ADF，∵∠ADF+∠F=180°-90°=90°，∴∠ABE+∠F=90°，∴BE⊥DF，∴BE、DF的位置关系为：BE⊥DF．【点睛】本题考查旋转的性质和正方形的性质，旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点-旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．21. 如图，△ABC内接于⊙O，BD为⊙O的直径，∠BAC＝120°、OA⊥BC、若AB＝4.(1)求证：四边形OACD为菱形.(2)求AD的长.【答案】(1)证明见解析；【解析】【分析】(1)由已知条件和垂径定理以及圆周角定理易证四边形OACD为平行四边形，再由邻边相等的平行四边形为菱形，可得结论；(2)由(1)可知BD＝2AB＝8，在Rt△ABD中利用勾股定理即可求出AD的长.【详解】(1)证明：∵OA⊥BC，∴»»AB AC=，∴AB＝AC，∠CDA＝∠ADB＝12∠CDB，∵∠BAC＝120°，∴∠BDC＝180°﹣120°＝60°，∴∠CDA＝∠ADB＝30°，∵BD为⊙O的直径，∴∠BAD＝90°∴AC＝AB＝12BD，∠CAD＝∠CAB﹣∠BAD＝30°，∴AC∥OD，AC=OD，∴四边形OACD为平行四边形，又∵OA＝OD，∴四边形OACD为菱形；(2)由(1)可知BD＝2AB＝8，在Rt△ABD中，AD＝【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理、平行四边形的判定、菱形的判定以及勾股定理的运用，题目的综合性较强，难度中等，熟记和圆有关的各种性质定理是解题的关键．22. 如图，⊙O的弦AD∥BC，过点D的切线交BC的延长线于点E，AC∥DE交BD于点H，DO 及延长线分别交AC、BC于点G、F．(1)求证：DF垂直平分AC；(2)求证：FC＝CE；(3)若弦AD＝5cm，AC＝8cm，求⊙O的半径．.【答案】(1)详见解析；（2）详见解析；（3）25 6【解析】【详解】（1）由DE是⊙O的切线，且DF过圆心O，可得DF⊥DE，又由AC∥DE，则DF⊥AC，进而可知DF垂直平分AC；（2）可先证△AGD≌△CGF，四边形ACED是平行四边形，即可证明FC=CE；（3）连接AO可先求得AG=4cm，在Rt△AGD中，由勾股定理得GD=3cm；设圆的半径为r，则AO=r，OG=r-3，在Rt△AOG中，由勾股定理可求得r=25 623. 某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每月可卖出180件，如果该商品计划涨价销售，但每件售价不能高于35元，设每件商品的售价上涨x元(x为整数)时，月销售利润为y元.(1)分析数量关系填表：每台售价(元)303132……30+x月销售量(件)180170160……_____(2)求y与x之间的函数解析式和x的取值范围(3)当售价x(元/件)定为多少时，商场每月销售这种商品所获得的利润y(元)最大？最大利润是多少？【答案】(1)180﹣10x；(2)y＝﹣10x2+80x+1800(0≤x≤5，且x为整数)；(3)每件商品的售价为34元时，商品的利润最大，为1960元.【解析】【分析】(1)由数量关系表可知当每件商品的售价每上涨1元时，则月销售量减少10件，由此填空即可；(2)由销售利润＝每件商品的利润×(180﹣10×上涨的钱数)可得函数解析式，根据每件售价不能高于35元，可得自变量的取值范围；(3)根据二次函数的性质求出最值即可.【详解】解：(1)由表格可得：当每件商品的售价每上涨1元时，则月销售量减少10件，所以当每件商品的售价上涨x元(x为整数)时，月销售量为180﹣10x，故答案为180﹣10x；(2)由题意可知：y＝(30﹣20+x)(180﹣10x)＝﹣10x2+80x+1800(0≤x≤5，且x为整数)；(3)由(2)知，y＝﹣10x2+80x+1800(0≤x≤5，且x为整数).∵﹣10＜0，∴当x ＝802(10)-´-＝4时，y 最大＝1960元；∴当每件商品的售价为34元时，商场每月销售这种商品所获得的利润最大，为1960元.【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在x ＝2b a-时取得.24. 如图1，在平面直角坐标系中，点，0)，，0)，C(0).D ，E 分别是线段AC 和CB 上的点，CD ＝CE.将△CDE 绕点C 逆时针旋转一个角度α.(1)若0°＜α＜90°，旋转过程中当点A ，D ，E 在同一直线上时，连接AD ，BE ，如图2.求证：AD ＝BE ，且AD⊥BE(2)若0°＜α＜360°，D ，E 恰好是线段AC 和CB 上中点，在旋转过程中，当DE∥AC 时，求α的值及点E 的坐标.【答案】(1)证明见解析；(2)α=45°时，点E 的坐标为(1)；α=225°时，点E 的坐)【解析】【分析】(1)证明△ACD≌△BCE，可得AD ＝BE ，∠CAD＝∠CBE，则结论得证；(2)由勾股定理求出AC 长，可求出CD 的长，如图1，当α＝∠ACO＝45°时，求出点E 的坐标为(1)，如图2，当α＝∠ACD＝180°+∠ACO＝225°时，求出点E的坐标为(﹣1，).【详解】(1)∵点，0)，，0)，C(0)，∴OC 垂直平分AB ，OA ＝OB ＝OC ，∴AC＝BC ，∠CAB＝∠CBA＝45°，∠ACB＝90°，根据旋转的性质得，∠ACD＝∠BCE，在的又∵AC＝BC，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴AD＝BE，∠CAD＝∠CBE，∴∠BAE+∠ABE＝(∠CAB﹣∠CAD)+(∠ABC+∠CBE)＝90°，∴∠AEB＝180°﹣(∠BAE+∠ABE)＝90°，即AD⊥BE；(2)由(1)知，∠ACB＝90°，AC＝BC，在Rt△AOC中，AC2，∵D，E是线段AC和CB上的中点，∴1CD CE AC2==＝1，如图1，当α＝∠ACO＝45°时，即∠ACO＝∠CDE＝45°，∴AC∥DE，此时点E的坐标为(1)，如图2，当α＝∠ACD＝180°+∠ACO＝225°时，即∠ACO＝∠CD′E′＝45°，∴AC∥D′E′，此时点E).【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，平行线的判定与性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．25. 如图，抛物线y＝x2+bx﹣3过点A（1，0），直线AD交抛物线于点D，点D的横坐标为﹣2，点P是线段AD上的动点．（1）b＝ ，抛物线的顶点坐标为 ；（2）求直线AD的解析式；（3）过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，连接AQ，DQ，当△ADQ的面积等于△ABD 的面积的一半时，求点Q的坐标．【答案】（1）2 （﹣1，﹣4）；（2）y＝x﹣1；（3）Q（0，﹣3）或（﹣1，﹣4）．【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入函数解析式求得b的值，然后利用配方法将函数解析式转化为顶点式，可以直接求得顶点坐标；（2）结合（1）中抛物线解析式求得点D的坐标，利用点A、D的坐标来求直线AD解析式；（3）由二次函数图象上点的坐标特征求得点B的坐标，易得AB＝4．结合三角形面积公式求得S△ABD＝6．设P（m，m﹣1），Q（m，m2+2m﹣3）．则PQ＝﹣m2﹣m+2．利用分割法得到：S△ADQ ＝S△APQ+S△DPQ＝32PQ＝32（﹣m2﹣m+2）．根据已知条件列出方程32（﹣m2﹣m+2）＝3．通过解方程求得m的值，即可求得点Q的坐标．【详解】解：（1）把A（1，0）代入y＝x2+bx﹣3，得12+b﹣3＝0．解得b＝2．故该抛物线解析式为：y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，即y＝（x+1）2﹣4．故顶点坐标是（﹣1，﹣4）．故答案是：2；（﹣1，﹣4）．（2）由（1）知，抛物线解析式为：y＝x2+2x﹣3．当x＝﹣2，则y＝（﹣2）2+2×（﹣2）﹣3＝﹣3，∴点D的坐标是（﹣2，﹣3）．设直线AD的解析式为：y＝kx+t（k≠0）．把A（1，0），D（﹣2，﹣3）分别代入，得23 k tk t+=ìí-+=-î．解得k1t1=ìí=-î．∴直线AD的解析式为：y＝x﹣1；（3）当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，解得x1＝1，x2＝﹣3，∴B（﹣3，0），∴AB＝4．∴S△ABD ＝12×4×3＝6．设P（m，m﹣1），Q（m，m2+2m﹣3）．则PQ＝（m﹣1）﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣m+2．∴S△ADQ ＝S△APQ+S△DPQ＝12PQ•（1﹣m）+12PQ•（m+2）＝32PQ＝32（﹣m2﹣m+2）．当△ADQ的面积等于△ABD的面积的一半时，32（﹣m2﹣m+2）＝3．解得m1＝0，m2＝﹣1．∴Q（0，﹣3）或（﹣1，﹣4）．【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．。
2022-2023学年天津市河北区九年级上学期数学期中试卷及答案
2022-2023学年天津市河北区九年级上学期数学期中试卷及答案一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 在平面直角坐标系中，与点（4，﹣5）关于原点对称的点的坐标是（ ）A. （﹣4，﹣5）B. （﹣4，5）C. （4，﹣5）D. （4，5）【答案】B【解析】【分析】利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P （x ，y ）关于原点O 的对称点是P′（-x ，-y ），进而得出答案．【详解】解：点（4，﹣5）关于原点对称的点的坐标为：（﹣4，5）．故选B ．【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确掌握关于原点对称点的性质是解题关键．2. 下列图案中，是中心对称图形的是（ ）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．【详解】解：选项A 、C 、D 均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；选项B 能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；故选：B ．【点睛】本题主要考查了中心对称图形，关键是找出对称中心．3. 已知的半径为，点到圆心的距离为，则点和的位置关系是O 10cm P O 12cm P O （ ）A. 点在圆内B. 点在圆上C. 点在圆外D. 不能确P P P 定【答案】C【解析】 【分析】根据点与圆心的距离与半径的关系进行判断.【详解】解：∵点到圆心的距离＞半径，即OP ＞r ，P O ∴点P 在圆外．故选C ．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系．关键要记住若半径为r ，点到圆心的距离为d ，则有：当d ＞r 时，点在圆外；当d ＝r 时，点在圆上；当d ＜r 时，点在圆内．4. 已知点，，在二次函数的图象上，则，()12,A y -()22,B y ()35,C y 23y x k =-+1y ，的大小关系是（ ） 2y 3y A.B. C. D. 123y y y <<321y y y <<123y y y =>123y y y =<【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的图象，开口向下，对称轴为，根据二次函数图23y x k =-+0x =象的对称性可知，与点对称，进而根据当时，随的增大而减小()12,A y -()22,By 0x >y x 进行判断即可．【详解】二次函数的图象，开口向下，对称轴， 23y x k =-+0x =与点对称，∴()12,A y -()22,B y∴12y y =当时，随的增大而减小，0x >y x ，，()22,B y ()35,C y 25<32y y ∴<．123y y y ∴=>故选C ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数图像与性质是解题的关键．5. 抛物线的顶点坐标是（ ）12y x x =--（)(-）A. （1,2）B. （-1,2）C.D. 31,24⎛⎫- ⎪⎝⎭ 31,24⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】【分析】将抛物线解析式整理后，化为顶点形式，即可找出顶点坐标．【详解】解：抛物线== 12y x x =--（)(-）232x x -+-231--24+（x ）则抛物线的顶点坐标为： 31,24⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】此题考查了二次函数的性质，将抛物线解析式化为顶点形式是解本题的关键．6. 已知关于的方程，下列说法正确的是（ ） x ()2110kx k x +--=A. 当时，方程无解0k =B. 当时，方程有一个实数解1k =C. 当时，方程有两个相等的实数解1k =-D. 当时，方程总有两个不相等的实数解0k ≠【答案】C【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式求解即可．()()()221411k k k ∆=--⋅⋅-=+【详解】解：当时，方程为一元一次方程有唯一解，．0k =10x -=1x =当时，方程为一元二次方程，解的情况由根的判别式确定：0k ≠∵，()()()221411k k k ∆=--⋅⋅-=+∴当时，方程有两个相等的实数解，1k =-当且时，方程有两个不相等的实数解．0k ≠1k ≠-综上所述，说法C 正确．故选：C ．【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当240b ac ∆=->240b ac ∆=-=时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数24<0b ac ∆=-根．7. 某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由元降到了元，设32002500平均每月降低的百分率为x ，根据题意列出的方程是（ ）A.B. ()2250013200x +=()2250013200x -=C.D. ()2320012500x -=()2320013200x +=【答案】C【解析】 【分析】设平均每月降低的百分率为x ，根据题意“经过四、五月份连续两次降价，每部售价由元降到了元”列出一元二次方程即可求解．32002500【详解】解：设平均每月降低的百分率为x ，根据题意列出的方程是, ()2320012500x -=故选：C【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．8. 如图，是的弦，交于点，点是上一点，，AB O OC AB ⊥O C D O 30ADC ∠=︒则的度数为（ ）． BOC ∠A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°【答案】D【解析】 【分析】由垂径定理、等腰三角形的性质和平行线的性质证出∠OAC=∠OCA=∠AOC，得出△OAC 是等腰三角形，得出∠BOC=∠AOC=60°即可．【详解】解：如图，∵，30ADC ∠=︒∴．260AOC ADC ∠=∠=︒∵是的弦，交于点，AB O OC AB ⊥O C ∴． AC BC=∴．60AOC BOC ∠=∠=︒故选D ．【点睛】本题考查垂径定理，解题关键证明. AC BC=9. 正方形ABCD 在坐标系中的位置如图所示，将正方形ABCD 绕D 点顺时针旋转90°后，B 点的坐标为（ ）A. （－2，2）B. （4，1）C. （3，1）D. （4，0）【答案】D【解析】 【详解】试题分析：根据旋转的性质作出旋转后的图形，写出点B 对应点的坐标即可得解．如图，点B 的对应点B′的坐标为（4，0）．考点：1.坐标与图形变化-旋转；2.正方形的性质．10. 二次函数（a ，b ，c 是常数，）的自变量x 与函数值y 的部分对2y ax bx c =++0a ≠应值如下表： x … 2- 1-0 1 22y ax bx c =++…t m 2- 2-n 且当时，与其对应的函数值．有下列结论： 12x =-0y >①；②和3是关于x 的方程的两个根；③． 0abc >2-2ax bx c t ++=2003m n <+<其中，错误结论的个数是（ ）A. 3B. 2C. 1D. 0 【答案】B【解析】【分析】利用待定系数法将点，代入解析式求出，，再结合(0,2)-(1,2)-0a b +=2c =-二次函数图象与已知信息当时，得出，进而判断①结论；根据二次函12x =-0y >0a >数对称轴由二次函数的轴对称性进而判断②结论；利用待定系数法将点，2b x a=-(1,)m -代入解析式得出，结合的范围，判断③结论．(2,)n 4(1)m n a +=-a 【详解】二次函数（a ，b ，c 是常数，），2y ax bx c =++0a ≠当时，，0x =2y c ==-当时，，1x =2y a b c =++=-．0a b ∴+=当时，其对应的函数值， 12x =-0y >二次函数开口向下，．∴a<0，，，a<00b >0c <．①结论符合题意；0abc ∴>时，，2x =-y t =是关于x 的方程的根．∴2-2ax bx c t ++=对称轴， 1222b a x a a -=-=-=和3是关于x 的方程的两个根．②结论符合题意；∴2-2ax bx c t ++=∵2b a c =-=-，∴二次函数解析式：22y ax x a -=-∵当时，与其对应的函数值． 12x =-0y >∴， 3204a ->∴； 83a >∵当和时的函数值分别为和，=1x -2x =m n ∴，22m n a ==-∴；故③错误 20443m n a +=->正确的结论有2个．∴故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的综合题型，主要利用了二次函数图象与系数的关系，二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程等知识点，要会利用数形结合的思想，根据给定自变x y量与函数值的值结合二次函数的性质逐条分析给定的结论是关键．二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．11. 把二次函数y＝x2﹣4x+3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式是_____．【答案】y＝（x﹣2）2﹣1．【解析】【分析】根据题意利用配方法加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式即可．【详解】解：y＝x2﹣4x+3＝（x2﹣4x+4）﹣4+3＝（x﹣2）2﹣1故答案为：y＝（x﹣2）2﹣1．【点睛】本题考查二次函数的一般式化为顶点式，注意掌握二次函数的解析式有三种形式：一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；顶点式：y=a（x-h）2+k；交点式（与x 轴）：y=a（x-x1）（x-x2）．12. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝135°，则∠AOC的度数为_____．90【答案】##90度【解析】【分析】由圆内接四边形的性质先求得∠D的度数，然后依据圆周角定理求解即可.【详解】∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠B＋∠D＝180°，∴∠D＝180°－135°＝45°，∴∠AOC＝90°，故答案为90°.【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的基本性质以及圆周角定理.13. 已知△ABC的三条边长分别为6cm，8cm，10cm，则这个三角形的外接圆的面积为__________cm2．（结果用含的代数式表示）【答案】25π【解析】【详解】试题分析：此三角形是直角三角形，则外接圆的直径就是直角三角形的斜边10cm,故外接圆半径为5cm,所以面积是25πcm2．14. 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A，B两点．若点A的坐标为(－2，0)，抛物线的对称轴为直线x＝2，则线段AB的长为___________．【答案】8【解析】【分析】由抛物线的对称性可知点B的坐标（6，0），从而可求得AB的长．【详解】解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A，B两点．抛物线的对称轴为x=2，∴点A与点B关于x=2对称．∴点B的坐标为（6，0）．∴AB=8．故答案为：8．【点睛】本题主要考查的是二次函数的图象和性质，根据抛物线的对称性求得点B的坐标是解题的关键．15. 当2≤x≤5时，二次函数y＝﹣（x﹣1）2+2的最大值为_____．【答案】1．【解析】【分析】先根据二次函数的图象和性质判断出2≤x≤5时的增减性，然后再找最大值即可.x【详解】对称轴为1∵a＝﹣1＜0，∴当x＞1时，y随x的增大而减小，∴当x＝2时，二次函数y＝﹣（x﹣1）2+2的最大值为1，故答案为：1．【点睛】本题主要考查二次函数在一定范围内的最大值，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键.16. 如图，⊙O的弦BC长为8，点A是⊙O上一动点，且∠BAC=45°，点D，E分别是BC，AB 的中点，则DE长的最大值是_____．【答案】【解析】【分析】当AC是直径时，DE最长，求出直径即可解决问题．【详解】当AC 是直径时，∵∠BAC＝45°，∠ABC＝90°，∴∠BAC＝∠BCA＝45°，∴AB＝BC ＝8，，∵AE＝EB ，BD ＝DC ，∴DE＝AC ＝．12故答案为：．【点睛】本题考查三角形中位线性质、圆的有关性质，解题的关键是灵活应用三角形中位定理识解决问题，属于中考常考题型．17. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到ABC 5,6AB AC BC ===ABC B 60︒连接，则的长为_______．',A BC ' 'A C 'A C【答案】4+【解析】【分析】连结CC′，A′C 交BC 于O 点，如图，利用旋转的性质得BC=BC′=6，∠CBC′=60°，A′B=AB=AC=A′C′=5，则可判断△BCC′为等边三角形，接着利用线段垂直平分线定理的逆定理说明A′C 垂直平分BC'，则，然后利用勾股定理计算1'32BO BC ==出A′O，CO ，即可求解．【详解】解：连结交于点，如图 ','CC A C BC 绕点逆时针旋转得到ABC ∆ B 60︒'''A B C ∆，，'6BC BC ∴=='60CBC ︒∠=''5,A B AB AC A C ====为等边三角形，'BCC ∴∆'CB CB ∴=而''',A B A C =垂直平分'A C ∴',B C1'32BO BC ∴==在中，'Rt A OB ∆'4A O ===在中，Rt OBC ∆ sin sin 60OC t CBO BC︒∠==6OC ∴==''4A C A O OC ∴=+=+故答案为：4+【点睛】此题考查旋转的性质，等边三角形的性质，解题的关键是证明△BCC′为等边三角形和A′C⊥BC′．18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，ABC 的顶点A 在格点上，B 是小正方形 边的中点，经过点A ，B 的圆的圆心在边AC 上．（1）弦AB 的长等于_____；（2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，找出经过点A ，B 的圆的圆心O ，并简要说明点O 的位置是如何找到的（不要求证明）_____．【答案】 ①. ②. 90°的圆周角所对的弦是直径 【解析】【分析】（1）由勾股定理即可得出答案；（2）取圆与网格线的交点D 、E ，连接DE 交AC 于O ，点O 即为经过出点A ，B 的圆的圆心；由圆周角定理即可得出结论．【详解】解：（1）由勾股定理得：AB ；； （2）如图试所示：取圆与网格线的交点D 、E ，连接DE 交AC 于O ，点O 即为经过出点A ，B 的圆的圆心； 理由如下： ∵∠EAD＝90°， ∴DE 为圆O 的直径，∵经过点A ，B 的圆的圆心在边AC 上， ∴DE 与AC 的交点即为点O ；故答案为：90°的圆周角所对的弦是直径．【点睛】本题考查了圆周角定理、勾股定理；熟练掌握圆周角定理和勾股定理是解题的关键．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 解方程:. 2410x x -+=【答案】x 1=，x 2= 2+2【解析】【分析】根据一元二次方程的求根公式，即可求解． 【详解】解:∵， 141a b c ==-=，，∴.24120b ac =-=>，2=∴x 1=，x 2=．2+2【点睛】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握求根公式，是解题的关键．20. 二次函数（a ，b ，c 是常数）的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下2y ax bx c =++表： x … -2 -1 0 1 2 … y…m-3-4-3…（Ⅰ）求这个二次函数的解析式； （Ⅱ）求m 的值；（Ⅲ）当时，求y 的最值（最大值和最小值）及此时x 的值．15x -≤≤【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）m=5；（Ⅲ）x=1时，y 有最小值为-4，x=5时，y 2(1)4y x =--有最大值为12 【解析】【分析】（Ⅰ）利用待定系数法求函数解析式即可 （Ⅱ）直接将代入函数解析式即可求解2x =-（Ⅲ）利用表格中的数，在结合二次函数的增减性即可解答 【详解】解：（Ⅰ）设， 2(1)4y a x =--将代入得，()0,3-2(1)4y a x =--，43a -=-解得，1a =∴这个二次函数的解析式为． 2(1)4y x =--（Ⅱ）当时，．2x =-2(21)45m =---=（Ⅲ）根据表格可知：函数的对称轴为，在对称轴左侧随的增大而减小，在对称1x =y x 轴右侧随的增大而增大，y x 自变量，15x -≤≤当时，y 有最小值为-4，∴1x =当时，y 有最大值为．∴5x =2(51)416412--=-=【点睛】本题考查了二次函数图像与性质及待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数图像和性质是解题关键．21. 已知是的直径，是的切线，切点为A ，交的延长线于点D ，BC O AD O AD CB 连接，．AB AO（1）如图①，求证：； OAC DAB ∠=∠（2）如图②，，若E 是上一点，求的大小．AD AC =O E ∠【答案】（1）见解析 （2） 30︒【解析】【分析】（1）先由切线和直径的性质推导得出，，即90DAO ∠= 90BAC ∠= ，，再由同角的余角相等即可得出结论；90DAB BAO ∠+∠= 90BAO OAC ∠+∠= （2）由等腰三角形的性质和圆的性质推导出，由及三角形内2ABC C ∠=∠90BAC ∠= 角和定理，可求出，最后由同圆中，同弧所对的圆周角相等，可得的度数． C ∠E ∠【小问1详解】证明：∵AD 是的切线，切点为A ， O ∴， DA AO ⊥∴，90DAO ∠= ∴， 90DAB BAO ∠+∠= ∵是的直径， BC O ∴，90BAC ∠= ∴， 90BAO OAC ∠+∠= ∴． OAC DAB ∠=∠【小问2详解】 解：∵， OA OC =∴， OAC C ∠=∠∵，AD AC =∴， D C ∠=∠∴， OAC D ∠=∠∵， OAC DAB ∠=∠∴， DAB D ∠=∠∵， ABC D DAB ∠=∠+∠∴，2ABC D ∠=∠∵， D C ∠=∠∴， 2ABC C ∠=∠∵， 90BAC ∠= ∴， 90ABC C ∠+∠= ∴， 290C C ∠+∠= ∴， 30C ∠= ∴．30E C ∠=∠= 【点睛】本题考查了切线的相关性质，圆周角定理，综合运用以上几何性质推导角的数量关系是解题的关键．22. 某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每月可卖出180件，如果该商品计划涨价销售，但每件售价不能高于35元，设每件商品的售价上涨x 元(x 为整数)时，月销售利润为y 元.(1)分析数量关系填表： 每台售价(元) 30 31 32 …… 30+x 月销售量(件)180170160……_____(2)求y 与x 之间的函数解析式和x 的取值范围(3)当售价x(元/件)定为多少时，商场每月销售这种商品所获得的利润y(元)最大？最大利润是多少？【答案】(1)180﹣10x；(2)y ＝﹣10x 2+80x+1800(0≤x≤5，且x 为整数)；(3)每件商品的售价为34元时，商品的利润最大，为1960元. 【解析】【分析】(1)由数量关系表可知当每件商品的售价每上涨1元时，则月销售量减少10件，由此填空即可；(2)由销售利润＝每件商品的利润×(180﹣10×上涨的钱数)可得函数解析式，根据每件售价不能高于35元，可得自变量的取值范围； (3)根据二次函数的性质求出最值即可.【详解】解：(1)由表格可得：当每件商品的售价每上涨1元时，则月销售量减少10件， 所以当每件商品的售价上涨x 元(x 为整数)时，月销售量为180﹣10x， 故答案为180﹣10x；(2)由题意可知：y ＝(30﹣20+x)(180﹣10x)＝﹣10x 2+80x+1800(0≤x≤5，且x 为整数)； (3)由(2)知，y ＝﹣10x 2+80x+1800(0≤x≤5，且x 为整数). ∵﹣10＜0，∴当x ＝＝4时，y 最大＝1960元；802(10)-⨯-∴当每件商品的售价为34元时，商场每月销售这种商品所获得的利润最大，为1960元. 【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在x ＝时取得. 2ba-23. 如图1，在平面直角坐标系中，A （3，0），B （0，3），将Rt△AOB 绕点B 逆时针方向旋转α（0°＜α＜360°）得到Rt△DCB． （1）求AB 的长；（2）当旋转角α＝20°时，如图1，AB 与CD 交于点F ，求∠BFC 的度数； （3）当旋转角α＝60°时，如图2，连接OD ，求OD 的长．【答案】（1）；（2）65°；（3【解析】【分析】（1）利用勾股定理，即可求解；（2）根据旋转的性质，可得∠D=∠OAB=45°，∠ABD=20°，即可求解；（3）连接AD ，OC ，设AB 与OD 交于点M ，根据旋转的性质，可得△ABD 是等边三角形，从而得到 ，然后设D （x ，y ），可得x=y ，从而得到∠AOD=45°，进而AD BD AB ===得到AB⊥OD，从而，再由勾股定理，可求出DM ，即可求解． 12OM AB =【详解】解：（1）∵A（3，0），B （0，3）， ∴OA=OB=3，在 中，由勾股定理得：Rt AOB；AB ==（2）∵OA=OB，∠AOB=90°， ∴∠OAB=∠ABO=45°，∵将Rt△AOB 绕点B 逆时针方向旋转α得到Rt△DCB，α＝20°， ∴∠D=∠OAB=45°，∠ABD=20°， ∴∠BFC=∠D+∠ABD=45°+20°=65°；（3）如图，过点D 作DN⊥x 轴于点N ，连接AD ，OC ，设AB 与OD 交于点M ，∵将Rt△AOB 绕点B 逆时针方向旋转60°得到Rt△DCB， ∴∠OBC=∠ABD=60°，AB=BD ，BC=OB ， ∴△ABD 是等边三角形，∴ ， AD BD AB ===设D （x ，y ），∴ ， ， ()2223AD x y =-+()2223BD x y =+-∴，解得：x=y ， ()()222233x y x y +-=-+∴D（x ，x ）， ∴ ， DN ON =∴∠AOD=45°， ∵∠OAB=45°，∴∠AMO=90°，即AB⊥OD， ∵OA=OB，∴AM=BM=， 12AB =∴， 1122OM AB ==⨯=在 中，由勾股定理得：Rt ADM △， DM ==∴ ． OD OM DM =+==【点睛】本题主要考查了图形的变换——旋转，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质，等边三角形的性质和判定定理，等腰三角形的判定和性质定理是解题的关键．24. 如图，二次函数的图象交x 轴于点，，交y 轴于点2y x bx c =++()30A -,()10B ,C ．点是x 轴上的一动点，轴，交直线于点M ，交抛物线于点N ．(),0P m PM x ⊥AC（1）求这个二次函数的表达式；（2）①若点P 仅在线段上运动，如图1．求线段的最大值；AO MN ②若点P 在x 轴上运动，则在y 轴上是否存在点Q ，使以M ，N ，C ，Q 为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）①，②存在，223y x x =+-94123(0,1),(0,1),1)Q Q Q ----【解析】【分析】（1）把代入中求出b ，c 的值即可； (3,0),(1,0)A B -2y x bx c =++（2）①由点得，从而得(),0P m ()2(,3),,23M m m N m m m --+-，整理，化为顶点式即可得到结论；()2(3)23MN m m m =---+-②分MN=MC 和两种情况，根据菱形的性质得到关于m 的方程，求解即可．MC =【详解】解：（1）把代入中，得(3,0),(1,0)A B -2y x bx c =++ 093,01.b c x c =-+⎧⎨=++⎩解得2,3.b c =⎧⎨=-⎩∴．223y x x =+-（2）设直线的表达式为，把代入．AC y kx b =+(3,0),(0,3)A C --y kx b =+得，解这个方程组，得03,3.k b b =-+⎧⎨-=⎩1,3.k b =-⎧⎨=-⎩∴．3y x =--∵点是x 轴上的一动点，且轴．(),0P m PM x ⊥∴． ()2(,3),,23M m m N m m m --+-∴ ()2(3)23MN m m m =---+-23m m =--．23924m ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭∵， 10a =-<∴此函数有最大值．又∵点P 在线段上运动，且 OA 3302-<-<∴当时，有最大值． 32m =-MN 94②∵点是x 轴上的一动点，且轴．(),0P m PM x ⊥∴． ()2(,3),,23M m m N m m m --+-∴()2(3)23MN m m m =---+-23m m =--（i ）当以M ，N ，C ，Q 为顶点的四边形为菱形，则有MN=MC ，如图，∵C（0，-3）=∴23m m --整理得， 432670m m m ++=∵， 20m ≠∴，2670m m ++=解得，， 13m =-+23m =-∴当CQ=MN=， 3m =-2-∴OQ=-3-()= 2-1--∴Q(0，)；1-当m=时，CQ=MN=-， 3-2-∴OQ=-3-(-)= 2-1-∴Q(0，)； 1-(ii)若，如图，MC =则有 23m m --整理得， 432650m m m ++=∵， 20m ≠∴， 2650m m ++=解得，， 11m =-25m =-当m=-1时，MN=CQ=2， ∴Q（0，-1），当m=-5时，MN=-10＜0（不符合实际，舍去）综上所述，点Q 的坐标为123(0,1),(0,1),1)Q Q Q ----【点睛】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用线段的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，解（3）的关键是利用菱形的性质得出关于m 的方程，要分类讨论，以防遗漏．。
2022-2023学年天津市武清区九年级上学期数学期中试卷及答案
2022-2023学年天津市武清区九年级上学期数学期中试卷及答案一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．请将正确选项填在下表中）1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）A.211x x -=22=C.D. 22x y +=()233x +=-【答案】B【解析】【分析】根据一元二次方程的概念，对选项逐个判断即可．含有一个未知数并且未知数的最高次数为2的整式方程为一元二次方程．【详解】解：A ．分母含有未知数，不是整式方程，不符合题意；B ．是一元二次方程，符合题意；C ．含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；D ．未知数的最高次数为1，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：B【点睛】此题考查了一元二次方程的概念，解题的关键是掌握一元二次方程的概念．2. 下列图形绕某点旋转180°后，不能与原来图形重合的是（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】解：根据中心对称图形与轴对称图形的概念可得，A 、 C 、D 均是中心对称图形，B 只是轴对称图形，故答案选B ．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，熟练掌握此概念是解题的关键．3. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据中心对称图形的概念对各图形分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这180︒个点叫做对称中心．【详解】解：A ．不是中心对称图形，故本选项不合题意；B ．不是中心对称图形，故本选项不合题意；C ．不是中心对称图形，故本选项不合题意；D ．是中心对称图形，故本选项符合题意；故选：D【点睛】本题考查了中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的概念是关键．4. 一元二次方程的根是( )()33x x x -=-A. -1B. 1和3C. -1和3D. 3 【答案】C【解析】【分析】此题应对方程进行变形，提取公因式x-3，将原式化分解为两式相乘的形式，再根据“两式相乘值为0，则至少有一式值为0”来解题.【详解】解：x(x-3)=3-xx(x-3)-(3-x)=0(x-3)(x+1)=0∴x-3=0或x+1=0x 1=3,x 2=-1故选C.【点睛】解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法.5. 抛物线的顶点坐标是（ ） ()21232y x =--A. B. C. D. ()2,3-()2,3()2,3-()2,3--【解析】【分析】根据二次函数y=a(x-h)2+k 的性质解答即可．【详解】解：抛物线的顶点坐标是， ()21232y x =--()2,3-故选A ．【点睛】本题考查了二次函数y=a(x-h)2+k(a ，h ，k 为常数，a≠0)的性质，熟练掌握二次函数y=a(x-h)2+k 的性质是解答本题的关键． y=a(x-h)2+k 是抛物线的顶点式，a 决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是(h ，k)，对称轴是x=h ．6. 用配方法解方程时，配方后所得的方程为（ ）2210x x --=A . B.210x +=（）210x -=（）C.D. 212x +=（）212x -=（）【答案】D【解析】【分析】先把常数项移项，然后在等式的两边同时加上一次项系数的一半的平方即可．【详解】解：利用配方法如下：2210x x --=221x x -=22111x x -+=+．()212x -=故选D ．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法的一般步骤是解题关键．7. 二次函数y=ax 2+bx﹣1（a≠0）的图象经过点（1，1），则a+b+1的值是（ ）A. ﹣3B. ﹣1C. 2D. 3 【答案】D【解析】【详解】试题分析：把（1，1）代入y=ax 2+bx﹣1可得到a+b-1=1，即可得a+b=3，故答案选D ．．考点：二次函数图象上点的坐标特征．8. 抛物线y ＝3x 2＋2x －1向上平移4个单位长度后的函数解析式为( )A. y ＝3x 2＋2x －5B. y ＝3x 2＋2x －4C. y ＝3x 2＋2x ＋3D. y ＝3x 2＋2x ＋4【答案】C【详解】试题分析：利用平移规律“上加下减”，抛物线y=3x 2+2x﹣1向上平移4个单位长度，解析式中常数项加4，所以是y=3x 2+2x﹣1+4=3x 2+2x+3，故选C ．考点：二次函数的图象与几何变换．9. 用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x 米，则根据题意可列出关于x 的方程为（ ）A. B. C. D. ()56x x +=()56x x -=()106x x -=()1026x x -=【答案】B【解析】【分析】一边长为x 米，则另外一边长为：5-x ，根据它的面积为6平方米，即可列出方程式．【详解】解：一边长为x 米，则另外一边长为：5-x ，由题意得：x （5-x ）=6，故选：B ．【点睛】本题考查了由实际问题抽相出一元二次方程，难度适中，解答本题的关键读懂题意列出方程式．10. 如图，P 为正方形内一点，，将绕点C 逆时针旋转得到ABCD 1PC =CDP △，则的长是（ ）CBE △PEA. 1 C. 2 D. 【答案】B【解析】 【分析】根据旋转的性质，旋转后的三角形是等腰直角三角形，由勾股定理可求得CPE △PE 【详解】∵绕点C 逆时针旋转得到，其旋转中心是点C ，旋转角度是 CDP △CBE △90 ∴,90PCE ∠= 1CE CP ==∴是等腰直角三角形CPE △∴PE ==故选项是B ．【点睛】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握正方形和旋转的性质，得出三角形是等腰直角三角形是解决问题的关键11. 已知抛物线y ＝x 2+bx+c 的部分图象如图所示，若y ＜0，则x 的取值范围是（ ）A. ﹣1＜x ＜4B. ﹣1＜x ＜3C. x ＜﹣1或x ＞4D. x ＜﹣1或x ＞3【答案】B【解析】 【分析】首先求出点（-1，0）关于对称轴x=1的对称点，进而结合图象可得当y ＜0时x 的取值范围．【详解】解：根据图象可知，抛物线的对称轴为x=1，抛物线与x 轴的一个交点为（-1，0），则（-1，0）关于x=1对称的点为（3，0），即抛物线与x 轴另一个交点为（3，0），所以y ＜0时，x 的取值范围是-1＜x ＜3．故选：B ．【点睛】本题主要考查了抛物线与x 轴的交点的知识，解答本题的关键是求出抛物线与x 轴的另一个交点坐标．12. 如图，二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象与y 轴正半轴相交，其顶点坐标为（，1），下列12结论：①abc＜0；②a+b＝0；③4ac﹣b 2＝4a ；④a+b+c＜0．其中正确的有（ ）个．A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】根据开口方向、对称轴以及抛物线与y 轴的交点可判断①，根据对称轴可判断②，根据顶点纵坐标可判断③，根据特殊点可判断④．【详解】①∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴为x ＝﹣＝， 2b a12∴b＝﹣a＞0，∵抛物线与y 轴交点在y 轴正半轴，∴c＞0，∴abc＜0，①正确；②∵b＝﹣a，∴a+b＝0，②正确；③∵抛物线的顶点坐标为（，1）， 12∴＝1， 244ac b a-∴4ac﹣b 2＝4a ，③正确；④∵抛物线的对称轴为x ＝，12∴x＝1与x ＝0时y 值相等，∵当x ＝0时，y ＝c ＞0，∴当x ＝1时，y ＝a+b+c ＞0，④错误．综上所述：正确的结论为①②③．故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系以及二次函数的性质，根据二次函数的图象分析出a 、b 、c 之间的关系是解题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将答案直接填在题中横线上）13. 已知一元二次方程有两个相等的实数根，则____________．230x x k ++=k =【答案】####2.25 94124【解析】【分析】根据题意可得：判别式，求解即可．224340b ac k ∆=-=-=【详解】解：根据题意可得：判别式，224340b ac k ∆=-=-=解得 94k =故答案为：94【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个相等的实数根”240b ac ∆=-=是解题的关键．14. 若点关于轴的对称点是，则的值是____________．()3,A a x (),3B b -ab 【答案】9【解析】【分析】根据关于轴对称的点的坐标特征，“横坐标不变，纵坐标变为相反数”，求得x ，即可求解．a b ，【详解】解：由题意可得：，3b =3a -=-解得，3a =3b =9ab =故答案为：9【点睛】此题考查了关于轴的对称点的坐标特征，解题的关键是掌握相关基础知识．x 15. 若，，为二次函数的图象上的三点，13,4A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭25,4B y ⎛⎫- ⎪⎝⎭31,4C y ⎛⎫ ⎪⎝⎭245y x x =+-则，，的大小关系是_______________．（用“”连接）1y 2y 3y <【答案】231y y y <<【解析】【分析】把二次函数的解析式化为顶点式可得二次函数图象的对称轴为直线，从而2x =-得到当时，y 随x 增大而增大，即可求解．2x >-【详解】解：，()224529y x x x =+-=+-∴二次函数图象的对称轴为直线，2x =-∵，10>∴当时，y 随x 增大而增大，2x >-∵， 513444-<<∴．231y y y <<故答案为：231y y y <<【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．16. 已知二次函数的图像与x 轴的一个交点为，则关于x 的一22(0)y ax ax c a =-+≠(1,0)-元二次方程的根为____________．220ax ax c -+=【答案】，##，11x =-23x =13x =21x =-【解析】【分析】先确定二次函数图像的对称轴，再根据抛物线的对称性，确定抛物线与x 轴的两个交点的坐标，交点的横坐标就是一元二次方程的解．【详解】解：由题意可知，二次函数的对称轴是直线， 22y ax ax c =-+212a x a-=-=则点（−1，0）关于的对称点是（3，0），1x =所以一元二次方程的两个实数根是，．220ax ax c -+=11x =-23x =故答案为：，．11x =-23x =【点睛】此题主要考查了二次函数与一元二次方程的联系的问题，解题关键在于掌握抛物线的性质，利用对称轴求出另一点坐标．17. 如图，把绕点A 逆时针旋转，得到，点恰好落在边AB 上，Rt ABC 44 ''Rt AB C 'C 连接，则 ______ ． 'BB ''BB C ∠=【答案】22 【解析】【分析】根据旋转的性质可得AB= AB'，∠BAB'=44°，然后根据等腰三角形两底角相等求出∠ABB'，再利用直角三角形两锐角互余，列式计算即可求出答案．【详解】解：∵Rt△ABC 绕点A 逆时针旋转44°得到Rt△AB'C'，∴AB= AB'，∠BAB'=44°，∴△ABB'是等腰三角形， ∴∠ABB'=（180°-∠BAB'）=（180°-44°）=68°， 1212∵∠AC'B'=∠C=90°，∴B'C'⊥AB，∴∠BB'C'=90°-∠ABB'=90°-68°=22°．故答案为22°．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的两锐角互余，比较简单，熟记旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状和大小得到等腰三角形是解题的关键．18. 如图，用20 m 长的铁丝网围成一个一面靠墙的矩形养殖场，其养殖场的最大面积________m 2．【答案】50【解析】【详解】设与墙平行的一边长为xm ，则另一面为 ， 202x -其面积=， 2201·1022x x x x -=--∴最大面积为 ； 241005042ac b a -==即最大面积是50m 2．故答案是50．【点睛】求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次系数a 的绝对值是较小的整数时，用配方法较好，如y=-x2-2x+5，y=3x2-6x+1等用配方法求解比较简单．三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出立字说明、演算步骤或证明过程）19. 解下列方程（1）()223810x +-=（2）2620x x --=（3）()53264x x x +=+【答案】（1），；13x =26x =-（2），；13x =+23x =（3），； 123x =-225x =【解析】【分析】（1）利用开平方法解方程即可；（2）利用公式法解方程即可；（3）利用因式分解法解方程即可．【小问1详解】解：()223810x +-=方程可变为，，()22381x +=开平方得，，239x +=±即或，239x +=239x +=-解得，，；13x =26x =-【小问2详解】2620x x --=由题意得，，1,6,2a b c ==-=-则，()()224641244b ac ∆=-=--⨯⨯-=∴， 3x ===±即，；13x =23x =【小问3详解】()53264x x x +=+可变为，()()32520x x +-=则或320x +=520x -=解得，； 123x =-225x =【点睛】此题考查了一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．20. 在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的三个顶点ABC 都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）．画绕点顺时针旋转后的ABC O 90︒． 111A B C【答案】见解析【解析】【分析】将的顶点绕点顺时针旋转得到，顺次连接ABC ,,A B C O 90︒111,,A B C 111,,A B C 即可．【详解】解：如图，将的顶点绕点顺时针旋转得到，顺次连ABC ,,A B C O 90︒111,,A B C 接即可，111,,A B C【点睛】本题考查了旋转作图，掌握旋转的性质是解题的关键．21. 如图，在中以为边分别作正方形、，连接．证ABC AB AC 、ADEB ACGF DC BF 、明：．CD BF =【答案】见解析【解析】【分析】通过证明，即可求证．ADC ABF ≌【详解】证明：由题意可得：，， AD AB =AC AF =90CAF BAD ∠=∠=︒∴DAC BAF ∠=∠在和中ADC △ABF △AD AB DAC BAF AC AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴(SAS)ADC ABF △≌△∴CD BF =【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，涉及了正方形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法与性质．22. 向阳村2010年的人均收入为12000元，2012年的人均收入为14520元，求人均收入的年平均增长率．【答案】10%．【解析】【分析】设这两年的平均增长率为x ，根据等量关系“2010年的人均收入×（1+平均增长率）2=2012年人均收入”列方程即可．【详解】解：设这两年的平均增长率为x ，由题意得：，212000(1)14520x +=解得：（不合题意舍去），．1 2.1x =-20.110%x ==答：这两年的平均增长率为10%．23. 如图，抛物线y=ax 2+2ax+1与x 轴仅有一个公共点A ，经过点A 的直线交该抛物线于点B ，交y 轴于点C ，且点C 是线段AB 的中点．（1）求这条抛物线对应的函数解析式；（2）求直线AB 对应的函数解析式．【答案】（1）y=x 2+2x+1；（2）y=2x+2．【解析】【分析】（1）抛物线与x 轴仅有1个交点可知=0时，即可得到4a 2﹣4a=0，解方程即可求∆得a ，即可得到抛物线解析式；（2）先求得A 的坐标，已知点C 是线段AB 的中点，可判定点A 与点B 的横坐标互为相反数，再确定B 点坐标，最后利用待定系数法求直线AB 的解析式．【详解】（1）∵抛物线y=ax 2+2ax+1与x 轴仅有一个公共点A ，∴=4a 2﹣4a=0，解得a 1=0（舍去），a 2=1，∆∴抛物线解析式为y=x 2+2x+1；（2）∵y=（x+1）2，∴顶点A 的坐标为（-1，0），∵点C 是线段AB 的中点，即点A 与点B 关于C 点对称，∴B 点的横坐标为1，当x=1时，y=x 2+2x+1=1+2+1=4，则B （1，4），设直线AB 的解析式为y=kx+b ，把A （-1，0），B （1，4）代入得，04k b k b -+=⎧⎨+=⎩解得， 22k b =⎧⎨=⎩∴直线AB 的解析式为y=2x+2．【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．24. 某网店销售一款市场上畅销的蒸蛋器，进价为每个40元，在销售过程中发现，这款蒸蛋器销售单价为60元时，每星期卖出100个．如果调整销售单价，每涨价1元，每星期少卖出2个，现网店决定提价销售，设销售单价为x 元，每星期销售量为y 个．（1）请直接写出y （个）与x （元）之间的函数关系式；（2）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润是2400元？（3）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润最大？最大利润是多少元？【答案】（1）y=-2x+220；（2）当销售单价是70元或80元时，该网店每星期的销售利润是2400元；（3）当销售单价是75元时，该网店每星期的销售利润最大，最大利润是2450元．【解析】【分析】（1）根据题意中销售量y （个）与售价x （元）之间的关系即可得到结论；（2）根据题意列出方程（-2x+220）（x-40）=2400，解方程即可求解；（3）设每星期利润为w 元，构建二次函数模型，利用二次函数性质即可解决问题．【详解】（1）由题意可得，y=100-2（x-60）=-2x+220；（2）由题意可得，（-2x+220）（x-40）=2400，解得，，，170x =280x =∴当销售单价是70元或80元时，该网店每星期的销售利润是2400元．答：当销售单价是70元或80元时，该网店每星期的销售利润是2400元．（3）设该网店每星期的销售利润为w 元，由题意可得w=（-2x+220）（x-40）=，223008800-+-x x 当时，w 有最大值，最大值为2450， 752b x a=-=∴当销售单价是75元时，该网店每星期的销售利润最大，最大利润是2450元． 答：当销售单价是75元时，该网店每星期的销售利润最大，最大利润是2450元．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是构建二次函数模型，利用二次函数的性质解决最值问题．25. 如图，已知抛物线经过、两点． 2y x bx c =++(10)A -，(30)B ，（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）当时，求的取值范围；03x <<y（3）点为抛物线上一点，若，求出此时点的坐标．P 10PAB S ∆=P 【答案】（1）；顶点坐标为2=23y x x --(1,4)-（2）40y -≤<（3）点坐标为或P (2,5)-(4,5)【解析】【分析】(1)运用待定系数法，确定b ，c 的值即可．(2)根据函数的增减性计算即可．(3)根据三角形的面积,构造一元二次方程求解即可．【小问1详解】解：把、分别代入中， (10)A -，(30)B ，2y x bx c =++得：， 10930b c b c -+=⎧⎨++=⎩解得：， 23b c =-⎧⎨=-⎩∴抛物线的解析式为，2=23y x x --，2223(1)4y x x x =--=-- ∴顶点坐标为．(1,4)-【小问2详解】解：由图像可得当时，03x <<得．40y -≤<【小问3详解】解：∵、， (10)A -，(30)B ，．4AB ∴=设，则， ()P x y ，1||102PAB S AB y ∆==， ||5y ∴=．5y ∴=±①当时，5y =，2235x x --=解得：，12=2,=4x x -此时点坐标为或；P (2,5)-(4,5)②当时，5y =-，2235x x --=-方程无解；综上所述，点坐标为或．P (2,5)-(4,5)【点睛】本题考查了待定系数法确定二次函数的解析式，二次函数的增减性，抛物线与一元二次方程，熟练掌握待定系数法，灵活运用性质，正确解一元二次方程是解题的关键．。
天津市静海区2024-2025学年上学期九年级期中数学考试卷
天津市静海区2024-2025学年上学期九年级期中数学考试卷一、单选题1．若2(3)50m x mx -+-=是关于x 的一元二次方程，则m 的值为（）A ．3m ≠B ．3m =C ．3m ≥D ．0m ≠2．中国古典园林讲究“造景”的艺术，而窗棂()líng 是园林重要的“造景”工具之一，如图①，是苏州园林内的一种窗棂，图②是这种窗棂中的部分图案，该图案是由1个正六边形和6个全等的等边三角形组成的；下列关于该图案对称性的说法，正确的是（）A ．既是轴对称图形又是中心对称图形B ．是轴对称图形但不是中心对称图形C ．是中心对称图形但不是轴对称图形D ．既不是轴对称图形也不是中心对称图形3．若一元二次方程2440mx x ++=没有实数根，则m 的取值范围是（）A ．1m <B ．1m <-C ．1m ≥-D ．1m >4．用配方法解方程2810x x -+=，下列变形正确的是（）．A ．2(4)3x -=B ．2(4)15x -=C ．2(4)7x -=D ．2(4)3x -=-5．电影《志愿军》不仅讲述了中国人民志愿军抗美援朝的故事，更是通过鲜活生动的人物塑造，让观众体会到历史事件背后的人性和情感，一上映就获得全国人民的追捧．某地第一天票房约3亿元，若以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达18亿元，若把增长率记作x ，则方程可以列为（）A ．()3118x +=B ．()23118x +=C ．()233118x +=+D ．()()23313118x x +++=+6．函数22y x =-先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得函数解析式是（）A ．22(1)2y x =--+B ．22(1)2y x =---C ．22(1)2y x =-++D ．22(1)2y x =-+-7．如图，在Rt ABC △中，已知9030BAC C ∠=︒∠=︒，，将ABC V 绕点A 顺时针旋转70︒得到AB C ''△，则CAC '∠的度数是（）A ．60︒B ．70︒C ．80︒D ．90︒8．如图，在平面直角坐标系中，若ABC V 与111A B C △关于点E 成中心对称，则对称中心点E 的坐标是（）A ．(3,1)-B ．(3,0)C ．(2,1)-D ．(2,0)9．对于二次函数2144y x x =-+-，下列说法正确的是（）A ．当0x >，y 随x 的增大而增大B ．图像与x 轴有两个交点C ．图像的顶点坐标为(2,7)--D ．当2x =时，y 有最大值3-10．二次函数23324y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象()13x ≤≤如图所示，则该函数在所给自变量的取值范围内，函数值y 的取值范围是（）A ．1y ≥B ．13y ≤≤C ．334y ≤≤D ．03≤≤y 11．某水利工程公司开挖的池塘，截面呈抛物线形，蓄水之后在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：m ），某学习小组探究之后得出如下结论，其中正确的为（）A ．水面宽度为30mB ．抛物线的解析式为1²525y x =-C ．最大水深为3.2mD ．若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最大水深减少为原来的1312．如图，某农户准备建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，若墙长为18m ，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长35m ，围成长方形的养鸡场四周不能有空隙．有下列结论：①要围成养鸡场的面积为2150m ，则养鸡场的宽为7.5m ；②围成养鸡场的面积能达到2200m ；③围成养鸡场的最大面积为21225m 8其中，正确结论的个数是（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个二、填空题13．把方程223x x =-化为一般形式是．14．一元二次方程260x x m -+=有两个实数根1x ，2x ．若12x =，则2x 的值为15．若点(),1A a -关于原点对称的点为()5,B b ，则点(),C a b 关于y 轴对称的点D 的坐标为．16．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h （单位：m ）与小球的运动时间t （单位：s ）之间的关系式是2305h t t =-．小球运动到最高点所需的时间是s ．17．如图，正方形ABCD 中，点E 在DC 边上，2DE =，1EC =，把线段AE 绕点A 旋转，使点E 落在直线BC 上的F 点，则F ，C 两点间的距离为．18．已知二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，且0a ≠）的图象如图所示，小明得出了以下结论：①0abc <，②24b ac >，③420a b c ++>，④当1x <-时，y 随x 的增大而增大，⑤若方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是5k <，其中结论正确的个数为．（填序号）三、解答题19．解方程：(1)2213x x +=（配方法）；(2)2(3)3x x x -=+（公式法）；(3)22(3)8x -=；(4)(8)(1)12x x ++=-．20．如图，在平面直角坐标系中，已知ABC V 的三个顶点的坐标分别为(5,4)A ，(0,3)B ，(2,1)C ．(1)画出ABC V 关于原点成中心对称的111A B C △，并写出点1C 的坐标；(2)画出将111A B C △绕点1C 按顺时针方向旋转90︒所得到的221A B C △，并求出221A B C △的面积．21．已知关于x 的方程220x ax a ++-=．(1)若该方程的一个根为2，求a 的值及该方程的另一根．(2)求证：不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．(3)若方程的两根互为倒数，求a 的值．22．天津素称“月季之乡”．花虹园区在长为10米，宽为8米的矩形土地上修建同样宽度的两条道路（互相垂直），其余部分种植月季花球盆栽，并使种植花卉的总面积为63平方米，修建方案如图所示．(1)利用你所学的有关图形运动的知识，求道路的宽度；(2)某盆栽供应商的进货价为每盆30元，销售价为每盆60元，花节期间平均每天可以售出20盆．花节落幕后降价出售，经市场调查发现：如果每盆降价3元，那么平均每天就可多出售6盆．设每盆降价x 元．①降价后每盆的利润是__________元；每天卖出__________盆；（用含的代数式表示）②供应商想要达到每天750元的盈利，同时让购买者得到实惠，求每盆应降价多少元？23．如图，已知抛物线2y x bx c =++经过(1,0)A -、(3,0)B 两点．(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；(2)点P 为抛物线上一点，若10PAB S = ，求出此时点P 的坐标．24．如图，在ABC V 中，点E 在BC 边上，AE AB =，将线段AC 绕A 点旋转到AF 的位置，使得CAF BAE ∠=∠，连接EF ，EF 与AC 交于点G ．(1)求证：EF BC =；(2)若63ABC ∠=︒，25ACB ∠=︒，求FGC ∠的度数．25．素材一：秦、汉时期是中国古代桥梁的创建发展时期，此时期创造了以砖石为材料主体的拱券结构，为后来拱桥的出现创造了先决条件．如图（1）是位于某市中心的一座大桥，已知该桥的桥拱呈抛物线形．在正常水位时测得桥拱处水面宽度OB 为40米，桥拱最高点到水面的距离为10米．素材二：在正常水位时，一艘货船在水面上航行，已知货船的宽DE 为16米，露出水面的高DG 为7米．四边形DEFG 为矩形，OD BE =．现以点O 为原点，以OB 所在直线为x 轴建立如图（2）所示的平面直角坐标系，将桥拱抽象为一条抛物线．(1)求此抛物线的解析式．(2)这艘货船能否安全过桥？(3)受天气影响，水位上升0.5米，若货船露出水面的高度不变，此时该货船能否安全过桥？。
天津市河北区2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷
天津市河北区2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷一、单选题1．志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志为中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．一元二次方程2320x x +-=根的情况为（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．不能判定3．用配方法解方程2410x x -+=，变形后的结果正确的是（）A ．()223x +=B ．()223x -=C ．()224x +=D ．()224x -=4．抛物线23y x =经过平移得到抛物线()2312y x =+-，平移的方法是（）A ．向左平移1个，再向下平移2个单位B ．向右平移1个，再向下平移2个单位C ．向左平移1个，再向上平移2个单位D ．向右平移1个，再向上平移2个单位5．已知二次函数()221y x m =-+的图象上有三个点，坐标分别为()12,A y 、()23,B y 、()34C y -，，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（）A ．123y y y >>B ．213y y y >>C ．312y y y >>D ．321y y y >>6．已知关于x 的一元二次方程2220x ax a a ++-=有两个不相等的实数根，且12124x x x x ++=，则实数a 的值是（）A ．-3B ．-4C ．4D ．57．如图，若A 是O 的直径，C 是O 的弦，30C ∠=︒，1BD =，则O 的半径是（）A ．1B ．C ．2D ．8．如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，若∠A ＝70°，则∠BOC ＝（）A ．125°B ．115°C ．100°D ．130°9．如图，线段A 是半圆O 的直径，分别以点A 和点O 为圆心，大于12AO 的长为半径作弧，两弧交于M ，N 两点，作直线MN ，交半圆O 于点C ，交A 于点E ，连接,AC BC ，若2AE =，则BC 的长是（）A ．4B ．C ．6D ．10．如图，把ABC V 以点C 为中心顺时针旋转得到DEC ，点A ，B 的对应点分别是点D ，E ，连接AD 交CE 于点F ，当AD BC ∥时，下列结论一定正确的是（）A ．AD CD =B ．AC 平分BCD ∠C ．ACDE ADE∠=∠+∠D ．BC DE=11．如图，周长为15cm 的三角形纸片ABC ，小刚想用剪刀剪出它的内切圆O ，他先沿着与O 相切的DE 剪下了一个三角形纸片BDE ，已知4cm AC =，则三角形纸片BDE 的周长是（）A ．10cmB ．9cmC ．8cmD ．7cm12．已知抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，0c <）经过()1,1，(),0m ，(),0n 三点，且3n ≥．有下列结论：①244ac b a -<；②当3n =时，若点()2,t 在该抛物线上，则1t >；③若关于x 的一元二次方程2ax bx c x ++=有两个相等的实数根，则103m <<．其中，正确结论的个数是（）A ．3B ．2C ．1D ．0二、填空题13．在平面直角坐标系中，点()3,2-关于原点的对称点的坐标是：．14．我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题：“直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步？若设阔（宽）为x 步，则可列方程．15．二次函数²y ax bx c =++的部分对应值列表如下：x ⋯3-0135⋯y⋯6−7−85-6⋯则一元二次方程²7ax bx c ++=-的解为x =16．如图，OA 是O 的半径，弦BC OA ⊥于点D ，连接OB ，若O 的半径为5cm ，BC 的长为8cm ，则AD 的长是cm ．17．已知二次函数2241y x x =--在0x a ≤≤时，y 取得的最大值为15，则a 的值为．18．如图，ABC BDE ，都是等腰直角三角形，BA BC BD BE ==，，AC =2DE =．将BDE V 绕点B 逆时针方向旋转后得BD E ''△，当点E '恰好落在线段AD '上时，则CE '=．三、解答题19．解方程2610x x -+=.20．如图，已知直线2y x m =-+与抛物线相交于A ，B 两点，且点()1,4A 为抛物线的顶点，点B 在x 轴上．(1)求m 的值；(2)求抛物线的解析式；(3)连接OA ，求AOB V 的面积．21．如图，AB 为O 的直径，BD 与O 相切于点B ，C 是圆上一点．(1)如图①，若24DBC ∠=︒，求BAC ∠的度数；(2)如图②，若60DBC ∠=︒，点E 在圆上，CE AB ⊥，若4BC =，求AE 的长．22．如图，在ABC V 中，AB AC =，150BAC ∠=︒，将ABC V 绕B 点逆时针旋转得到DBE ，旋转角为α（0180α︒<<︒），若A D E ，，三点恰好在同一条直线上；(1)求旋转角α的度数；(2)若2AB =，求AE 的长．23．某商场购进一批单价为10元的日用品，若按每件20元的价格销售，每月能卖出20件，若按每件30元的价格销售，每月能卖出10件．假定每月销售件数y （件）与价格x （元/件）之间满足一次函数．(1)试求y 与x 之间的函数关系．(2)在不考虑其他因素的条件下，销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？24．在平面直角坐标系中，O 为原点，点()8,0A -，点()0,8C ，若正方形OABC 绕点O 顺时针旋转，得正方形OA B C '''，记旋转角为α．(1)如图①，当45α=︒时，求BC 与A B ''的交点D 的坐标；(2)如图②，当30α=︒时，求点B '的坐标；(3)若P 为线段BC '的中点，求AP 长的取值范围（直接写出结果即可）．25．已知抛物线23y ax bx =++与x 轴相交于()10A -，，()30B ，两点，与y 轴相交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使得PAC 的周长最小，若存在，请求出点P 的坐标及PAC 的周长；若不存在，请说明理由；(3)在（2）的条件下，在x 轴上方的抛物线上是否存在点M （不与C 点重合），使得PAM PAC S S =△△若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．。
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天津市九年级上学期期中数学试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共10题；共20分)
1. （2分）设a，b是方程x2+x﹣2017=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（）
A . 2014
B . 2015
C . 2016
D . 2017
2. （2分）下列图案是轴对称图形的有（）个
A . 1个
B . 2个
C . 3个
D . 4个
3. （2分） (2019九上·句容期末) 下列关于二次函数y=-x2-2x+3说法正确的是（）
A . 当时，函数最大值4
B . 当时，函数最大值2
C . 将其图象向上平移3个单位后，图象经过原点
D . 将其图象向左平移3个单位后，图象经过原点
4. （2分）将图中所示的图案以圆心为中心，旋转180°后得到的图案是（）
A .
B .
C .
D .
5. （2分）小明从如图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象中，观察得出了下面五条信息：①c<0；②abc<0；
③a-b+c>0；④2a-3b=0；⑤4a+2b+c>0．你认为其中正确的是（）
A . ①②④
B . ①③⑤
C . ②③⑤
D . ①③④⑤
6. （2分） (2018九上·大冶期末) 如图，⊙O的直径CD＝12cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E，OE：OC ＝1：3，则AB的长为（）
A . 2 cm
B . 4 cm
C . 6 cm
D . 8 cm
7. （2分）对抛物线y=－x2＋2x－3而言，下列结论正确的是（）
A . 与x轴有两个交点
B . 开口向上
C . 与y轴交点坐标是(0，3)
D . 顶点坐标是(1，-2)
8. （2分）如图，点、、在圆O上，若，则的大小是（）
A .
B .
C .
D .
9. （2分） (2016八下·洪洞期末) 下列命题是假命题的是（）
A . 菱形的对角线互相垂直平分
B . 有一斜边与一直角边对应相等的两直角三角形全等
C . 有一组邻边相等且垂直的平行四边形是正方形
D . 对角线相等的四边形是矩形
10. （2分） (2016九上·武威期中) 小明从右边的二次函数y=ax2+bx+c图象中，观察得出了下面的五条信息：①a＜0，②c=0，③函数的最小值为﹣3，④当x＜0时，y＞0，⑤当0＜x1＜x2＜2时，y1＞y2 ，⑥对称轴是直线x=2．你认为其中正确的个数为（）
A . 2
B . 3
C . 4
D . 5
二、填空题 (共6题；共7分)
11. （1分） (2018九上·郴州月考) 方程的解是________．
12. （1分） (2016九上·永嘉月考) 抛物线y=x2-4x-5与x轴交于点A,B，则线段AB的长度是________．
13. （1分） (2016九上·罗庄期中) 如图，△COD是△AOB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点C恰好落在AB上，且∠AOD的度数为90°，则∠B的度数是________．
14. （1分） (2017九上·大庆期中) 小汽车刹车距离s(m)与速度v(km/h)之间的函数关系式为s＝ v2 ，一辆小汽车速度为100km/h，在前方80m处停放一辆故障车，此时刹车________(填“会”或“不会”)有危险．
15. （1分）(2017·浦东模拟) 如图，圆弧形桥拱的跨度AB=16米，拱高CD=4米，那么圆弧形桥拱所在圆的半径是________米．
16. （2分）直角三角形的两直角边分别为12和24，则斜边上的中线长为________，斜边上的高为________．
三、三.解答题 (共9题；共105分)
17. （10分） (2016九上·保康期中) 已知关于x的方程x2+mx+m﹣2=0
（1）若该方程的一个根为1，求m的值及该方程的另一根；
（2）求证：不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
18. （5分） (2019七下·长春月考) 已知关于，的方程组的解满足，求
的取值范围．
19. （5分）某公司市场营销部的某营销员的个人月收入与该营销员每月的销售量成一次函数关系，其图象如图所示，根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）求营销员的个人月收入y元与该营销员每月的销售量x万件（x≥0）之间的函数关系式；
（2）若两个月内该营销员的销售量从2万件猛增到5万件，月收入两个月大幅度增长，且连续两个月的月收入的增长率是相同的，试求这个增长率（保留到百分位）．
20. （10分） (2016九上·孝南期中) 解答下列问题：
（1）已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两根x1，x2（b2﹣4ac≥0）．用求根公式写出x1，x2，并证明x1+x2=﹣，x1x 2=
（2）若一元二次方程x2+x﹣1=0的两根为m，n，运用（1）中的结论，求 + 的值．
21. （30分） (2016九上·北京期中) 已知二次函数y=x2﹣4x+3．
（1）把这个二次函数化成y=a（x﹣h）2+k的形式；
（2）写出二次函数的对称轴和顶点坐标；
（3）求二次函数与x轴的交点坐标；
（4）画出这个二次函数的图象；
（5）观察图象并写出y随x增大而减小时自变量x的取值范围．
（6）观察图象并写出当x为何值时，y＞0．
22. （10分） (2019九上·海陵期末) 如图，AB为⊙O的直径，射线AP交⊙O于C点，∠PCO的平分线交⊙O 于D点，过点D作交AP于E点.
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）若DE=3，AC=8，求直径AB的长.
23. （10分） (2016九上·长春期中) 如图，在一面靠墙的空地上用长24m的篱笆，围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x（m），面积S（m2）．
（1）求S与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）若墙的最大可用长度为8m，求围成花圃的最大面积．
24. （10分）如图，▱ABCD中，点E、F在BD上，且BF=DE．
（1）写出图中所有你认为全等的三角形；
（2）连接AF、CE，四边形AFCE是平行四边形吗？请证明你的结论．
25. （15分） (2017九上·金华开学考) 如图：已知正方形OABC的边OC、OA分别在x轴和y轴的正半轴上，点B坐标为（4，4）．二次函数的图象经过点A、B，且与x轴的交点为E、F．点P在线段EF 上运动，过点O作OH⊥AP于点H，直线OH交直线BC于点D，连接AD．
（1）求b、c的值；
（2）在点P运动过程中，当△AOP与以A、B、D为顶点的三角形相似时，求点P的坐标；
（3）在点P运动到OC中点时，能否将△AOP绕平面内某点旋转90°后使得△AOP的两个顶点落在x轴上方的抛物线上？若能，请直接写出旋转中心M的坐标；若不能，请说明理由．
参考答案一、选择题 (共10题；共20分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
二、填空题 (共6题；共7分)
11-1、
12-1、
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、三.解答题 (共9题；共105分)
17-1、17-2、
18-1、19-1、
20-1、
20-2、21-1、21-2、21-3、
21-4、21-5、21-6、
22-1、
22-2、23-1、
23-2、
24-1、24-2、
25-1、
25-3、。