【2019最新】高中数学第二章概率6正态分布导学案

【2019最新】高中数学第二章概率6正态分布导学案

自主整理

1.离散型随机变量的取值是可以_______________的,但在实际应用中,还有许多随机变量可以取某一区间中的一切值,是不可以一一列举的,这种随机变量称为连续型随机变量.

2.如果一个随机变量X 可以取某一区间中的一切值,那么在取出的样本中,样本容量越大,所分组数越多,各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率,设想样本容量无限增大,分组的组距无限缩小,那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线称为随机变量X 的______________.这条曲线对应的函数称为X 的______________,记为______________.

3.如果知道了X 的分布密度曲线,则X 取值于任何范围(例如｛a ＜X ＜b ｝)的概率,都可以通过计算该曲线下相应的______________而得到,因此,我们说X 的分布密度函数f(x)完全描述了X 的规律.计算面积的方法,实际上是计算分布密度函数f(x)在一个区间上的______________.

4.正态分布是现实中最常见的分布,它有两个重要的参数:______________和

______________(σ＞0),通常用______________表示X 服从参数为μ和σ2

的正态分布.当μ和σ给定后,就是一个具体的正态分布.当n 很大时,二项分布也可以用______________分布来近似描述.

5.随机变量服从正态分布,则它在区间(μ-2σ,μ+2σ)外取值的概率只有______________,而在区间(μ-3σ,μ+3σ)外取值的概率只有______________,由于这些概率值很小,通常称这些情况发生为小概率事件.也就是说,通常认为这些情况在一次试验中______________. 高手笔记

1.μ为总体的均值(或期望),即EX=μ.

σ2

(σ＞0)为总体的方差,σ为总体的标准差,即DX=σ2

,DX =σ.

2.正态分布的性质

(1)曲线位于x 轴上方,与x 轴不相交. (2)曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称. (3)曲线在x=μ处达到峰值

π

σ21

.

(4)曲线与x 轴之间的面积为1.

(5)当σ一定时,曲线随着μ的变化而沿x 轴平移.

(6)当μ一定时,曲线的形状由σ确定:σ越小,曲线起“瘦高”,表示总体的分布越集中;σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散.

(7)若X —N(μ,σ2

),则对于任何实数a ＞0,概率P(μ-a ＜x ＜μ+a)=⎰

+-a

a μσ

ϕμμ,

(x)dx.

3.正态分布在三个特殊区间内取值的概率值 P(μ-σ＜X ＜μ+σ)=68.3% P(μ-2σ＜X ＜μ+2σ)=95.4% P(μ-3σ＜X ＜μ+3σ)=99.7% 名师解惑

1.正态分布的题型及求解策略

剖析：(1)借助正态分布密度曲线的图象及性质解题.

结合实例、图象,理解正态曲线的性质,并会运用性质去解决简单的问题,要特别注意正态曲线的对称性,以及当μ一定时,曲线的形状与σ大小的关系.

(2)对于有关正态分布的计算问题,要记住当正态总体取值在区间(μ-σ,μ+σ),(μ-2σ,μ+2σ),(μ-3σ,μ+3σ)内的概率值,将所给问题转化到上述区间内解决,同时要注意对称性的运用和数形结合思想的应用. 2.质量控制的基本思想——3σ原则 剖析：一般认为凡服从正态分布的随机变量X 取(μ-3σ,μ+3σ)之间的概率为0.997,所以只有0.003的概率在区间之外,称这样的事件为小概率事件,所以,在一个总量比较大的总体中取一件,一定落在区间(μ-3σ,μ+3σ)内,所以用这样的方法来检验总体是否合格. 讲练互动 【例1】某班有48名同学,一次考试后数学成绩服从正态分布,平均分为80,标准差为10,问从理论上讲成绩在80分到90分之间的有多少人? 分析：要求成绩在80分到90分之间的人数,需先求出分数落在这个范围内的概率,然后乘以总人数即可.

解:设X 表示这个班学生的数学成绩,则X —N(80,102

),成绩在80分到90分之间的学生的比例为

21P(80-10＜x ＜80+10)= 2

1

×0.683=0.341 5, 所以,成绩在80分到90分之间的人数为 48×0.341 5≈16(人).

绿色通道:记住相关数据:P(μ-σ＜x ＜μ+σ)=68.3%. 变式训练

1.某地区数学考试的成绩x 服从正态分布,其密度函数曲线如下图.成绩x 位于区间(52,68］的概率是多少

?

分析：这是道典型的由图形求函数,由函数求概率的题目,我们发现x —N(μ,σ2

),其中μ=60,f(x)=

2

22)(21

σμπσ

--

x e ,

∴σ=8.而区间(52,68］关于x=μ对称,

∴P(52＜x≤68)=P(60-8＜x≤60+8)=P(μ-σ＜x≤μ+σ)=0.682 6.

解:∵x 服从正态分布,设其密度函数f(x)=2

22)(21

σσπσ

--x e

由图形知μ=60,顶点为(60,

π

281

),∴σ=8. 设x 位于区间(52,68］上的概率为P(52＜x≤68)=P(60-8＜x≤60+8)=P(μ-σ＜x≤μ+σ)=0.683.

【例2】设在一次数学考试中,某班学生的分数X —N(110,202

),已知满分150分,这个班的学生共54人.求这个班在这次数学考试中及格(不小于90分)的人数和130分以上的人数. 分析：要求及格的人数,先要求出P(90≤X≤150),而求此概率需将问题转化为正态变量几种特殊值的概率形式,然后利用对称性求解.

解:∵X—N(110,202

),∴μ=110,σ=20. P(110-20＜X ＜110+20)=0.683. ∴X＞130的概率为

2

1

×(1-0.683)=0.158 5, X≥90的概率为0.683+0.158 5=0.841 5. ∴及格的人数为54×0.841 3≈45(人), 130分以上的人数为54×0.158 5≈9(人).

绿色通道:本题是利用正态曲线的对称性结合三个特殊概率值求概率,要学会应用这种方法. 变式训练

2.公共汽车车门的高度是按照保证成年男子与车门顶部碰头的概率在0.15%以下设计的.如果某地区成年男子的身高X —N(175,36)(单位：cm),则该地区公共汽车车门高度应设计为多少?

解：设该地区公共汽车车门的高度应设计为x cm,则根据题意便有P(X≥x)＜0.15%.因为X —N(175,36),所以μ=175,σ=6,P(X≥x)=1-P(X ＜x)＜0.15%⇒2［1-P(X ＜x)］＜0.3%. 由图可知

P(175-(x-175)＜X ＜x)＞

99.7%.

因为P(μ-3σ＜X ＜μ+3σ)=99.7%. 所以x ＞175+3σ=193,

即该地区公共汽车车门高度至少应设计为193 cm.

【例3】某年级的一次信息技术测验成绩近似服从正态分布N(70,102

),如果规定低于60分为不及格,求

:

(1)成绩不及格的人数占多少?